Bdhsg phan gioi han day so

Chứng minh rằng dãy số  u n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.. Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên.. Như vậy dãy tăng knn, bị chặ

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

� Chứng minh rằng với mọi số thực a� thì dãy 0  a n

hội tụ Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy  a n

� L � Tìm giới hạn của dãy nx n

khi n� �, với    là số thực cho trước

3 Cho hai số a b1, 1 với 0 b1 a11

.Lập hai dãy số  a n ,  b n với n1, 2, .Theo quy tắc sau: giải nghĩa cái

5 Cho hai số a b1, 1 với 1 co 2

8s

n n

n

u

n N u

U S

, 1

n n

.Chứng minh dãy số  y n

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

b.Tìm các số  để dãy  nx n

có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0

10 Cho dãy số  y n thỏa mãn 3

y  y     y y y  � Chứng minh rằng dãy số n n

y n

Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy ( )u n .

12 Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

12

n n

1

1,2013

n n

2 2 2

1 2

lim

n n

15 Cho dãy số ( )a n thỏa mãn: lim(5a n13 ) 4a n  Tính lima n.

16 Cho dãy ( un)xác định như sau: u1=3 và

2015

1 2014

,6

5

.12

20 Cho dãy số  x n

1

2 1

tăng và limx n  �

b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt 1 2

a n

được xác định: Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

26 Cho số thực a� 0;1 , xét dãy số  u n với:

1

2 1

b) Chứng minh rằng  u n

có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

27 Cho dãy số(un) xác định như sau:

1

3 1

32

n n

32 Cho dãy số{ }x xác định bởi n

1

2 1

1( 1)( 2)( 3) 1

n n

34 Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

2 1

20162015

n n

3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

1 Cho dãy số  a n thỏa mãn  

2 1

1

2 1,

Bài 1. Cho dãy số  a n

n n

y a

2 2

n

n n a

8lim

4

x

x x

�



2 1lim

2

x

x x

2

2 48

x x x

1 5 9 (4 3)

n

n n

��

1 sin 0

cos5limcos3

x

x x

n

i

n n i

( 1)(2 1)6

1

( 1)2

n

i

n n i

0

cos5 cos 3lim 1

cos5 cos3 2sin 4 sin sin 4 sin 8

x x x

x

e x

n n

1 3

4( 1)lim n 4

3 1 2 2lim

3 2011 20091

Bài 9. Cho dãy số  a n

n n

y a

2 2

n

n n a

31

5 3 510

2 1

1 1 ( 1) (2 1)

6

n k k n

suy ra dãy(x2n1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n1),(x2n) là các dãy hội tụ.

Giả sử limx2n a;limx2n1b a b ( , �1).

Từ x2n1  f x( 2n)�limx2n1lim (f x2n)�b f a( ).

Từ x2n2  f x( 2n1)�limx2n2 lim (f x2n1)�a f b( ).

Giải hệ phương trình

41

411

k

)k+1

31(1 )k

k



> (

13

k

)k+1.Bất đẳng thức cuối này đúng vì :

n n

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương

5 10

,5

b) Chứng minh

,2

lim

.lim

k k

2

5 10

5 55

 �� ��

� � thì t f t( ) 5  5..Dẫn đến a2k1a2k  5 5,  � k 1

1: ,2

u n

e e

e e

e e e u

Quy nạp ta được dãy u2n1 giảm và dãy  u 2n tăng.

Hơn nữa 1 u n   � nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.0, n 2

Giả sử limu2n a,limu2n1 b a b, �1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được.

b

ae b

b

Vậy

1lim ln

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh.

12

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất 2 x n

2)Xét dãy số sau đây: Un n x n1, n2,3, 4, Tìm limU ?n .

