Bdhsg phan gioi han day so

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên... Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được - Chứng minh tương tự đối với dãy số yn , ta cũng

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

 Chứng minh rằng với mọi số thực a ≠ 0 thì dãy ( ) an

hội tụ Tùy theo a, hãy tìm giới hạn của dãy ( ) an .

2 Cho dãy số( ) xn được xác định bởi ( )

khi n → +∞ , với α  là số thực cho trước

3 Cho hai số a b1 1, với 0 < = b1 a1< 1.Lập hai dãy số ( ) an , ( ) bn với n = 1,2, .Theo quy tắc sau: giải nghĩa cái

5 Cho hai số a b1 1, với 1 co 2

8s

, 1 s

8co

n n

n

u

n N u

U S

n n

9 Cho dãy số( ) xn xác định bởi: 1 1 2 3 2014 2015 *

=.Chứng minh dãy số ( ) yn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b.Tìm các số α để dãy ( ) nxnα có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0.

10 Cho dãy số { } yn thỏa mãn 3

Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy ( ) un .

12 Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

12

 Chứng minh dãy số trên có giới hạn

13 Cho dãy số ( ) un xác định bởi u1 = 2014,

n n

1

1,2013

n n

14 Cho dãy số ( ) un xác định bởi:

1 2

lim

n n

15 Cho dãy số ( ) an thỏa mãn: lim(5 an+1− 3 ) 4 an = Tính lim an.

16 Cho dãy ( un)xác định như sau: u1= 3 và

2015

1 2014

,6

20 Cho dãy số ( ) xn được xác định bởi ( )

1

2 1

a)Chứng minh rằng ( ) xn tăng và lim xn = +∞.

b)Với mỗi số nguyên dương n, đặt 1 2

a n

3nxx

x

.a) Chứng minh: xn > 1 với ∀ n ∈ N*

b) Chứng minh dãy số ( ) xn có giới hạn và tìm giới hạn đó.

25 Cho dãy số ( ) un được xác định: 

2011

N n u

u

u

n

n n

b) Chứng minh rằng ( ) un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

27 Cho dãy số(un) xác định như sau:

1

3 1

32

b) Chứng minh rằng ( ) un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

28 Cho dãy số ( ) un xác định bởi:

n n

12015

n

x x

12015

n n

34 Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

2 1

20162015

n n

1 Cho dãy số ( ) an thỏa mãn ( )

(n ∈ ¥ *) hội tụ và giới hạn của nó khác 0

2 Cho dãy số ( ) un xác định như sau:

* 1

2 1

1

2 1,

a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un > 1.

b) Chứng minh rằng ( ) un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

3 Cho dãy số ( ) un được xác định như sau ( ) ( ) ( )

1

* 1

y a

2 2

n

n n a

n n

+

⇒ =

Vậy lim an = 4.

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

a)

3 2 2

8lim

4

x

x x

1

n x

a Lim

1 5 9 (4 3)

n

n n

→∞

1 sin 0

cos5limcos3

x

x x

n i

n n i

n i

n i

n n i

0

cos5 cos3lim 1

x

x

e x

1 3

y a

= +

ta có y1= 1 và.

2 2

n

n n a

31

5 3 510

αβ

Do đó

2 0

1 1 ( 1) (2 1)

6

n k k n

1

f x

x

= ++ liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1 < f x ( ) 5 ≤ .

suy ra dãy( x2 1n+) tăng và dãy( ) x2n giảm suy ra ( x2 1n+),( ) x2n là các dãy hội tụ.

Giả sử lim x2n = a ;lim x2 1n+ = b a b ( , ≥ 1).

Từ x2 1n+ = f x ( )2n ⇒ lim x2 1n+ = lim ( ) f x2n ⇒ = b f a ( ).

Từ x2 2n+ = f x ( 2 1n+ ) ⇒ lim x2 2n+ = lim ( f x2 1n+ ) ⇒ = a f b ( ).

Giải hệ phương trình

41

411

b

a a b a

k+ )k+1

31(1 )k

k

+

> (

13

k+ )k+1.Bất đẳng thức cuối này đúng vì :

−

= 3

n n

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương

1 2

2 1

52

1,

2

Tìm được số hạng tổng quát của dãy là

14

,5

.lim

k k

u n

e

⇒ − > ⇒ <

e e

e e

e e e u

Quy nạp ta được dãy ( u2 1n+ ) giảm và dãy ( ) u2n tăng.

