TÀI LIỆU TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (HÌNH HỌC)

Tài liệu phù hợp với kiến thức tuyển sinh vào lớp 10 tại khu vực Thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu có đầy đủ kiến thức để các bạn có thể bắt đầu lại với kiến thức hình học từ những điều cơ bản nhất.

TÀI LIỆU LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Tài liệu này được soạn dựa theo chương trình mới của SGK, bám sát cấu trúc đề thi và chỉ dành cho HS ôn thi vào lớp 10 công lập

CÁC KÍ HIỆU TRONG TÀI LIỆU

(O) : Đường tròn tâm O

(O; R) : Đường tròn tâm O, bán kính R

ABC : Tam giác ABC

SABC : Diện tích ABC

a, b, c : Độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của ABC

ha, hb, hc : Độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC

ma, mb, mc : Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC

R, r : Bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

đpcm : Điều phải chứng minh

2p : Chu vi của tam giác (p =

a b c2

 

là nửa chu vi)

CHUYÊN ĐỀ 1: KIẾN THỨC VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC

1 Tam giác cân:

Các phương pháp chứng minh tam giác cân:

- Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

- Tam giác có một đường cao vừa là đường trung tuyến, đường trung

trực, đường phân giác của một góc và ngược lại thì tam giác đó là

tam giác cân.

2 Tam giác đều:

Các phương pháp chứng minh tam giác đều:

- Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

- Tam giác có ba góc bằng nhau và bằng 60 0 là tam giác đều.

- Tam giác cân có số đo góc ở đỉnh cân bằng 60 0 là tam giác đều.

- Tam giác có các đường cao vừa là đường trung tuyến, đường phân

giác, đường trung trực và ngược lại là tam giác đều.

3 Tam giác vuông:

Các phương pháp chứng minh tam giác vuông:

- Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.

- Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc là tam giác vuông.

- Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông.

- Nếu một tam giác thỏa mãn bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

- Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.

4 Tam giác vuông cân:

Các phương pháp chứng minh tam giác vuông cân:

- Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân.

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45 0 là tam giác vuông cân.

- Tam giác cân có số đo một góc ở đáy bằng 45 0 là tam giác vuông cân.

5 Hình thang, hình thang cân, hình thang vuông:

Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Phương pháp chứng minh hình thang:

Phương pháp 1: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Phương pháp chứng minh hình thang vuông:

Phương pháp 1: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Phương pháp chứng minh hình thang cân:

Phương pháp 1: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Phương pháp 2: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Phương pháp 3: Hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

6 Hình bình hành:

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Diện tích hình bình hành: SABCD AH.CD AH.AB

Các phương pháp chứng minh hình bình hành:

- Tứ giác có các cạnh đối song song.

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.

- Tứ giác có các cạnh đối song song và bằng nhau.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

7 Hình chữ nhật:

Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Chu vi hình thoi: CABCD 4AB 4BC 4CD 4DA  

Diện tích hình thoi: ABCD

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

9 Hình vuông:

Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau Tính chất:

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Chu vi hình vuông: CABCD 4AB 4BC 4CD 4AD  

2 2 2 2

S AB BC CD AD

- Hình thoi có một góc vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

BAC = 90

2 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

AB là cung bị chắn bởi BAx� .

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

� �  1

3 Góc có đỉnh ở bên trong và có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

a) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn:

4 Độ dài cung tròn và độ dài đường tròn

- Tính độ dài đường tròn: C = 2 R = d, (R: Bán kính, d: Đường kính, lấy  = 3,14)

- Tính độ dài cung tròn:

Rn180

l

(R: Bán kính, n 0 : Số đo cung tròn, l: Độ dài cung tròn,  = 3,14)

S S S

Bài tập:

Bài tập 1: Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B, C, D, A theo đúng kích

thước đã cho (cạnh hình vuông ABCD dài 1 cm) Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH Tính độ dàiđường xoắn đó

Bài tập 2: Bạn Hương hằng ngày đi học bằng xe đạp từ nhà đến trường cách nhà 2041m Biết rằng

nếu bạn đạp bàn đạp để dĩa quay 2 vòng thì líp quay 5 vòng (Bánh xe cũng quay 5 vòng) (Bánh xe

có đường kính 650mm) Hỏi đi từ nhà đến trường bạn Hương phải đạp để dĩa quay bao nhiêu vòng(lấy 3,14 )?

Bài tập 3: Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40 m, AD = 30 m Người ta muốn buộc hai

con dê ở hai góc vườn A, B Có hai cách buộc:

- Mỗi dây thừng dài 20 m

- Một dây thừng dài 30 m và dây thừng kia dài 10 m

Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn ?

