Cong Thuc Giai Tich 12

3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn t[r]

1

KHẢO SÁT HÀM SỐ:

1 Hàm bậc ba : y = ax 3 +bx 2 +cx+d:

 Miền xác định D=R

 Tính y’= 3ax2

+2bx+c

 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)

 tính y’’ tìm 1 điểm uốn

 bảng biến thiên

 điểm đặc biệt (2điểm)

 đồ thị (đt)

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:

- để hs tăng trên D



















0

0 0

'

'

y

a y

- để hs giảm trên D



















0

0 0

'

'

y

a y

- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb

- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép

- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị

- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3

+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0

có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox

2 Hàm trùng phương : y = ax 4 +bx 2 +c:

 Miền xác định D=R

 Tính y’

 y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị

 bảng biến thiên

 điểm đặc biệt (2điểm)

 đồ thị

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:

- đt nhận oy làm trục đối xứng

- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D  y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)

- để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb

- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0 ; P>0 ; S>0

- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet

2

3 Hàm nhất biến

d cx

b ax y







 Miền xác định D=R\d c

 Tính '  2

d cx

bc ad y





 (>0, <0)

 TCĐ xd c vì lim  0



c

x

 TCN y  a c vì

c

a y





lim

 bảng biến thiên

 điểm đặc biệt (4điểm)

 đồ thị

- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

4 Hàm hữu tỷ

e dx

x e

dx

c bx ax y















chia bằng Hoocner

 Miền xác định D=R\  e d

2

2

.

e dx

p nx mx

e dx

d













 y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có

 TCĐ

d

e

x   vì lim  0



d e

x

 TCX y   x   vì lim 0





x



 bảng biến thiên

 điểm đặc biệt (4điểm)

 đồ thị

* Một số kết quả quan trọng:

- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

- có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN

- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là

d

b ax

y i  2 i 

và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị

- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb

* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:

1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)

@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x)

tính: y’=

y’(x0)=

pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0

@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước

ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x0)+y0

3

 pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a

 pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a

@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x)

ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+y0

để d là tt thì hệ sau có nghiệm:















(2)

(1)

k x

f

y x x k x

f

) (

'

) (

)

thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay

vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên

2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y = g(x)

+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)

đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:











(x) ' ) ( '

) ( ) (

g x f

x g x f

từ đó tìm điểm tiếp xúc x

3/ đơn điệu: cho y = f(x) ; đặt g(x) = y’

a/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,+)  a>0 ;   

a

b

2 ; g()0

b/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,+)  a<0 ;  

a

b

2 ; g()0

c/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,)  ag()0 ; ag()0

{áp dụng cho dạng có m2}

d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng

m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))

e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì

 tăng trên (,+) y’0 ; x0

 giảm trên (,+) y’0 ; x0

4 Cực trị:

* y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)

* y=f(x) có cực đại tại x0   

 











0 '

0 '

0

0

x y

x y

* y=f(x) có cực tiểu tại x0  

 









 0 '

0 '

0

0

x y

x y

1 T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Tập xác định D = R

 Tính y/

Để hàm số có cực trị thì y/

= 0 có hai n0 pb















0 0

a

4

2 T.Hợp 2: Hàm số / /

2

b x a

c bx ax y









Tập xác định













 \ //

a

b R D

Tính

b x a

x g y





Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/

= 0 có hai nghiệm pb thuộc D





















0 ) (

0 / / /

a

b g

g

5 GTLN, GTNN:

a Trên (a,b) Tính y’

 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )

 KL:  

;

a b y  y ,

 ; 

min CT

b Trên [a;b] Tính y’

 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0    a b ;

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)

Chọn số lớn nhất M KL:max ; 

a b y  M

Chọn số nhỏ nhất m , KL:min ;

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y f x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x 0 ;y0   C

 Tính đạo hàm và giá trị f' x0

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 xx0 y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x 0 ;y0   C có hệ số góc k f ' x0

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình: f ' x k, tìm nghiệm x0 y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: yk x x0y0

Chú ý: Cho đường thẳng  :AxBy C 0, khi đó:

5

 Nếu d//   d :yaxb hệ số góc k = a

 Nếu d   d :yaxb hệ số góc 1

k a

 

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x A;y A   C

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d :yk x x A y A

 Điều kiện tiếp xúc của    d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:    

 

'

A A









Tổng quát: Cho hai đường cong  C :y f x  và  C' :yg x  Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm    

   







Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sô y f x ,đồ thị là (C) Các vấn đề về cực trị cần nhớ:

 Nghiệm của phương trình f ' x  0 là hoành độ của điểm cực trị

 Nếu  

 

0 0

f x







 thì hàm số đạt cực đại tại xx0

 Nếu  

 

0 0

f x







 thì hàm số đạt cực tiểu tại xx0

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

 Để hàm số y f x  có 2 cực trị

'

0 0

y

a



  

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành y CĐ.y CT  0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung x CĐ.x CT  0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

CĐ CT

CĐ CT



 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0

CĐ CT

CĐ CT



 Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành y CĐ.y CT  0

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Dạng 1: hàm số 3 2

yax bx cxd

Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực

trị

6

Dạng 2: Hàm số

2

y

dx e





Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng  

 

2

' 2 '



Cho hàm sô y f x có tập xác định là miền D

 f(x) đồng biến trên D  f' x 0,xD

 f(x) nghịch biến trên D  f' x 0,xD

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:   2

f x ax bxc

1 Nếu   0thì f(x) luôn cùng dấu với a

2 Nếu   0thì f(x) có nghiệm

2

b x a

  và f(x) luôn cùng dấu với a khi

2

b x a

 

