ĐS 4 1a GIỚI hạn dãy số

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy sốCHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.. Dãy số un có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.. Nếu bậc của tử nhỏ hơ

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A LÝ THUYẾT :

1 Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1 Định nghĩa:

Định nghĩa : limn u n 0



� �  khi và chỉ khi với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho:0 0

,

n

u   n n .

Kí hiệu: limn u n limu n



� �  � � �   , tức là: Với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho0

0

,

n

u  a   n n

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

1.2 Một số giới hạn đặc biệt

� lim 1k 0

� Nếu q  thì lim1 n 0

n q



� Nếu u n  (với c là hằng số) thì lim c n lim

Chú ý: Ta viết limu n  thay cho cách viết lima n u n a



2 Một số định lí về giới hạn

Định lí 1 Nếu dãy số (un) thỏa u n � kể từ số hạng nào đó trở đi và limv n v n  thì lim0 u n  0

Định lí kẹp : Cho ba dãy số ( );( );(w )u n v n n

Nếu

*

w ;

lim

n

u a

�

Định lí 2 Cho limu n a, limv n  Ta có:b

�lim(u n v n)  a b �lim(u n v n) a b

� lim( )u v n n a b � lim n ( 0)

n

u a

b

v  b �

� Nếu u n�0 n thì lim u n  a

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u có công bội q thỏa n q  Khi đó tổng 1 S u     gọi là tổng vô hạn của CSN và1 u2 u n

n n



4 Giới hạn vô cực

4.1 Định nghĩa:

�limn u n



� �  �� với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

4.2 Một số kết quả đặc biệt

�limn k  � với mọi k0

q  � với mọi q 1

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Quy tắc 1: Nếu limu n  ��, limv n  �� thì lim( )u v được cho như sau; n n

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Quy tắc 2: Nếu limu n  ��, limv n  thì lim( )c u v được cho như sau; n n

�

�

�

�









�

�

�

�

Quy tắc 3: Nếu limu n  ,limc v n  và 0 v n  hoặc 0 v n  kể từ một số hạng nào dó trở đi thì lim0 n

n

u

v được

coi như sau;

n

u v

�

�

�

�









�

�

�

�

B CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN:

DẠNG 1 : TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ĐƯỢC CHO Ở DẠNG ĐA THỨC

Tổng quát: Cho dãy số 1

u a n a n  n a



a n a n  n a



a n a n  n a



Câu 1 Tính limn32n1

Lời giải tham khảo :

Ta có:n3 2n 1 n3 1 22 13

n n

n n

tắc 2, limn32n  �1

Câu 2.Tính lim 5 n n 2 1

Lời giải tham khảo :

n n

n n

lim 5n n   �(theo quy tắc 2).1

Nhận xét : (H/s ghi)

Cho u có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của n n

- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số dương thì lim u n  �

- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số âm thì lim u n  �

2

n n

………

………

………

………

………

Câu 2 lim 2 n33n5 ………

………

………

………

………

………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

………

………

………

………

………

Câu 3 lim 2n45n37n ………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 4 lim 1 2n n3   3 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

DẠNG 2 : Tìm giới hạn của dãy số được cho ở dạng phân thức : Phương Pháp : Tìm lim ( ) ( ) f n g n ta thường chia cả tử và mẫu cho n , trong đó k k là bậc lớn nhất của tử , mẫu. Câu 1. 2 2 5 3 7 lim n n n   Lời giải tham khảo : 2 2 2 2 2 5 3 7 3 7 limu n lim n n lim 5 5 n n n n n � � � �  �   � �  � � � � � . Câu 3 lim 3 2 3 2 1 2 n n n u n n     ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 2. 3 4 3 2 2 1 lim 3 5 6 n n n n n      Lời giải tham khảo : ………

………

………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét : (H/s ghi) 1 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu: kết quả của giới hạn bằng 0 2 Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu: kết quả giới hạn bẳng tỉ số các hệ số có lũy thừa cao nhất của tử và mẫu 3 Nếu bậc từ lớn hơn bậc mẫu: kết quả giới hạn đó là � nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và ngược lại kết quả bằng � nếu hệ số cao nhất của từ và mẫu trái dấu VD1 3 2 3 2 2 3 5 lim 7 n n n n n      ………

………

………

………

………

………

………

………

VD2 lim 1 2 3 n n   ………

………

………

………

………

………

………

………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

………

………

………

………

………

VD3 lim 2 3 1 2 n n n n    ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD4 2 2 3 5 lim 2 1 n n n    ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD5       4 2 2 4 1 L lim 2 1 3 2 n n n n n       ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD6         2 2 2 2 1 lim 1 2 3 n n n n     ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD7 lim 9 2 1 4 2 n n n    ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD8 3 2 2 2 2 2 2 2 11 1 lim 2 n n n n n n n n    ………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD9 lim 3n2 1 n2 1 n    ………

