Bài tập vận dụng cao, ứng dụng Mũ Logarit và giải bài toán Tròn xoay

3  Hướng dẫn Gọi R r, lần lượt là bán kính của hình cầu và bán kính đường tròn đáy của hình trụ.. Hình trụ có diện tích toàn phần S1, đường sinh MN2a và bán kính đường tròn đáy là AM

I BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện

Hướng dẫn

Chọn A

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

Khi đó I cách đều các mặtABC, ACD nên I nằm trên mặt phẳng  P1 là phân giác của hai mặt phẳngABC,ACD

Tương tự

 I nằm trên mặt phẳng  P2 là phân giác của hai mặt phẳngABC,ABD

 I nằm trên mặt phẳng  P3 là phân giác của hai mặt phẳngABC,BCD

Gọi d là giao tuyến của  P1 và  P2 và I là giao điểm của d và  P3

Điểm I tồn tại và duy nhất

Câu 2 Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3 Tính thể tích khối trụ này

3



Hướng dẫn

Gọi R r, lần lượt là bán kính của hình cầu và bán kính đường tròn

đáy của hình trụ Gọi h là chiều cao của hình trụ

Theo bài ta có

2

2

h

 

Suy ra thể tích của khối trụ là V r h2 .5.420

Chọn đáp án B

Câu 3 Cho hình trụ có đường cao h5cm, bán kính đáy r3cm Xét mặt phẳng  P song song với trục của hình trụ, cách trục 2cm Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng  P

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

A

D

B

O C

O'

R r

A. 2

5 5

6 5

3 5

10 5

Hướng dẫn

Giả sử mặt phẳng  P cắt hình trụ theo thiết diện

là hình chữ nhật ABB A  như hình vẽ

Gọi OH AB tại H , khi đó OH2cm

5

HA OA OH  Khi đó AB2HA2 5

Vậy diện tích của thiết diện của hình trụ với mặt

phẳng  P là S ABB A  AB AA 2 5.5 10 5

Câu 4 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho

A.

2

9



 a h

2

3

a h



C. V 3a h2 D. V a h2

Hướng dẫn

Chọn B

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại

tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 3

3

a

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là

2 2

3



  

a

Câu 5 Cho hình chữ nhật ABCD có AB2a, BC3a Gọi M , N là các điểm trên các cạnh AD , BC

sao cho MA2MD, NB2NC Khi quay quanh AB , các đường gấp khúc AMNB, ADCB sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là S1, S2 Tính tỉ số 1

2

S S

A. 1

2

12

21

S

2

2 3

S

2

4 9

S

2

8 15

S

Hướng dẫn

Hình trụ có diện tích toàn phần S1, đường sinh MN2a và bán kính đường tròn đáy là AM 2a

Hình trụ có diện tích toàn phần S2, đường sinh DC2a và bán kính đường tròn đáy là AD3a

2

S

Câu 6 .Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng a 2 Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 0

60 Tính diện tích tam giác SBC

A.

2

3 3

a

2

2 3

a

2

3

a

2

2 2

a

Hướng dẫn

- Phương pháp

-Phương pháp.Xác định góc giữa (SBC) và đáy, từ đó suy ra độ dài SI và BC

- Cách giải

SAB

 vuông cân ở S, AB a 2,SA SB a   suy ra OB a 2 SO

2

Gọi I là trung điểm BC, SBC cân ở S suy ra SIBC

Góc (SBC, đáy)=góc SIO600

0

2 2 a2 3

3

2 SBC



Câu 7 Cho một hình trụ  T có chiều cao và bán kính đều bằng 3 Một hình vuông ABCD có hai

cạnh AB CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh , AD BC không phải là đường , sinh của hình trụ T Tính cạnh của hình vuông này ?

2

Hướng dẫn

Gọi cạnh hình vuông là a

S

C

Gọi A1 là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng chứa DC, khi đó AA1 CD

Lại có CD  AD nên suy ra CD   AA D1   CD  A D1

Vậy A C1 là đường kính

Xét tam giác AA D1 vuông tại A1 có.a2 9 A D1 2A D1 2a29

1

3 10

2

Câu 8 Khi cắt mặt cầu S O R ,  bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O R ,  nếu

một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu

 , 

A. 3, 6

HƯỚNG DẪN

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' là hình chiếu của O xuống mặt đáy (O') Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có 2 2 2

h r R 0  h R 1 2 2

1

  

(1 h ) h (h)

'(h) (1 3h ) 0 h

3

h 0 3

3 1

f'(h) + 0 

f(h)

2 3 9  0 0

Vậy

 0;1 

9

MaxV  

(đvtt) khi 6

3

3

h

Cách 2 Dùng bất đẳng thức

Câu 9 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều

có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ diện ABCD

A.