Bài tập 4:

a) Vẽ hình (tạo bởi các cung tròn) với AH = 10 cm và AB = NH = 2 cm Nêu cách vẽ

b) Tính diện tích hình HOABINH (miền nền đen)

Bài tập 5: Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1 > R2 )

b) Tính diện tích hình vành khăn khi R1 = 10,5 cm, R2 = 7,8 cm

Bài tập 6: Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy Hãy tính

diện tích hình viên phân AmB (miền nền đen), biết góc ở tâm AOB 60 �  0 và bán kính đường tròn là

5,1 cm

CHUYÊN ĐỀ 3: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Kiến thức cơ bản:

Hình Hình vẽ xung quanh Diện tích Thể tích

Hình

trụ

S xq = 2 Rh

R: Bán kính đáy AD,BC h: Chiều cao hình trụ CD

2

V R h

R: Bán kính đáy AD, BC h: Chiều cao hình trụ CD

Hình

nón

S xq = Rl

R: Bán kính đáy OC l: Đường sinh AC

2 1

V =πR h 3

R: Bán kính đáy OC l: Đường sinh AC h: Chiều cao hình nón AO

V =πR 3

B

D A

C B

RO

Bài tập 2: Cho ABC vuông tại A có BC = 2a và B = 30 � 0 Quay tam giác vuông này một vòngquanh cạnh AB ta được một hình nón đỉnh B Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình nón ấybằng diện tích mặt cầu có đường kính AB.

Bài tập 3: Người ta chia hình tròn (O; 12cm) thành hai hình quạt có các số đo cung là 1200 và

0

240 Từ hai hình quạt này người ta uốn lại thành hai hình nón.

a) Tính nửa góc ở đỉnh của mỗi hình nón

b) Tính thể tích của mỗi hình nón

c) Tính tỉ số diện tích toàn phần của hai hình nón

Bài tập 4: Cho hình nón có bán kính đáy bằng r(cm), chiều cao 3r(cm) và một hình cầu bán kính

Bài tập 6: Hình dưới là ba hình khối đa diện, có chiều cao h bằng nhau là 20cm Hình A là hình hộp,

đáy là hình vuông cạnh 18cm Hình B là lăng trụ đứng, đáy là hình tam giác vuông mà hai cạnh gócvuông bằng nhau và có độ dài 15cm Hình C là hình chóp đều, đáy là hình vuông cạnh 15cm Hãytính tổng thể tích ba hình khối này (làm tròn 1 chữ số thập phân)

Bài tập 7: Để đo đường kính của một ống trụ tròn, người ta sử dụng một thước kẹp đo đường kính

ngoài, đường kính trong, chiều dài của ống rồi suy ra thể tích ống Bạn Tuấn ước lượng thể tích ốngnày chỉ bằng: Giấy, mực, thước thẳng, com pa và kiến thức toán" bằng cách như sau: Bôi mực lênmiệng ống tròn in trên tờ giấy trắng (Hình), lấy 3 điểm A, B, C trên vòng ngoài, vẽ các trung trực a,

b của AB, AC Xác định tâm O đường tròn, suy ra hai bán kính R, r của hai đường tròn, dùng thướcthẳng đo chiều dài h của khối Hãy tính thể tích khối tròn trên, biết rằng R = 60mm, r = 40mm và h =100mm (Lấy 3,14)

A

FC

B

DA

CB

Bài tập 8: Để làm một cái mũ chú hề như hình 1, mũ là hình nón có đường kính đáy là 160mm,

chiều cao là 400mm Bạn An cần một tờ giấy thủ công màu và cắt ra thành một hình quạt tròn OAB(hình 2) (Độ dài làm tròn đến một chữ số thập phân)

Hãy xác định bán kính hình quạt và góc AOB (làm tròn đến độ, lấy   3,14)

Bài tập 9: Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là 30cm, chiều

cao 20cm, đựng đầy nước Lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là 40cm, chiều cao 12cm Hỏinếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngoài không? Tại sao? (Lấy 

 3,14)

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SONG SONG Các phương pháp chứng minh

Phương pháp 1: Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng cùng vuông góc với một

đường thẳng thứ ba.

Phương pháp 2: Dựng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng

phía bằng nhau, …

Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo của định lý Talét.

Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những

đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Phương pháp 4: Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác.

Phương pháp 5: Áp dụng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng băng nhau của đường tròn.

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD Gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác

BCD Chứng minh rằng KL // AD

Giải

Gọi M là trung điểm của BC

Vì K là trọng tâm của  ABC

MA MD nên KL //AD (định lý Talét đảo)

Do trong  AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên

KL // AD (định lý Talét đảo)

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của AM

và BD và K là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng: IK //AB

Suy ra IK // AB (Điều phải chứng minh)

Vì trong  AMB có IK định ra trên 2 cạnh MA, MB những đoạn thẳng tỷ lệ nên

CHUYÊN ĐỀ 5: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Phương pháp chứng minh

Phương pháp 1: Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác.

Phương pháp 2: Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc

với đường thẳng còn lại.

Phương pháp 3: Dựng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.

Phương pháp 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây.