3 Nếu   0thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a

So sánh nghiệm của tam thức với số 0

* 1 2

0

0

S

 





 



* 1 2

0

0

S

 





 



* x1  0 x2 P 0

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG

Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ

thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm của

(C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)

(1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung

(1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

(1) có nghiệm đơn x1  (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)

(1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0)

7

Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các công thức về khoảng cách:

Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):   2 2

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  :AxBy C 0 và điểm

M(x0;y0) khi đó   0 0

d M

 

Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:

Từ hàm số y f x m ,  ta đưa về dạng F x y , mG x y , Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình  

 

F x y

G x y







Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) y f x  có đồ thị (C’) y f x có đồ thị (C “)

  0,

y f x   x D Do đó ta phải

giữ nguyên phần phía trên trục Ox

và lấy đối xứng phần phía dưới

trục Ox lên trên

 

y f x có f   x  f x ,

  nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối xứng

qua trục tung Oy

f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y (C)

f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y (C')

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5

x

y (C'')

Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ

1 Cho hàm số  : 2

x







a Khảo sát hàm số

b Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

2

k x





8

f(x)=(x^2+x)/(2x-2)

x(t )=1 , y(t )=t

f(x)=x/2+1

-8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t )=1 , y(t )=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1

-8 -6 -4 -2

2 4

x y

2 Cho hàm số   2 3 3

:

1

x



a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

1

m x



f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)

x(t)=-1 , y(t)=t

f(x)=x+2

-10 -8 -6 -4 -2

2 4

x y

f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2

-10 -8 -6 -4 -2

2 4

x y

3 Cho hàm số   4 2

:

1

x







a Khảo sát hàm số

b Định m để phương trình 2  

x  m x  m có bốn nghiệm phân biệt

f(x)=(4x-x^2)/(x-1)

x(t)=1 , y(t)=t

f(x)=-x+3

-10 -8 -6 -4 -2

2 4

x y

f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3

-10 -8 -6 -4 -2

2 4

x y

4 Cho hàm số   2 1

:

2

x

 



1 Khảo sát hàm số

2 Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2  

x  m x  m 

9

5 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2

y x  x  x

b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 3 2

2x  9x  12x m (ĐH Khối A2006)

f(x)=2x^3-9x^2+12x

-8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)

-8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm I x 0 ;y0là tâm đối xứng của đồ thị  C :y f x  Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:

   0 0

' 2 ' 2



' 2



Vậy I x 0 ;y0 là tâm đối xứng của (C)  f x  2y0  f2x0 x

Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

1 Định nghĩa:

(d) là tiệm cận của (C)

 

 

0







C M

M MH

2 Cách xác định tiệm cận

a Tiệm cận đứng: lim    : 0

0

x x d x

f

x x









b Tiệm cận ngang: lim f x y0  d :y y0

x









c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ trong

đó:

  f x x

x

x f

x







Các trường hợp đặc biệt:

6

4

2

-2

-4

y

x

( d)

( C)

h y   = 0

g x   = 0

f x   = 1.7 x

H M

10

*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)

n mx

b ax y







+TXĐ: D= R\













m n

m

n x d y

m

n x















: lim

m

a y d m

a y

x









lim

f(x)=x/(x-1)

f(x)=1

x(t)=1 , y(t)=t

T ?p h?p 1

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x

y

I

* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)

 

n mx

A x

n mx

c bx ax y















+TXĐ: D= R\













m n

m

n x d y

m

n x















: lim

+TCX: lim  0





 mx n

A

x  TCX: y=x+ f(x)=x^2/(2(x-1))

f(x)=x/2+1/2 x(t)=1 , y(t)=t

T ?p h?p 1

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x

y

I

Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)

a Diện tích

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai

đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:

   

b

a

S  f x g x dx

Chú ý:

Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b

ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b

b Thể tích

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

được tính bởi công thức:      

b

a

dx x f

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức:

 

 





d

c

dy y

Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x) g(x),

x[a;b]) được tính bởi công thức:            

b

a

dx x g x f

x

y

O

f(x)

g(x)

b

a

x

y

O

f(x)

(x)

b

a

y

d

O

11

TÍCH PHÂN

I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

b

a

I   f x dx,

*Phương pháp đổi biến dạng I

Định lí Nếu 1) Hàm x  u t ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn    ; ,

2) Hàm hợp f u t ( ( )) được xác định trên    ; ,

3) u ( )   a u , ( )   b, thì '

( ) ( ( )) ( )

b

a

I f x dx f u t u t dt





Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a2  x2, a2  x2 và x2  a2

(trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác

để làm mất căn thức, cụ thể là:

2 2

x  a t t      

  hoặc x  a cos , t t   0;  

2 2

 

x a t t hoặc x  acott t ,   0;  

a

t

 

a x

t

2

t     

 

 

*Phương pháp đổi biến dạng II

Định lí :Nếu hàm số u  u x ( ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn   a b ; sao cho

'

f x dx  g u x u x dx g u du thì

( )

( )

u b b

I   f x dx  g u du

2.Phương pháp tích phân từng phần

Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên   a b ; thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

b

a

12

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

udv  uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv  v x dx'( )

( )

v dv  v x dx

vdu  vu dx

uv

a

 Bước 5: Áp dụng công thức trên

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv  v dx'

thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v dx' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

 Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )





 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số:

, cos , sin

ax

'

( ) ( )

du P x dx

u P x







 Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )





 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt

 

'

( )

du Q x dx

u Q x

dv P x dx v P x dx









( )

b

x

a

P x e dx

b

a

b

a

b x a

e xdx



e