………

………

………

………

………

VD10 lim 2n 2 n n   ………

………

………

………

………

………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

DẠNG 3 : GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO DẠNG MŨ CỦA N Phương pháp : Ta đưa về cùng số mũ và chia cho Lũy thừa có cơ số lớn nhất (cùng số mũ) VD1. lim 5 n2n Lời giải tham khảo : Ta có 5 2 5 1 2 5 n n n n� � ��   ��� ��� � � � � Vì lim5n  � và lim 1 2 1 0 5 n � � ��    � � �� � � �� � � nên theo quy tắc 2, lim 5 n2n  � VD2. 1 2 4 6 lim 5 8 n n n n     Lời giải tham khảo : 1 2 4 6 4 36 4 6 8 8 lim lim 0 5 8 5 1 8 n n n n n n n    � �� � � �� � � � � �    � �� � � � Nhận xét : Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất (cùng số mũ) VD1 lim 3.2 n 15.3n7n ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD2 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n    ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD1 lim3 5.4 4 2 n n n n   ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD4 lim2 3 2 1 n n n   ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD5 L lim 2 1 3n n n n    ………

………

………

VD6 lim 9 1. 3 1 n n   ………

………

………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD7 lim3 2.5 7 3.5 n n n   ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD8 2 1 2 1 2 3 5 lim 2 3 5 n n n n n n         ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD9 lim 2 1 3n n n n   ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD10 1 4.3 5 4.3 5.5 lim lim 3.2 5 3.2 5 n n n n n n n n       ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

DẠNG 4 : TÌM GIỚI HẠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau: �     2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b �   �  �     �  �  �  � �a b 2a3 b3 2 a ab b      �

a b

a b

a ab b



 

2

2

3 3

a b a a b b

a b

a b

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

2

2

3 3

a b

2 2

3 3

a b a a b b

a b

a b

2 2

3 3

a b

a b

a b

a b

a b

Lời giải tham khảo :

2

2

lim

3 3

lim

3

L

n n n n

n n n







2

3

lim

3 1

n

n





lim

2 3

n n

n



 

lim n n 3n 1

Lời giải tham khảo :

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba)

n n  n 

2 3

lim



2

2 3

3

1 3

n

 

NHẬN XÉT :

n là bậc cao nhất trong dãy u ) n

và limv n wn thì ta phải nhân lượng liên hợp 0

2

2

n n n

 

  

 

………

………

………

………

………

………

………

………

VD2   2 2 2 2 1 lim 1 lim 1 n n n n n n n n n           ………

………

………

………

………

………

………

………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

………

………

………

………

VD3 lim n22n n  3 lim n22n n   3 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD4 lim 4n23n 1 2n 1 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD5 lim3n n 3   n 2 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD6 lim32n n   3 n 1 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD7  2 3 3  lim n   n 1 n 3n2 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD8 2 2 4 1 2 lim 4 1 n n L n n n       ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

DẠNG 5 : GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI MÔ TẢ :

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Câu 1. lim 1 5 9 4 3

n n

Lời giải tham khảo :

Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng  u với n n , 1 u n 4n3 và công bội d  4

2 7 12 5n 3

n  n n n

4 2

n n n



NHẬN XÉT : Để làm tốt các dạng bài tập trên, cần nhớ một số tổng quen thuộc sau:

1 2

2 n n n      b) 2 2 2  1 2  1 1 2

6 n n n n       c)   2 3 3 3 1 1 2

2 n n n �  �     � � � � VD1 2 3 2 3 3 3 3

lim 1 2 2 2

n n         ………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD2 2  

1 2 3

lim 1

3 1 n n      ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD3 2    

1 3 5 7 2 1 lim 1

3 1 n n n         ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD4 2    

2 5 8 3 1 lim 1

4 1 n n       ………

VD5 22 33   1 2 2 2 2

lim 1

1 3 3 3 3

n n           ………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD6  

1 1 1 1

2 4 2 lim 1

1 1 1 1

3 9 3 n n         ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD7   1 1 1 lim

1.3 2.4 n n 2 � �    �  � � � ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

DẠNG 7 : TÍNH TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Câu 1 Tổng 1 1 1 1

2 4 8 S      bằng: Lời giải tham khảo : ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 2 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111 được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a b, trong đó ,a b là các số nguyên dương Tính a b Lời giải tham khảo : ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

……… ………

………

………

VD1 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,151515

a (chu kỳ 15 ), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m n , trong đó ,m n là các số nguyên dương Tìm tổng m n ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD2 Cấp số nhân lùi vô hạn 1, 1 1, , 1, ,( 1) , 1

2 4 8 2 n    có tổng là một phân số tối giản m n Tính m2n ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD4 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là 9 4 Số hạn đầu của cấp số nhân đó là? ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD5 Gỉai phương trình 2 3 4 5 5 2 1

4 x       , trong đó x x x x x  , 1 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

GIỚI HẠN DÃY SỐ  Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng Câu 1 Tìm limu biết n dau can 2 2 2

n n u  1 42 43 A � B � C 2 D 1 Câu 2 Tính giới hạn của dãy số 2 1 3 133 33 33 1

n

n u

n



Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Câu 3 Cho dãy số có giới hạn  u xác định bởi : n

1

1

1 2 1

2

n

n

u

u



� 

�

�



�

Tìm kết quả đúng của limu n

2.

n

u

Câu 5 Cho dãy số  u xác định bởi n u1  , 2 u n1 2u n với mọi *

n�N Tính limu n

 Dạng 01: Câu hỏi lý thuyết

Câu 6 Phát biểu nào sau đây là sai ?

