TÌM CỰC TRỊ của hàm số

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm y x , đạt cực trị tại x0 nhưng không có đạo hàm tại đó.. Nên hàm số đạt cực tiểu

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm

y x , đạt cực trị tại x0 nhưng không có đạo hàm tại đó

Định lí 2 (Điều kiện đủ ) Ta có

+) Nếu f ' x   0, x a x; 0và f ' x   0, x x b0;  thì hàm sốf x đạt cực tiểu tại điểm x0.+) Nếu f ' x   0, x a x; 0và f ' x   0, x x b thì hàm số 0;  f x đạt cực đại tại điểm x0.Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y f x  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M x y 0; CT

Nếu đạo hàm của hàm số y f x  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M x y 0; CÑ

Chú ý: Không cần xét có hay không đạo hàm tại x0

VÍ DỤ 1 Xét hàm số

DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Nên hàm số đạt cực tiểu tại x0

Định lí 3 Hàm số y f x  có đạo hàm cấp một trên  a b chứa ; x0 mà f ' x0 0 và y f x có đạo hàm cấp hai khác không tại x0 Khi đó,

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

 Hàm số có cực trị  có cực đại có cực tiểu có cả cực đại và cực tiểu có hai cực trị phương trình '

y vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   0

Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: yax3bx2 cx d cho y 3ax22bx c được thương là

Bước 2: Chứng minh đường thẳng  d : yr x mx n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 

Giả sử M x y , 1; 1 N x y 2; 2 trong đó x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình y' 0 nên

         

y  y x q x r x r x r x mx   n N d Tức là  d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

4 Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

.2

 B C, đối xứng nhau qua trục Oy , điểm A nằm trên trục Oy Do đó tam giác ABC cân tại A

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về cực trị của hàm số

 Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức

 Tìm cực trị khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số

 Bài toán cực trị chứa tham số

 Cực trị của hàm chứa dấu GTTĐ

 Cực trị của hàm hợp

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021)Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm cực trị khi biết bảng biến thiên của hàm số

2 HƯỚNG GIẢI:

+) Nếu f ' x   0, x a x; 0và f ' x   0, x x b0;  thì hàm sốf x đạt cực tiểu tại điểm x0

+) Nếu f ' x   0, x a x; 0và f ' x   0, x x b thì hàm số 0;  f x đạt cực đại tại điểm x0

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Nhận thấy f x đổi dấu từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua x 2 suy ra x 2 là điểm cực đại của hàm số

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Vì f x  xác định tại x0 và f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0

Câu 2 Hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 1; 1  B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1 

C Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1;3 D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là  1;1

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1  và điểm cực đại là 1;3

Câu 3 Cho hàm số y f x  xác định trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Khi đó số điểm cực trị của hàm số y f x  là

Lời giải Chọn A

Do hàm số xác định trên và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x ; 1 x ; 2 x nên hàm số 3

 

y f x có ba điểm cực trị

Câu 4 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y f x  là

A 1; 4  B x0 C  1; 4 D 0; 3 

Lời giải Chọn D

Câu 5 Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng

 a b; ?

Lời giải Chọn A

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đạo hàm là     2 

1 1

f x x x x Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Ta có f x đổi dấu khi x qua các điểm 0 ; 1

Câu 7 Cho hàm số y x2 16

x

  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Cực tiểu của hàm số bằng 12 B Cực tiểu của hàm số bằng 2

C Cực đại của hàm số bằng 12 D Cực đại của hàm số bằng 2

Lời giải Chọn A

TXĐ: D \ 0 

2

162

Vậy cực tiểu của hàm số bằng 12

Câu 8 Gọi x là điểm cực đại, 1 x là điểm cực tiểu của hàm số 2 yx33x2 Tính x12x2

Lời giải Chọn D





   

 Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, điểm cực đại là x1 1 và điểm cực đại là x2 1 nên x12x2 1

Câu 9 Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A yx4 B y  x3 x C 2 3

2

x y x





 D y x 2

Lời giải Chọn C

2

x y x





Tập xác định: D      ; 2  2; 

12

1 2 2019 0

2019

x x

Bảng xét dấu của f x như sau:

Do f x đổi dấu khi x qua 1, 3, 4 nên hàm số y f x  có 3 điểm cực trị

Câu 3 Cho hàm số y f x  xác định trên và có đồ thị hàm số y f x là đường cong ở

hình bên Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị y f x ta thấy phương trình f x 0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f x chỉ đổi dấu 3 lần

Vậy hàm số y f x  có 3 điểm cực trị

Câu 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên , đồ thị của đạo hàm f x như hình vẽ sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f đạt cực tiểu tại x0 B. f đạt cực tiểu tại x 2

C. f đạt cực đại tại x 2 D.Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại

Lời giải Chọn B

Từ đó suy ra bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 2

Câu 5 Biết rằng đồ thị hàm số y x3 3x2 có dạng như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số y x33x2 có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

x

y

-2 -3

4

Nên ta lấy phần đối xứng của đồ thị hàm số y x3 3x2 khi x 3

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị hình bên Hàm số y f  x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị nằm trên phải trục Oy qua Oy ta được đồ thị hàm y f  x Vậy hàm số y f  x có 3 cực trị