Hơn nữa − < < ∀ ≥ 1 un 0, n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giả sử lim u2n = a , lim u2 1n+ = b ( a b , ∈ − ( 1;0 ) ) , lấy giới hạn hai vế ta được.

b

ae b

b=

Vậy

1lim ln

2

n

Bài 4. Cho dãy số ( ) a nn , ≥ 1 thỏa mãn 1 1

Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n + 1

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh

Theo nguyên lí kẹp thì dãy ( ) bn có giới hạn và lim bn = 2.

Bài 5. Cho dãy số ( ) bn được xác định bởi:

1

2 1

12

⇒ (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng tới n k = , k∈ ¥*, nghĩa là có :

1cot

π

Bài 6. Cho phương trình: xn − − − = x2 x 1 0 với n∈N, n > 2.

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n > 2, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất xn.

2)Xét dãy số sau đây: Un = n x ( n− 1 ), n = 2,3,4, Tìm limU ?n .

+) Mặt khác với 0 < < x 1 thì xn < x2 ( do n > 2 ) suy ra f x ( ) < 0 với mọi 0 < < x 1.

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n > 2

Gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình xn– x2 – –1 0 x =

Bây giờ xét dãy ( ) Un với Un = n ( xn − 1 ), n = 3,4,5,.

2

−

++

=++

=

< n

x x

so n n

x

x x n

Do đó

1 1

1

20122013

−

0

5,

n n

5

n n

n

u u

= + ⇔  = − .

* Vậy lim un = 1.

Bài 10. Cho dãy số ( ) un được xác định bởi: u1= 4 và 2

n n

1 2

n n

dãy ( ) yn n≥0có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Hãy tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng xn xác định duy nhất với mỗi n ≥ 0. Để làm được điều này ta cần dùng kết quả

(chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m ∈ [0; 1], phương trình (1 )−t 2− −(1 m)2 = t m+2 có đúng

2

Bài 12. Giả sử ( ) ( F nn = 1,2, ) là dãy Fibonacci (F F1= =2 1; Fn+1= + F Fn n−1 với ) Chứng minh rằng nếu

1

n n

F a

F

= −,

3 1 2

m

F x

i

m i

i

F x

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: x v1 = Khi đó xn = ∀ ≥ x1, n 1 Do đó nlim x n 5 12

2 1

n

u vz x

z

−

=

− dần tới u khi n → +∞(do zn → 0).

Tức là trong trường hợp này

5 1lim

Xét trường hợp dãy số ( ) Sn không bị chặn trên thì lim Sn = +∞.

Từ giả thiết ta có S un+1 n+1+ ≤ un S un n + un−1, n = 2,3, .

Từ đây ta thu được S un n+ un−1≤ S u u n2 2+ 1, = 2,3, .

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có lim un = 0.

Bài 15. Cho dãy số ( ) un xác định bởi công thức truy hồi:

1

* 1

1

2 .

Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:.

x n

=  − ÷÷

  ta có :

0 0

2

2

1lim lim

Dễ thấy xn > 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên

Ta chứng minh xn < ∀ ∈ 8, n ¥*.

Thật vậy, với n = ⇒ = < 1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng.

Giả sử ta có: xn < 8, với n nguyên dương Ta cần chứng minh xn+1< 8.

Theo công thức xác định dãy số có:

Do đó xn < 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 18. Cho dãy số thực ( ) an xác định bởi

2 1

hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Có a a1, 2∈ ( ) 0;1 , giả sử a a1, , ,2 ak∈ ( ) 0;1 , k ∈ ¥ , k ≥ 2 Từ công thức truy hồi ta có:.

2 1 1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an∈ ( ) 0;1 , ∀ ∈ n ¥*.

Xét hai dãy số mới

1 1

14:

310:

Cuối cùng ta chứng minh xn ≤ ≤ an yn, ∀ ∈ n ¥* (1) bằng phương pháp quy nạp:.

Ta có x a1 = <1 y1 và a2 < = x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k ∈ ¥ , k ≥ 2, tức là

Từ xn ≤ ≤ an y nn, ∈ ¥ , n ≥ 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim an = 1.

