Bài tập vận dụng cao, ứng dụng Mũ Logarit và giải bài toán mặt cầu

+ Gọi  là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng thấy rằng mp  luôn cắt mặt cầu SO;R theo giao tuyến là đường tròn C có tâm O, bán kính R.. + Do có vô số mặt phẳng  chứa đường th

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 1 -

Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp, lăng trụ

CHÚ Ý Các đáp án về bài tập mặt cầu trong chương này Thầy sẽ không dùng công thức tính nhanh,

mà chỉ dụng tính toán chi tiết bình thường, mục đích là để các em phát triển tốt hơn kỹ năng hình không gian Khi đi thi, nếu bài nào dùng được công thức tính nhanh của mặt cầu (hầu hết là dùng được( thì các em nên dùng công thức tính nhanh

I Câu hỏi nhận biết

Câu 1 Cho hai điểm A,B phân biệt Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. B. đường thẳng trung trực của AB

C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB. D. trung điểm của đoạn thẳng AB

B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật

C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 2 -

R

2R.2



Hướng dẫn

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  P thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của  P và  S

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 3 -

Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất Giả sử M là điểm bất kì khác nằm trên đường tròn (C), gọi ( ')

là mặt phẳng trung trực của AM và I' ( ')   thì mặt cầu tâm tâm I' thỏa mãn yêu cầu đề bài Ta

có

0

I'A I'M I'M   I' thuộc mặt phẳng trung trực ( ) của AM0 nên I' ( )  

Từ đó suy ra I' I Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6 Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?

Hướng dẫn

Chọn A

+ Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng thấy

rằng mp( ) luôn cắt mặt cầu S(O;R) theo giao tuyến là đường

tròn (C) có tâm O, bán kính R Trong mp( ) , ta thấy từ điểm M

nằm ngoài (C) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến MT ,MT1 2 với đường tròn (C) Hai tiếp tuyến này cũng chính là tiếp tuyến với mặt cầu S(O;R)

+ Do có vô số mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu S(O;R) theo các giao tuyến là đường tròn (C) khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M nằm ngoài mặt cầu

Câu 7 Một đường thẳng d thay đổi qua A cố định nằm ngoài mặt cầu S(O;R) và tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại M Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?

A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA B. Mặt phẳng trung trực của OA

C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 4 -

Câu 8 Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH, ta được một mặt cầu Thể tích của khối cầu tương ứng là



3

a 354



3

4 a3



Câu 9 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC2a và 0

B30 Quay tam giác vuông này quanh trục

AB, ta được một hình nón đỉnh B Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S2 là diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số 1

d

H

M

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 5 -

x

J d

C A

2

Hướng dẫn

Gọi M là trung điểm BC,

suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp OBC

Kẻ MxOBC (như hình vẽ)

Suy ra Mx là trục của OBC

Trong mặt phẳng OA,Mx, kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

a 2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 S - Trang | 6 -

Suy ra Ix là trục của ABC

Trong mặt phẳng SA,Ix, kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J Khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

và vuông góc với đáy ABCD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị

2a

a 13

a 13

3 3

Hướng dẫn

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD Kẻ GxACD, suy ra Gx là trục của ACD

Trong mặt phẳng SA,Gx, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BABC a Cạnh bên SA2a

và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

a 6

Hướng dẫn

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 7 -

a 15

4

Hướng dẫn

Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Từ G dựng tia GxABC (như hình vẽ)

Suy ra Gx là trục của tam giác ABC

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 8 -

Gọi M là trung điểm AB, suy ra SMAB và SMABC

Do đó SM là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng SMB, kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính RSI

a 6

a 6

a 2

3

Hướng dẫn

Gọi M là trung điểm AC, suy ra SMABCSMAC

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S

AC AB BC a 2, suy ra tam giác SAC đều

Gọi G là trọng tâm SAC, suy ra GSGA GC  1

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lại có SMABC nên SM là trục của tam giác ABC

Mà G thuộc SM nên suy ra GA GB GC   2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 9 -

I

O B

D

C A

S

Câu 17 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 21

6 Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R

h bằng.

7

7

1

Do đó IA IB IC IS   nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Gọi M là tung điểm SA, ta có SMI SOA nên

Gọi O AC BD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

ABCD

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 10 -

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dlà đường

thẳng đi qua Hvà vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi   là

mặt phẳng trung trực của SA, O là giao điểm củadvà   Khi

đó O là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB2a

, BC a , hình chiếu của S lên ABCD là trung điểm H của AD



3

4 a3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 11 -

S

d

Hướng dẫn

Chọn A

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAD

O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Câu 21 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0

60 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là

A.

