chuyên đề khảo sát hàm số 2009

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu... Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị

LÝ THUYẾT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN GIẢI TÍCH Kiến thức bổ sung

 Cách xét dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f( )x =ax2 +bx+c (a≠ 0)

( )







<

≤∆

⇔

∈∀

≤

0

0 0

a

R

x

xf

( )







>

≤∆

⇔

∈∀

≥

0

0 0

a

R

x

xf

Nếu chưa có điều kiện a≠0 thì phải xét trường hợp a=0

Nhắc lại công thức so sánh nghiệm

Cho phương trình bậc hai: f( )x =ax2 +bx+c= 0 (a≠ 0) có hai nghiệm x1 <x2 và hai số β

α < Ta có:















<

−

>

>∆

⇔

<

<

0 2

0

0

2 1

α

α α

S

fa x

x















>

−

>

>∆

⇔

<

<

0 2

0

0

2

1

α

α

α

S

fa x

x

( )







<

>

⇔

<<

<

0

0

.

2 1

β

α β

α

fa

fa x x

• ( )

( )







>

<

⇔

<<

<

0

0

.

2

1

β

α β

α

fa

fa x

x

( )







<

<

⇔

<<

<

0

0

.

2 1

β

α βα

fa

fa x x

•

( ) ( )

















<

<

>

>

>∆

⇔

<

<

<

β α β

α β

α

2

0

0 0

2

1

S fa

fa x

x

 KHẢO SÁT HÀM SỐ

Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm

Chủ đề 1 Tính đơn điệu của hàm số y= f( )x

I Định nghĩa

Cho hàm số y= f( )x xác định trên (a, b)

1 f tăng trên (a, b) nếu với mọi x1,x2∈( )a,b mà x1 <x2 thì f( ) ( )x1 < f x2 .

2 f giảm trên (a, b) nếu với mọi x1,x2∈( )a,b mà x1<x2 thì f( ) ( )x1 > f x2

3 x0∈( )a,b được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f′( )x không nh hay

bằng 0

II Định lý:

1 Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y= f( )x liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại một điểm c∈( )a,b sao cho

( ) ( )b f a f ( )(c b a)

f − = ′ − hay f ( )c f( ) ( )b b a f a

−

−

=

′

2 Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a, b)

• Nếu f′( )x >0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y= f( )x đồng biến trên (a, b)

• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y= f( )x nghịch biến trên (a, b)

( Nếu f′( )x =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a, b) thì định lý vẫn còn đúng )

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f′( )x , cho f′( )x =0 giải tìm x

B3: Vẽ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu của hàm số

• Nếu f′( )x >0 hàm số đồng biến

• Nếu f′( )x <0 hàm số đồng biến

• Nếu f′( )x =0 hàm số không đổi dấu trên TXĐ

Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định

B1: Tính f′( )x

B2: Sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu của dạng 1

B3: Giải tìm m

Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng (α ; β)

Phương pháp giải tương tự dạng 2

Chủ đề 2 Cực trị của hàm số y= f( )x

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f( )x xác định trên (a, b) và điểm x0∈( )a,b

• x0 đgl điểm cực đại ⇔∃( )a;b ⊃x0:( )a;b ⊂D và ( ) ( ) ( ) { } xf < xf 0 , x ∈∀ ; ba \ x 0

• x0 đgl điểm cực tiểu ⇔∃( )a;b ⊃x0:( )a;b ⊂ D và ( ) ( ) ( ) { } xf > xf 0 , x ∈∀ ; ba \ x 0

2 Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lý fermat: Nếu hàm số y= f( )x liên tục (a, b) có đạo hàm tại x0∈( )a,b và đạt

cực trị tại điểm đó thì f′( )x0 = 0.

Định lí 1:

Giả sử hàm số y= f( )x liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x0và có đạo hàm trên các khoảng (a , x0) và (x ,0 b) Khi đó:

a Nếu f′( )x0 <0 ∀x∈(a , x0) và f′( )x >0 ∀x∈(x0,b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

b Nếu f′( )x0 >0 ∀x∈(a , x0) và f′( )x <0 ∀x∈(x0,b) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị ( dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu )

Định lí 2. Giả sử hàm số y= f( )x có đạo hàm cấp một trên khoảng (a, b) chứa điểm x0, f′( )x0 =0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

