ĐỀ CƯƠNG TOÁN ĐẠI SỐ 11 HKI (CHÂN TRỜI SÁNG TẠO)

Tài liệu được soạn chuẩn theo sách giáo khoa. Trong tài liệu được tách thành phần tự luận và trắc nghiệm có đáp án. Nội dung được chia thành 3 phần: Lý thuyết phương pháp, bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm. Quá hay để có một ấn phẩm tuyệt vời.

PHẦN ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC

2 Đơn vị Radian (rad): Cho đường tròn tâm O , bán kính R

Với các cung có độ dài bằng R , ta có số đo của các góc ở tâm cùng chắn cung đó có số đo bằng 1 radian (1 ra-đi-an = 1rad)

B

3 Đường tròn lượng giác:

Khái niệm: Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm O 0;0 và bán kính R 1 được tạo thành khi quay điểm A 1;0 một vòng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (chiều +)

ON

Bài tập 5: Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại:

5rad c) 3rad Bài tập 6: Hoàn thành bảng chuyển đổi đon vị đo của các góc sau đây:

a) 14850; b) 19

4; c) 357 Bài tập 8: Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:

03

a)

Bài tập 10: Góc lượng giác 31

7 có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

3 10; ; 25

7 7 7  Bài tập 11: Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải,

được tính bằng độ dài của một cung chắn một góc

  của đường kinh tuyến Đổi số đo  sang radian

và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét  km ,

biết bán kính trung bình của Trái Đất là 6371km Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1: So đo theo đơn vị radian của góc 315 là 0

A 7

2 B 74 C 27 D 47

Bài tập 2: Cung tròn có số đo là 5

4 Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây

Bài tập 15: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút 13,34cm Trong

30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là

Bài tập 18: Trong 20 giây bánh xe gắn máy quay được 60 vòng Tính độ dài quãng đường

xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5cm (lấy 3,1416

 có đầu mút trùng với A và số đo 3

4 k

    Mút cuối của  là điểm nào?

A L hoặc N B M hoặc P C M hoặc N D L hoặc P

Bài tập 22: Trên đường tròn bán kính r  , độ dài của cung đo 5

8

 là

y

π 3

N

M

B'B

O

BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

I KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Giá trị lượng giác của góc lượng giác:

- Trục hoành (Ox ) gọi là trục cos Trục tung (Oy ) gọi là trục sin Trục song song với Oy gọi là trục tan Trục song song với Ox gọi là trục cot

- Tập xác định:

 sin  và cos xác định với mọi   

 tan  xác định với mọi , 



      cot xác định với mọi k k,   

- Với mọi góc lượng giác  và số nguyên k , ta có:

 sink2sin;  cosk2cos;

 tank tan;  cotkcot

* Bảng giá trị lượng của các góc  đặc biệt:

 Giá trị

3 Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

- Hai góc đối nhau:  và 

 sin    sin;  cos   cos;

 tan    tan;  cot    cot

- Hai góc hơn kém nhau  :  và  

 sin   sin;  cos   cos;

 tan  tan;  cot  cot

- Hai góc bù nhau:  và   

 sin  sin;  cos   cos;

 tan   tan;  cot   cot

Bài tập 4: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ

Bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin4cos4 1 2cos2; b) tan cot 1

Bài tập 7: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh

trục tại điểm O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng

vuông góc xuống mặt đất như hình bên Vị trí ban đầu của thanh là

OA Hỏi độ dài bóng ' 'O M của OM khi thanh quay được 13

10vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15cm ? Kết quả làm tròn

đến hàng phần mười?

Bài tập 8: Khi di chuyển, van V của bánh xe quay

quanh trục tại điểm O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc

không đổi là 11 rad/s (hình bên) Ban đầu van nằm ở vị trí A

Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất

là bao nhiêu, biết bán kính OA58cm? Giả sử độ dày của

lốp xe không kể Kết quả làm tròn đến hàng phần mười

Bài tập 9: Cho cot 1

A sin0, cos 0 B sin0, cos 0

C sin0, cos 0 D sin0, cos 0

Bóng

αÁnh sáng

Bài tập 2: Công thức nào sau đây sai?

