bai tap van dung cao Toan hoc

Gọi Ï là trung điểm của CH.. Trên nửa đường thẳng Ix vuông góc với mặt phẳng ABC lấy điểm S sao cho ASB=90°.. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAIB khi C thay

Trang 1

TUYỂN CHỌN BĂI TẬP VẬN DỤNG CAO

Tâc giả: Đoăn Trí Dũng

Sưu tầm vă biín tập: Oải Hương FTU Cđu 1: Biết rằng biểu thức "Šñ“X#a *9ốa "”“Ÿ: (trong đó neN*,n>3) được biểu diễn dưới dạng lũy

6s

thtra a Tinh gia tri cua n?

Loi giai: Dap an B

Ta biến đổi biểu thúc: z1 =z TT, 20009 2 60-1 1 +

65 _1Í3-1, 4-2 (n+2)—n

——=~———'-+*+——

264 2|123 234 ” n(m+1)(n+2)

=Š-1ÍD-prnnn)" sen 264 2|12 (n+l)(n+2)) 4[n°+3n+2)

Cđu 2: Cho đồ thị hăm số =2” như hình vẽ bín Trín đó ta

lấy câc điểm phđn biệt 4 vă B đồng thời lấy điểm C(0;~

trín trục tung O Biết rằng tam giâc ABC nhậ

O lă trọng tđm Xâc định tổng bình phương câc

hai điểm A va B?

15

Lời giải: Đâp ân A

Gọi câc điểm A(ø,2'),B(b,2')

a+b+0=30

@

Vậy Vì +; =7

lỏa mên điều kiện: +Jâ? +Ÿø*b? +jb? +Ôø?b° =1 Goi M va m lần lượt lă giâ

của P=a+b Xâc định tích Mn?

Nie

Loi giải: Đâp ân C

Có: a? + ate? +b? + ferb* =1 0? + ath? +0? +a?! + Nab? + a 2b + Oot? + 0°?

ca” +Ña*b? +b° + nh +2, (ia

o(lt iF) ol Fao vty =1 voi x=Ÿa;y =Ñb

sp!) =1<©a°+3510 +b`+3Ñp' =1 5

Khi dĩ: -(2° +’) <P=a+b=x ty <x +y*, Do đó M=1;m=~1=> Mm==1

Tăi liệu chọn lọc, chất vă thực sự cần thiết: oaihuongftu.com

Trang 2

Câu 4: Trên nửa đường tròn đường kính 4B=2R lấy C tùy ý Kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi Ï

là trung điểm của CH Trên nửa đường thẳng Ix vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho ASB=90° Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAIB khi C thay đổi

in =p in =p Ram = nin

Loi gidi: Dap an A

Đặt HA =x,Hb= „ ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông,

CH= fay 1 Ls 1A = x? +t B= yt

Ta có ASB =90° cho nén: SA? + SB? = AB? ree

=> AB? = 2S]? + 1A? + 1B? = SI? aoe |

Rup

=>R, “oe x? +h y +1 [x4] [»+4}

8

=R?4 4p? 2 16 Pu RV?

Câu 5: Biết rằng

°

Tần lượt là x,,x,„,3 Ộ lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = xj +x‡ + x‡ Hỏi A1 +0

gần với giá t at

Oy

X, +%y +X, ==

Ta có: 43,4; +A;x; +3;Z, =—=k do vay: Pax} +x} +x} = (4 +X2+ +) - 2(xix; +22 + ait)

d XXX, == 2

Ta

P= lễ +; +x) —2(X¡x; +x„x; +x) ~2|(xz +; +) —2ix;1;(Xị +4; +x,)|

<> P= (16—2k) —2(k? 16) = 4k° —64k +256 2k? +32 = 2(k° -32k +144) = ƒ(k)

Tài liệu chọn lọc, chất và thực sự cần thiết: oaihuongftu.com

Trang 3

Để có ba nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số phải có hai cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Diéu kién cé hai cue tri la: b* — 3ac =16- 3k >0 Sk < at

Ta có đường thang di qua hai điểm cực trị của đồ thị ham s6 da cho: y =-= S 2 (16- 3k)x-2+ T

Do vậy giả sử hai hoành độ cực trị là =7 và x=ƒ thì:

|-ÃIs~s)~2+- |-3I6-31)a~2= 3|<0e[ts- 3k)p+9=2k || (16-3k)q+9-2k |] <0

=(16-3k} pj+(9~2k)(16~3k)(p+)+(9~2k)” <0

Lại có: '=3x”—8x+k nên P+1=S và PS nên (16-3) ail (9- 2k) (16— 3k

sche 2 hoặc pe BH win bel amas: 5k <5 1 2 3

` ~32

Xét hàm số f (k)=2(k° -32k +144) voi 5<k<

Câu 6: Biết rằng đồ thị hàm số „=

giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? = (a° " +3)(c*

A Phin =27 B P„„=192

Loi giải: Đáp án B

Ta có '=av'+bx+c—5 có một cực tr

(« +3)(0* +3) i * = (Ve + 5) =3(a+b)' =3(5-c) =3(25-10c +c’)

