TUYEN TAP DE THI OLYMPIC TOAN

Hãy tìm số dư của s khi chia s cho 5 Bài 5 : Cho dãy số } được xác định như sau: : với mọi CMR: Bài 6 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O.Các dường phân giác trong của các góc cắt l

Bài 1: Gọi I là tâm vòng tròn nội tiếp tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng

( AI DI  ) ( BI CI  )  ( AB CD  ) Bài 2: Nếu a,b,c > 0 và abc = 1 thì (a+b)(b+c)(c+a) )6

2 (a b c 



Bài 3: Cho n > 3 và các số thực x1, , x2 x n thỏa mãn

1

1

n i i

x





 Chúng minh rằng:

1x x x 1x x x  1x nx x n 

Bài 4: Cho X={1,2,….200} Gọi s là số các tập con của X thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) A  và a chia hết cho 5 với mọi a thuộc A

ii) Tồn tại a1 thuộc A sao cho a chia hết cho a1 với mọi a thuộc A

Hãy tìm số dư của s khi chia s cho 5

Bài 5 : Cho dãy số } được xác định như sau: :

với mọi CMR:

Bài 6 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các dường phân giác trong của các góc cắt lại đường tròn tại tương ứng Gọi theo thứ tự

là giao điểm của với BC và là trung điểm của Định nghĩa tương

Bài 7: Cho các số thực x,y,z 0 thỏa mãn x+y+z =2 CMR:

2 với t [2,3]

Bài 8 : Cho

Bài 9 : CMR tồn tại vô hạn hợp số sao cho

Bài 10: Tìm hàm

i /

ii./

Bài 11 : Cho điểm ngoài xét các đtròn trực giao với mà qua cắt tại

a./ Biết , tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn

b./ lần lượt cắt tại tìm quỹ tích tâm ngoại tam giác

Bài 12 :a) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện

với mọi thuộc b) Với là một đa thức bậc bất kỳ cho trước, hỏi có nhiều nhất bao nhiêu đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện ?

Bài 13 : Cho dãy được xác định bởi:

a,Chứng minh rằng nếu thì dãy không hội tụ

b,Chứng minh rằng tồn tại vô số số thuộc sao cho dãy hội tụ

Bài 14 : Trong một giải cờ vua có kỳ thủ thi đấu vòng tròn lượt Mỗi một cặp kỳ thủ thi đấu với nhau lần ở lượt đi và một lần ở lượt về (thắng được điểm, thua điểm và hoà được nửa điểm) Cuối giải đấu người ta thấy rằng, đối với mỗi kỳ thủ tổng số điểm ở lượt đi và tổng số điểm ở lượt về của kỳ thủ đó chênh lệch nhau không ít hơn

Chứng minh rằng tất cả các chênh lệch này bằng

Bài 15 : Cho tam giác Xét nửa đường tròn tâm đường kính (với thuộc ) tiếp xúc với lần lượt tại và Nối và cắt nhau tại nối cắt tại

a,Chứng minh rằng là phân giác góc

b, Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại điểm

Bài 16 :

Giải hệ phương trình:

b.Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó vuông góc với nhau

Bài 18 : a Cho thỏa

Chứng minh rằng:

Bài 19 : Cho dãy số thực:

Tính

Bài 20 :Cho tam giác và điểm thuộc cạnh

lần lượt thuộc các cạnh sao cho là hình vuông

Nhận dạng tam giác biết:

Bài 21 : Giả sử rằng là các số thực dương ,chứng minh rằng :

Bài 22 : Giả sử tập hợp tất cả các số tự nhiên khác 0 là hợp của 2 tập không giao nhau : F={f(1), f(n)} , f(1) < < f(n)

G={g(1), g(n)} , g(1) < <g(n)

và g(n) = f(f(n)) +1 với mọi n 1

Tính f(240)

Bài 23 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại E và các đường thẳng AD,BC cắt nhau tại F Hai đường chéo AC.BD cắt nhau tại

M Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC,BD,EF.CMR:

< ( + )

Bài 24 : a Giải phương trình:

b Chứng minh phương trình: có đúng nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương

Bài 25 : a Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

b Cho các số thực thỏa mãn:

Chứng minh:

Bài 26 : Giải hệ phương trình:

Bài 27 : a Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho tam giác nội tiếp

tích tam giác bằng

Tìm tọa độ các đỉnh

b Trong mặt phẳng tọa độ Đề Các vuông góc cho điểm Điểm di động trong mặt phẳng sao cho tam giác thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh

tới bằng lần bán kính đường tròn tâm nội tiếp tam giác Chứng minh khi thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm thuộc một đường thẳng cố định Bài 28 : Cho tam giác nhọn và là đường cao ( và