2

a

2

a

Hướng dẫn giải

Bát diện đều IEFGHJ có cạnh 1

2

IE BCa nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán

a

Câu 10 Cho tứ diện ABCD có cạnh ABCDACBD2 , a ADBCa 2

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A. 3

2

a

5

2

a

R

Hướng dẫn

Gọi P là trung điểm của cạnh AD mà

 





Gọi K là trung điểm của cạnh BCADPKPK là đường trung trực của đoạn AD

Khi đó gọi O là trung điểm của cạnh PKOAOD

Ta có BAD CAD c c c    BPCP mà KBKC PK

 là đường trung trực của đoạn BCOBOC

O

G F

J I

B

C

D A

Hơn nữa 2 2 2 2

,

OK OP KC BC ADPD

Khi đó

       

 

Mà

2

          

2

II BÀI TẬP LIÊN HỆ THỰC TẾ

Câu 11.Người ta bỏ 5 quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình trụ có đáy là hình tròn

có bán kính bằng bán kính của quả bóng bàn và chiều cao bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn Gọi S1 là tổng diện tích của 5 quả bóng bàn , S2 là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số 1

2

S

S là

2

Hướng dẫn

Gọi bán kính của quả bóng bàn là R R0

Ta có chiều cao h của hình trụ bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn nghĩa là h5.2R10R Khi đó S1 5.4  R2 20R2

Và S2 2R h 2R.10R20R2

Vậy 1

2

1

S

S 

Câu 12 Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OAOB Khi đó

tỉ số tổng thể tích của hai hình nón  V n và thể tích hình trụ  V t bằng

A. 1

3

Hướng dẫn

Thể tích của mỗi khối nón là

2 2

1

1

A

Tổng thể tích của hai khối nón là

2

n

Thể tích của khối trụ là 2

t

V R h Vậy 1

3

n

t

V

Câu 13 Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính d 40cm và chiều dài h3m thành một cái xà hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu xấp xỉ là

A 1, 4 3

m C 0,14 3

Hướng dẫn

Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu thể tích cái xà lớn nhất

diện tích đáy của cái xà lớn nhất

đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy

Hình vuông này có đường chéo bằng đường kính đường tròn đáy

2

2 0, 4

.3 2

tru

  ; 1 2

0, 4 2

hh

 2

1

2

hh hh

bo di 0,14

go tru hh

Câu 14 Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 6cm, lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là 2cm Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số)

A. 4,81cm B. 4, 25cm C 4.26cm D. 3,52cm

Hướng dẫn

3

r

coc nuoc

Thể tích V1 của cốc nước sau khi thả 5 viên bi

1

V   V V     

Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc

2

Câu 15 Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm, người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính

4 dm

OA (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB) Chiều cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

A

B

C D

A

B

C

D

O

O

A 3,872 dm B 3,874 dm C 3,871 dm D 3,873 dm

Hướng dẫn ChọnD

Ta có cung AB có độ dài bằng 4 2

2

  

Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường

sinh OA .

Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với

OB) thì chu vi C đường tròn đáy bằng độ dài cung AB bằng 2

2



Xét tam giác OIA vuông tại I có OA4 dm, IA R 1 dm

OI OA IA    OI  153,873 Vậy h3,873

Câu 16. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính

đáy 1m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng

với của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn

vị )

Hướng dẫn

0,5m

3

m

O

AB h

I

Chọn A

OH CH    suy ra OHB là tam giác nửa đều

Suy ra diện tích hình quạt OAB là 1 2 1

Mặt khác

2

2

AOB HOB BOC

OB

Vậy diện tích hình viên phân cung AB là 1 3

3  4

Thể tích dầu ban đầu

Câu 17 Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng

bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần không gian còn trống trong hộp chiếm

A 65,09% B 47,64% C 82,55% D 83,3%

Hướng dẫn

Gọi đường kính quả bóng bàn là d Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d d, ,3d