Vay P bề 3)>3(e? +3)(e? ~ 10e +25) = 3(e" ~ 10e° +28e? ~ 30e +75) = f (c)

Ta có: ~80c? +56c ~ 30) = 6(c =5)(2 ~3)(c =1)

Không mất tính tổng quát ta giả thiết rằng c=min{ø;b;c] =5> 3c ©c< 2

Vậy ta có bảng biến thiên sau:

Trang 4

Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất cần tìm là 192

Lời giải: Đáp án A

Câu 7: Cho hàm số yt có đồ thị (C) Tính diện tích của hình tròn có tâm là giao điểm của hai x+

đường tiệm cận đồ thị (c) đồng thời tiếp xúc với 2 nhánh của đồ thị đó

Tời giải: Dap an A

Cách 1: Giải bằng phương pháp tự luận:

Đây là một bài toán khá khó Trước hết ta gọi giao

điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

là điểm A(-s1) Khi đó điểm tiếp xúc 5 của

đường tròn với đồ thị là điểm thuộc đồ thị sao

cho khoảng cách 4ø đạt giá trị nhỏ nhất Chính

vì vậy ta có hướng giải quyết như sau:

2) tase 2 ay

Goi a(t khi đó: AB= lossy «(22-) = l(a+5) +

(a+5,

Sử dụng chức năng TABLE để ủ

Start=-9,End=9,Step=1

a điều kiện x+y=vx-1+AJ2y+2 Gọi M,m Tần lượt là giá trị lớn Pax? +y?+2(x+1)(y +1) +8f4—x-y Khi do gid tri cha M+m bang:

40=0=| Ti = t=1+2/2

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên, ta cần tìm điều kiện của biến ¡

ƒ(0)=18

Giải sai lầm: Ta có: [Ty jS0t<xtyse Tới đây ta có: /(I+2{2)=27,627417

Khi đó M+m=45,6274? Không có đáp án nào khớp cả Rất may bài toán này không cài bẫy nếu không

ta đã mất điểm rất đáng tiếc Tới đây ta cần khảo sát sâu hơn điều kiện của biến ¿= x+y

Trang 5

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (Bunyakovsky):

(x+y) =(tjx+1+42 fray ⁄(1+2)(x~1+y+1)0<t=x+y<3

Vay 1+2V2 ¢[0;3] cho nên chỉ cần xét:

Bai tập áp dụng: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x+y~1=42x~4+j/+1 Tìm giá trị lớn nhất và

38-25

2

nhỏ nhất của biểu thức: Safer ¬ 0t DS: M= ,m=2~28J2

x+y

2

mx

Câu 9: Tìm các giá trị thực của tham số „ dé ham sé y=~—""**4 tién tue va dat gid =

[0:4] tại một điểm xạ e (0;4)

A -2<m<2 B -2<m<0 C m>2 ®

Loi giải: Đáp án B

~2mx +im2 ~4 _(-mŸ -2

(x-mỷ &-mỆ

Lập bảng biến thiên và suy luận: '

Do đó ta có trục xét đấu sau:

có các tình huống sau:

ố đã cho đều thuộc khoảng (0;4) Khi đó ta

(0;4) khi đó lập bảng biến thiên ta chỉ có GTNN tai x=m+2 cho

©®~-2<im<0

O<m+2<4 |-2<m<2

m>4Vm<0

¡ #[0;4]

vào đáp án A vì đáp án này sẽ làm học sinh dé mac sai lâm tích vào khi giải ra

¡ giải thêm điều kiện phụ mz[0;4] vì muốn tồn tại GTNN trong [0;4j thì bản than ham

số phải xác định và liên tục trên [0;4]

_ax+b oxtd

Cau 10: Cho ham sé y= f(x) với các hệ số a,b,c,deR;

~Š+0 có đồ thị (C), đồ thị hàm số z= /(s) như hình vẽ bên

Biết đồ thị hàm số y= /(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng 3 Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

Lời giải: Đáp án A Tài liệu chọn lọc, chất và thực sự cần thiết: oaihuongftu.com

Trang 6

ad—be + Vì đồ thị hàm s6 y= '(x) c6 tiệm cận đứng x=1 nên -Š=1©c=-4

Ta có: ƒ{x)

f(0)=3=5 =b=34

Mặt khá lt khác "" .ˆ ẽ

ˆ Po Pa

A ax+b -dx+3d_ x-3 saw Ẩn trai x ^ # 1 3

Vay 1=f0)= Ta” ad xi và tiếp tuyến tại x=3 là đường thắng jo

Câu 11: Cho tứ điện ABCD có A8=CD=a Gọi E và F lần lượt là trung điểm của øC và AD Biết rằng

