OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , O ´ , C
1999 – 2000
, AI (T âp 4)
NH ` A XU ´ ÂT B
,
AN GI ´ AO D UC
Trang 22
Trang 3L `o i n ´ oi ¯ dâ`u
Ðê,thu,,g´oi l ênh phông ch˜u,tôi biên so an m ôt sô´ ¯dê` to´an thi Olympic, m`a c´ac h octr`o cua tôi ¯, d˜a l`am b`ai t âp khi h oc t.âp LATEX Ðê,ph u v u c´ac b.an ham h oc to´an tôithu th âp v`a gom l.ai th`anh c´ac s´ach ¯di.ên tu,,, c´ac b an c´o thê,tham khao M˜ôi t âp tôi s˜e,gom khoang 50 b`ai v´o, ,i l`o,i giai.,
Râ´t nhiê`u b`ai to´an d.ich không ¯du,.o,c chuâ,n, nhiê`u ¯diê,m không ho`an to`an ch´ınhx´ac v ây mong b.an ¯d oc t u,ng˜âm ngh˜ı v`a t`ım hiê,u lâ´y Nhu,ng ¯dây l`a nguô`n t`ai li êutiê´ng Vi êt vê` chu ¯, dê` n`ay, tôi ¯d˜a c´o xem qua v`a ngu,`o,i d.ich l`a chuyên vê` ng`anh To´anphô,thông B an c´o thê,tham khao l ai trong [1],[2].,
Râ´t nhiê`u ¯do an v`ı m´o,i h oc TeX nên câ´u tr´uc v`a bô´ tr´ı c`on xâ´u, tôi không c´o th`o,igian su,,a l ai, mong c´ac b.an thông cam Cuô´n s´ach n`ay c´o c´ach không cho sao ch´ep,ch˜u,Vi êt, c´ac b.an thu,,xem nh´e
H`a N ôi, ng`ay 20 th´ang 9 n˘am 2013
Nguy˜ên H˜u,u Ðiê,n
51
Trang 4M uc l uc
L`o,i n´oi ¯dâ`u 3
M uc l uc 4
Chu,o,ng 31.Ðê` thi olympic to´an Belarus 6
31.1.Ðê` b`ai 6
31.2.L`o,i giai, 8
Chu,o,ng 32.Ðê` thi olympic to´an Brazil 16
32.1.Ðê` b`ai 16
32.2.L`o,i giai, 16
Chu,o,ng 33.Ðê` thi olympic to´an Bulgaria 20
33.1.Ðê` b`ai 20
33.2.L`o,i giai, 20
Chu,o,ng 34.Ðê` thi olympic to´an Canada 25
34.1.Ðê` b`ai 25
34.2.L`o,i giai, 26
Chu,o,ng 35.Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´c 28
35.1.Ðê` b`ai 28
35.2.L`o,i giai, 29
Chu,o,ng 36.Ðê` thi olympic to´an S´ec v`a C ông ho`a Slovak 32
36.1.Ðê` b`ai 32
36.2.L`o,i giai, 34
Chu,o,ng 37.Ðê` thi olympic to´an Ph´ap 39
37.1.Ðê` b`ai 39
4
Trang 537.2.L`o,i giai, 40
Chu,o,ng 38.Ðê` thi olympic to´an Hong Kong 44
38.1.Ðê` b`ai 44
38.2.L`o,i giai, 45
Chu,o,ng 39.Ðê` thi olympic to´an Iran 47
39.1.Ðê` b`ai 47
39.2.L`o,i giai, 48
T`ai li êu tham khao, 51
Trang 6B `ai 31.2. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i bâ´t k`ı sô´ nguyên n > 1 th`ı tô,ng S cua tâ´t c, a c´ac u, ,´o,c
cua n (bao gô`m c, a 1 v`a n) th, oa m˜an bâ´t ¯, d˘ang th´u, ,c
k√n< S < √2kn,trong ¯d´o k l`a sô´ c´ac u,´o,c c,ua n