Phương pháp 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau.

bSử dụng góc nối tiếp nửa đường tròn.

Phương pháp 7: Sử dụng tính chất đường trung trực.

Phương pháp 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.

�

(1)Xét BEC có: EK là đường trung tuyến

1

EK = BC2

�

(2)

Từ (1) và (2), suy ra: DK = EK

Suy ra: EKD cân tại K

Mà I là trung điểm của DE

Do đó: KI là đường cao của EKD  KI  ED

Bài tập 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn SA và

SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N Gọi H giao điểm của BM và AN Chứng minh rằng SH  AB

Chứng minh

Ta có: AMB 90�  0 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ANB 90 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét SAB có AN, BM là hai đường cao

Mà H là giao điểm của AN và BM  H là trực tâm của SAB

Suy ra: SH thuộc đường cao thứ ba của SAB

CHUYÊN ĐỀ 6: CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

Phương pháp chứng minh

Phương pháp 1: Chứng minh hai đoạn thẳng cĩ cùng độ dài (theo cùng đơn vị đo chiều dài) Phương pháp 2: Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba thì bằng nhau.

Phương pháp 3: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau là các cạnh của các tam giác, tứ giác đặc

biệt (hình đặc biệt), tam giác bằng nhau.

Phương pháp 4: Chứng minh tỉ số độ dài của các cặp cạnh cần chứng minh luơn đạt giá trị bằng 1 Phương pháp 5: Sử dụng định nghĩa, tính chất của:

Trung điểm, trung trực của đoạn thẳng.

Đường trung tuyến, đường trung bình, đường trung trực, trong tam giác.

Đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuơng,

2 điểm, 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm, 1 trục.

Phương pháp 6: Chứng minh hai tam giác cùng diện tích với các đường cao, cạnh đáy tương ứng Phương pháp 7: Sử dụng tính chất của dây cung và tiếp tuyến với đường trịn.

Bài tập

Bài tập 1: Cho đường trong (O) đường kính, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H và K theo

thứ tự là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK

Chứng minh

Theo giả thiết, ta cĩ: AH  CD và BK  CD nên AH // BK

Suy ra: AHKB là hình thang

Kẻ OM  CD tại M  MC = MD (t/c đường kính và dây

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Xét ECD cĩ: D�1C�1 (do ACD BCD� � )

 ECD là tam giác cân

Bài tập 3: cho hình bình hành ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC Chứng minh

Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ AC cắt BD tại H Lấy hai điểm E, F lần lượt thuộc AD, BC

sao cho AE = CF, AF cắt HB tại I Gọi M là trung điểm của IB Chứng minh: AE= IM

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có AP là phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tia Px

sao cho góc CPx bằng góc BAC Tia này cắt AC ở E Chứng minh rằng: PB = PE

Bài tập 6: Dựng phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Vẽ hình bình hành

EADF Chứng minh BCF là một tam giác đều

CHUYÊN ĐỀ 7: CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp chứng minh

Phương pháp 1: Hai góc có cùng một số đo thì bằng nhau.

Phương pháp 2: Hai góc của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của

tam giác cân, đều; hai góc của cùng một đáy trong hình thang cân, hai góc đối của hình bình hành,

… thì bằng nhau.

Phương pháp 3: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3.

Phương pháp 4: Tia phân giác chia một góc thành hai phần bằng nhau.

Phương pháp 5: Các góc so le trong, đồng vị, đối đỉnh,

Phương pháp 6: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một đường tròn thì bằng nhau.

Phương pháp 7: Tứ giác nội tiếp có góc ngoài bằng góc đối trong.

Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến, đối xứng, quay.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di động trên cạnh CD (khác C và D) Tia AE

cắt đường thẳng BC tại F Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt DC tại K BD cắt KF tại I

a) Chứng minh: CAF CKF� �

b) Chứng minh: �IDF IEF�

c) Chứng minh: KAF vuông cân

AFK ACK mà ACK 45 , BDC 45�  0 �  0 (ABCD là hình vuông)

Suy ra: AFK BDC� � 450

Do đó: Tứ giác IDEF nội tiếp (Vì góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)

 �IDF IEF �

c) AKF vuông tại A (giả thiết), ta có: AFK 45�  0�AKF 45�  0  KAF vuông cân tại A

Bài tập 2: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ

 IHM ICM� � (cùng chắn �MI ).

Bài tập 3: Cho ABC, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE Gọi M

và N lần lượt là trung điểm của BC và DE Đường thẳng qua M và N lần lượt cắt AB và AC tại P và

Q Chứng minh rằng: MPB MQC� � .

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, P ở trong hình bình hành sao cho PAB = PCB Chứng minh� �rằng: �PBA = PDA �

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD, trên BC và CD lấy 2 điểm tương ứng là M và N sao cho

BN=DM Gọi I là giao điểm của BN và DM Chứng minh: �AID = AIB �