CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNITZ VÀ TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN. [r]
Trang 1TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa
Nếu hàm số f x liên tục trên a b; và F x là một nguyên hàm của f x trên
;
a b
thì
b x b
a a
f x d F x F b F a
Tên gọi
b x
a
f x d
đọc là : “ Tích phân từ a đến b của f x d x”
a và b gọi là hai cận tích phân , trong đó a là cận dưới và b là cận trên
(*) gọi là công thức Newton-Leibniz
2 Tính chất
m f x n g x dx m f x dx n g x dx
f x dx f x dx g x dx
c b a
f x dx f x dx
ln(x 1)dx ln(x 1)dx
a
a
f x dx
2
ln(x 1)dx 0
VẤN ĐỀ 1
CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNITZ
VÀ TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
A PHƯƠNG PHÁP
a Nếu hàm số f x liên tục trên a b; và F x là một nguyên hàm của f x trên
;
a b
thì b x b
a a
f x d F x F b F a
m f x n g x dx m f x dx n g x dx
Trang 2c b
a
f x dx f b f a
d ,
f x dx f x dx f x dx c a b;
e b a
f x dx f x dx
B VÍ DỤ
Ví dụ 1 Tính
0
2sin cos
Lời giải
0
0
2 sin cos
2 cos sinx
=
0 ( ) (0)
x
b
b a a
f x d F x F b F a
2 cos sin 2 cos 0 sin 0 (2 0) ( 2 0) 4
I I
Ví dụ 2 Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 0; 3, f 0 4 và f 3 1 Tính
3
0
f x dx
Lời giải
f x dxF x C F x f x
Do đó:
* f x dx' f x C
* f'' x dx f x' C
0 0
Ví dụ 3 Cho 1
0
6
f x dx
1
3
f x dx
0
I f x dx
Lời giải
f x dx f x dx g x dx
;
c a b
,
f x dx f x dx f x dx
1 0; 4
Trang 3Ví dụ 4 Cho 1
0
3
f x dx
0
5
g x dx
0
I f x g x dx
Lời giải
m f x n g x dx m f x dx n g x dx
0
I f x g x dx
1 1
2 ( ) 7 g( )
2.3 7.5 29
I
Ví dụ 5 Cho 3
2
4
f x dx
2 2
2
I x f x dx
Lời giải
m f x n g x dx m f x dx n g x dx
I x dx f x dx
3 3 3
2 2
3
x
I
Ví dụ 6 Cho hai tích phân
1 3
0 2
x
x
1 0
1 2
x
Tính I8J
Lời giải
1 3 1
2
1
3 2
0
1 8
x
x
Trang 4Ví dụ 7 Cho hai tích phân
2 2
0 1
x x
e
e
2 0
1 1
x
e
Tính I J
Lời giải
2 2 ( )( )
a b a b a b
2 2 2
2 0
1
( 1)
x
x
x
e