A limu n  (c u n  là hằng số ).c B limq n 0  q 1

C lim1 0

n  k  1

Câu 7 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n  �, thì limu n  � B Nếu limu n  �, thì limu n  �

C Nếu limu n  , thì lim0 u n  0 D Nếu limu n   , thì lima u n  a

 Dạng 02: Dùng lượng liên hợp

Câu 8 Giá trị của Alim n26n n  bằng:

Câu 9 Giá trị của Blim 2 n2 1 n bằng:

Câu 10 Giá trị của Alim n22n 2 n bằng:

Câu 11 Tính I lim��n n2 2 n21��

2

Câu 12 Tính giới hạn của dãy số Clim 4 n2  n 1 2n.:

4.

 Dạng 03: Dãy phân thức hữu tỷ

Câu 13 Giới hạn lim12 22 332 42 2

n

n n

    

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

A 2

3

Câu 14 Cho dãy số  u như sau: n 2 4

1

n

n u

n n



  ,  , n 1 2, Tính giới hạn lim 1 2 n



A 1

1 3

Câu 15 Tính giới hạn lim4 2018

n n



A 1

Câu 16 Biết lim2 3 3 2 4 1

n n an

2

a a bằng

Câu 17 Giá trị của 

2

1 lim

C

Câu 18 Tính giới hạn: lim 1 1 1

A 11

3

2.

Câu 19 Tính giới hạn

C 3

Câu 20 Kết quả của lim 2

n n



A 1

1 3

Câu 21

4 4

lim

n n

n n

A 2

1

Câu 22 Tìm

lim

n n

n n

Câu 23 Tìm giới hạn lim3 2

3

n I

n





3

Câu 24 Tính giới hạn lim 1.3 3.51 1 21 1



 Dạng 04: Dãy phân thức (có mũ n)

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Câu 25 Kết quả đúng của

2

2 5 lim

n





A 5

2

50

25 2

Câu 26 Kết quả đúng của

2

2 5 lim

n





A 5

2

50

25 2

Câu 27 Giá trị của    



lim

n n

Câu 28.Tìm lim7 32 2 23 1

n n I

n n



A 7

3

2

lim









n n

n n bằng :

1

Câu 30

1

lim





n n bằng:

Câu 31 Kết quả của

1

lim

n n



Câu 32 Giá trị của    



lim

n n

3

 Dạng 05: Dãy phân thức (chứa căn)

Câu 33 Giới hạn

2

lim

n n a

n   b

a

b là phân số tối giản) Tính

T a b 

Câu 34 Kết quả đúng của

2

4

lim

n n n

A 3

3

3

2

2.

Câu 35 lim 4 102

1

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Câu 36 Giá trị của    

 

lim

3

F

Câu 37 Cho

2

2

lim

I

n n

 



  Khi đó giá trị của I là:

3

4

I 

Câu 38 Giá trị của  

2

lim

n D

Câu 39 Tìm limu biết n 1 3 5 (22 1)

n

u

n



 Dạng 06: Dãy không có ẩn số ở mẫu

Câu 40 Giá trị của Flim n 1 n bằng:

Câu 41 Giá trị của Elim( n2  n 1 2 )n bằng:

Câu 42 Giá trị của Hlim(k n2 1 p n21) bằng:

 Dạng 07: Hỏi về quy tắc giới hạn (đáp số vô cực)

Câu 43 Giới hạn dãy số  u với n 3 4

n

n n u

n





Câu 44 lim 2sin 2 3

5

n

bằng:

Câu 45 Chọn kết quả đúng của lim 3 2 5

3 5

n n n

Câu 46 Giá trị đúng của  2 2 

lim n  1 3n 2 là:

Câu 47 lim 200 35  n52n bằng :2

Câu 48 lim5 1

n n



Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Câu 49 Giá trị đúng của lim 3 n5n là:

 Dạng 09: Cấp số nhân lùi vô hạn

Câu 50 Tìm giá trị đúng của 2 1 1 1 1 1

2.

Câu 51 Tìm giá trị đúng của 2 1 1 1 1 1

2.

Câu 52 Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1  và công bội 1 1

2

q 

2

3

S

Câu 53 Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào không phải là một cấp số nhân lùi vô hạn?

A 2

3,

4

9 ,

8

27,…,

2 3

n

� �

� �

1

3,

1

9,

1

27,…,

1

2,

9

4,

27

8 ,…,

3 2

n

� �

� �

� �,….

D 1, 1

2

 ,1

4,

1 8

 , 1

16,…,

1

1 2

n

� �

� �

HẾT

-Dạng toán 00

Dạng toán 01

Dạng toán 02

Dạng toán 03

Dạng toán 04

Dạng toán 05

Dạng toán 06

Gv: Thầy tý Toán 11 chương IV giới hạn dãy số

Dạng toán 07

Dạng toán 09