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: f x   , với n nguyên, n (1).2

+) Ta có: f x’  nx n 1– 2 –1x Do n , nên khi 2 x thì 1 f x’  0 Vậy f x 

là hàm số đồng biến trên Lại có: f  1   2 0 ; f  2 2 – 7 0n  ( vì n nguyên và n  n3).2

Ta có: f    1 f 2 0 và f x  liên tục, đồng biến nên phương trình f x  0 có nghiệm duy nhất trên +) Mặt khác với 0  thì x 1 n 2

x x ( do n ) suy ra 2 f x  0 với mọi 0  x 1

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2

Gọi x n là nghiệm dương duy nhất của phương trình x n–x2– –1 0x  .

Bây giờ xét dãy  U n

Ta có: suy ra từ (5) limU n limn x n 1 ln 3.

1

20122013



0

2 2

12

5,

n n

n n

n

u u

n n

1 2

n n

b) Với dãy ( )x xác định như trên, xét dãy n ( )y n n�0 xác định bởi y n      �x0 x1 x n n 0 Chứng minh rằng dãy ( )y n n�0có giới hạn hữu hạn khi n� � Hãy tìm giới hạn đó.

2 .

Bài 12. Giả sử   F n n1, 2,  là dãy Fibonacci (F1F2 1;F n1 F nF n1 với ) Chứng minh rằng nếu

1

n n

F a

m

F x

F

 ,

3 1 2

m

F x

i

m i

i

F x

m m

F x

m m

F x

1 01

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: x1  Khi đó v x n x1, � Do đó n 1 nlim x n 5 12

2 1

n

u vz x

z





 dần tới u khi n� �(do  z n �0).

Tức là trong trường hợp này

5 1lim

thỏa mãn y1 0,y3n1   y1 y2 y n, �n 1 Chứng minh rằng dãy số n

y n

không bị chặn trên thì limS n  �.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu n  0

1

* 1

1

.1

( ) 2 n 1

x n

được xác định như sau

Hướng dẫn giải

Dễ thấy x n 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên

Ta chứng minh x n   �� 8, n *

Thật vậy, với n1�x1  1 8 nên điều cần chứng minh đúng.

Giả sử ta có: x n 8, với n nguyên dương Ta cần chứng minh x n18.

Theo công thức xác định dãy số có:

Bài 18. Cho dãy số thực  a n

xác định bởi

2 1

14:

310:

Chứng minh tương tự đối với dãy số  y n , ta cũng có limy n  1

Cuối cùng ta chứng minh x n � �a n y n,n�� (1) bằng phương pháp quy nạp:.*

Ta có x1  a1 y1 và a2 x2  y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k �,k 2, tức là

Từ x n ��γa n y n n, �,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lima n 1.

Bài 19. Cho hai dãy số    a n ; b n

n n n

;

4 101

Hướng dẫn giải

+ Ta Có a a1, 2� 0;1 , giả sử a a1, , ,2 a k�γ 0;1 ,k �,k 2 Từ công thức truy hồi ta có:.

2 1 1

14:

310:

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới

hạn hữu hạn limx n  Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được 

- Cuối cùng ta chứng minh x n � �a n y n,n�� (1) bằng phương pháp quy nạp:.*

Ta có x1   và a1 y1 a2 x2  , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới y2 k �,k 2, tức là

1lim(2014 )

n .

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: limn��

3 ( )

1

( )

( )1

Khi

20172

111

Kết luận: nlim a n 0; limn b n 1

dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn khi n  n � � và tính giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Ta có: u n1 u n�(u n a)2 0 u n1 u n; n 1, 2,3, .

* Suy ra dãy số ( )u n tăng knn ; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.

Giả sử , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có:

- Nếu có chỉ số mà thì trái với kết quả

Bằng quy nạp ta chứng minh được (H/s trình bày ra)

Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn

Bài 5. Cho dãy số thỏa mãn Tìm a sao cho dãy số xác định và có giới hạn

hữu hạn

Hướng dẫn giải

.Bảng biến thiên

3 1

n n

Tương tự ta chứng minh được dãy đơn điệu tăng, hội tụ về

Dãy này không hội tụ

Dãy này không hội tụ

+) Nếu tồn tại n sao cho thì ta có

.Khi đó không tồn tại

Vậy nếu thì dãy không xác định

2 3

2

3 1

l l

55

a 

5555

+) Nếu thì hai dãy con cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0.