Bài 19. Cho hai dãy số ( ) ( ) an ; bn xác định bởi a1= 3, b1= 2, 2 2

 ¥ Chứng minh rằng dãy ( ) an có giới

hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

+ Ta Có a a1, 2∈ ( ) 0;1 , giả sử a a1, , ,2 ak∈ ( ) 0;1 , k ∈ ¥ , k ≥ 2 Từ công thức truy hồi ta có:.

2 1 1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an∈ ( ) 0;1 , ∀ ∈ n ¥*.

+ Xét hai dãy số mới

1 1

14:

310:

hạn hữu hạn lim xn = α Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

- Chứng minh tương tự đối với dãy số ( ) yn , ta cũng có lim yn = 1.

- Cuối cùng ta chứng minh xn ≤ ≤ an yn, ∀ ∈ n ¥* (1) bằng phương pháp quy nạp:.

Ta có x a1 = <1 y1 và a2 < = x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k ∈ ¥ , k ≥ 2, tức là

Bài 21. Tìm giới hạn:

1lim(2014 )

+ > ( k 3 + 1 )k+ 1

.Bất đẳng thức cuối này đúng vì:

2'( )( 1)

111

dãy số ( ) un có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: un+1− = un ( un− a )2 ≥ ⇒ 0 un+1≥ un; ∀ = n 1,2,3, .

* Suy ra dãy số ( ) un tăng knn ; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.

Giả sử , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có:

- Nếu có chỉ số mà thì trái với kết quả

Bằng quy nạp ta chứng minh được (H/s trình bày ra)

Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn

Kết luận: Với điều kiện thì dãy số có giới hạn hữu hạn khi và

n n

Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và , dãy đơn điệu tăng và

Tương tự ta chứng minh được dãy đơn điệu tăng, hội tụ về

Dãy này không hội tụ

Dãy này không hội tụ

+) Nếu tồn tại n sao cho thì ta có

2 3

l l

55

555

Vậy nếu thì dãy không xác định.

+) Nếu thì hai dãy con cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0

Nếu thì và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 Khi đó dãy hội

tụ về 1

+) Nếu thì Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ Trường hợp này dãy đơn điệu giảm và

bị chặn dưới bởi nên hội tụ về

+) Nếu a = 1 thì nên dãy hội tụ về

các số hạng của không thể cùng nằm bên trái a do , chúng cũng không thể cùng nằm bên phải

điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1

Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp ta khảo sát tương tự

Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là

a a

a

= + > a1 ≠1

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi Hãy tìm giới hạn đó.

11

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

n p

Từ (1) và (2) ta có dãy số giảm và bị chặn dưới bởi ;.

suy ra dãy số có giới hạn hữu hạn khi

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó

x x

Do đó

Suy ra hay là dãy giảm Kết hợp với với mọi n ta suy ra dãy hội tụ

tụ Với giá trị tìm được hãy tính giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải

Ta xét các trường hợp sau

Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra Do nên khi Do đó, không thỏa

1 1limx n =α−α +

thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ Thành thử, cũng không thỏa mãn

+ Nếu , thì Suy ra dãy tăng và bị chặn Do đó, hội tụ

Đặt thì từ giả thiết ta có hay Vậy

Hướng dẫn giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng:

Xét tính đơn điệu của dãy Từ hệ thức ta suy ra được ,

vậy dãy số tăng

Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

với

Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :

Do dãy là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có:

2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên

suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi

Bài 13. Cho hai dãy số và xác định như sau: và khi

Chứng minh rằng hai dãy và có giới hạn và tìm giới hạn đó

2sin

αα

α

=

2 2

a) Chứng minh đa thức có duy nhất 1 nghiệm thực thuộc

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải

nên trong mỗi khoảng , có 1 nghiệm của phương trình

Mặt khác, ta có nên đa thức có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

3 lim

n

u

ππ

π

ππ

⇒

Do đó dãy là dãy giảm

Lại có Vậy dãy có giới hạn

Suy ra

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy tăng Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì

Vì phương trình có duy nhất nghiệm là , bởi vậy dãy không có giới hạn hữu hạn Suy ra

(**)

Với mọi thì từ suy ra tồn tại sao cho Do đó

Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng là số nguyên (với là phần nguyên của số thực

