sáng kiến kinh nghiệm chuyên đề khảo sát hàm số phân thức

Trên cơ sở 20-30% số điểm của bài toán khảo sát hàm số và bài toán liên quan trong một đề thi tốt nghiệp THPT, bài toán hàm số phân thức là các bài toán đã có các bước tổng quát, cốt lõi

MỤC LỤC Trang

Phần 1 MỞ ĐẦU 02

1.Lý do chọn sáng kiến……… 02

2.Mục đích của sáng kiến……… 03

3 Phạm vi, đối tượng áp dụng của sáng kiến……… 03

4.Thời gian thực hiện và triển khai sáng kiến 03

Phần 2 NỘI DUNG……… 03

I Cơ sở lý luận của sáng kiến……… 03

II Thực trạng của sáng kiến……… 04

III Các biện pháp giải quyết vấn đề……… 05

IV Hiệu quả của sáng kiến……… 23

Phần 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

1 THPT (Trung học phổ thông)

2 PTTT (Phương trình tiếp tuyến)

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Bài toán khảo sát hàm số và các bài toán liên quan, luôn thể hiện tính đặc trưng , toàn diện về HÀM SỐ một khái niệm bao trùm phân môn đại số và giải tích Đối với học sinh trường THPT khi nhắc tới bài toán về hàm số phân thức, trong tiềm thức học sinh suy nghĩ tới vấn đề khảo sát, tiếp tuyến, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bài toán biện luận

(Vấn đề mà học sinh đang cảm thấy khó khăn khi làm được các dạng toán này) Bên cạnh đó thực trạng về đầu vào với nhiều học sinh yếu kém đang là một vấn đề khó khăn trở ngại rất lớn đối với giáo viên dạy ôn thi tốt nghiệp lớp 12

+ Trong học sinh luôn tồn tại một tiềm thức hàm số phân thức là hàm số khó.

+ Rất nhiều học sinh có đầu vào rất thấp, kiến thức của các em bị rỗng nhiều dẫn tới dù là phép biến đổi đơn giản nhưng lại khó khăn với các em Hoặc các em rất dễtính nhầm

+ Thực trạng cấu trúc một đề thi tốt nghiệp THPT gồm 20-30% số điểm là khảo sát

và các bài toán có liên quan

Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp, trực tiếp ôn thi tốt nghiệp cho các em

nhiều năm Tôi luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nhằm giúp các em đỗ tốt nghiệp THPT, vấn đề cốt lõi của 12 năm đèn sách Làm thế nào để học sinh của tôi không còn cảm thấy băn khoăn, trở ngại khi gặp các bài toán này nữa

Trước sự thay đổi của bộ GDĐT về kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học 2015-2016 nhằm trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản, quan trọng để các

em có kiến thức tốt nhất khi đi thi Trên cơ sở 20-30% số điểm của bài toán khảo sát hàm số và bài toán liên quan trong một đề thi tốt nghiệp THPT, bài toán hàm số phân thức là các bài toán đã có các bước tổng quát, cốt lõi của vấn đề là tư tưởng ngại tiếp cận với hàm số phân thức của một lượng lớn học sinh

Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếukém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về hàm số phân thức từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho mọi đối tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, là liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học tập và khảo thí Từ đó, tôi đã lựa chọn đề tài ": Chuyên đề khảo sát hàm số ''các bài toán liên quan tới hàm số phân thức'' mong muốn giúp học sinh yêu thích môn Toán, học sinh đang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp lồng ghép ĐH-CĐ trong một kỳ thi quốc gia năm học 2015-2016, làm tài liệu tham khảo để ôn luyện kiểm tra kiến thức của mình, vững vàng, tự tin, làm tốt các dạng bài tập liên quan tới hàm số phân thức

2 Mục đích của sáng kiến

- Nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số phân thức, học sinh biết quy từ bài toán lạ về các bài toán quen thuộc, từ đó có hướng giải cụ thể và đạt được kết quả cao trong học tập, nhất là trong kì thi tốt nghiệp THPT sắp tới