Nếu thì và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 Khi đó dãy hội

tụ về 1

+) Nếu thì Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ Trường hợp này dãy đơn điệu giảm và

bị chặn dưới bởi nên hội tụ về

+) Nếu a = 1 thì nên dãy hội tụ về

+) Nếu ta có và nên tồn tại sao cho (Thật vậy,

các số hạng của không thể cùng nằm bên trái a do , chúng cũng không thể cùng nằm bên phải

điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1

Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp ta khảo sát tương tự

Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Do đó hay

Bài 7. Cho và Xét dãy số được xác định bởi: , với mọi

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi Hãy tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

* Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

, với (1)

Từ (1) và (2) ta có dãy số giảm và bị chặn dưới bởi ;

suy ra dãy số có giới hạn hữu hạn khi

Bài 8. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương thỏa mãn với mọi

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó

n p

x x

Suy ra hay là dãy giảm Kết hợp với với mọi n ta suy ra dãy hội tụ

Bài 9. Tìm tất cả các hằng số sao cho mọi dãy số dãy số thỏa mãn đều hội

tụ Với giá trị tìm được hãy tính giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải

Ta xét các trường hợp sau

Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra Do nên khi Do đó, không thỏa mãn

.Chú ý là Do đó, ta chỉ cần chọn như trên và thì được 2 bất đẳng thức nêu trên

(4 )n

14

c

10

thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ Thành thử, cũng không thỏa mãn

+ Nếu , thì Suy ra dãy tăng và bị chặn Do đó, hội tụ

Đặt thì từ giả thiết ta có hay Vậy

Bài 10. Cho dãy số xác định như sau: , , Tìm giới hạn của dãy với

Hướng dẫn giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng:

Xét tính đơn điệu của dãy Từ hệ thức ta suy ra được , vậy dãy số tăng

Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

với Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :

Do dãy là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có:

n

u

u u



� �

Bài 12. Cho số thực a, xét dãy số xác định bởi:

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi

Vậy là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ.

Bài 13. Cho hai dãy số và xác định như sau: và khi

Chứng minh rằng hai dãy và có giới hạn và tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

.bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

Do đó

a) Chứng minh đa thức có duy nhất 1 nghiệm thực thuộc

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải

nên trong mỗi khoảng , có 1 nghiệm của phương trình

Mặt khác, ta có nên đa thức có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

3cot

3 lim

Do đó dãy là dãy giảm.

Lại có Vậy dãy có giới hạn

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy tăng Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì

Vì phương trình có duy nhất nghiệm là , bởi vậy dãy không có giới hạn hữu hạn Suy ra

(**)

Với mọi thì từ suy ra tồn tại sao cho Do đó

Bài 17. Cho số thực: , Xét dãy số xác định như sau:

Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng là số nguyên (với là phần nguyên của số thực – số nguyên lớn nhất không vượt quá ).

Hướng dẫn giải

Đặt , Gọi d là công sai của cấp số cộng , thì:

Cộng vế với vế của bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

.Thay bởi và thay bởi , có:

.Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được:

i i

A B  x �A B � A B�    x1 A B 2014

1 1 2014 n 2014

Bài 19. Cho dãy số tăng, và Xét dãy số xác định bởi

Xét hàm số Trên đoạn

Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số thoả mãn

(đpcm)

Từ đó ta có dãy bị chặn trên do đó tồn tại

minh tồn tại ( trong đó là phần nguyên của )

k k

Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra

Hơn nữa theo đề bài ta có:

8

n n

a   �

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Từ (2) (vì ).

Bài 23. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương thỏa mãn với mọi

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Suy ra hay là dãy giảm Kết hợp với với mọi n ta suy ra dãy hội tụ

x x

Xét dãy

Ta thấy

Vậy dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ,

Chuyển qua giới hạn ta được:

Ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp theo n

.Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương Từ đó suy ra

Bài 25. Cho dãy số thực xác định bởi: Chứng minh dãy số có giới

n

x x

11

( 3 ) 2( 3 ) 3 0

x x

.Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Theo Côsy thì

.dãy giảm, bị chặn bởi 1, vậy dãy có giới hạn

2 2 2

1 2

lim

n n

n n

n n

n n

7, 1, 2,3,

n n

Ta có với mọi n dãy bị chặn.

đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy , có giới hạn hữu hạn

12014

20141

14

n n

.phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2.

Suy ra dãy tăng và không bị chặn trên nên

Bài 29. Dãy số thực được xác định bởi: Tìm tất cả các giá trị của a để

với mọi số tự nhiên n

Thử lại với thì

Vậy là giá trị duy nhất cần tìm

Bài 30. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

 phương trình có nghiệm duy nhất

12

Bài 31. Cho hai dãy số dương xác định bởi: và Với mọi

Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng

111

Bài 32. Cho dãy số xác định như sau: Tìm điều kiện của để

dãy số có giới hạn hữu hạn khi và tính giới hạn đó

Hướng dẫn giải

* Suy ra dãy số tăng knn; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên

Giả sử , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có:

- Nếu có chỉ số mà thì trái với kết quả

Bằng quy nạp ta chứng minh được

Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn

Bài 33. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi Chứng minh rằng dãy

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

1

.1

2

f x   �x

Vậy: Do đó là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn tại

Vậy dãy được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn Do đó dãy có giới hạn bằng

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: mà suy ra

do đó dãy là dãy tăng

Giả sử dãy bị chặn trên suy ra với khi đó

u u

�� �  

1

12014

Bài 35. Cho dãy số thực xác định bởi: Tính

 Do đó luôn đồng biến và liên tục với mọi  phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1. Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng với mọi số thực thì

dãy hội tụ Tùy theo , hãy tìm giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải

Nếu thì (do bất đẳng thức AM-GM)

Nếu thì (do bất đẳng thức AM-GM) nên

a a

 �

0

a

12

a a

  �



12

a a

2 73

Nếu thì Tương tự, ta có:

.nên tăng Hơn nữa bị chặn trên bởi , thật vậy

.Vậy tăng và bị chặn trên  có giới hạn là

dãy khi với là số thực cho trước

, với (1), suy ra.

2

n n

n x



2

1 lim

2

n n

n x

2

n n

n x

Nhân hai vế của (1) và (2) cho và áp dụng công thức được:

.Tính giới hạn:

2 1

+Nhân hai vế của (1) và (2) cho và áp dụng công thức được:

.+Tính giới hạn:

a  

8co

là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi

U S

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 8. Cho dãy số xác định bởi

a) Chứng minh:

.b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Chứng minh bằng quy nạp toán học

b) Nhận xét và hàm số đồng biến trên nên dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số

, 1

n n

1.Với mỗi ,đặt Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

2.Tìm các số để dãy có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác

Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn bằng khi

Hướng dẫn giải

*

n�� n n2

n y x

� �

� �

Từ giả thiết ta có , do đó dãy số là dãy tăng, vì.

Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra Do nên khi Do đó, không thỏa mãn

.Chú ý là Do đó, ta chỉ cần chọn như trên và thì được 2 bất đẳng thức nêu trên

Xét dãy số xác định bởi

thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ Thành thử, cũng không thỏa mãn

+ Nếu , thì Suy ra dãy tăng và bị chặn Do đó, hội tụ

Đặt thì từ giả thiết ta có hay Vậy

(4 )n

14

c

10

n

u

u u

Bài 12. Cho dãy số (xn) thỏa mãn: Chứng minh dãy số trên có giới hạn.

n n

1

1,2013

n n

( 2013)( 2013)( 2013) ( 2013)

+ Ta chứng minh

Suy ra là dãy tăng, ta có

Giả sử bị chặn trên và thì Khi đó

( vô lí) Suy ra không bị chặn trên, do đó

Đặt Từ giả thiết suy ra

Với số dương bé tùy ý, tồn tại số sao cho với thì ta có:

a a

2 2 2

1 2

lim

n n

n n