1 Nếu f′′( )x0 >0 thì x0 là điểm cực tiểu

2 Nếu f′′( )x0 <0 thì x0 là điểm cực đại

Nói cách khác:

1 f′( )x0 =0, f ′′( )x0 > 0 ⇒ x0 là điểm cực tiểu

2 f′( )x0 =0, f ′′( )x0 <0 ⇒ x0 là điểm cực đại

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y= f( )x

Áp dụng 1 trong 2 quy tắc sau:

Quy tắc 1:

B1: Tìm f′( )x

B2: Cho f′( )x =0 giải tìm các x i

B3: Xét dấu f′( )x Nếu f′( )x đổi dấu khi x qua điểm x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Quy tắc 2:

B1: Tìm f′( )x

B2: Cho f′( )x =0 giải tìm các x i

B3: Tìm f ′′( )x và tính các f ′′( )x i

• Nếu f ′′( )x i < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

• Nếu f ′′( )x i >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

Dạng 2: Bài toán có tham số m

Tùy vào giả thiết đề bài mà có hướng giải

Chú ý: Nếu hàm số y= f( )x đạt cực trị tại x = a thì ta có f′( )a =0

Chủ đề 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y= f( )x

Cho hàm số y= f( )x xác định trên D⊂ R

• Nếu tồn tại x0∈D sao cho f( ) ( )x ≤ f x0 ∀x∈D thì số M = f( )x0 đgl giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu M f( )x

D

x∈

=max

• Nếu tồn tại x0 ∈D sao cho f( ) ( )x ≥ f x0 ∀x∈D thì số m= f( )x0 đgl giá trị lớn

nhất của hàm số f trên D , kí hiệu m f( )x

D

x∈

=min

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y= f( )x trên đoạn [a; b]

B1: Tìm f′( )x

B2: Cho f′( )x =0 giải tìm các x i∈[ ]a;b

B3: Tính các giá trị f( )x i , f( ) ( )a, f b

B4: So sánh các giá trị tìm được Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f

trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b]

Chủ đề 4 Tiệm cận

1 Tiệm cận đứng:

của đồ thị (C)

2 Tiệm cận ngang:

→∞ = thì đường thẳng (d) có phương trình y=x0 là tiệm cân ngang

của đồ thị (C)

3 Tiệm cận xiên:

Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là

lim [ ( ) (ax+b)] 0

hoặc xlim [ ( ) (ax+b)] 0→−∞ f x − =

hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0x→∞ f x − = .

4 Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.

x

( )

x

f x

x

Khảo sát hàm số

1 Hàm số bậc 3 y=ax3 +bx2 +cx+d (a≠ 0)

 Yêu cầu khảo sát:

 TXĐ

 Sự biến thiên:

• xlim→−∞y; xlim→+∞y

• Bảng biến thiên

 Tính y′, cho y′=0 giải tìm các giá trị x i ( giá trị cực trị )

 Vẽ bảng biến thiên

 Tính y′′, cho y′′ = 0 giải tìm x và suy ra điểm uốn, cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị

2 Hàm số trùng phương y=ax4 +bx2 +c (a≠ 0)

 Yêu cầu khảo sát: tương tự như hàm số bậc 3

Chú ý: nếu phương trình y′′ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì đồ thị (C )

3 Hàm số ( ≠ 0 , − ≠ 0)

+

+

d cx

b ax y

 Yêu cầu khảo sát:

 TXĐ

 Sự biến thiên:

x

+∞

→

−∞

lim suy ra đường thẳng y=c a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c

d

−

→

lim

c

d

−

→

lim

suy ra đường thẳng

c

d

x= − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên

 Tính y′

 Nếu y′ < 0 ∀x∈D thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

 Nếu y′ > 0 ∀x∈D thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

 Cho vài điểm đặc biệt và vẽ đồ thị

′ +

′ + +

=

′ +

′

+ +

b x a

r q px b

x a

c bx ax y

 Yêu cầu khảo sát:

 TXĐ

 Sự biến thiên:

• xlim→−∞y;xlim→+∞y

a

b

′

′

−

→

lim

a

b

′

′

−

→

lim

suy ra đường thẳng

a

b x

′

′

−

= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số đã cho

−∞

→ +∞

x

x suy ra đường thẳng y= px+qlà tiệm cận

xiên của đồ thị hàm số đã cho

• Bảng biến thiên

 Tính y′

 Cho y′ = 0 giải tìm các giá trị cực trị ( nếu có )

 Vẽ bảng biến thiên

 Cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị hàm số

Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.

 Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị



Lý thuyết

Xét sự tương giao của hai đồ thị ( )C :y= f( )x và ( )C′ :y=g( )x

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị f( )x =g( ) ( )x 1

• Số điểm chung của ( )C và ( )C′ bằng số nghiệm của ( )1

 Nếu phương trình ( )1 vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung

 Nếu phương trình ( )1 có nghiệm kép thì hai đồ thị tiếp xúc nhau

 Nếu phương trình ( )1 có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu điểm chung



Chú ý:

Phương trình bậc 3: ax3 +bx2 +cx+d = 0 ( )1

 Nếu ( )1 có 1 nghiệm là α thì:





= + +

=

⇔

= +

+

−

⇔

2 0 0

C Bx Ax

x C Bx

Ax

α

• Phương trình ( )1 có 1 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 1 nghiệm kép x = α

• Phương trình ( )1 có 2 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 1 nghiệm kép x ≠ α hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = α

• Phương trình ( )1 có 3 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 2 nghiệm phân biệt khác α

 Nếu không nhẩm được nghiệm

• Phương trình ( )1 có 1 nghiệm ⇔ hàm bậc 3 không có cực trị ( phương trình y′ = 0

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ) hoặc hàm bậc ba có hai cực trị y CĐ.y CT > 0

• Phương trình ( )1 có 2 nghiệm ⇔ hàm bậc 3 có hai cực trị y CĐ.y CT = 0

• Phương trình ( )1 có 3 nghiệm ⇔ hàm bậc 3 có hai cực trị y CĐ.y CT < 0

Hàm trùng phương ax4 +bx2 +c= 0 ( )1

• Khi đó ( )1 ⇔at2 +bt+c= 0 ( )2

 Phương trình ( )1 vô nghiệm ⇒ phương trình ( )2 vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

 Phương trình ( )1 có 1 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 1 nghiệm kép x=0 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x=0 và 1 nghiệm âm

 Phương trình ( )1 có 2 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 1 nghiệm kép x>0 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x>0 và 1 nghiệm âm

 Phương trình ( )1 có 3 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 1 nghiệm đơn x>0

và 1 nghiệm kép x=0

 Phương trình ( )1 có 4 nghiệm ⇒ phương trình ( )2 có 2 nghiệm đơn x>0

 Hai đồ thị ( )C :y= f( )x và ( )C′ :y= g( )x tiếp xúc nhau ⇔ hệ phương trình ( ) ( )

( ) ( )







′

=

′

=

x g x f

x g x f

có nghiệm

 Chủ đề 2: Tiếp tuyến



Lý thuyết

 Phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng : y− y0 = f′( )(x0 x− x0)

 Phương trình tiếp tuyến đi qua M(x0; y0) có dạng: y=k(x−x0)+ y0 ( )d

Để (d) tiếp xúc với (C): y= f( )x thì hệ phương trình sau phải có nghiệm:

( ) ( )

( )







=

′

+

−

=

k x

f

y x x k

x

 Chủ đề 3: Vấn đề cố định của hàm số



Lý thuyết

 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

• Gọi M(x0; y0) là điểm cố định cần tìm

• Viết phương trình f(x0,m)−y0 =0 theo ẩn m có dạng: Am+B=0 hoặc

0

2 +Bm+C=

Am

• Cho các hệ số của phương trình trên đồng thời bằng 0 tức :







=

=

0

0

B

A

hoặc









=

=

= 0 0 0

C B

A

sau

đó giải hệ suy ra điểm cố định

 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số hàm số không đi qua với mọi m

• Tìm điểm mà đồ thị hàm số không xác định

• Khi hàm số xác định

 Viết phương trình f(x,m)−y= 0 theo ẩn m có dạng: Am+B=0 hoặc

0

2 +Bm+C=

Am

 Lý luận cho phương trình vô nghiệm

o Am+B=0 vô nghiệm







≠

=

⇔

0

0

B A

o Am2 +Bm+C= 0 vô nghiệm







≠

<∆

⇔

0

0

A

 Chủ đề 4: Biến đổi đồ thị



Lý thuyết

a Cho hàm số y= f( )x (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y= f( )x

Ta có: ( ) ( )

( )

















