Bài tập vận dụng cao oxyz

Biết rằng khi ,m n thay đổi, tồn tại mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và đi qua D.. Biết khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P và cùng đi qu

LỚP TOÁN THẦY CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI

TỪ VĂN KHANH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2018

BÀI TẬP HÌNH OXYZ VẬN DỤNG CAO Môn: Toán

(Số trang: 17 trang) (90 câu trắc nghiệm)

Bài 1 (Đề minh họa Bộ Giáo Dục lần 2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A0; 0;1 , B m; 0; 0 , C 0; ; 0n  và D1;1;1, với

0, 0

m n và m n 1 Biết rằng khi ,m n thay đổi, tồn tại mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)

và đi qua D Tính bán kính R của mặt cầu đó

2

2

2

R

Bài 2 (Nguyễn Khuyến – TP.HCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

ABCD A B C D có A trùng với gốc tọa độ O, B m ; 0; 0, D0; ; 0 ,m  A' 0; 0;n với m n, 0 và

4

m n Gọi M là trung điểm CC' Khi đó thể tích BDA M đạt giá trị lớn nhất bằng '

A 64

9

64

4

3

Bài 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt phẳng  P có phương trình

 2   2 

2mx m 1 y m 1 z100 và điểm A2;11; 5  Biết khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định

tiếp xúc với mặt phẳng  P và cùng đi qua A Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó

Bài 4 (Chuyên Bắc Giang – Lần 1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

P m nx mny m n z m n m n   với m n, là tham số thực tùy ý Biết rằng mặt phẳng  P luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định khi m n, thay đổi Tìm bán kính mặt cầu đó

Bài 5 (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – Lần 2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng  P :x y 2z 1 0, Q : 2x   y z 1 0 Gọi

 S là mặt cầu có tâm thuộc Ox, đồng thời  S cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2và  S cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r Xác định

r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu  S thỏa mãn yêu cầu bài toán

A 3 2

2

2

2

r

Bài 6 (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – Lần 1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;cvới a b c, , 0 và thỏa mãn

2

a  b c Biết rằng khi a b c, , thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc một mặt phẳng  P cố định Tính khoảng cách từ M2016; 0; 0 tới mặt phẳng  P

2016

2015

3

Bài 7 (Chuyên Bến Tre – Lần 1)

Với m  1; 0  0;1, mặt phẳng   2

m

P mx m y mz  luôn cắt mặt phẳng Oxz theo giao tuyến là một đường thẳng  Hỏi khi m thay đổi thì các giao tuyến  có các kết quả nào sau đây?

Bài 8 (Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;cvới a b c, , 0 và thỏa mãn

4

a  b c Biết rằng khi a b c, , thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc một mặt phẳng  P cố định Tính khoảng cách từ M2;1;3 tới mặt phẳng  P

3

3 3 2

Bài 9

Bài 10 (Nguyễn Khuyến - TP HCM)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0;m D , 1;1;n với

0, 0

m n và m n 1 Khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất là

2



16



6



Bài 11 Tam giác ABC vuông tại B có A1; 0; 2 , B 2; 0;5 , C 0; 1; 7  Điểm S di động trên đường thẳng  vuông góc với măt phẳng ABC tại A Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

,

SC SB Biết khi S di động trên  thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm F cố định Tính khoảng cách từ F đến mặt phẳng  P :x2y2z 9 0

A d F P ;  5 B d F P ;  4 C d F P ;  3 D d F P ;  6

Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho   : 2x y 2z 5 0,  :x   y z 3 0 và các điểm A1; 1; 2  , B0;1;1,C3; 1; 0  Gọi  là mặt phẳng chứa giao tuyến hai mặt phẳng   và  

đồng thời đi qua điểm A Điểm M a b c ; ;     sao cho MBMC nhỏ nhất Khi đó Pa2b2c2 có giá trị là

A 94

25

7

7

25

P

Bài 13 (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

1

3



Viết

phường trình mặt phẳng  P đi qua điểm M4; 6;5 và cắt các đường thẳng   1, 2, 3 lần lượt tại ba điểm phân biệt A B C, , sao cho M là trực tâm tam giác ABC

A 3x6y5z730 B 3x5y5z670

C 4x6y5z770 D 3x4y5z610

Bài 14 (Sở giáo dục Vĩnh Phúc – lần 2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

