CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Mục lục §1.. Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này: 0 Điểm cực đại của f Giá trị cực đại cực đại của f Điểm cực

Trang 1

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tổng hợp dạng và các bài toán liên quan

Lovebook.vn sưu tầm và giới thiệu

29/10/2013

Phạm Hồng Phong

Trang 2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Mục lục

§1 Các phương pháp tìm cực trị 2

A Tóm tắt lý thuyết 2

B Một số ví dụ 3

C Bài tập 5

D Đáp số 5

§2 Cực trị của hàm bậc ba 7

C Bài tập 10

D Đáp số 11

§3 Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương 12

C Bài tập 15

D Đáp số 15

Trang 3

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

§1 Các phương pháp tìm cực trị

A Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm cực trị của hàm số

Cho f D:  và x0D

 

0

;

 





  

 

0

;

 





  

c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

0

Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f

Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm f có đạo hàm tại x Khi đó: nếu 0 f đạt cực trị tại x thì 0 f ' x0 0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a) Quy tắc 1

b) Quy tắc 2:

  

 

0









  

 

0









Trang 4

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4

3

' 2 3

y x  x , 'y 0  x 1 hoặc x3 Bảng biến thiên:

+∞

-∞

f x

-23 3 3

+∞

3 -1

-∞

x

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại tương ứng là y  1 3; hàm số đạt cực tiểu tại x3, giá trị cực tiểu tương ứng là

3

Ví dụ 2 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y x x 2

2 2

2 ' x 2 x x



    (x0)

Ta thấy với mọi x0, dấu của y' chính là dấu của tam thức bậc hai x2x Nên ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

+∞

-∞

y

0 1

+∞

0 -1

-∞

đại tương ứng là y  1 1; hàm số đạt cực tiểu tại x0, giá trị cực tiểu tương ứng là y 0 0

Ví dụ 3 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4

3

y x x  x

Trang 5

 2

' 2 3

y x  x , y'0  x 1 hoặc x3

 y"2x2,

+) y"    1 4 0  hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại tương ứng là

 1 3

+) y" 3  4 0  hàm số đạt cực tiểu tại x3, giá trị cực tiểu tương ứng là

3

7

y  

Ví dụ 4 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y x sin 2x2

 y' 1 2cos 2  x, y'0  1

2

cos 2x  2 2

3

x   k 

6

x   k

(k )

 y"4sin 2x,

y k   k 

6

x  k

 

y    k   k  

6

x  k

y  k   k  

 

Ví dụ 5 [SGK] Tìm a , b, c sao cho hàm số yax3bx2 cx d đạt cực tiểu tại điểm x0,

 0 0

y  và đạt cực đại tại x1, f  1 1

y  ax  bx c Từ giả thiết suy ra

 

' 0 0

0 0 ' 1 0

1 1

y y y y





















0 0

1

c d





 



   



    





2 3 0 0

a b c d

 



 



 



 



Trang 6

2 3

y  x  x , y' 6x26x, y" 12x6 Ta có y" 0  6 0  hàm số đạt cực tiểu tại x0, y" 1   6 0  hàm số đạt cực đại tại x1 (thỏa mãn) Vậy a 2, b3,

0

c , d 0

C Bài tập

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số

1) y2x39x212x3;

5 3 4 5

y  x  x  x ;

3) y3x44x324x248x3;

2

y x

x

  

 ;

5)

2

4

y

x

 



 ;

4

x

y

x



 ;

7) yx 3x;

8) yx22 x 2;

9) ysin2x 3 cosx;

10) y2sinxcos 2x

Bài 2 Tìm a , b, c để hàm số yx3ax2bx c đạt cực tiểu tại x1, y 1  3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Bài 3 Tìm p , q sao cho hàm số

1

q

y x p

x

  

 đạt cực đại tại điểm x 2 và y   2 2

D Đáp số

Bài 1 Error! Reference source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm x1, y 1 8 và đạt cực tiểu tại điểm x2, y 2 7; Error! Reference source not found Hàm số nghịch biến trên nên không có cực trị; Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại x 2,

y    và x2, y 2 13, đạt cực đại tại điểm x1, y 1 20; Error! Reference

source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1, y   1 7 và đạt cực tiểu tại điểm

5

x , y 5 5; Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1,

 1 5

y  và đạt cực đại tại điểm x4, y 4 2; Error! Reference source not found Hàm số

đạt cực tiểu tại điểm x 2,   1

2 4

y    và đạt cực đại tại điểm x2,   1

4 4

Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1, y 1 5 và đạt cực đại tại điểm

4

x , y 4 2 Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại x 2,

Trang 7

2

4

y    , đạt cực đại tại điểm x2,   1

2 4

đạt cực tiểu tại các điểm x2k, y2k 2 3 và x  2k, y2k 2 3 Hàm

6

x  k

y  k

2

x  k

2

y k

 