Tính khoảng cách giữa hai đường thang ap va CD biết thể tích của tứ điện

A a(AB,CD) => B d(AB,CD) = 2a C a(AB,CD)=a

Lời giải: Đáp án C

Trước tiên ta có công thức đặc biệt tính thể tích: A

v = Lobdsins 2 ZABCD Asp cpysin{AB,CD)

Do vậy áp dụng công thức ta được:

@y3 12

2 5 [Aancn) pn(4-c0)

Goi Mla trung diém AC ta c6: (^5,cP) = (ME, MI

Ap dung định lú hàm số cosin ta có:

cosEME - ME + MP - EF

2ME.MF

Thay vào biểu thức, ta có đ(AB,C

= sin EMF

€

D

Câu 12: Cho hàm số f (x)=

mãn điều kiện e*#<e

©

4 ~l |3 BE | l§ 2 h Pa

| : item |L¿ 25 4 ả

Ta thấy rằng e' >ex với mọi xe lề cho nên e*'" >e(x+/) cho nên e*'” <e(x+) khi x+ y=1

4 + 4> 1š 4 + 4 Vim 4'*+m im 4+m4* =1

Vậy: ƒ(x)+ ƒ(y)=1= ƒ(x)+/(I-z)=1©

4 = m4" & 1 = = 1 an +m4* =4+m4 a m=2

Atm 4+m4 4 +m 44+m4*

Trang 7

Câu 13: Cho hàm số ƒ(x) thỏa mãn ƒ(%)+ ƒ'(x)=e 'J2x+1 Khi đó giá trị biểu thức A=e*Ƒ(4)~ ƒ(0)

có giá trị là:

a A-28 3 B.A= CC 3 cA= TC 3 D.A=0

Loi giải: Đáp án A

Ta có: e (f(x) + f'(x)) =V2x+1 = Jef (x)dxs Jef (x)ax =[W2x+1dx

=[/)de +fetdf(x) =5(2x+1)J2x+1+C=se'/(x)=2(2x+1)VBx+1+C

Vậy: £'/(4)=9+€ và ƒ(0)=3+C=e'/(4)~ /(0)=

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của trong (-10;10) để phương trình ot ghiém x< (2):

4° -3.2""! +10 =2(2" -3)sinmx

Lời giải: Đáp án A

Dat t=2* ta đưa phương trình về đạng: f° -(2sin 6)! +'Õ6ginzzx + 10 =0

Để có nghiệm ¿ thì A'=sin?mw~1>0©>sinma mx PE + ke

Va tất nhiên khi đó ta có: =2" =2 hoặc Me

Vì xe (2) nén chi lay x=2 2 niên không tồn tại nguyên nào thỏa mãn

R.AB =Rv2 1A va

>MI.AB © MA+ MB>

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z= 2— 3i

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn |z+2):+1|+|«-2):-1| =6.Goi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của |z|_ Tính T = M+ m

lời giải: Dap an A

Trang 8

Ta có: |z+2)¡-1|+|£-2);~I|=6=jx+2}+(y-1Ÿ +j(x-2} +(y+1Ÿ =6

Gọi M là điểm biểu điễn của số phức z và gọi tọa độ

các điểm A(2;-1), B(-2;1).Khi đó: MA+ MB=6

Mặt khác khi MA + MB=2a thì quỹ tích của M là một

elip trong đó AB=2c do vậy elip này có:

® Bán trục lớn: a= 3

® Tiêu cự: AB=2N5 =2c = c =xl5

Nhu vay J|=OM max=3 và min =2 Do đó T=M+N=5

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm M( 1/7; 0),

số thực đương thỏa mãn mn = 2 Ching minh rang đường thẳng MN tơ với một mặt cầu

cố định Xác đinhk bán kính của mặt cầu đó?

Loi giai: Dap an D

Cách 1: Giả sử tâm mat cau can tim 1a 1(a;b;c)

4+(m+n)`~2m =m+n Vậy MN= AM+BN Gọi O là trung điểm của AB,

ha OH | MN Theo dinh ly Pythagoras:

OM? = OA? + AM? = OH? + MH?

ie = OB’ + BN? = OH? + NH?