- Tổng hợp một số dạng bài tập cơ bản về các bài toán liên qua tới hàm số phân thức

- Giúp giáo viên, học sinh hệ thống thêm kiến thức về dạng toán này

- Tuyển chọn và sắp xếp bài toán theo trình tự hợp lý để giúp học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức

3 Phạm vi, đối tượng áp dụng của sáng kiến

- Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh trường THPT Nguyễn Lương Bằng chủyếu là học sinh khối 12

- Phạm vi nghiên cứu: Hệ thống một số dạng toán về hàm số phân thức trongchương trình THPT

4 Thời gian thực hiện và triển khai sáng kiến

- Thời gian thực hiện sáng kiến năm học 2014-2015 và năm học 2015-2016

- Thời gian triển khai sáng kiến, học kỳ 1 năm học 2015-2016

 (dấu của đạo hàm phụ thuộc vào tử số )

Như vậy từ bài toán hàm số phân thức ta quy về xét dấu của tử số ad bc là một biểu thức có giá trị luôn dương hoặc luôn âm ( biểu thức quen thuộc với học sinh )

 luôn luôn không có cực trị

Định hướng và kiểm tra bài toán về hàm số phân thức dựa vào dấu của số ad-bc

( điều này xác định được ngay khi chép xong đề bài)

2 Cơ sở lý luận.

Trong chuyên đề chủ yếu tổng hợp các dạng toán cơ bản về hàm số phân thức để trong chương trình sách giáo khoa, thi tốt nghiệp THPT và Đại học,cao đẳng, trung học chuyên nghiệp

Trước thực tế học sinh không phân loại được các kiến thức liên quan tới các bài tập về hàm số phân thức tại trường THPT Nguyễn Lương Bằng, thì tổng hợp cho học sinh các dạng toán này tạo cơ sở cho học sinh tích lũy và phát huy khả năng vận dụng của mình khi làm toán

Sáng kiến kinh nghiệm cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh

có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên

Sau khi khảo sát việc làm các là các bài toán trong phần khảo sát hàm số về hàm số phân thức để áp dụng sáng kiến dạy cho học sinh đầu năm học 2015-2016 cho học sinh các lớp 12A2,12A4,12A6 trường THPT Nguyễn Lương Bằng nhận thấy tỷ lệ như sau:

Không nhận biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biếtvận dụng, giải được bài hoàn chỉnh

- Đa số học sinh kiến thức cơ bản còn chưa nắm vững, áp dụng vào tính toán với

kỹ năng còn chưa được tốt

3 Số liệu thống kê

Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến hàm số bậc nhất trong khảo sát hàm số số lượng học sinh các lớp 12A1,12A3,12A4 năm học 2014-2015 trường THPT Nguyễn Lương Bằng biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:

Không nhận biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giảiđược hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh

ra phương pháp dạy tối ưu trong chuyên đê khảo sát hàm số phân thức, phân loại thành các dạng khác nhau từ dễ đến khó để phù hợp với đối tượng học sinh

Trong mỗi dạng có phương pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống bài tập hợp lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tậphứng thú cho học sinh

2- Nội dung trọng tâm của sáng kiến

- Phân loại rõ ràng các bài tập khảo sát hàm số liên quan tới hàm bậc nhất trong chương trình THPT

- Tổng hợp các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao áp dụng cho thi tốt nghiệp THPT, Đại học, cao đẳng

3 Các bài toán khảo sát hàm số, hàm số phân thức

3.1 Vận dụng sáng kiến vào phần ‘Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ

+ Tính f a( ) ?; ( ) ?  f b 

Như vậy với bài toán trên đòi hỏi học sinh cần làm chính xác ba bước cụ thể

đã nêu ở trên Học sinh chỉ cần sai một trong ba bước coi như bài toán sai hoàntoàn, để hướng dẫn cụ thể cho học sinh làm bài toán trên tôi đã vận dụng một sốđiều sau vào quá trình giảng dạy