   ,

2 3

2

y  k

 

y k

5

2

6

x   k

  Bài 2 a3, b 9, c2 Bài 3 p q 1

Trang 8

§2 Cực trị của hàm bậc ba

1 Điều kiện có cực trị

 Hàm số có cực trị  hàm số có hai cực trị   C có cực trị   C có hai điểm

cực trị  y' có hai nghiệm phân biệt

 f không có cực trị   ' 0

2 Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức y cho y' để có:

  '

Từ đây suy ra:

 : yax b là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của  C

Ví dụ 1 Tìm m để hàm số   3 2

y  m x  x m y có cực đại, cực tiểu thì trước hết

2 0

m   m 2 (1)

' 3 m 2m 3

     y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

' 0

   2

m  m     3 m 1 (2) Kết hợp với  1 và  2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

 3; 2  2;1

m    

Ví dụ 2 [ĐHD12] Tìm m để hàm số 2 3 2  2  2

2

x sao cho x x1 22x1x21

Giải Ta có

Trang 9

Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 8

t x x mx m  là tam thức bậc hai có  13m24 Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có hai nghiệm phân biệt  t x có hai nghiệm phân biệt  

  0

2 13 13

m







 





1

 



   

Do đó

3m 2m 1 1

3m 2m 0

0 2 3

m m







 



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 2

3

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 [ĐHB07] Tìm m để hàm số 3 2  2  2

y  x x  m  x m  có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Giải Ta có

' 3 6 3 1 3 2 1

y   x  x m    x  x m  ,

t x x  x  là tam thức bậc hai có  ' m2 Do đó: y có cực đại cực tiểu  y' có

Khi đó y' có các nghiệm là: 1 m  tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

1 ; 2 2

A m   m và  3

1 ; 2 2

OB m   m  2  2  32

A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi

OAOB 2 2

OA OB   2  32  2  32

4m 16m 0

0 1 2

m m







  



Trang 10

2

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4 [ĐHB12] Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3

yx  mx  m có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Giải Ta có

2

x





 



Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

2m0  m0 (1) Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  3

0;3

A m ,  3

2 ;

  3

0;3

3

; 3 2

OAB

S  OA d B OA  m

3m 48  m 2 (thỏa mãn (1))

Ví dụ 5 Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực

3 6 8

yx  x  x  C

Giải Ta có

' 3 6 6 3 2 2

y  x  x  x  x

t x x  x có   ' 3 0 nên t x có hai nghiệm phân biệt, suy ra   y' có hai nghiệm phân biệt Do đó  C có hai điểm cực trị Ta thấy các nghiệm của y' là

x   x   y' đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại, 1

'

y đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại 1

Thực hiện phép chia y cho t x ta được  

Suy ra:

y x   x  (vì t x 1 0)  y x 1  6 1  3 6 6 3

 tọa độ điểm cực đại của  C là 1 3; 6 3 Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của  C là 1 3; 6 3 

Trang 11

Lovebook.vn – Nhà sách phân phối độc quyền bộ sách thủ khoa GSTT GROUP biên soạn | 10

Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của  C cùng thỏa mãn phương trình y  6x 6 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  6x 6

hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp Sở dĩ có thể làm được như thế là vì y' và t x  

có cùng tập nghiệm

Ví dụ 6 [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y  x mx  m x m m

Giải Ta có

' 3 6 3 1 3 2 1

y   x  mx m   x  mx m 

t x x  mx m  có   ' 1 0 nên t x có hai nghiệm phân biệt và đổi  

dấu tiên tiếp khi x đi qua hai nghiệm này Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu

2

nào đó của hàm số, ta có

2

Nhận xét Trong ví dụ này, ta có thể tính được tọa độ các điểm cực trị một cách dể dàng Do đó,

có thể áp dụng phương trình đường

C Bài tập

đều âm

Bài 2 Cho y2x3mx212x13  C m

1) Chứng tỏ rằng với mọi m ,  C m luôn có các điểm cực đại, cực tiểu Gọi x , 1 x là hoành độ 2

2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của  C m cách đều trục tung

3 3 1 3 1

y  x x  m  x m   C m

1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

2) Tìm m để  C m có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2 5

Bài 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

1) y  x3 3x22x1;

2) y2x3x2 x 5;

Trang 12

3) yx32x210x 3 1

Bài 5 Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi

qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

3 3 1

yx  mx  m  x m ;

yx  m x  m  m x m m 

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số

các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  4x 1;

4

y  x;

3) yx3mx27x3có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y3x7;

3 3 1

y  x mx  m x m m có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực đại cực tiểu và điểm M 1;0 thẳng hang;

5) yx33x2m x m2  có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

1 5

2 2

y x ;

1

y x  m x mxcó các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

72x12y350

D Đáp số

Bài 1 1 1

4

2

m  ; 2) m0 Bài 3 1) m 1 

1

m ; 2) m 1 Bài 4 Error! Reference source not found 2 1

3 3

source not found 7 89

9 18

y  x 

Bài 5 Error! Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu m, phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là y  2x m Error!

Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu  3 5

2

m   3 5

2

m 

, phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là

2

y  m  m x m  m  m

Bài 6 1)m5; 2) m1; 3) 3 10

2

; 4) m 1  m2; 5) m0; 6) vô nghiệm

Trang 13

§3 Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

1 Xét hàm   4 2

f x ax bx c (a0) Ta có  

 

' 4 2 4

2

t x

b

f x ax bx ax x

a

 

Trường hợp 1: ab0 Khi đó t x vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất   x0  f ' x có

nghiệm duy nhất x0 và f ' x đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0  f chỉ có một cực trị

Trường hợp 2: ab0 Khi đó t x có hai nghiệm phân biệt khác   0  f ' x có ba nghiệm

2 Một số kết quả cụ thể:

 f có một cực trị  ab0;

 f có ba cực trị  ab0;

0

a b





 

 ;

0

a b





 

 ;

0

a b





 

 ;

0

a b





 



Ví dụ 1 [ĐHB02] Tìm m để hàm số 4  2  2

9 10

 

2

m

t x

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

Trang 14

'

y có 3 nghiệm phân biệt  t x có 2 nghiệm phân biệt khác   0  2 9 0

2

m m





  2 

3

m m

 



  



Ví dụ 2 Tìm m để hàm số   4 2 3

1

2

Giải Ta xét hai trường hợp sau đây:

2

yx   hàm số chỉ có cực tiểu (x0) mà không có cực đại  m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

 m 1 0  m 1 Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc 4 có

' 4 1 2 4 1

2 1

m

y m x mx m x x

m



Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  y' có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang

dương khi x đi qua nghiệm này 

0

m m m

  



 



   1 m 0

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có   1 m 0

Ví dụ 3 [ĐHB11] Cho hàm số 4   2

yx  m x m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm

cực trị A, B, C sao cho OABC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung,

B và C là hai điểm cực trị còn lại

Giải Ta có

 

t x

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

 m 1 0  m 1  * Khi đó, ta có

Trang 15

' 0

y  

0 1 1

x







  



  





2

0;





     





    



,

(vai trò của B, C trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử

Ta có

0; 

Do đó

4 4 0

m  m  ( ' 8)  m 2 8 (thỏa mãn  * ) Vậy m 2 8

Ví dụ 4 [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số 4   2 2

yx  m x m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Giải Ta có

 

t x

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có 3 nghiệm phân biệt  t x có 2 nghiệm phân biệt khác   0

 m 1 0 m 1  * Khi đó, ta có

0 1 1

x







  



  



Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

 2

0;

A m , B m 1; 2m1, C m 1; 2m1

Trang 16

Ta thấy A Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại A Do đó tam giác chỉ có thể vuông tại A

Ta có

AB AC m  m Tam giác ABC vuông khi và chỉ khi

0

1 1 0

m  m      3

 

 1 0

1 1

m m

 



  

1 0

m m

 



 

 , kết hợp với điều kiện  * ta có m0

C Bài tập

Bài 1 Tìm m để hàm số 4   2

Bài 2 Cho hàm số yx4 – 2mx22m m 4 (m là tham số) Tìm m để

1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông

2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng 2012 đơn vị

diện tích

Bài 3 [DHA04] Cho hàm số yx42m x2 21 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng

thời các điểm cực đại và cực tiểu của  C lập thành một tam giác vuông cân

Bài 4 Cho hàm số 4   2

cực tiểu A, B, C sao cho ba điểm này cùng với D 7;3 cùng thuộc một đường tròn

D Đáp số

Bài 1 m1 Bài 2 1)

3 4 4

3

2 18 3

2

4

 

 

  Bài 3 m 1 Bài 4 m3

Lovebook.vn vinh dự là đơn vị duy nhất phân phối bộ sách do thủ khoa GSTT GROUP biên soạn Với bộ sách độc này, các em học sinh hoàn toàn có thể yên tâm về việc luyện đề của mình Bộ sách là tổng hợp kiến thức và kinh nghiệm của đội ngũ hơn 10 thủ khoa GSTT GROUP Không chỉ có sách, các em còn được tặng 1 cuốn sổ tay nhỏ để sử dụng trong quá trình luyện đề Hãy liên hệ với chúng tôi để có được bộ tài liệu độc này:

Website: http://lovebook.vn/

Facebook: https://www.facebook.com/Lovebook.vn?bookmark_t=page

SĐT: 0466.860.849

Địa chỉ: Số 16, ngõ 61 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,24 MB