Do vậy: AM — BN? = MH? — NH? hay:

(AM- BN)(AM-+ BN) =(MH-NH)(MH-+NH)

= MeN Miah Loner

AM+BN=MH+NH' ˆ |BN=NH

=OH? =OM? - MH = OM? - MA? = OA? =

Trang 9

Vậy tâm O có khoảng cách tới MN bằng 1

Câu 18: Cho biết x = log, 12; = log,„ 24; log 168 = tong Tính §=a+2b+ 3c

Lời giải: Đáp án C

log 168 _ — alog.24+1 .„ Vì 168 =7.24= ø =1

Ta có: xự = log„ 24 và log„ 168 = a co: xy = log, 24 va log., log, 54 blog, Flos 244cloz.12 24+ clog, 12

(23), - 248

(2.3) 1

Vậy S=a+2b+ 3c = 15

Vì 54=2.3?= =c=8;b=-5

Câu 19: Biết rằng khi m thay đổi nhưng luôn

thỏa mãn điều kiện #0, tôn tại một đường,

thẳng (đ) là tiếp tuyến chung của tất cả các

(c ù -— 2a? —(m—2)x+ m

dal

đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có điện

tích bằng bao nhiêu?

1

c=

2

Loi giai: Dap an C

Đường thẳng (4)

x? — 396x +9602

Ta xét: m=100> y= = cho chạy từ -9 đến 9, Step 1 ta được:

Ö- ` (2-29)

†00- 2e lim: I:điễn

-z

Ta mấy À7 › =~1 hệ số góc tiếp tuyến không đổi bằng 1 Mặt khác bấm máy tính:

Ws 2x? - 98x +100 CALC x=-1 duge y=-2

x-99 * ee

Vậy ta luôn có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với mọi đường cong trong ho la y = x—1 Chọn C Câu 20: (Sở giáo duc va dao tao Ha Tinh 2017) Cho các số thực b>ø>0 Trong các phương trình sau,

phương trình nào vô nghiệm trên R?

A a" +b* =(a+b)

C a +b =2(a+b)’

lời giải: Đáp án D

B a* + (2b)° = 2(a + b)` %

Đ.` +(a+b)” =bỲ,

Trang 10

Bởi khi chia cả hai vế cho b* ta được: # +(e) 7 o[2) +(E+1] =1

« 4) | + (2) =0 (2) (3) + J =0 là phương trình vô nghiệm bởi hai vẽ trái luôn đương

Câu 21: (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - lần 1 - năm 2017) Cho x, y là hai số thực thoả mãn

log,(x+)+log,(x—w)>1 Tìm giá trị nhỏ nhất P,„ của biểu thức P=2x—ÿ

A Pạ„ =4 B Pụ„ =—4 min C P„„ =2/3 min D.P, BE

Loi giai: Dap an C

Ta có log,(x+)+log,(x—)>1x?—y° >4 Ta chú ý rằng: x+ >ø,x— >0 nên x

Do vậy x>.jyˆ +4 cho nên P=2x—>2Ajy°+4—= ƒ(y) với yeïR

2 — -1~0<sy~2MÖ, Vậy vẽ bảng biến thiên ta đượ

Ta lại có: ƒ'(/)}=

Câu 22: (Chuyên KHTN - Hà Nội - lần 5 - 2017) Với ø,b>0 thỏa mấn điều kiỆhsế + b+ ab =1, giá trị

nho nhat cia P=a‘ +b* bang

A (+ B 2(v2-1)’ Œ (-¬1), @ >(v2+1)

Loi giai: Dap an B

2(a +0 )>(a +b") -[}260 +b°)| = -Ÿ | nên p>2( 2-1)

Câu 23: Tìm mdé do thi ham sé y = x* thẳng =-3 tại bốn điểm phân biệt sao

cho có một điểm hoành độ lớn ho nhỏ hơn 1

Tời giải: Đáp án B

Cách 1: Sử dụng

(2x7 +1)

Từ bảng biến thị

Trang 11

F(x) 1-13 1-13

Cách 2: Sử dụng tam thức bậc 2:

Do là hàm trùng phương nên phương trình xŸ +2zzx” ++3=0 cần 4 nghiệm thỏa mãn.điều kiện:

A>0,5>0,P>0

(t,~4)(t,~4)<0

Câu 24: (THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 4 —- năm 2017) Cho các số tÌ

đường thẳng nao song song với trục Ox mà cắt các đường thang y =a"

Biết rằng bất kì

ục tung lần lượt tại M,

_ Tọa độ điểm M

©

=k

_ Tọa độ điểm N là lệ phương trình: Ũ y= =x, =log,k

log,b log, a Se Be

Câu 25: Cho đồ thị hàm số ự = a có đồ thị như hình vẽ Biết A, B, C, D thuộc đồ thị hàm số sao cho ABCD là hình vuông Tính diện tích hình vuông:

A.S=1 B không đủ đữ kiện C S= v2 D không tồn tại hình vuông

Lời giải: Đáp án D

Tâm hình vuông chắc chắn là điểm I(1;1) Ta xét As¬) aft) là hai điểm cùng nhánh i =

_IA=IB>(a-1) + a =(b-1) + a ` S((- +! Í“cepi] =0

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	2,25 MB