 ′

<

−







 ′

≥

=

=

2

1

0

0

C y xf

C y

xf xf

y

Suy ra: Đồ thị ( )C′ gồm 2 phần:

•  ′C1  là phần đồ thị của (C) ứng với y≥ 0

•  ′C2  là phần đồ thị lấy đối xứng phần y< 0 của đồ thị (C) qua trục Ox.

b Cho hàm số ( )

a x

x U y

−

= (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) ( )

a x

x U y

−

a x

x U y

−

=

Ta có:

nếu nếu

( ) ( )

( )



















 ′

<

−

−







 ′

>

−

=

−

=

2

1

C a

x a

x

xU

C a

x a

x

xU

a

x

xU

y

Suy ra: Đồ thị ( )C′ gồm 2 phần:

•  ′C1  là phần đồ thị của (C) ứng với x > a

•  ′C2  là phần đồ thị lấy đối xứng phần x < a của đồ thị (C) qua trục Ox.

Hàm số ( )

a x

x U y

−

= tương tự

c Cho hàm số y= f( )x (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y =f x

Ta có: f x = f( )x nếu x≥0

f −x =f x ⇒ hàm số f x =f( )x là hàm số chẵn

Suy ra: Đồ thị ( )C′ gồm 2 phần:

•  ′C1  là phần đồ thị của (C) ứng với x≥0

•  ′C2  là phần đồ thị lấy đối xứng phần  ′C1  qua trục Oy.

d Cho hàm số y= f( )x (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y =f( )x

Ta có:

( ) ( ) () ⇔    ±= ≥

=

xf

y

xf

xf

Suy ra: Đồ thị ( )C′ gồm 2 phần:

•  ′C1  là phần đồ thị của (C) ứng với y≥ 0

•  ′C2  là phần đồ thị lấy đối xứng phần  ′C1  qua trục Ox.

 Chủ đề 5: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x,m)= 0



Lý thuyết

Đưa phương trình về dạng f( )x =g( )m Trong đó:

• y= f( )x chính là đồ thị đã khảo sát.

nếu nếu

• y=g( )m chỉ chứa tham số m có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox.

Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của 2 đường y= f( )x và

( )m

g

 Chủ đề 6: Cực trị



Lý thuyết

• Hàm số y= f( )x đạt cực trị ( ) ( )() , baI ⇒    af af = =′ b 0

• Hàm số y= f( )x có cực trị ⇔y′ có sự đổi dấu



Chú ý:

• Nếu việc xét dấu y′ là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0có 2 nghiệm phân biệt (∆ > 0).

• Hàm số bậc 3 hoặc hoặc không có cực trị hoặc có 2 cực trị ( 1 CĐ – 1

CT )

• Hàm số ( )

( )x V

x U

y = có hoành độ cực trị là x0 thì ( )

( )0

0 0

x V

x U

=

 Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

 Hàm bậc 3 y=ax3 +bx2 +cx+d (a≠ 0)

• Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị

• Chia y cho y′ ta có phần nguyên q( )x , phần dư r( )x suy ra y= y′( ) ( ) ( )x.q x +r x

• Gọi M(x,y) là cực trị ⇒y′( )x = 0 ⇒y=r( )x =ax+b là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

 Hàm số ( )

( )x V

x U

y =

• Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị

• Gọi M(x,y) là cực trị ( )

( )x ax b V

x U

⇒ là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

 Chủ đề 7: Khoảng cách



Lý thuyết

bậc 2 bậc 1

bậc 2 bậc 1

• Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đên đường thẳng

( )∆ Ax+By+C= 0: ( , ) 0 2 0 2

B A

C By Ax M

d

+

+ +

=

∆

• Để tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ nào đó sao cho khoảng cách đó ngắn nhất ta thường áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần Và để khoảng cách ngắn nhất thì dấu “ =” xảy ra ở những số mà ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy

nhất của hàm

b x a

c bx ax y

′ +

′+ +

= 2 ta thường làm như sau:

• Chia đa thức tìm phần nguyên và phần dư

• Gọi 2 điểm A, B sao cho phù hợp

o Nếu A ở nhánh bên phải thì ta nên gọi A có giá trị hoành độ là x=TCĐ+a

sau đó suy ra y , điều kiện (a> 0)

o Nếu B ở nhánh bên trái thì ta nên gọi B có giá trị hoành độ là x=TCĐ−b

sau đó suy ra y , điều kiện (b> 0)

• Sau đó tính AB và áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần như ở trên

 Chủ đề 8: Quỹ tích



Lý thuyết

Để tìm quỹ tích của 1 loại điểm nào đó ta thường làm theo các bước sau:

• Tìm điều kiện tồn tại quỹ tích theo tham số m

• Tính tọa độ quỹ tích ( ) ( )

( ) ( )







=

=

2 ,

1

m x g y

m f x

• Khử tham số m: Rút m ở (1) thế vào (2) suy ra y =h( )x

• Giới hạn quỹ tích từ điều kiện tồn tại của quỹ tích theo tham số m suy ra điều kiện

tồn tại quỹ tích theo biến x.

