Chuyen De khao sat ham so file Word

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi... Với giá trị nào của m thì hàm số đồng Cho hàm số..[r]

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

1 Cho hàm số yf x( ) xác định và có đạo hàm trên D

* Hàm số đồng biến trên ( , )a b D khi f x'( ) 0,  x ( , )a b

* Hàm số nghịch biến trên ( , )a b D khi f x'( ) 0,  x ( , )a b

Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số y x m x 2(  ) m Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Cho hàm số y x 3 2x2(m1)x m 3 Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Vậy: Với 0m3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y x 3 3mx23(2m 1)x1 Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Cho hàm số y x 3 mx23x1 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Vậy: Với  6m 6 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y mx 3 (2m1)x2(m 2)x 2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Lời giải: TXĐ: D = R

2

y  m x  m x m 

Trường hợp 1: m  2 0 m 2 y'10 m = -2 thỏa yêu cầu bài toán

* m 1 y' 4 x 3 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

* m 1 y' 3 0   m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán

Hàm số đồng biến trên R khi

2 2 '

Vậy với m 4 m0 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y(m2 5 )m x36mx26x 6 Tìm m để hàm số đồng biến trên R

+ m 0 y' 6 0   m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m 5 y'60x 6 m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán

mx y

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y' 0,  x 1

Kết luận: Với m 3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số yx33x2mx 2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trênkhoảng 0;2

2 2

Tam thức g(x) có biệt thức  ' 2(m 2)2 Ta xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1:   0 m 2 y' 0,   x 1 hàm số đồng biến trên (0;)Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán

Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình

Mặt khác: f(1) 2 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

b Điều kiện x 1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình

Xét

71

Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình sau 5x3132x1 4  x (1)

Lời giải

Điều kiện: 3

15

Xét f x( ) 5 x2x 7 f x'( ) 5 ln 5 2 0, x   x

 f(x) là hàm đồng biến

Mặt khác: f(1) 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình log (12 3 x) log 7x (1)

Mặt khác: f(3) = 0 nên t 3 x343 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình log5xlog (7 x2)

Giải bất phương trình 2x33x2 6x16 2 3  4 x

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là 2 x 4

Bất phương trình được viết lại thành 2x33x26x16 4 x2 3 (2)

Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên

Điều kiện xác định của phương trình là x 2

Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Điều kiện xác định của bất phương trình x 2

Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

So với điều kiện ta có x 0 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình log2 x 1 log3 x9 1

t t



 f(t) đồng biến trên (0;)

Mặt khác: (1) f x( 1) f(3 x) x1 3  x x2

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2x3

Giải bất phương trình sau 7x 7 7x 6 2 49 x27x 42 181 14  x (1)

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình

67

x 

(1) 7x 7 7x 6 2 49 x27x 42 181 14  x0

Đặt t  7x 7 7x 6 t2 14x2 49x27x 42 (t 0)

Phương trình trở thành : t2 t 182 0  14 t 13 kết hợp điều kiện (t 0)

ta được 0 t 13 (1) 7x 7 7x 6 13 (2); điều kiện

6

;7

x  

Xét hàm f x( ) 7x 7 7x 6

x  

Mặt khác f(6) 13 nên f x( ) 13  x6 vậy nghiệm của bất phương trình là6

6

7 x hay

6.67

x  

Giải bất phương trình log7 xlog (23  x) (1)

00

x x

Vậy bất phương trình có nghiệm

Điều kiện xác định của hệ phương trình  3 x y, 10

Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình

Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình x 3 10 x y 3 10 yXét hàm số

Ta được hệ phương trình như sau

Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( 1) 4( 1) 1 (*)

Điều kiện của phương trình x 0 x1

Với điều kiện trên thì (*) x x( 1) 4 x x( 1) m (**)