1

3



Viết phường

trình mặt phẳng  P đi qua điểm H3; 2;1 và cắt các đường thẳng   1, 2, 3 lần lượt tại ba điểm phân biệt

, ,

A B C sao cho H là trực tâm tam giác ABC

A 2x2y  z 11 0 B x   y z 6 0

C 2x2y  z 9 0 D 3x2y z 140

Bài 15 (Chuyên Hưng Yên)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng

2

1

x t



Viết

phường trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3 và cắt các đường thẳng d d d1, 2, 3 lần lượt tại ba điểm phân biệt A B C, , sao cho M là trực tâm tam giác ABC

A y  z 5 0 B x z 140 C 2x2y  z 9 0 D x   y z 6 0

Bài 16 (Sở GD Bắc Ninh)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1; 2; 3  và đường thẳng

:

 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với đường thẳng d

đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất

A u4; 5; 2   B u1;0; 2 C u3; 4; 4  D u2; 2; 1 

Bài 17 (Quảng Xương 3 – Thanh Hóa)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 0; 0 , B 0; 2; 0 , C 0; 0;3 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng ABC và N là một điểm trên tia OM sao cho OM ON 2 Biết rằng N thuộc một mặt cầu cố định Tính bán kính của mặt cầu đó

A 7

6

Bài 18 (SGD Hải Phòng)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z180,M là điểm di chuyển trên mặt phẳng  P ; N là điểm nằm trên tia OM sao cho OM ON 24 Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách

từ điểm N đến mặt phẳng  P

A mind N P ,  0 B mind N P ,  6 C mind N P ,  4 D mind N P ,  2

Bài 19 (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng

 P :x2y  z 1 0, Q :x2y  z 8 0, R :x2y  z 4 0 Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng      P , Q , R lần lượt tại A B C, , Đặt 2 144

AC

  Tìm giá trị nhỏ nhất của T

minT 72 3 C minT 108 D minT 96

Bài 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;c, trong đó

, , 0

a b c và thỏa mãn 1 2 3 7

a  b c Biết rằng mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu

    2  2 2 72

7

S x  y  z  Thể tích tứ diện OABC là

A 1

3

2

5

6

Bài 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 2;1 , B 3; 0; 1  và mặt phẳng  P :x   y z 1 0 Gọi M N, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên  P Độ dài MN là

2

Bài 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   4 3 2 3 8 7

:

m

d

với 1; 3 1;

4 2

m   

  Chứng minh khi m thay đổi thì d m luôn nằm trong một mặt phẳng  P cố định Phương trình mặt phẳng  P là

A x5y2z 6 0 B x10y3z 6 0

C 2x3y  z 6 0 D 2x6y  z 6 0

Bài 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   3 1 1 6

:

m

d

1

0;1;

3

m  

  Biết rằng khi m thay đổi thì d m luôn nằm trong một mặt phẳng  P cố định có phương trình dạng ax by   cz d 0, với a0 Tính tổng a  b c d

Bài 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A3; 0; 0 , B 0; 2; 0 , C 0; 0; 6 , D 1;1;1 Gọi

 là đường thẳng đi qua Dvà thỏa mãn tổng khoảng cách từ A B C, , đến  là lớn nhất Hỏi  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A M 1; 2;1 B M5; 7;3 C M3; 4;3 D M7;13;5

Bài 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

   và mặt phẳng

  :x2y2z 5 0 Gọi  P là mặt phẳng chứa  và tạo với   một góc nhỏ nhất Phương trình mặt phẳng  P có dạng ax by   cz d 0 a b c d, , ,  ; , , ,a b c d 5 Khi đó tích a b c d bằng

Bài 26 (Chuyên Bắc Giang – Lần 2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :ax by   cz d 0(với 2 2 2

0

a b c  ) đi qua hai điểm B1; 0; 2, C 1; 1; 0 và cách A2;5;3 một khoảng lớn nhất Khi đó giá trị của biểu thức

a c

F

b d





 bằng

3 2

7

Bài 27 (Chuyên Lào Cai – Lần 3)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x z  và

1 2

2

d y

z m t

  



 



  