Chú ý: Khi tính tọa độ quỹ tích nếu 1 trong 2 biểu thức không chứa tham số ta sẽ kết luận

biểu thức đó là quỹ tích cần tìm

 Chủ đề 9: Tính đơn điệu của hàm số



Lý thuyết

Hàm số y= f( )x tăng ∀x∈D ⇔ y′ ≥ 0 , ∀x∈D

Hàm số y= f( )x giảm ∀x∈D ⇔ y′ ≤ 0 , ∀x∈D

Chú ý:

• Hàm nhất biến thì không có dấu “=”

• Cho tam thức bậc hai g( )x =ax2 +bx+c (a≠ 0)







<

≤∆

⇔

∈∀

≤

0

0 0

a

R x xg







>

≤∆

⇔

∈∀

≥

0

0 0

a

R x xg

Hàm số y= f( )x tăng trên (α,β)⊂D⇔ y′≥0,∀x∈(α,β)

Hàm số y= f( )x giảm trên (α,β)⊂D⇔ y′≤0,∀x∈(α,β)

Chú ý: Nếu việc xét dấu y′ là tam thức bậc 2 g( )x =ax2 +bx+c Khi đó ta xét các trường hợp sau:

số cụ thể với giá trị m vừa tìm được xem chúng có thỏa mãn bài toán hay không

 Nếu bài toán yêu cầu hàm số tăng ta xét







>

≤∆

0

0

a

 Nếu bài toán yêu cầu hàm số giảm ta xét







<

≤∆

0

0

a

2

1, x

x Đặt 2 số α , β vào các khoảng nghiệm x1, x2 sao cho thỏa mãn điều kiện bài toán rồi áp dụng công thức so sánh nghiệm của tam thức bậc 2

 Chủ đề 10: Tâm đối xứng – Trục đối xứng



Lý thuyết

 Tâm đối xứng

Chứng minh I(x0, y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y= f( )x

Đặt







+

=

+

=

0

0

y

Y

y

x

X

x

thế vào hàm số ban đầu y= f( )x ta được hàm số mới Y =G( )X

Chứng minh hàm số Y =G( )X là hàm số lẻ, tức là chứng minh G(−X)= −G( )X

Chú ý:

• Cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ có tọa độ là M1(x0,y0),M2(−x0,−y0)

• Cặp điểm đối xứng nhau qua trục hoành có tọa độ là M1(x0,y0),M2(x0,−y0)

• Cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung có tọa độ là M1(x0,y0),M2(−x0,y0)

 Trục đối xứng

a Chứng minh đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y= f( )x

Đặt







=

+

=

Y

y

x

X

thế vào hàm số ban đầu ta được hàm số mới Y =G( )X

Chứng minh hàm số Y =G( )X là hàm số chẳn, tức là chứng minh G(−X)=G( )X

b Chứng minh đường thẳng ( )d :y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y= f( )x

• Gọi d′ là đường thẳng vuông góc với d suy ra ( ) x b

a y

d′ : = −1 + ′

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của d′ và đồ thị

• Gọi A, B là giao điểm của d′ và đồ thị, I là trung điểm của AB ⇒

2

B A I

x x

• Gọi I’ là giao điểm của d và d′ ⇒ x I′

• Chứng minh x I = x I′ ⇒ I ≡ I′⇒ d là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN



Nguyên hàm

 Kiến thức cơ bản

F được gọi là nguyên hàm của f( )x ⇔ F′( ) ( )x = f x

Nếu f , g là hai hàm liên tục trên K thì

• ∫[f( )x +g( )x ]dx =∫ f( )x dx+∫g( )x dx

• Với mọi số thực k ≠ 0 ta có: ∫kf( )x dx=k∫f( )x dx