A tan0, cot0 B tan0, cot0

C tan0, cot0 D tan0, cot0

Bài tập 4: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

C cos 3   x cosx D cos  x cosx

Bài tập 5: Kết quả của cosx 2023 bằng

A cosx B sin x C sin x D cosx

Bài tập 6: Giá trị của cot1458 là 0

Bài tập 7: Cho biết tan  1 2 Giá trị của cot bằng

A cot  2 1 B cot  2 1 C cot 1

 

 D

1cot

2 1

 

 Bài tập 8: Cho sin 3

C Asinxcosx D A sinxcosx

Bài tập 20: Biết sin cos 2

Bài tập 21: Biểu thức A 1 sin2xcot2x 1 cot2x được rút gọn bằng

A Asin2x B Acos2x C A sin2x D A cos2x Bài tập 22: Biểu thức sin  cos cot 2  tan 3

A tan tan tan tan

C sin cos 1 cot22

cos sin cos sin 1 cot

1 cos  sincos1

Bài tập 26: Nếu sin cos 1

Bài tập 28: Với mọi , biểu thức cos cos cos 9

 cos  cos cos  sin sin ;  sin  sin cos  cos sin ;

 tan  1 tan tantan tan

2 Công thức nhân đôi

 sin22 sin cos ;  cos2cos2sin22cos2  1 1 2 sin2;

cot2 tan2  2 tan

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

 cos cos 1 cos  cos 

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

13

2

   Bài tập 2: Tính các giá trị lượng giác của góc 2 , biết:

Bài tập 8: Trong hình bên dưới, ba điểm M N P , ,

nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió Biết các cánh quạt

dài 31cm , độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m , góc

giữa các cánh quạt là 2

3 và số đo góc OA OM là ,   a) Tính sin  và cos

b) Tính sin của các góc lượng giác OA ON và , 

OA OP , từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so , 

với mặt đất (theo đơn vị mét) Làm tròn kết quả đến hàng

phần trăm

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1: Giá trị của biểu thức cos37

Bài tập 3: Đẳng thức nào sau đây sai

A sin cos 2 sin

O A

Bài tập 5: Cho sin 1

Bài tập 13: Giá trị đúng của cos2 cos4 cos6

Bài tập 21: Cho hai góc nhọn a và b với sin 1

2 C 14 D 18 Bài tập 23: Giá trị lớn nhất của sin4x cos4x là

Bài tập 24: Nếu 5sin3 sin2 thì

A tan  2 tan B tan  3 tan

C tan  4 tan D tan  5 tan

C Acot2x D A tanx tan2x tan3x

Bài tập 27: Cho số thực  thỏa mãn sin 1

Bài tập 30: Cho A B C là ba góc của một tam giác không vuông Hệ thức nào sau đây sai? , ,

A cos cos sin sin sin

B tanAtanBtanC tan tan tanA B C

C cotAcotBcotC cot cot cotA B C

 Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

b Hàm số tuần hoàn

Hàm số y f x  với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số D khác 0 sao cho với  x D ta có x T D  và f x T     f x

Chú ý:

 T gọi là chu kỳ của hàm số y f x 

 Trên các đoạn giá của x T thì đồ thị được lặp lại

 Hàm số y sinx, y cosx tuần hoàn theo chu kì 2

 Hàm số y tanx, y cotx tuần hoàn theo chu kì 

3 Đồ thị của hàm số lượng giác

+ Tuần hoàn với chu kì 

+ Là hàm số lẻ (có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )

+ Đồng biến trên các khoảng ;  

+ Tuần hoàn với chu kì 

+ Là hàm số lẻ (có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )

+ Đồng biến trên các khoảng k ; kk  

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hay hàm số lẻ không?

a) y 5sin2x1 b) y cosxsinx c) y tan2x

Bài tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Bài tập 3: Tìm tập giá trị của hàm số y 2 cosx 1

Bài tập 4: Dựa vào đồ thị hàm số y sinx, xác định các giá trị x    ;  thỏa mãn 1

sin

2

x 

Bài tập 5: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương

ngang của một cabin phụ thuộc vào góc lượng giác  Ox OM, 

theo hàm số vx 0,3 sin (m/s) (hình bên)

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của v x

b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin , hãy cho biết trong vòng

quay đầu tiên 0  2, góc  ở trong các khoảng nào thì v x

tăng

Bài tập 6: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến

mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m Xét gàu G

của guồng Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (hình bên)

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét)

của gàu G so với mặt nước theo nước theo góc

OA OG, 

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây Dựa

vào đồ thị của hàm số sin , hãy cho biết ở các thời điểm t

nào trong 1 phút đầu, khoảng cách từ gàu đến mặt nước bằng

1,5m

Bài tập 7: Trong hình bên dưới, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát ở mặt đất Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là

H ,  là góc lượng giác Tx TA,  , 0   

a) Biểu diễn tọa độ x của điểm H trên trục H T theo  x

b) Dựa vào đồ thị hàm số cot, hãy cho biết với 2

Bài tập 8: Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng

để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình bên Trên bản đồ phẳng

lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến 0 làm trục 0

tung Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ

  Sử dụng đồ thị hàm số tan , hãy cho

biết những điểm ở vĩ độ nào cách xích đạo không quá 20cm

trên bản đồ

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1 Tìm tập xác định D của hàm số 3 tan2