1 3 3

V d d d  d

Thể tích của ba quả bóng bàn

3 2

4

Thể tích phần không gian còn trống V3  V1 V2

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm

3 3 3

3 1

d d V

Câu 18 Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả bóng lên

chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3

4 chiều cao của nó Gọi V1, V2 lần lượt

là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó

A. 9V1 8V2 B. 3V1 2V2 C. 16V19V2 D. 27V1 8V2

Hướng dẫn

Chọn A

1

5

2

5 .1 5

B A

H

O C

Gọi r1 là bán kính quả bóng, r2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén

Theo giả thiết ta có 21 1

2

h

OO  

Ta có

2

3

   

Thể tích của quả bóng là

3

h

V  r      h

3

16

V B hr h h 1

2

8 9

V V

Câu 19 Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên Biết bán

kính đáy bằng R 5cm, bán kính cổ r 2cm AB,  3cm, BC 6cm, CD 16cm. Thể tích phần

không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng

A.  3

412  cm

Hướng dẫn

Thể tích khối trụ có đường cao CD 2  3

1 400

Thể tích khối trụ có đường cao AB 2  3

2 12

2

MB

3

1 2 3 490

Chọn C

Câu 20 Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao

cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính

thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY

6







12







X

Y

r1=

r2

O' O

r

R D

C

A

B

R=5

r=2

M

C. 125 5 4 2 

24







4







Hướng dẫn

Chọn C

Cách 1

Khối tròn xoay gồm 3 phần

Phần 1 khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng 5

2 có thể tích

2

1

5



  

    

 

Phần 2 khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng 5 2

2 có thể tích

2

2



  

     

V

Phần 3 khối nón cụt có thể tích là

3



         

Vậy thể tích khối tròn xoay là

1 2 3

Cách 2

Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là

2 125

4





T

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là

2

2

N

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là

2





N

5 4 2 125

24







 T  N  N 

Y X

Câu 21 Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r2m, chiều cao h6m Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác Tính V

A. 32  3

9

3

3

9

Hướng dẫn

Chọn A

Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là x, 'h

0 x 2;0 h 6

    

V x hx  x  x  x

2

3

V x     x x

Khi đó ta có thể suy ra được với 4

3

x thì V đạt giá trị lớn nhất bằng

32

9



Câu 22 Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với

thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là

3 3

R cm Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng)

2-x x

A B

O S

A. 3

45 cm

Hướng dẫn

Xét mặt cắt như hình vẽ

Gọi h r, lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ nằm trong nửa khối cầu

r h  r  h

V h r h h  h  h

Cách 1 Ta có 2

V   h   V   h

3

2

54

V



 

Câu 23 Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể

tích V nhất định Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng

bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của

thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích) Gọi chiều cao của thùng là h và

bán kính đáy là r Tính tỉ số h

r sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là

nhỏ nhất?

A. h 2

C. h 2

Hướng dẫn

Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là V 1 và giá cho mỗi đơn vị diện tích bằng 1

Theo bài ta có h 12 h 13



2

6

6



1 6

h



Câu 24 Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước giống như

hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm, miệng xô là đường tròn bán

kính 30 cm, chiều cao xô là 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả

bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20000đồng/ 3

1 m (số tiền được làm

tròn đến đơn vị đồng)?

A 35279 đồng B 38905 đồng

C 42116 đồng D 31835 đồng

Hướng dẫn

Chọn D

Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h80 cmđáy là đường tròn tâm

O, bán kính bằng 30 cm Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt

hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm O' có bán kính bằng

20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành 2 phần Phần I là phần

chứa đỉnh A , phần II là phần không chứa đỉnh A (Như hình vẽ)

AO

Thể tích hình nón 1 302 72000 cm3

3

1

Vậy số tiền phải trả là 19 10.20000 31835

375

Câu 25 Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật

hoặc hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích

toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước Khi

đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là

A. 3 2

Hướng dẫn

Trường hợp 1 Hộp sữa hình trụ

2

2



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương 2

2 R ,V V,

R R



tp

Trường hợp 2 Hộp sữa hình hộp chữ nhật

Thể tích không đổi

 

Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương ab;V V;

a b

tp

V V

a b

Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn

Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là S tp 3 23 V2 (đvdt)

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

h

R h

Giáo viên : Lê Anh Tuấn Nguồn : Hocmai.vn