- Một là nhắc học sinh phải đưa hàm số về dạng tổng quát trước khi thực hiệntừng bước của bài toán, nếu không học sinh tính đạo hàm rất dẽ nhầm

- Hai là cần hướng dẫn học sinh tính chính xác đạo hàm của hàm số bằng cáchviết thẳng hàng các hệ số trong hàm số và lập một định thức ra nháp a b

c d từ đó xácđịnh được dấu của đạo hàm

- Ba là khi tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút f a f b( ); ( ) so sánh và suy rakết luận, học sinh tính bình thường lưu ý ‘ chỗ nào có x trong hàm số thay bằng ahoặc b’

- Bốn là nếu gặp bài toán cho dưới dạng f x( ) mx n ax b

f f

f f

f f

 có đồ thị ( )C .Viết phương trình tiếp

tuyến với đồ thị ( )C tại điểm M x y( ; ) 0 0 thuộc ( )C

Về cơ bản học sinh cần nắm được phương trình tiếp tuyến tại M x y( ; ) 0 0 thuộc

( )C có dạng: f x( ) k x x(  0 ) y0 Nhưng khi giải quyết vấn đề học sinh thường mắc

ở một số điều sau

+ Đề bài chỉ cho 1 trong 3 dữ kiện x y k0 ; ; 0

+ Bài toán viết phương trình tiếp tuyến này được học ở cuối kì II lớp 11, vìthế đa số học sinh khối bổ túc đã quên, hoặc nhớ một cách không có hệ thống

Để hướng dẫn học sinh làm bài toán này tôi có áp dụng một số sáng kiến sau

- Một là học sinh cần nắm được vai trò của ba dữ kiện x y k0 ; ; 0 là như nhau,nhưng bên cạnh đó có dữ kiện x0 là quan trọng nhất vì: Nếu cho x0 ta hoàn toàn cóthể tìm được hai dữ kiện còn lại nhờ vào mối quan hệ toán học sau:

0 ( )0 ( )0

y y x k y x

- Hai là học sinh cần đánh số các dữ kiện x y k0 ; ; 0 lần lượt là 1,2,3 ( từ giờ trở

đi ta tạm gọi là 1,2,3) khi đó học sinh sẽ xác định rõ đề bài cho khuyết dữ kiện nào?Khuyết như vậy thì tìm ra sao? Và phải tìm đầy đủ cả ba dữ kiện mới có thể viếtđược phương trình tiếp tuyến

- Ba là khi phân tích đề bài học sinh gạch chân các từ ngữ quan trọng trong đềbài, giúp học sinh xác định yếu tố đã biết, yếu tố cần tìm.

- Bốn là bài toán này hoàn toàn độc lập với bài toán khảo sát, vì vậy trước khigiải bài toán này học sinh cần: Viết lại biểu thức hàm số đề bài, viết lại biểu thứcđạo hàm, có như vậy học sinh tính toán các giá trị mới hạn chế sai sót một cách tốiđa

Ví dụ: Cho hàm số 3

1

x y x





 có đồ thị ( )C

a) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại M(1; 1) 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại điểm có tung độ bằng 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C biết tiếp tuyến song song với đườngthẳng y 4x 3

Giải: + Gạch chân các từ cần thiết trong đề bài

a) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C tại M(1; 1)  ( như vậy là đã biết yếu tố

c)Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C biết tiếp tuyến song song với đườngthẳng y 4x 3 ( tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x 3 như vậy đã gián

tiếp cho ta hệ số góc k 4, đây là yếu tố 3 Ta cần xác định yếu tố 1 và 2)

( dẫn tới kết luận hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

- Một là ghi TXĐ ra nháp và ghi nhớ giá trị d

c



, giá trị này sẽ xuất hiện ởTXĐ, dấu của đạo hàm, khoảng đồng biến và nghịch biến, tiệm cận đứng, bảngbiến thiên

- Hai là hướng dẫn học sinh kiểm tra nhanh kết quả phần giới hạn suy ra tiệmcận đứng bằng việc ngầm quy ước: Khi tính đạo hàm nếu

