ÔN THI TUYỂN SINH 10 MÔN TOÁN (ĐẠI SỐ)

NỘI DUNG LUYỆN THI PHẦN ĐẠI SỐ:Chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Chuyên đề 3: Phương trình.. Chuyên đề 4: Ứng dụng của hệ th

TÀI LIỆU LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Tài liệu này được soạn dựa theo chương trình mới của SGK,

bám sát cấu trúc đề thi và chỉ dành cho HS ôn thi vào lớp 10 công lập

SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN: TRẦN TRUNG CHÍNH

NỘI DUNG LUYỆN THI PHẦN ĐẠI SỐ:

Chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề 3: Phương trình.

Chuyên đề 4: Ứng dụng của hệ thức VI-ET

Chuyên đề 5: Hàm số - Đồ thị - Sự tương giao

Chuyên đề 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề 8: Bài toán ứng dụng thực tiễn

CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

I PHƯƠNG PHÁP

1 Tập xác định

Dạng 1:

( ) ( )

2 Các dạng khai triển của một số biểu thức (chứa căn thức):

Xét với a, b ≥ 0 nếu cần điều kiện:

3 Thủ thuật xử lý rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Đừa thừa số ra ngoài - căn lồng căn - sử dụng (CASIO Fx - 570ES):

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức sau: A= +(4 15)( 10 − 6) 4− 15

Hướng dẫn chi tiết

− (thỏa mãn điều kiện)

Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau:

(thỏa mãn điều kiện bài toán)

Bài tập 9: Cho biểu thức:

Điều kiện:

x 0

x 0

1x

Lưu ý: 5x 13 x 6 0− + = có thể giải theo phương trình bậc 2 với biến x

Bài tập 10: Cho biểu thức:

c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3.= −

Hướng dẫn chi tiết

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau:

Bài tập 5: Cho biểu thức:

2

3

≤

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của phương trình với một số sao cho hệ số của 1 ẩn ở hai phương trình là đối nhau.

Bước 2: Cộng hai phương trình với nhau, quy hệ phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn, rồi giải tìm ra một ẩn.

Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình để tìm nghiệm còn lại.

Cách 3: Đặt ẩn phụ, rồi đưa hệ phương trình đã cho về dạng (I) Chú ý đặt điều kiện cho ẩn cũ (nếu có).

Bài tập 1: Giải hệ phương trình: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)

Thay y = -3 vào (2), ta được: 2x+ − = ⇔ =( )3 13 x 8

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

Thay x = 2 vào 2x + 3y = -5 ta được: 2.2 3y+ = − ⇔5 3y= − ⇒ = −9 y 3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

( ) ( )2

1 3y3x

1y2x







=+

=+

Giải

Bằng phương pháp rút thế

Từ phương trình (1), suy ra: x = 1 - 2y

Thay vào phương trình (2), ta được: 2(1 - 2y) + 3y = 3 ⇔ 2 - 4y + 3y = 3 ⇔ y = -1

Với y = 1 ⇒ x = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3, -1)

Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau: (Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn)

 + =

Giải hệ (2) để được cặp nghiệm (u; v) rồi suy ra nghiệm (x; y) (Giải thêm vài bước)

2 Dạng toán nâng cao của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bài tập 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

mx 2y m 12x my 2m 1

Để y nguyên thì 3 phải chia hết cho (m + 2)hay (m + 2) là ước sô nguyên của 3

Ta có:

Bài tập 3: Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)

2mx (m 1)y m n(m 2)x 3ny 2m 3

7

n3

4 m

9 8my

38

m −4 = 3, ta được:

1) Giải hệ phương trình khi m = 3.

2) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1; 3)

3) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Với giá trị nào của m

để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 2

28

m +3 - 3.

Giải

a) Thay m = 3 vào hệ (I) và giải để tìm nghiệm

b) Thầy cặp nghiệm (-1; 3) vào hệ (I) để tìm giá trị của m ở cả hai phương trình của hệ (I) phảibằng nhau

c) Làm tương tự bài tập 4

Bài tập 6: Cho hệ phương trình

3x 2y 42x y m



 − =

1) Giải hệ phương trình khi m = 5

2) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

3) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy

Giải

a) Thay m = 5 vào hệ (I) để giải tìm nghiệm

b) Giải hệ (I) để tìm nghiệm (x; y) theo m và xét với x < 1, y < 1 để tìm m thích hợp

c) Lập hệ phương trình gồm hai phương trình đầu để giải tìm nghiệm (x; y) theo m Rồi thay vàophương trình cuối cùng để tìm m Vì x, y, m (nếu có) của ba phương trình đều bằng nhau

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP

1 Phương trình bậc nhất 1 ẩn

Cách giải

Bước 1: Quy đồng (nếu các hạng tử là phân số, phân thức)

Bước 2: Chuyển hạng tử chứa x sang vế trái, chuyển hạng tử là số (hằng số) qua vế phảiBước 3: Thu gọn hai vế và đưa về dạng ax = b

Bước 4: Lấy nghiệm

Nếu b ≠ 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu b = 0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.