Đường tròn cắt tại Đường tròn cắt tại Chứng minh

Bài 29 : Chứng minh rằng với số nguyên lẻ bất kỳ bao giờ cũng tồn tại một số nguyên lẻ thứ tư sao cho tổng là một số chính phương

Bài 30 : Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả thì

Bài 31 : Cho thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

Bài 32 : Cho với Chứng minh:

Bài 33: Tìm các giá trị có thể của với mọi số thực

Bài 34: Với mọi số nguyên dương , đặt Chứng minh:

Bài 35 : Giải hệ phương trình:

Bài 36 : Cho thực thỏa mãn : =0

Bài 37 : Cho , thuộc miền trong góc sao cho các góc và

tại và cắt tại là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tam giác vuông

Bài 38 : Cho dãy thỏa mãn và

Tính

Bài 39 : Cho hàm số thỏa mãn điều kiện:

Cmr:

Bài 40: X ét dãy

CMR có lim

Bài 41 :CMR

Bài 42 : Giải pt nghiem nguyen

Bài 43 : CMR ko tồn tại liên tục trên R mà

Bài 44 : Tìm sao cho

Bài 45 : nôi tiếp và fân giác trong của 2 góc đồng quy trên đoạn CMR

Bài 46 : Giải hệ phương trình:

hữu hạn thì và là các số hữu tỷ

Bài 48: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

Bài 49 : Cho tam giác và là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác CMR:

Bài 50 : Cho dãy số thực thỏa mãn:

i

ii

iii

CMR: số nguyên dương sao cho

Bài 52 : Cho hàm f: N* ->N*: thoả

, m,n N*

Tìm f(2007)

Bài 53 : Cho dãy xác định bởi:

,n N*

C/m dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 54 : Cho x,y,z (0;1) thỏa xy+yz+zx=1

tìm GTNN của : A=

Bài 55 : Cho ABC và 4 đường tròn (O1)(O2)(O3)(O4) thỏa mãn:(O1) tiếp xúc các tia AB,AC;(O2) tiếp xúc các tia BC,BA;(O3) tiếp xúc các tia CA,CB;(O4) tiếp xúc ngoài với (O1)(O2)(O3) lần lượt tại X,Y,Z

C/m: AX,BY,CZ đồng quy

Bài 56 : Gsử có đồng nhất thức:

các hệ số vế phải và a,b là các sô nguyên

Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 57 : Từ miếng bìa hình vuông có cạnh bằng có thể cắt thành hình tròn có bán kính bẳng thì tỉ số min bẳng bao nhiêu?

Bài 58 : Cho a,b,c khác o và các số này có tổng đôi một khác 0

CMR:

Bài 59 :Cho Chứng minh rằng:

Bài 60 : Giải pt:

Bài 61 : Giải hệ:

Bài 62 : Cho tam giác nhọn nội tiếp với

Chứng minh rằng :

Bài 63 : Tam giác nội tiếp Đường cao =

là hình chiếu của lên và

a) CMR :

b) CMR : thẳng hàng

Bài 64 : Cho hàm số Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho

với mỗi số nguyên

Bài 65 : Giả sử là các số nguyên dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài 66 : Cho đường tròn Trên lấy điểm phân biệt Gọi và lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác Gọi là trung điểm của Chứng

minh rằng giá trị biểu thức không phụ thuộc vào vị trí các điểm

trên

Bài 67 : Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn:

Bài 68 : Tìm mọi hàm liên tục thỏa mãn:

Bài 69 : Cho đường tròn và tứ giác ngoại tiếp đường tròn

cắt tại , cắt tại , cắt tại

CMR: và cùng đi qua

Bài 70 : Hãy tìm số lớn nhất là tích của các số nguyên dương sao cho tổng các số nguyên dương đó bằng

trình có ít nhất 1 nghiệm thực

Bài 72 : Cho là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.Đặt

CMR:

Bài 73 : Cho hai đường tròn không bằng nhau và tiếp xúc nhau tại Các điểm

tương ứng chạy trên sao cho Đường tròn nằm trong tam giác ,tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn và tiếp xúc với tại CMR: chạy trên 1 đường tròn cố định

Bài 74 : Cho dãy số nguyên dương xác định bởi

a) Xác định công thức tường minh cho phép tính theo

b) Giả sử là số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên thỏa mãn Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương,ta có

c) Xét nguyên dương tùy ý.Giả sử là ước nguyên tố của ,nhưng không là ước của CMR:

Bài 75 : Với mỗi nguyên dương ta kí hiệu { }.Xét các tập

Gọi tương ứng là số phần tử của a)Tính theo và

b)Tính

Bài 76 : Cho tam giác ABC có Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm

và tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và Các đường thẳng lần lượt cắt đường thẳng tại và CMR:

Bài 77 : Giải hệ phương trình sau

Bài 78 : Cho hình thang vuông ABCD(A=B= ).Dựng điểm M nằm trong hình vuông thỏa mãn DM=DA và CM=CB.Đường trung trực AM và đường trung trực BM cắt nhau tại P Đường thẳng PM cắt đường tròn ngoại tiếp tại Q.Chứng minh rằng

MP=MQ

Bài 79 : Cho là các số thực Tìm tất cả các hàm số sao cho

Bài 80 :

Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức sau

Bài 81 : a Chứng minh tồn tại dãy số thực dương mà mọi tổng của một số hữu hạn các phần tử đều nhỏ hơn

b Cho dãy số dương giảm ,thỏa mãn tổng của một số hữu hạn các số hạng là nhỏ Chứng minh rằng

và tính

Bài 82 : Cho hàm số thỏa mãn:

Với mọi cặp số nguyên dương đều tồn tại một số nguyên dương sao cho :

Chứng minh là hàm hằng

Bài 83 : Trong mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng trong đó nằm giữa Hai đường tròn : đi qua , đi qua cắt nhau tại

là điểm chính giữa cung của (không chứa ),

là điểm chính giữa cung của (không chứa )

là trung điểm của

Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và trung điểm nằm trên một đường thẳng

cố định khi thay đổi

Bài 84 : Xung quanh sân vận động có cái hộp đựng bóng Giả sử bạn có trong tay một

số lượng đủ lớn các quả bóng.Đầu tiên người ta bỏ vào một số hộp nào đó một số quả bòng tùy ý.Sau đó mỗi lần cho phép bạn chọn cái hộp liên tiếp và bỏ thêm vao mỗi hộp một quả bóng

i Chứng minh rằng : Dù ban đầu số bóng bỏ vào trong các hộp thế nào thì bạn cũng có

thể làm cho hộp đó có số bóng như nhau sau hữu hạn lần thực hiện quy tắc trên.

ii Khẳng định không còn đúng nếu số hộp đựng là

Bài 85 : Giải hệ phương trình

Bài 86 : Cho tùy ý nội tiếp đường tròn là trọng tâm của tam giác đó tùy ý thuộc hình tròn đường kính Các đường thẳng cắt đường tròn

ở Xác định vị trí của để tỷ số diện tích hai tam giác và

đạt giá trị lớn nhất

Bài 87 : Trên mặt phẳng tọa độ ta quy ước một đa giác nguyên là một đa giác mà tọa độ các đỉnh của nó là các số nguyên Hỏi trên mặt phẳng tọa độ có tồn tại 2007-giác nguyên

mà độ dài các cạnh của nó bằng nhau

Bài 88 : Cho là số nguyên dương Xét hàm số : xác định bởi:

, CMR: a)

b) chia hết cho với mọi nguyên dương

c) Với mỗi số nguyên tố , có dạng ,trong đó bằng hoặc là số nguyên tố Bài 89 : Cho tam giác Trên các cạnh và lấy các điểm và tương ứng (khác với các đỉnh của tam giác này) Gọi là giao điểm của và ,và là giao điểm của với

a)CMR:ba đường tròn đường kính và có cùng trục đẳng phương

b)Gọi tương ứng là các giao điểm (khác ) của các cặp đường tròn và

và Gọi là giao điểm của các đường tròn đường kính và Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn hoặc thẳng hàng

Bài 90 : Xét tập khác rỗng mà mỗi phần tử của nó là tập con gồm phần tử của tập

Biết rằng mỗi tập con gồm phần tử của đều chứa đúng phần tử của ( nguyên dương)

a)Tính số phần tử của theo

b) Chứng minh rằng Từ đó suy ra chứa mọi tập con gồm phần tử của Bài 91 : Giải phương trình:

Bài 92 : Cho số tự nhiên n và dãy số chỉ nhận một trong hai giá trị là thỏa mãn CMR:

Bài 93 : Cho

CMR:

Bài 94 :Cho dãy xác định:

Tìm

Bài 95 : Dãy số vô hạn được xác định bởi các đẳng thức

Chứng minh rằng

Bài 96 : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho

Bài 97 : Cho đường tròn tâm đường kính cố định Điểm chuyển động trên đường tròn đó là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác cắt ở Vẽ đường tròn tâm , bán kính cắt tại cắt ở và cắt tiếp tuyến qua đối với đường tròn tại

i Đường thẳng có tính chất đặc biệt gì không phụ thuộc vị trí của

ii Đường thẳng đi qua điểm nào trên ?