- Ba là chính việc quy ước trên cũng giúp học sinh kiểm tra tính đúng sai củabảng biến thiên

- Bốn là khi vẽ đồ thị học sinh cần vẽ theo thứ tự từng bước:

B1 Xác định giao điểm của đồ thị với trục tung bằng cách cho x 0 tìm y ? mà

tôi vẫn thường hướng dẫn học sinh là che phần chứa x trong hàm số đi còn lại sẽ lày: Ta được giao điểm A(0; )b

d

B2 Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành bằng cách cho y 0 tìm x ? màtôi vẫn thường hướng dẫn học sinh là che phần mẫu số đi, giải phương trình tử sốbằng 0: Ta được giao điểm B( b;0)

a



B3 Đồ thị hàm số nhận giao của hai tiệm cận I( d a; )

c c

 làm tâm đối xứng, tôi vẫn

thường nhắc học sinh lấy giá trị trong phần tiệm cận, x và y đúng thứ tự tiệm cậnđứng và tiệm cận ngang

Ví dụ : Khi hướng dẫn học sinh làm bài toán khảo sát sau

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 3

1

x

+ Tôi yêu cầu học sinh giải phương trình mẫu số bằng 0 để suy ra TXĐ

+ Lập và tính định thức a b c d để suy ra đạo hàm của hàm số (nếu định thức tínhđược là số dương thì đạo hàm dương và ngược lại)

+ Từ dấu của đạo hàm học sinh có kết luận về khoảng đồng biến nghịch biến, cựctrị và các giới hạn phù hợp.

+ Khi vẽ đồ thị theo kinh nghiệm tôi cho học sinh thực hiện đúng ba bước như trìnhbày ở bài tập dưới đây

1 2 3 4 5

x y

Một số lưu ý để không bị mất điểm câu khảo sát hàm hữu tỉ:

- Hệ trục tọa độ, tiệm cận và nhánh đồ thị phải được vẽ trọn vẹn và bằng nhau

- Nhánh đồ thị phải đối xứng qua tiệm cận (thể hiện tính đối xứng qua giao điểm 2 đường tiệm cận)

- 2 Mút của một nhánh đồ thị phải có xu hướng chạm vào đường tiệm cận không được lồi lõm, 2 đầu mút không được cong rời ra khỏi đường tiệm cận.

3.2 Tổng hợp bài tập theo các dạng toán

a) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 1 Cho hàm số y mx

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng

( � ;1).

 Tập xác định: D = R \ {–m} y m

x m

2 2

Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng( � ;1)thì ta phải có  �m 1 m 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y  x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m





 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I( 1;1)  và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

Mặt khác: x M x N    2 2x I � I là trung điểm MN với  k 0.

Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k   1 với k 0.

Câu 4 Cho hàm số 2 2

1

x y x





 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m để đường thẳng (d): y 2x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B  (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác –1

m

x x m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1

2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2  cắt đồ thị

hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB 2 2

 PT hoành độ giao điểm: x x x m





 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m để đường thẳng d: y x m  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B saocho OAB vuông tại O

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x2 (m 3)x   1 m 0, x� 1



 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đốixứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

 Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a�  2 thuộc (C) có phương trình:

a

a a

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trụchoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tạigốc tọa độ O

 Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm  y x

tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: y x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cậncủa (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếptuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trịnhỏ nhất

 Giao điểm của 2 tiệm cận là I (1;2) Gọi M 

3 2

;

0 0

6 2

; 1

2 1

6

0

0 0

x x

x

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M11  3;2  3, M21  3;2  3

Khi đó chu vi AIB = 4 3  2 6.

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P =

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đếntiếp tuyến bằng 2

 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 �C có phương trình:

y f x x x '( )(0  0)  f x( )0  x (x0 1)2y 2x02 2x0  1 0 (*) Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 x

x

0 4 0





 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

 Gọi M(0; )y o là điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y kx y  o (d)

( 1) ( 1)