CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

- Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị... b Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị... b Hàm số có hai cực trị cùng dấu... b Viết phương trình đ

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM

CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)

 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Quy tắc 1:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x'( ) Tìm các điểm tại đó f x'( )bằng 0 hoặc f x'( ) không xác định.

- Lập bảng biến thiên

- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x'( ) Giải phương trình f x'( ) 0  và ký hiệu x i i 1, 2,3, là các nghiệm của

nó.

- Tính f � x và f� x i

- Dựa vào đấu của f� x i suy ra tính chất cực trị của điểm xi

LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y 3x2  2x3

2

x x y

x





e) y x2  2x 5

x

y  x 

d) y x x 2  4

f) y x  2x x 2

Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f x   x x 2

c) f x     x sin 2 x  2

b) f x    2sin 2 x  3

d) f x     3 2cos x  cos 2 x

GIẢI

a) TXĐ: D=R

  x x  22 voi x.. 00

f x

x x voi x

�

 �

�

 Với x 0: f x�  2x 2 0 (vì x 0)

 Với x 0: f x�    2x 2, f x�  0� x 1

Bảng biến thiên: x 0, f x�   0

x � -1 0 �

y� + 0 - +

y 1 0

Kết luận:

o Hàm số đạt cực đại tại x  1, f CD  f    1 1

o Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, f CT  f  0  0

b) TXĐ: D=R

  4cos 2

, k ��

8sin

voi k n

voi k n

��  �  �  � �  

Kết luận:

 HS đạt cực đại tại

4

4

CD

f  f �� n�� 

 HS đạt cực tiểu tại 2 1

x  n 

, 2sin 3 2 3 2 3 5

2

CD

f  ��  n��     

c) TXĐ: D = R

  1 2cos 2

Tính: 4sin 2 2 3 0

f��� k�� �� k �� 

 

 

� là điểm cực tiểu

f���  k�� ��  k ��  

 

  

� là điểm cực đại Kết luận:

+ Hàm số đạt cực đại tại

6

2

CD

f  f ��   k��    k  

+ Hàm số đạt cực tiểu tại

6

2

CT

f  f �� k��   k  

d) TXĐ: D=R

  2sin 2sin 2 2sin 4sin cos 2sin 1 2cos 

x

f x



  2cos 4cos 2

f�x  x x

Xét:

+ f k�    2cosk 4cos 2k  2cosk  4 0

� HS đat cực tiểu tại các điểm x k  ,

CT

+ 2 2 2cos2 4cos4 2 1 4 1 3 0

f����  k ��     � � � �� � � �     

� HS đat cực đại tại các điểm 2 2

3

x� k 

2 3 2cos cos

CD

f  f ��� k ��     

 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Lưu ý:

1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f x ax3 bx2  cx d ta làm như sau:

 

Ax B

Gọi xi là nghiệm của pt f x�   0 (xi là các điểm cực trị)

0

f x Ax B f x x 



�

  12 3  

f x x 

�

Trong đó x  là phần dư của phép chia   

 

f x

f x� Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y x

( Vì toạ độ của điểm cực trị M x y ; thoả pt f x�   0, nên từ (*) ta suy ra

y x )

2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

 

 

ax bx c

y

a x b v x

 

       

u x v x u x v x y

v x

� 

� �

       

y� �u x v x� u x v x�  (1)

Gọi xi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:

       i i i i 0

u x v x� u x v x�   

 i i    i i

u x u x

v x v x

�



�

�

Các giá trị cực trị là:

i

y x

Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2ax b

y

a





�

Bài 1: Cho hàm số: ym2x3mx2

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu

TXĐ: D =�

Đạo hàm: y�3m2 x2 m

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y� vô nghiệm hoặc có nghiệm kép0

�  �0 � 0 4.3 m m  �2 0 � 0� �m 2

Bài 2: Cho hàm số: 1 3 2  2 

3

y x mx  m  m x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1

GIẢI

TXĐ: D =�

Đạo hàm: y� x22mx m 2 m 1

y� 2x2m

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1  

 

1 0

1 0

y y

�

�

� �

� 

� � 2 3 2 0

m

�

�

1

m

�

� 

� Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x 1

Bài 3: Cho hàm số y x 3 3x2  3x 2

a) Tìm cực trị của hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

GIẢI a) TXĐ: D =�

Đạo hàm: y�x26x3

Cho 0 2 2 1 0 1 2

x

x

�  

 