Biết có 2 giá trị của tham số m để d cắt  S tại hai điểm phân biệt A B, và các mặt phẳng tiếp diện của

 S tại A và tại B vuông góc với nhau Tích của hai giá trị đó là

Bài 28 Cho hình chóp S ABCD với A4; 1; 2 ,  B 1; 0; 1 ,  C 0; 0; 2 ,  D 10; 2; 4  Gọi M là trung điểm của CD, biết SM vuông góc với mặt phẳng ABCD và thể tích khối chóp S ABCD bằng 66(đvtt) Tìm tọa độ điểm S

A S7;15;3 hoặc S3; 17; 1   C S5; 3; 7 

B.S3; 2;1  D S5;8;12 hoặc S4;3;18

Bài 29 (Chuyên Lào Cai – Lần 3)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S ABCD có

1; 0; 0 ,  1;1; 2 ,  2; 0; 3 , 0; 1; 1

A B   C   D   Gọi H là trung điểm CD SH, ABCD Biết

S ABCD

V  Kí hiệu S x y z 0; 0; 0, x0 0 Tìm x0

A x0 1 B x0 3 C x0 2 D x0 4

Bài 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 0; 2 ,  B 3; 1; 4 ,   C 2; 2; 0 Điểm D

trong mặt phẳng Oyz có độ cao âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ

D đến mặt phẳng Oxy bằng 1 Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là

A D0;3; 1  B D0; 3; 1   C D0;1; 1  D D0; 2; 1 

Bài 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2  2 2

S x  y z  Tìm tọa độ điểm

AOy biết rằng ba mặt phẳng phân biệt đi qua A đôi môt vuông góc với nhau và cắt mặt cầu  S theo thiết diện là ba đường tròn có tổng diện tích bằng 11

0; 6; 0

0; 0; 0

A

A





0; 2; 0 0;8; 0

A A





 C

0; 0; 0 0;8; 0

A A





0; 2; 0 0; 6; 0

A A







Bài 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z ,

1; 0; 0 , 0; 2; 0 , 0; 0;3

A B C Hỏi có ít nhất bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng AB BC CA, ,

A 1 mặt cầu B 2 mặt cầu C 4 mặt cầu D Vô số mặt cầu

Bài 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 1;3 ,  B 0;1;1 Gọi  S là mặt cầu

đường kính AB Qua điểm A và B, vẽ các đường thẳng  và ' tiếp xúc với mặt cầu  S sao cho  luôn vuông góc với ' Trên các đường thẳng  và 'lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MN luôn tiếp xúc với mặt cầu  S Tính thể tích V của khối tứ diện ABMN

4

2

3

V 

Bài 34 (Trích đề sở giá dục Thanh Hóa)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 0 và mặt cầu

S x y z  x y z  Từ một điểm M thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm N Tính khoảng cách từ điểm M tới gốc tọa độ, biết rằng MN 4

Bài 35 (Trích đề sở giáo dục Nam Định)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 2;0 , B 2; 3; 2  Gọi  S là mặt cầu đường kính AB Kẻ Ax By, là hai tiếp tuyến với mặt cầu  S và AxBy Gọi M N, lần lượt là điểm di đọng trên Ax By, sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu  S Tính giá trị của AM BN

A AM BN 19 B AM BN 24 C AM BN 38 D AM BN 48

Bài Giải

Bài 36 (Trích THPT Thăng Long – Hà Nội)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  và tam giác ABC

có A5; 0; 0 , B 0;3; 0 , C 4;5; 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu  S sao cho khối tứ diện MABC

có thể tích lớn nhất

A M0; 0;3 B M2;3; 2 C M2;3;8 D M0; 0; 3 

Bài 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x2y  z 9 0 và mặt cầu

S x y z  x y z  Biết rằng  P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn  C Lập phương trình mặt cầu  T đi qua điểm M1; 5; 2  và chứa đường tròn  C

A     2  2 2

C     2  2 2

Bài 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  x z  và 2

:

d y t

z m t

 



 



  



Tìm giá trị của tham số m để d cắt  S tại hai điểm phân biệt A B, và các mặt phẳng tiếp

diện của  S tại A và tại B vuông góc với nhau

A m 1 hoặc m 4 B m0 hoặc m 4

C m 1 hoặc m0 D Cả A B C, , đều sai

Bài 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

m

đường tròn cố định Tìm bán kính r của đường tròn đó

A 1

2

2

r

Bài 40 (Trích đề sở giáo dục Nam Định)