3

4 a

.3

60 =SB, ABCD SB,OB SBO

Trong SOB, ta có SO OB.tan SBO a 6

2

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn SB

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 12 -

3 3

Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có SAABC, ACb, AB c ,

BAC  Gọi B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC B 

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC

Tam giác ABB vuông tại B nên M chính là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABB, suy ra trục tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABB chính là đường trung trực

 của AB(xét trong mp ABC)

Tam giác ACC vuông tại C nên N chính là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ACC, suy ra trục tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ACC chính là đường trung trực

1

 của AC(xét trong mp ABC)

mặt cầu ngoại tiếp ABCC' B'

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCC B  thì R chính là bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 13 -





2 2

b c 2bc.cos2sin



Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại

tiếp hình chóp đã cho.A.V 5

Gọi M là trung điểm của AB thì

SMAB (vì tam giác SAB đều)

Mặt khác do SAB(ABC) nên

SM(ABC)

Tương tự CM(SAB)

Gọi G và K lần lượt là tâm của

các tam giác ABC và SAB

Trong mặt phẳng (SMC), kẻ đường thẳng Gx//SM và kẻ đường

thẳng Ky//CM Gọi O Gx Ky, thì ta có OG (C AB)

OK (ABS)

Suy ra OG, OK lần lượt là trục của tam giác ABC và SAB

G M

S

C A

B

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 14 -

3 3



3

500 aV

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 15 -

Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc đáy

ABCD  Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD

có giá trị nào sau đây?

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC Gọi O là trung điểm của BC

Tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của cạnh huyền BC, suy ra OA OB OC (1) 

Xét các tam giác SHA, SHB, SHC  có

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 16 -

Từ  1 và  2 suy ra H trùng O Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC

Trong SAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I

Khi đó IA IB IC IS   Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Ta có EAABBC nên ABCE là hình thoi

a

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 17 -

I

O

M E

B

D

C A



D.

3

a.2



Từ  1 và  2 , suy ra ba điểm B, H, K cùng nhìn xuống AC dưới một góc 900 nên hình chóp A.HKCB

nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC, bán kính R AC AB 2 a 2

Vậy thể tích khối cầu

3 3

Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD a Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 0

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 18 -

A. a

a

a

Suy ra tam giác SBD vuông tại S

Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là O, bán kính R 1BD a



C.

3

a.6



D.

3

a.3



Hướng dẫn

Gọi O AC BD

Suy ra OA OB OC OD.    1

Gọi M là trung điểm AB, do tam giác SAB vuông tại S nên MSMA MB

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

Từ giả thiết suy ra SHABCD 

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 19 -

trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC

60 SA, ABC SA,HASAH

Tam giác ABC đều cạnh a nên AH a 3

Từ  1 và  2 , suy ra HKSAB nên d H, SAB    HK

Trong tam giác vuông SHE, ta có

III Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Câu 34 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 20 -

Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A' B'C' Gọi G,G' lần lượt là tâm của hai đáy

ABC và A' B'C' Ta có GG' chính là trục của các tam giác ABC và A' B'C'

Gọi O là trung điểm của GG' thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ nên

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu là ROA

Xét tam giác OAG vuông tại G, ta có

Câu 35 Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng 2

a 2 Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên Khi đó tích S.V bằng

B'

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 21 -

Hướng dẫn

Chọn C.

Dễ thấy tâm O của mặt cầu chính là tâm của hình lập phương

Trong tam giác vuông AA'C có AC'2 AA'2A'C'2

Trong tam giác vuông A' B'C' có A'C'2 A' B'2B'C'2

Câu 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy là tam giác vuông tại A, AB2a 3 Đường chéo

BC tạo với mặt phẳng AA C C   một góc bằng 60 Gọi  S là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Bán kính của mặt cầu  S bằng

A. a

Hướng dẫn

Chọn D

Gọi M là trung điểm BC, I là trung điểm BC Khi đó, IM là trục của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác, IB IC IB  ICIA Do

đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C   Bán kính

a 21

a 21

D

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 22 -

2

Gọi N là trung điểm AC,

suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi I là trung điểm A'C,

suy ra IN AA'INABC

Do đó IN là trục của ABC, suy ra IA IB IC.   1

Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'IC IA  2

Từ  1 và  2 , ta có IA'IA IB IC  hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán kính

60  AB'C' , A' B'C' AM,A'MAMA'

Trong AA'M, có A'M a 3

2

 ; 3a

AA' A'M.tan AMA'

Do đó GG' là trục của tam giác A' B'C'

Trong mặt phẳng GC'G', kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I Khi đó I là tâm mặt

P

B' G'

C' A'

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 23 -

cầu ngoại tiếp khối chóp G.A' B'C', bán kính RGI

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Giáo viên : Lê Anh Tuấn Nguồn : Hocmai.vn