– số nguyên lớn nhất không vượt quá )

Hướng dẫn giải

Đặt , Gọi d là công sai của cấp số cộng , thì:

Cộng vế với vế của bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

i i

++

−

Xét hàm số Trên đoạn

Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số thoả mãn

(đpcm)

Từ đó ta có dãy bị chặn trên do đó tồn tại

minh tồn tại ( trong đó là phần nguyên của )

k k

Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra

Hơn nữa theo đề bài ta có:

2lim n n

→∞

2

1 2lim n

n n

1 2lim n 3 2 2

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Do đó hay

Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Suy ra hay là dãy giảm Kết hợp với với mọi n ta suy ra dãy hội tụ

x x

1 1limx n =α−α +

Hướng dẫn giải

Ta thấy

Vậy dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ,

Chuyển qua giới hạn ta được:

Ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp theo n

Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương Từ đó suy ra

n

x x

x x

2 2 2

1 2

lim

n n

n n n

a

n n

n n

7, 1, 2,3,

n n

Mặt khác, ta có Suy ra dãy là dãy

đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy , có giới hạn

Do đó Suy ra dãy là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình

phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2

Suy ra dãy tăng và không bị chặn trên nên

20141

14

n n

với mọi số tự nhiên n.

Mà nên phải có

Vậy là giá trị duy nhất cần tìm

Do đó luôn đồng biến và liên tục với mọi

⇒ phương trình có nghiệm duy nhất

Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng

dãy số có giới hạn hữu hạn khi và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

* Suy ra dãy số tăng knn; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên

Giả sử , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có:

Do đó: với mọi hay

Bằng quy nạp ta chứng minh được

Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn

Kết luận: Với điều kiện thì dãy số có giới hạn hữu hạn khi và

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

1

.1

Vậy: Do đó là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn tại

Vậy dãy được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn Do đó dãy có giới hạn bằng

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: mà suy ra

do đó dãy là dãy tăng

Giả sử dãy bị chặn trên suy ra với khi đó

u u

→∞ =∑ + −

1

12014

dãy hội tụ Tùy theo , hãy tìm giới hạn của dãy

Hướng dẫn giải

Nếu thì (do bất đẳng thức AM-GM)

Nếu thì (do bất đẳng thức AM-GM) nên

−

12

a a

Vậy tăng và bị chặn trên ⇒ có giới hạn là

dãy khi với là số thực cho trước

  ,  2. 

2

n n

n x

→+∞ =

2

1 lim

2

n n

n x

2

n n

n x

2 1

8co

2

20092010

U S

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 9. Cho dãy số xác định bởi:.

1.Với mỗi ,đặt Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

2.Tìm các số để dãy có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác

n y x

+) Nếu thì

Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn bằng khi

đều hội tụ Với giá trị tìm được hãy tính giới hạn của dãy

Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra Do nên khi Do đó, không thỏa

thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ Thành thử, cũng không thỏa mãn

+ Nếu , thì Suy ra dãy tăng và bị chặn Do đó, hội tụ

Đặt thì từ giả thiết ta có hay Vậy

Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh với mọi (1)

Thật vậy: đúng

1 1(4 )n

n n

1

1,2013

n n

( 2013)( 2013)( 2013) ( 2013)

n

u > ∀ ∈n ¥

3 1

+ Ta chứng minh

Suy ra là dãy tăng, ta có

Giả sử bị chặn trên và thì Khi đó

( vô lí) Suy ra không bị chặn trên, do đó

a a

2 2 2

1 2

lim

n n

n n

Đặt Từ giả thiết suy ra

Với số dương bé tùy ý, tồn tại số sao cho với thì ta có:

14

n n

+

− +

2( 2)

Do đó là dãy tăng và

Giả sử bị chặn trên, suy ra , Khi đó ta có (vô lí), suy ra

không bị chặn trên Vậy

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

Vậy dãy số bị chặn dưới.

Ta chứng minh dãy số là dãy số giảm

1212

Với mỗi số nguyên dương n, đặt Tìm

Hướng dẫn giải

Ta có kết quả sau: với số thực bất kì, ta có

Do đó là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình

phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2

Suy ra dãy tăng và không bị chặn trên nên

a)Chứng minh rằng tăng và

2 1

14

n n