Bài 98 : Cho

Giải phương trình :

Bài 99 : Cho dãy thỏa mãn:

CMR: là số chính phương

Bài 100 : Cho tam giác nhọn là trung điểm của , là hình chiếu của trên

CMR: đồng qui tại điểm và đường thẳng đi qua điểm đó và

đi qua trung điểm đoạn

Bài 101 : Trên mặt phẳng cho điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng

điểm bất kì được nối với nhau bởi đoạn thẳng được tô đỏ hoặc xanh

Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng được tô đỏ sao cho bất kì tam giác nào tạo bởi trong số điểm trên đều có ít nhất cạnh màu đỏ

Bài 102 : Cho thỏa mãn ( )| ( )

CMR:

Bài 103 : Cho thỏa mãn

Tìm max , min của biểu thức sau:

Bài 104 : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

i

ii

iii

iiiii f n  ( ) 2006

Bài 105 : Cho tứ diện CMR: mặt phẳng , mỗi mặt phẳng đi qua trng điểm một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng qui tại điểm

Bài 106 : Cho đa thức hệ số nguyên , thoả mãn với mọi thì Xét dãy số

,Chứng mình rằng nếu với mỗi luôn tồn tại số hạng của dãy chia hết cho thì

Bài 107 : Cho đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại và tiếp xúc trong với lần lượt tại và Tiếp tuyến chung của cắt tại và .Đường kính của (O) vuông góc với

Gọi giao điểm của với lần lượt là Chứng minh rằng vuông góc với

Chứng minh rằng và đồng quy

Bài 108 : Trong thành phố có (nhiều hơn 1) một số tuyến đường sao cho:

Mỗi đường có đúng 3 bến xe buýt

Hai đường bất kì có đúng 1 và chỉ 1 bến chung

Hai bến bất kì đều có đúng 1 và chỉ 1 đường nối chúng

Hỏi trong thành phố có bao nhiêu con đường ?

Bài 109 : Cho a,b,c,d là các số thực không đồng thời bằng nhau cho :

;và xét các dãy :

và Tính

Bài 110 : Cho 2 mp (P) và(Q) song song nhau , một đường tròn © nằm trên (Q) và cho trước điễm A nằm giữa 2 mp (P) và (Q).Tìm M nằm trên (P) và B nằm trên (Q) : sao cho MA+MB ngắn nhất

Bài 111 : Cho

Cmr: diện tích tam giác có 3 cạnh

là một số nguyên

Bài 112 : Cho f(x) thỏa:

Tìm

Bài 113 : Cho ,

CMR:

Bài 114 : Giải hệ phương trình:

Bài 115 : Cho tam giác đều và đường thẳng qua không cắt các cạnh tam giác Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại

cắt tại

Chứng minh rằng tiếp xúc với

Bài 116 : Tìm tất cả các hàm thỏa mãn:

Bài 117 : Giải phương trình:

Bài 118: Cho hình thang có ll ; là giao của và

Chứng minh rằng:

Bài 119 : Tìm min: với thỏa mãn:

Bài 120 : Tìm thỏa mãn:

Bài 121 : Tìm số nghiệm của phương trình: trên

Bài 122 : Cho thỏa mãn:

Tìm min của:

Bài 123 : Cho đa thức : có nghiệm nguyên không âm

Tìm lớn nhất thỏa mãn:

Bài 124 : Cho dãy số dương thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

Bài 125 : Cho số dương thỏa mãn:

CMR:

Bài 126 : a.Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn:

b.Với đa thức vừa tìm được, chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho

Bài 127 : Cho tam giác nội tiếp nằm trong tam giác

cắt tại Tương tự ta có

Chứng minh rằng thẳng hàng

Bài 128 : Hai bạn A và B chơi trò chơi với bàn cờ vua như sau: mỗi bạn đến lượt mình phải đặt 1 quân tượng vào một ô trống nào đó của bàn cờ mà chưa bị kiểm soát bởi một quân tượng nào khác đã đặt trước đó Ai đến lượt mình không đặt được tiếp thì thua Giả

sử ban đầu bàn cờ không có 1 quân nào và số lượng các quân tượng không hạn chế Với giả thiết rằng hai người chơi đều rất thông minh và A là người đi trước , hỏi ai là người thắng cuộc?

Bài 129 : Cho 3 số thực khác nhau đôi một xác định như sau:

tươnng tự với

chứng minh rằng:

Bài 130 : Cho 3 điểm không thẳng hàng kí hiệu là đường tròn đi qua B,C và tiếp xúc với AB tại B.Đường tròn tùy ý đi qua A,B.Gọi P là giao điểm thứ hai khác

B của hai đương tròn và Đường tròn đi qua P,C và tiếp xúc với đường thẳn BC tại C vẽ tiếp tuyến d với tại A.giả sử d cắt tại D

cmr là tiếp tuyến

giả sử P nằm trong lồi gọi là góc

cmr

là diện tích

Bài 131 : Cho n là số nguyên dương lớn hơn tìm số các hoán vị của tập sao cho

với mọi i:

Bài 132 : Số nguyên dương được gọi là ''n-số đẹp'' nếu nó thỏa mãn:

i có ít nhất ước số nguyên tố phân biệt