Suy ra đường thẳng AB có phương trình 8x y  4 0

Thay N1;12 vào phương trình AB ta có 8.1 12 4  0 Vậy N thuộc AB

Câu 8 Số điểm cực trị của hàm số y x 2x21 là

Lời giải Chọn A

y x mx  m  x đạt cực đại tạix3

Lời giải Chọn C

y x mx  m  x đạt cực đại tại x3 khi và chỉ khi:  

 

y y

A m0 B m0 C m0 D m0

Lời giải Chọn A

 phương trình   có 2 nghiệm phân biệt x0  m 0

21

x x

h x không tồn tại tại x0 mà x0thuộc tập xác định đồng thời qua đó h x  đổi dấu  2

Từ  1 và  2 suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số y f x  là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x như sau

Số điểm cực trị của hàm số    2 

g x  f x  x

Lời giải Chọn A

không bị đổi dấu

 

 

' 1 ' 2

00

h p

m m

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn

Câu 4 Cho hàm số y f x  xác định trên tập số thực và có đạo hàm

2

f x  x x x m  x m  x (m là tham số) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số y f x  đạt cực tiểu tại x0?

Lời giải Chọn A

Từ đó suy ra    3 m 3 có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 5 Biết rằng hàm số y x a 3 x b 3 x3 có hai điểm cực trị Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

Lời giải Chọn C

Ta có y x3 3 a b x2 3 a2 b2 x a3 b3

Trường hợp 1: m0   y 1 nên hàm số không có cực trị

Do m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề

Câu 7 Cho hàm số f x có đạo hàm     2   2 

Hàm số f x có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức     2

g x x  mx vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x 1, hoặc g x có nghiệm  

00

g

g

g g

m

m b

nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là S    2, 1, 0, 1, 2, 3

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2  

yx  x  m xm có hai điểm cực trị và điểm M9; 5  nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

Lời giải Chọn D

Ta có y3x24x m 3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y0 có hai nghiệm phân biệt    0 13 

*3

m

 

m (thỏa mãn điều kiện  * )

Câu 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 4 2

3

19

m

Lời giải Chọn B

Vậy với m 1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Câu 10 Cho hàm số yx42mx22m2m4 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C

thỏa mãn ABCD là hình thoi với D0; 3  Số mthuộc khoảng nào sau đây?

 Mức độ 4

Câu 1 Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị như hình bên Hàm số

25sin 1 (5sin 1)

x x

( 1; 0)0

Từ bảng biến thiên ta có hàm số thỏa mãn là f x( ) 5x410x22

Câu 3 Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị của hàm đạo hàm f x'  như hình vẽ và f b  1.Số

giá trị nguyên của m  5;5 để hàm số g x   f x2 4f x m có đúng 5 điểm cực trị

là

Lời giải Chọn A

Để g x    h x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT  2 có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

Xét hàm số t x  f2 x 4f x 

Ta có Bảng biến thiên của t x :

Từ YCBT t x   mcó hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ pb

Từ YCBT g x    h x  f x2 4f x m có 5 điểm cực trị khi:

Đặt h x  f x g x , ta có: h x  f x g x ; h x   0 x x ;

  0 1

h x   x x hoặc xx2 (x1x0x2);

74

h x  f x g x  

Bảng biến thiên của hàm số yh x  là:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số yk x  f x g x  là:

Do đó, hàm số yk x m cũng có ba điểm cực trị

Vì số điểm cực trị hàm số y k x m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số yk x m

và số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình k x  m 0, mà hàm số yk x mcũng có ba điểm cực trị nên hàm số y f x g x m có đúng năm điểm cực trị khi phương trình k x  m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số yk x , phương trình k x  m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi 7

Lời giải Chọn A

Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm

+ TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x0  m 2 hoặc m 2

Với m2 thì x0 là nghiệm bội 4 của g x  Khi đó x0 là nghiệm bội 7 của y và yđổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x0 nên x0 là điểm cực tiểu của hàm số Vậy 2

4 0 2 2

      

Do m nên m  1; 0;1

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt

Câu 6 Cho hàm sốy f x liên tục và xác định trên và có đồ thị như hình vẽ Số giá trị nguyên của

có đúng 1 nghiệm đơn

2 2 35 0 không có nghiệm phân biệt

Suy ra cĩ 6 giá trị m nguyên thỏa mãn

Câu 7 Cho hàm số f x cĩ đạo hàm trên   thỏa mãn     2

f xh  f x h h với mọi x , 0

khi qua x0 nên thỏa mãn yêu cầu

Câu 8 Cho hàm số   2 3 2

f x x  m x  m m m  Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m thuộc đoạn 20; 20 để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

Lời giải Chọn D

Yêu cầu bài toán f ' x có đúng một điểm qua đó đổi dấu  *

Nhận xét: 2x2m  0 x m (thỏa mãn x m 5) Do đó xm là một điểm cực trị của hàm số

Do đó:  *   2 vô nghiệm và y' không đổi dấu khi đi qua x m 5

5

2 5 2 2 5 2 05

20; 19; ; 2 2

Vậy có 23số nguyên m thỏa mãn

Câu 9 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên và f  0 0; f  4 4 Biết hàm y f x

có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số    2

2

g x  f x  x

Lời giải Chọn C

Ta có h 0  f  0 0 và h 2  f  4  4 0

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số yh x  có 1 điểm cực trị và đồ thị hàm số yh x  cắt Ox

tại 2 điểm phân biệt  Hàm số yg x  h x  có ba điểm cực trị

Câu 10 Cho hàm số y f x  Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