cực trị của hàm số

Dựa vào đồ thị của các hàm số sau, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong các khoảng đã cho.. Lập bảng biến thiên của các hàm số trên tương ứng với

Bài toán:

1 Dựa vào đồ thị của các hàm số sau, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các khoảng đã cho

a) y=-x2+1 trong khoảng (-;+)

b) trong các khoảng

2 Lập bảng biến thiên của các hàm số trên tương ứng với các khoảng đã cho

2

x

3

; & ;4

−2 2 4 6 8 10

−2

2 4

x

y

−6 −4 −2 2 4 6 8

−4

−2

2

x y

x - 0 +

y’

y’

1 Khái niệm cực trị của hàm số:

Định nghĩa:

(a;b) chứa x0 sao cho (a;b)  D và

1 Khái niệm cực trị của hàm số:

Định nghĩa:



cực trị tại xo f(xo) gọi là giá trị cực trị của hàm số

(a;b) chứa x0 sao cho (a;b)  D và

2 Điều kiện cần để có cực trị:

Định lý 1:

Chứng minh: (xem SGK)

Chú ý : Đảo lại của định lí là sai

Hàm số y=x3

trị tại x=0.

−2

2 4

x

có đồ thị:

Ví dụ 1:

Ví dụ 2: b) Hàm số

3 x (5 x) 2 

y  x (5 x) 

2 4 6

x

Hàm số đạt cực đại tại x=2 ,cực tiểu tại x=0.

Chú ý: là hàm không có đạo hàm tại x=0

có đồ thị:

đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc không xác định

3)Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

số đạt cực đại tại x0

Định lý 2: (điều kiện đủ 1)

và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và ( x0;b) Khi đó:

số đạt cực tiểu tại x0

x a x0 b y’ +

x a x0 b y’ - +

y

CT

đạo hàm

Ta có BBT:

Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1) Tìm y’

bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm 3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.

4) Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

 

\ 0



Bảng biến thiên

x - -1 0 1 +

y’ + 0 - - 0 +

y -1 11

x=1,yCT=11

TXĐ: D=R\{0}

Đạo hàm:

3

y 3x 5

x

  

2

3

y 3

x

 

2 2

3(x 1)

0 x



x 1





 





Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chứa

1 cho ta hàm đạt cực tiểu tại 0

Định lý 3: (điều kiện đủ 2)

Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1) Tìm f’(x)

* Nếu f’’(xi) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi

* Nếu f’’(xi) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi

 

\ 0



Ví dụ 6: Dùng dấu hiệu đủ 2 tìm cực trị hàm số:

1) y= x4-2x2-1

2) y= sin2x+x

Bài tập :

1) BTSGK

a) Hàm số có cực trị Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

b) Có đồ thị cắt trục hoành 3 điểm phân biệt, 1 điểm, 2 điểm

Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1) Tìm y’

bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm 3) Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.

4) Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1) Tìm f’(x)

* Nếu f’’(xi) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi

* Nếu f’’(xi) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi

 

\ 0



Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

PP: Dùng dấu hiệu 1 hoặc dấu hiệu 2

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt CĐ, CT hay

đạt cực trị tại một điểm

PP: B1: Dùng dấu hiệu 1 lập phương trình hoặc dấu hiệu 2 lập hệ gồm phương trình và bất phương trình ẩn là tham số

B2: Giải để tìm giá trị của tham số

B3: Thử lại (khi sử dụng dấu hiệu 1).

Dạng 3: CMR hàm số luôn có 1 CĐ và 1 CT.

PP: Ta CM y’=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt và qua 2 nghiệm đó y’ đổi dấu 2 lần

Bài 1: Tìm cực trị của hàm số.

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số.

1

3

x

3)y x   2x  3

2

4)y

x 1



 1)f (x) x sin 2x 2    2)f (x) 3 2cos x cos 2x   

Bài 3: Cho hàm số: Tìm m để

1) Hàm số đạt CT tại x=2

2) Hàm số đạt CĐ tại x=2

Bài 4: Cho hàm số: Tìm m để

1) Hàm số có 1 CĐ và 1 CT

2) Hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ

2

y

x m





y  x 3x   3(m 1)x 3m 1   

Bài 5: Cho hàm số: CMR hàm số đã cho luôn có 1 CĐ, 1CT và bình phương khoảng cách giữa 2 cực trị của hàm số bằng 20

Bài 6: Cho hàm số: Tìm m để

hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O

2

x (m 1)x m 1 y

x 1





y

x 2



