GIỚI HẠN DÃY SỐA.. Tìm các giới hạn sau: a.. Tìm các giới hạn sau: a.. Tìm các giới hạn sau: a.. Tìm các giới hạn sau: a... Tìm các giới hạn sau: c.. Tính các giới hạn sau: a.. GIỚI HẠN
Trang 1GIỚI HẠN DÃY SỐ
A Lý thuyết
+ Nếu un vn với mọi n, lim vn = 0 thì lim un = 0
+ lim un = L → lim un L
+ lim un = L → 3 3
n
lim u L + lim un = L, un > 0 với mọi n → L > 0 và lim un L
u (1 q ) u
S lim u u q u q u q lim
+ n
n
1
u
+ lim1 0
+ lim qn = 0 nếu q 1
+ lim 1k 0
n với mọi k > 0
+ lim nk = +∞ với mọi k > 0
+ lim qn = +∞ nếu q > 1
+ lim un = L thì lim (k.un) = k.L
+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un + vn) = L + M
+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un.vn) = L.M
+ lim un = L, lim vn = M ≠ 0 thì lim (un / vn) = L / M
B Bài Tập
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
a lim2n 1
n 1
2
2
3n 4n 1 lim
2n 3n 7
3
3
n 4 lim 5n n
d limn(2n 1)(3n 2)3
2n 1
e lim n 12
n 2
f limn(n 1)3
(n 4)
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
a lim n 1
n 1
b lim3 n3 n 2
n 2
3
2
lim
n n 1 3
d lim n2 4
n 2
3
2
n 3n 2 lim
n 4n 5
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
lim( n 5n 1 n n )
g lim( n3 3 n 1) h lim( n3 3 3n2 1 n24n )
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
a
n
n
1 4
lim
1 4
3 4 lim
lim
Bài 5 Tìm các giới hạn sau:
a limsin n
n 1
Trang 2Bài 6 Tìm các giới hạn sau:
c lim[ 1 1 1 ]
1.2 2.3 n(n 1) d
1 2 3 n lim
n(n 1)(n 2)
Bài 7 Tính các giới hạn sau:
a lim[1 1 1 ( 1)n 1n]
b lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3n)
Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
a 1,1111 b 2,3333 c 0,2222
d 0,212121… e 0,23111
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A Lý thuyết:
+
xlim x xx
+
x
1
x
x
1
x
với k > 0
+ xlim xk
với k > 0
+
xlim[cf (x)] c lim f (x)x x x
xlim f (x) g(x)x xlim f (x) lim g(x)x x x
xlim f (x)g(x)x xlim f (x) lim g(x)x x x
o
o
x x
x x
x x
lim f (x)
f (x)
lim
g(x) lim g(x)
o
xlim g(x) 0x
B Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a
2
x 3
x 9
lim
x 3
2
2 x
2x 9 lim
x 4
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
x 2
lim 2x 3x 5
x 1
5x 2 lim
x 1
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a xlim (x 32x) b xlim (x 3 2x) c
2
2 x
5x 3x 1 lim
2x 3
d
4
x
x 5x 1
lim
2x 3
2
3 x
3x 1 lim
2x 5
2
3 x
3x 1 lim
2x 5
g
2
x
x 2x 2
lim
x 1
xlim x 2x
x
4x 1 lim
3x 1
2
x
3x x 5x
lim
2x 4x 5
2 2 x
x 3 4x lim
4x 1 x
x
9x 1 4x 2x lim
x 1
Trang 3Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
a 2
x 3
5x 3
lim
x 3
x 2 lim
x 3
2
x 2
x 5x 2 lim
x 2
Bài 5 Cho hàm số:
2
2x 3x 1, x 2
f (x)
3x 7, x 2
Tìm các giới hạn sau:
a lim f (x)x 1 b lim f (x)x 3 c lim f (x)x 2
Bài 6 Cho hàm số:
2
1 2x , x 1
f (x)
5x 4, x 1
Tìm các giới hạn sau:
a lim f (x)x 0 b lim f (x)x 3 c lim f (x)x 1
Bài 7 Tìm các giới hạn sau
a
2
x 3
x 2x 15
lim
x 3
2
2
x 1
x 2x 3 lim
x 1
2
2
x 2
x 3x 2 lim
x x 6
d
x a
x a
lim
x a
5
3
x 1
x 1 lim
x 1
2
x 1
4x 5x x lim
1 x
Bài 8 Tìm các giới hạn sau:
a
x 1
x 1
lim
x 1
x 3
x 1 2 lim
x 2
lim
d 3
x 2
4x 2
lim
x 2
Bài 9 Tìm các giới hạn sau:
x 0
lim
3x
x 2
x x 2 lim
4x 1 3
3
2
x 1
x 1 lim
d
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
x 0
lim
x
f
x 0
lim
x
g
x 0
lim
x
h
2
x 1
x 2 x 1 lim
x 1
Bài 10: Tìm các giới hạn sau
Bài 11: Tìm các giới hạn sau
x 1
1 x 1 x
x 1
x 1
HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo
Trang 4a f(x) =
2
khi x 5
x 5
9 khi x 5
tại xo = 5 b
x 5
khi x 5 2x 1 3
f x
3 khi x 5 2
tại xo = 5
c
1 2x 3
khi x 2
f (x) 2 x
1 khi x 2
tại xo = 2 d
33x 2 2
khi x 2
x 2
f (x)
3 khi x 2 4
tại xo = 2
e
x x 1 khi x 1
f (x)
3x 2 khi x 1
tại xo = –1 f
2
x khi x 0
f x
1 x khi x 0
tại xo = 0 Bài 2: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R
a
2
khi x 1
4 khi x 1
b
3 3
x x 2
khi x 1
x 1
f (x)
4 khi x 1 3
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục trên R
a
2
x khi x 1
f (x)
2ax 3 khi x 1
b
2 2
a x khi x 2
f (x)
(1 a)x khi x 2
Bài 4: Cho hàm số f(x) =
x 2x 5 khi x 0 4x 1 khi x 0
Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định
Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại xo
a f(x) = 2
x 2 2
khi x 2
x 4
a khi x 2
tại xo = 2 b
1 x 1 x
khi x 1
x 1
f (x)
4 x
a khi 1
x 2
tại xo = 1
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình x³+ 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1) Bài 7: Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 8: Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (–2; 5)
Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) cos x + m cos 2x = 0
Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
a) x² – 3x + 1 = 0 b) x³ + 6x² + 9x + 1 = 0