A D  B \k k ,  C D   1;1  D D  Bài tập 4 Tìm tập xác định D của hàm số tan cos

Bài tập 5 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sin x B y cos x C y  tan x D y cot xBài tập 6 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số y  sinx tuần hoàn với chu kì 2 

B Hàm số y  cosx tuần hoàn với chu kì 2 

C Hàm số y  tanx tuần hoàn với chu kì 2 

D Hàm số y  cotx tuần hoàn với chu kì 

Bài tập 7 Tìm chu kì T của hàm số sin 5

Bài tập 9 Cho hàm số y sinx Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ;

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y  1 sin2 x B y cos x C y  sin x D y  cos xBài tập 11 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y sin x B y  sin x C y sin x D y  sin x

Bài tập 13 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y cos x B y  cosx C y cos x D y  cos x

Bài tập 14 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D

Bài tập 20 Cho hàm số y cos4xsin4x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A y     2, x B y     C 1, x y  2,    D x 2 ,

2

y     xBài tập 21 Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y sin2x 2cos 2x

A M 3, m B 0 M 2, m C 0 M 2, m  D 1 M 3, m  1.Bài tập 22 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , 2

8 sin 3cos2

y  x  x Tính P 2M m 2

A P  1 B P  2 C P 112 D P 130.Bài tập 23 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 2sin2x  3 sin2x

A m  2 3 B m   1 C m  1 D m   3

Bài tập 24 Tìm tập giá trị T của hàm số y 12sinx5cos x

A T   1;1  B T   7;7  C T   13;13  D T   17;17  Bài tập 25 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y 4 sin2x3cos2 x

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Phương trình sin =x m

- Nếu m  thì phương trình vô nghiệm 1

- Nếu m  thì phương trình có nghiệm: 1

2 Phương trình cos =x m

- Nếu m  thì phương trình vô nghiệm 1

- Nếu m  thì phương trình có nghiệm: 1

Ta chọn   0; sao cho cos m

Khi đó: cosx cosx    k2 ,k   

4 Phương trình cot =x m

Ta chọn  0; sao cho cot  m

Với  m ,cotx m cotx cot  x  k k, 

Chú ý: cotx cota0  x a0k180 ,0 k  

5 Phương trình bậc 2 đối với hàm số lượng giác

Dạng 1: asin2x b sinx c  (*) Đặt: 0 t sin ,x t  1  * at2    bt c 0Dạng 2: acos2x b cosx c  (*) Đặt: 0 tsin ,x t  1  * at2   bt c 0Dạng 3: atan2x b tanx c  (*) Đặt: 0 t tanx  * at2    bt c 0

Dạng 4: acot2x b cotx c  (*) Đặt: 0 t cotx  * at2   bt c 0

Chú ý: Một số công thức nhân ba:

a) cos 3x 4 cos3x3cosx; b) sin 3x 3sinx4 sin3x

6 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Dạng cơ bản: asinx b cosx c (*)

- Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm: a2 b2 c2

- Chia hai vế của phương trình (*) cho a2   ta được: b2 0

7 Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx

Dạng phương trình: asin2x b sin cosx x c cos2x d (1)

- Kiểm tra cosx  có là nghiệm của phương trình hay không? Nếu là nghiệm thì nhận 0nghiệm này

- Xét cosx  , chia cả hai vế của phương trình (1) cho 0 cos x ta được: 2

8 Phương trình đối xứng

Dạng 1: Phương trình đối xứng theo sinx và cosx:

Dạng 1.1: asinxcosxbsin cosx x c  0

2

t

Dạng 1.2: asinxcosxbsin cosx x c  0

2t

Dạng 2: Phương trình đối xứng theo tanx và cotx :

Dạng 2.1: atan2x cot2xbtanxcotx  c 0

Điều kiện: sin2x 0

Dạng 2.2: atan2x cot2xbtanxcotx  c 0

Điều kiện: sin2x 0

12

x  ; c) cos2x  1Bài tập 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tanx tan 550; b) tan 2 0

A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức

Bài tập 6: Trong hình bên, ngọn đèn hải đăng H

cách bờ biển yy một khoảng ' HO1 km Đèn xoay

ngược chiều kim đồng hồ với tộc độ

10 rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau Khi đèn xoay,

điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển

chuyển động dọc theo bờ

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO

Viết hàm số biểu thị tọa độ y của điểm M M trên trục Oy

theo thời gian t

b) Ngôi nhà N trên bờ biển với tọa độ

 