=

⇔ x = 2

Vậy phương trình có một nghiệm x = 2

Bài tập 2: Giải phương trình: 9 + 3x = 0

Giải

9 + 3x = 0 ⇔ 3x = -9 ⇔

9x3

−

=

⇔ x = -3

Vậy phương trình có một nghiệm x = -3

Bài tập 3: Giải phương trình: 7 - 21x = 0

Giải

7 - 21x = 0 ⇔ -21x = -7 ⇔

7x21

−

=

1x3

=Vậy phương trình có một nghiệm

1x3

=

1.2 Dạng phương trình bậc nhất: f(x) = g(x) (g(x) khác đa thức 0).

Cách giải:

Bước 1: Nếu trong phương trình có các biểu thức chứa dấu ngoặc thì ta phải thực hiện quy tắc bỏ dấu ngoặc

Bước 2: Thu gọn các đơn thức đồng dạng.

Bước 3: Giải phương trình dạng: ax + b = 0

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Giải phương trình sau: - 5x + 3 = 2x - 4

Giải

- 5x + 3 = 2x - 4 ⇔ -5x - 2x = -4 - 3 ⇔ - 7x = -7 ⇔ x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1

Bài tập 2: Giải phương trình: 8x - 3 = 5x + 12

Giải

8x - 3 = 5x + 12 ⇔ 8x - 5x = 12 + 3 ⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 5

Bài tập 3: Giải phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 24

Bài tập 4: Giải phương trình:

Giải

(Ta sử dụng phương pháp nhân tử hóa)

Phương trình trên tương đương:

Nghiệm của phương trình là hợp tất cả các nghiệm của các phương trình: A(x), B(x), C(x),

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-5; 3}

Bài tập 4: Giải phương trình: 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0

Giải

2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0 ⇔ (x - 3)(2x + 5) = 0 ⇔ x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 ⇔ x = 3 hoặc

5

x = 2Vậy phương trình tập nghiệm

; -12

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu: Tìm mẫu thức chung.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận nghiệm của phương trình.

= (thỏa mãn điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình là

4

S =3

x 1

x 4

=



⇔  = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}

⇔ x = -2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2}

4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là |a|, được định nghĩa như sau:

A = B

A < 0 -A= B

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Giải phương trình: |3x| = x + 4

Giải

| 3x | = 3x khi 3x ≥ 0 hay x ≥ 0;

| 3x | = − 3x khi 3x < 0 hay x < 0

- Xét x ≥ 0: Phương trình đã cho trở thành: 3x = x + 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

- Xét x < 0: Phương trình đã cho trở thành: -3x = x + 4 ⇔ -4x = 4 ⇔ x = -1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-1; 2}

Bài tập 2: Giải phương trình: |x - 3| = 9 - 2x

Giải

|x - 3| = x - 3 khi x - 3 ≥ 0 hay x ≥ 3;

|x - 3| = -(x - 3) khi x - 3 < 0 hay x < 3

Xét x ≥ 3: Phương trình đã cho trở thành: x - 3 = 9 - 2x ⇔ 3x = 9 + 3 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4 (thỏa) Với x < 3: Phương trình đã cho trở thành: -(x - 3) = 9 - 2x ⇔ -x + 3= 9 - 2x ⇔ x = 6 (không thỏa) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {4}

Bài tập 3: Giải phương trình sau: x +1 + x + 2 + x + 3 = 3

Giải

Ta có bảng xét dấu:

x -3 -2 - 1

x+1 - ↓ - ↓ - 0 +

x+2 - ↓ - 0 + ↓ +

x+3 - 0 + ↓ + ↓ + Xét x≤ −3: Phương trình trở thành: -(x + 1) - (x + 2) - (x + 3) = 3 ⇔-3x - 6 = 3 ⇔x = -3(thỏa) Xét -3< ≤ − x 2: Phương trình trở thành: -(x+1)–(x+2)+(x+3) = 3 ⇔-x = 3 ⇔x = -3(không thỏa) Xét -2< ≤ − x 1: Phương trình trở thành: -(x + 1) + x + 2x + 3 = 3 ⇔ + =x 4 3 ⇔ = −x 1 (thỏa)

Xét x > -1: Phương trình trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 3 ⇔3x= −3 ⇔ = −x 1(không thỏa)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-1; -3}

5 Phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 trong đó a, b, c là các hệ số, x là ẩn số

Cách giải:

Bước 1: Tính biệt thức: ∆ = b 2 - 4ac (hoặc tính ∆' = b' 2 - ac, với b = 2b')

Bước 2: Lấy nghiệm của phương trình bậc hai theo ∆:

Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm.

Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép

x = - , x =

Nếu ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

.2

0x02x

0x4

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0; x = 2

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

3x

3x03x

03x

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 3; x = -3

b) Tổng các hệ số: 3 - 7 + 4 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3

4

Bài tập 3: Giải phương trình sau:

1x

x2

Bước 3: Xét nghiệm của phương trình

Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì phương trình (1) cũng vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có nghiệm kép dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau Nếu phương trình (2) có nghiệm kép âm thì phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm đều âm thì phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dương thì phương trình (1) có hai cặp nghiệm đối nhau từng đôi một.

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 3 và x = -3

Bài tập 2: Giải phương trình: x4 - 20x2 + 64 = 0

- Ta có thể bình phương cả hai vế nếu cả hai vế không âm.

- Trong một phương trình có nhiều dấu căn, muốn bình phương hai vế phải chuyển về hai vế cùng không âm hoặc dương rồi mới bình phương.

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 0.

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a) x2+5x 1 2x 1+ = − b) 2x 3+ + 5 8x− = 4x 7+

Giải tương tự bài tập 2

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

2 2

t 2

2t

(2) Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số.

(3) Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số.

(4) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình.

Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x + mx + m + 3 = 0 2 (1)a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12+x22 = −3.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m

b) Ta có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:

Vậy x1; x2 là hai nghiệm của phương trình có dạng: x -Sx + P = 02 ⇔x - 5x + 6 = 02

Bài tập 3: Cho phương trình: x2 - 2mx + m - 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

Bài tập 4: Cho phương trình: x2 + px - 5 = 0 có nghiệm x1; x2

Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

1b) x và 2

2x

Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình x2 + ax + 1 = 0 với mộtnghiệm nào đó của phương trình x2 + bx + 1 = 0 thì

2

Bài tập 6: Cho phương trình ẩn x, tham số t: x2−2(t 1)x t− + − =2 3 0

a) Tìm t để phương trình đã cho có nghiệm

b) Tìm t để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm

Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: mx2−5x (m 5) 0 − + =

a) Giải phương trình trên khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị củabiểu thức A= −16x x1 2−3(x12+x ).22 Tìm m để A = 0.

Bài tập 8: Cho phương trình ẩn x, tham số m: (m 3)x+ 2−2(m2+3m)x m+ 3+ =12 0

a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho

Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho x12+x22 là một số nguyên.

Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: x - 2(m - 3)x + 2m - 7 = 02

a) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x ; x Hãy tìm m để 1 2 1 2

Bài tập 11: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: x - 3mx + 3m - 4 = 02

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt?b) Hãy tìm m để phương trình đã cho có một nghiệm x = 4 + 2 3 1

Khi đó hãy tìm nghiệm x của phương trình đó 2

Bài tập 12: Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có

ẩn y thoả mãn y1 =x14 và 4

2

Bài tập 13: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: x - 2x + m = 0 2

a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho không thể có hai nghiệm cùng là số âm

c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 - 2x2 = 5

Bài tập 14: Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham số):

2

x - 3x - a - 2 = 0 và x + ax +1 = 0 2a) Giải các phương trình trên trong trường hợp a = -1

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phương trình trên luôn có ít nhất một trong haiphương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số):

x + (m + n)x - (m + n ) = 0a) Giải phương trình trên khi m = n = 1

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.

c) Tìm m, n để phương trình đã cho tương đương với phương trình: x - x -5 = 0 2

Bài tập 16: Cho phương trình: x - 2(m +1)x + 2m + 5 = 02

a) Giải phương trình khi

5

m =2b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm

Bài tập 17: Cho phương trình bậc hai: x - 2(m +1)x + m + 3m + 2 = 02 2

a) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m thỏa mãn x + x = 12 (trong đó 12 22 x , x là hai nghiệm của phương trình).1 2

Bài tập 18: Cho hai phương trình: x - 3x + 2m + 6 = 0 và2 x + x - 2m -10 = 0 2

a) Giải hai phương trình trên với m = - 3

b) Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có nghiệm chung

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

c) Tìm số nguyên a để phương trình x - ax + a - 7 = 0 có nghiệm.2 2

Bài tập 20: Cho phương trình: 2x2 + mx + m - 3 = 0, (m là tham số)

1) Giải phương trình trên khi m = -1

2) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

3) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệtđối lớn hơn nghiệm dương

Bài tập 21: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài tập 22:Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1,x2thoả mãn 1 < x < x < 6 1 2

Bài tập 24: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m

Bài tập 25: Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2mx + - 4 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệgiữa x1; x2 không phụ thuộc vào m

Bài tập 26: Cho phương trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 Tìm m để hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn

hệ thức: 3x1x2 - 5(x1 + x2) + 7 = 0

Bài tập 27: Cho phương trình: mx2 + 2(m - 4)x + m + 7 = 0 Tìm m để hai nghiệm x1 và x2 thoảmãn hệ thức: x1 - 2x2 = 0