� Chia f x  cho f x�  , ta được:

f x  x  x ��x �� x

Giá trị cực trị là: f x 0  4x0 1

f

f

�

� �

�

�

Lập bảng biến thiên � CĐ, CT

b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y   4x 1

Bài 4: Cho hàm số y x 3 6x23m2 x m 6

Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu

GIẢI a) TXĐ: D =�

Đạo hàm: y�3x212x3m2

Cho y�  0 � x2  4x m   2 0 (*)

 

�

Để hàm số có 2 cực trị thì:  �0� 2 m 0� m 2

b) Chia f x  cho f x�  , ta được:

f x ��x  x m ��� ��x ���  x mx m 

� giá trị cực trị là:

 0 4 0 2 0 2 2 0 2 2  2 2  0 1

f x   x  mx   m x m   m m x 

Gọi x1, x2là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu � f x   1 f x2 0

m2 2  x1 1 m2 2  x2  1 0

�

  2   

�

m x x  x  x  

�

 2   

m x x  x  x  

Mặt khác: 1 2 12

4 3

x  x  , x x1 2  m 2

Do đó (1)   2 

m � m   �

  2 

�

17 4 2

m m

�  

�

� �

� �

�

Kết hợp với điều kiện có cực trị m  2, ta được: 17

2

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x12x2 1

GIẢI

TXĐ: D =�

Đạo hàm: y�mx2 2m1 x3m2

Hàm số có 2 cực trị

0

m

�

�

� �

�

�

2

0

m

�

�

0

m

m

�

�

�

� �

�

�

(*)

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y�0 thì:

 

1 2

1 2

1 2

2

m

m m

x x

m

�

�

�



�  

�

�



�

�

Từ (1) và (2) x1 3 4

m

 

m

  

Thay vào (3) 2 4 3 2



2

3

� � (Nhận so với điều kiện)

Vậy: 2 2

3

Bài 6: Cho hàm số: 3 2

y  mx (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m

GIẢI

TXĐ: D =�

Đạo hàm: y� x2 x m

Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x m 

0

y� 

� có 2 nghiệm x1, x2 thỏa m x 1 x2

 

0 0 2

y m

s

m

�

� 

�

� �

�

� 

�

2

1 2

m

m

�

�

�  

� �

�

�

1 4

1 2

m

m

� 

�

�

�

�

� m 2

Vậy � m   2

Bài 7: Cho hàm số: y f x  2x33m1x26m2 x1 (1)

Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y    3 x 4

TXĐ: D =�

Đạo hàm: y�6x26m1 x6m2

Cho y�  � 0 x2 m1 x m 2 0

Hàm số (1) có cực trị  2  

     



� ۹ Lấy (1) chia cho 16 f x�  ta được:

1

6

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y  m x m  m (d)

Để (d) song song với đường thẳng y    3 x 4 thì:

m

Bài 8: Cho hàm số: 2 3 5

2

y

x



 a) Tìm cực trị của hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

GIẢI a) TXĐ: D � \  2

Đạo hàm:

2

2

2

y

x

�

x

x

�   

  

� Giá trị cực trị là:

0

1

o

y x

v x

�

 2 3 1 2 3

y      , y 2 3   1 2 3

Lập bảng biến thiên � CĐ, CT

b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y  2 x  3

Bài 9: Cho hàm số:

2

y

x m



 m� 0 Tìm m để hàm số:

a) Có cực đại và cực tiểu

b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

GIẢI a) TXĐ: D � \ m

Đạo hàm:

2

2

y

x m

�

y� � x  mx m  m (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu � (1) có 2 nghiệm phân biệt

�

b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:

y�0 có 2 nghiệm phân biệt

Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm)

y y

m m

�

�

 

�

1

y

x



 Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu

GIẢI

TXĐ: D � \ 1 

Đạo hàm:

2

2

1

y

x

�

2

y� �mx  mx m  Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi

y�0 có 2 nghiệm phân biệt

y 0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)

2

y y

m

�

�

 

�

1

4

4 0

m m

�

� 

� Vậy 1

4

m 