1

N

y   km Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng

chiếu vào ngôi nhà

Bài tập 7: Giải các phương trình sau:

a) 2 sin2x  ; 1 b) 2cos2x 3 2cos  x   ; 1 0c) sinx1 2 cos x  ; 1 0 d) tanx1 tan  x 3 ; 0e) cotx1 tan  x 3 ; 0 f) cos 5x2 sin2x  1

Bài tập 8: Giải các phương trình sau:

a) sinxsin 3xcosx 0; b) sin 5x sinx2 cos2x  ; 1c) sin 3 sin2x x sin 4 sinx x; d) 2 cos4x  1 2 sin4x;

e) cos2x sinx cosx; f) sinx 2 cos 22 x  1

Bài tập 9: Giải các phương trình sau:

a) cos2x5 cosx  ; 2 0 b) 2cos2xcosx  ; 1 0

c) cot2x4 cotx   ; 3 0 d) tan2x 1 3 tan x 3 0 ; e) cos2x 9cosx 5 0; f) cos2xsinx 3 0

Bài tập 10: Giải các phương trình sau:

a) 6 sin3x cos12x  ; 14 b) 3 sin 22 x 7 cos2 x 3 0  Bài tập 11: Giải các phương trình sau:

a) 2sinx2cosx  2; b) sin2x 3 cos2x 2;

Bờ biển

1km α

c) sin 4x 3 cos 4x  2; d) cosx 3 sinx  1; e) 2sin2 cos2x x  3 cos 4x   2; f) sin2 sin2 1

2

x x  Bài tập 12: Giải các phương trình sau:

a) cos2x 3 sin2x  1 sin2x;

b) cos 32 2  3 cos 4 9 1 sin2 2 , ;2

          ; c) sin2x 2 cos2x 3 sin cosx x;

d) sin2x3 sin cosx x   1

Bài tập 13: Giải các phương trình sau:

a) cosx sinx3sin cosx x 1 0;

b) cosxsinx 6sin cosx x 1;

c) 1 sin x1 cos x ; 2

d) tanx 7 tan xcotx 7 cot x 14 0 ;

e) 3 tan 2x cot2x2 3 1 tan    xcotx 4 2 3 0 ;

f) tanxtan2xcotx cot2x  6

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1: Giải phương trình: sin 2 1

Bài tập 3: Giải phương trình: sin 2 x  1 cos 2  x

Bài tập 13: Giải phương trình: sin 3x 3 cos 3x 2cos5x

512

Bài tập 17: Giải phương trình: sin 2x4 sin xcosx 4

Bài tập 22: Giải phương trình: sin 2x12 sin xcosx12 0

Bài tập 27: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx 3 cosx  2 là

Bài tập 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số lượng giác sau:

a) y sinx2 b) y  tan2x c) y  cos2x

Bài tập 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số lượng giác sau:

a) y 2 sinx trên  0; b) cos

cosx x1 f) cos2xcosx  0Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

a) 2 cos2x3 cosx   1 0 b) tan2x 3 1 tan  x 3 0 c) sin2x 3sinx  2 0 d) cot2x4 cotx   3 0

Bài tập 6: Giải các phương trình sau:

a) cos2x3sinx 2 0 b) 12 cot 3

sin x  x c) sin2xcosx   1 0 d) tan cot 3

2

x x  Bài tập 7: Giải các phương trình sau:

a) 3 sinx cosx 1 b) sin cos 6

2

c) 3 sinxcosx  2 d) 5sin2x 12cos2x 13

e) 3 cos5x2sin 3 cos2x xsinx 0 f)

Bài tập 8: Giải các phương trình sau:

a) 3 sin2x  1 3 sin cos x xcos2x 1 3 0

b) 9 sin2x30sin cosx x 25cos2x 25

c) sin2x2sin2x 2cos2x

Bài tập 9: Tìm nghiệm x  0; của phương trình 5cos sin 3 2 sin 2

4

x x   x  

  Bài tập 10: Tìm nghiệm x  0; của phương trình:

Bài tập 11: Giải phương trình: sin2x 2 5 cos 2x  2

Bài tập 12: Giải các phương trình sau:

Bài tập 13: Tìm m để phương trình m1 cos x 2 sinx m  có nghiệm 3

Bài tập 14: Tìm m để phương trình 2sin2x2m1 sin x m  có nghiệm 0

c) y 4 sin2x3 3 sin2x2 cos2x

Bài tập 16: Tìm tất cả các giá tị của tham số m để hàm số chỉ nhận giá trị dương

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1: Điều kiện xác định của hàm số 1 3cos