Cho tứ diện ABCD có cạnh bên ADABC, đáy ABC thỏa mãn

điều kiện

cot cot cot

AB AC BC BA CA CB

(*)

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên DB và DC

Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp A BCHK bằng:

A 32

3

V  

3

V  

C 4

3 3

V  

3

V  

BÀI GIẢI

*) Đầu tiên ta đi chứng minh:

Thậy vậy, theo định lý hàm số côsin ta có:

2 cos cos

2

bc

 

cos

1

4 sin 2

(Do 1 sin

2

S bc A ) đpcm!

*) Khi đó:

Suy ra:

cot cot cot

nên đẳng thức (*)

8

S abc

4

abc

R

    (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

*) Tiếp theo ta đi chứng minh R = 2 chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCKH ( nghĩa

là chứng minh cho IA = IH = IK , với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Kẻ hai đường trung trực của cạnh AB và AC chứng cắt nhau tại I và cắt AB, AC lần lượt tại E

và F

Tam giác AHB vuông tại H có đường trung tuyến HE ứng cạnh huyền AB nên EH EA

Ta có: IE AB IE ABD IE EH

IE AD





Xét tam giác IEH và IEA ta có: IE: cạnh chung; IEH IEA900; EH EA nên suy ra :

IEH  IEAIH IA R 2

Chứng minh tương tự ta cũng có: IK IA R 2

Suy ra I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A BCKH , suy ra bán kính R2

2

Chọn đáp án A

Bài 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

1;1; 1

A  Ba mặt phẳng    P1 , P2 và  P3 cùng đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu

 S theo ba giao tuyến là ba đường tròn Tính tổng diện tích của ba đường tròn giao tuyến đó

Bài 42 (Đề thi thử số 6 báo toán học tuổi trẻ)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 1 ,  B 0; 4;0 và mặt phẳng

 P : 2x y 2z20150 Gọi  là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng  Q đi qua hai điểm A B, và tạo với mặt phẳng  P Giá trị của cos là:

A cos 1

9

6

3

3

 

Bài 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;1; 2 , B  3; 1; 0 và mặt phẳng

 P :x y 3z140 Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng  P sao cho tam giác ABM vuông tại M

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng:

Bài 44 Tam giác ABC vuông tại B có A1; 0; 2 , B 2; 0;5 , C 0; 1; 7  Điểm S di động trên đường thẳng  vuông góc với măt phẳng ABC tại A Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

,

SC SB Biết khi S di động trên  thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm F cố định Tìm S để

 

A SCF,  3

2; 4; 3

0; 4; 1

S

S







 

2; 4; 3 0; 4;1

S S





2; 4;3 0; 4;1

S S







0; 4;3 0; 4;1

S S









Bài 45 (SGD – Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

S x y z  và điểm

1 3

; ; 0

2 2

  Đường thẳng d thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu  S tại hai điểm A B, phân biệt Tính diện tích S lớn nhất của tam giác OAB

Bài 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2;1; 4 ,  B 6; 2;3 , M1;1;3 Gọi  P là mặt phẳng đi qua M sao cho tổng khoảng cách từ A B, tới mặt phẳng  P là lớn nhất Biết rằng mặt phẳng

đó có dạng  P :xaybz c 0 với a b c, , R Tính giá trị của S  a b c

A 10

3

4

6 5

Bài 47 (Chuyên Quốc Học Huế - lần 2)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Xét đường thẳng

1

:

1

d y mt t R

  



  



, m là tham số thực Giả sử  P và  P' là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với

 S lần lượt tại T và ' T Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng TT '

A 4 13

2 11

3

Bài 48 (Phan Bội Châu – Đăk Lăk)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2   2 2

S x  y  z  và đường thẳng

: 2

d x   y z Hai mặt phẳng    P , P' chứa d, tiếp xúc với  S tại T và T' Tìm tọa độ trung điểm

H của TT '

A 1 5; ; 5

3 6 6

H  

2 5 7

; ;

3 6 6

H  

11 5 5

; ;

3 6 6

H  

13 7 7

; ;

3 6 6

H  

 