B `ai 31.3. Cho m ôt bang h`ınh vuông 7 × 7 ¯, du,.o,c chia th`anh 49 h`ınh vuông ¯do,n v.i,v`a b.i g.ach th`anh 3 lo.ai: c´ac h`ınh ch˜u,nh ât c˜o,3 × 1, c´ac g´oc gô`m 3 h`ınh vuông ¯do,nv.i v`a c´ac h`ınh vuông ¯do,n v.i Jerry c´o râ´t nhiê`u h`ınh ch˜u,nh ât v`a m ôt g´oc trong khiTom ch,ı c´o m ôt h`ınh ch˜u,nh ât
(a) Ch´u,ng minh r`˘ang Tom c´o thê,d ˘at h`ınh vuông c¯ ua m`ınh lên 1 ch˜ô n`ao ¯, d´o trêntâ´m bang (ph, u duy nhâ´t m ôt h`ınh vuông ¯do, ,n v.i) m`a Jerry không thê,xê´p k´ınphâ`n c`on l ai cua tâ´m b, ang v´o, ,i nh˜u,ng h`ınh cua m`ınh.,
(b) Bây gi`o,Jerry ¯du,.o,c cho thêm m ôt g´oc kh´ac Ch´u,ng minh r`˘ang d`u cho Tom ¯dê,h`ınh vuông cua anh ta, o,,dâu (ph¯ u duy nhâ´t m ôt h`ınh vuông ¯do, ,n v.i), Jerry v˜ânc´o thê,xê´p k´ın phâ`n c`on l ai cua tâ´m b, ang v´o, ,i c´ac h`ınh cua m`ınh.,
B `ai 31.4. Cho m ôt ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p h`ınh thang cân ABCD Gia s, u,, du¯,`o,ng tr`ongiao v´o,i ¯du,`o,ng ch´eo AC t.ai K v`a L (K n`˘am gi˜u,a A v`a L) T´ınh t,ı sô´
AL · KC
AK · LC
B `ai 31.5. Cho P v`a Q l`a c´ac ¯diê,m trên c anh AB cua tam gi´ac ABC (v´o, ,i P n`˘amgi˜u,a A v`a Q) sao cho ∠ACP = ∠PCQ = ∠QCB, v`a cho AD l`a ¯du,`o,ng phân gi´ac
Trang 7g´oc ∠BAC Ðu,`o,ng AD c´˘at CP v`a CQ tu,o,ng ´u,ng t.ai M v`a N Gia s, u,, PN = CD v`a
3∠BAC = 2∠BCA, ch´u,ng minh r`˘ang tam gi´ac CQD v`a tam gi´ac QN B c´o c`ung di ênt´ıch
B `ai 31.6. Ch´u,ng minh r`˘ang phu,o,ng tr`ınh
{x3}+ {y3}= {z3}c´o vô sô´ ngh êm h˜u,u tı không nguyên Trong ¯, d´o, {a} l`a phâ`n th âp phân cua a.,
B `ai 31.7. T`ım tâ´t ca c´ac sô´ nguyên n v`a sô´ th u, ,c m sao cho c´ac h`ınh vuông cua m ôt,
bang c˜o, ,n × nc´o thê,du¯,.o,c k´ı hi êu l`a 1, 2, , n2 v´o,i m˜ôi sô´ xuâ´t hi ên ¯d´ung m ôt lâ`ntheo c´ach biê,u sau
(ii) Ðâ`u tiên ta x´oa tâ´t ca sô´ th´u, , n trong danh s´ach; sau ¯d´o, trong danh s´ach thu
(a) Ch´u,ng minh r`˘ang (2, n) l`a tô´t v´o,i bâ´t k`y sô´ nguyên du,o,ng n
(b) Kiê,m xem c´o tô`n t ai hay không bâ´t k`ı c.˘ap (m, n) tô´t thoa m˜an 2 < m < n.,
Trang 88 Chu,o,ng 31 Ðê` thi olympic to´an Belarus
B `ai 31.10. Cho a1, a2, , a100l`a m ôt t.âp c´ac sô´ c´o th´u,t u, Trong m˜ôi lâ`n di chuyê,n,
ta ch on 2 sô´ bâ´t k`ı an, amv`a chuyê,n ch´ung t´o,i 2 sô´ tu,o,ng ´u,ng
a2n
am
− nm
a2m
an
− am
v`a a
2 m
an
− mn
31.2 L `o , i gi ai ,
L `o , i gi ai 31.1 , Nghi êm cua b`ai to´an l`a a, = πr, r ∈ Q
Ðâ`u tiên, gia s, u,,a= πr v´o,i r ∈ Q; viê´t l.ai r = p
do ¯d´o f tuâ`n ho`an v´o,i chu k`ı 2qπ
Bây gi`o,, gia s, u,, f l`a tuâ`n ho`an; khi ¯d´o tô`n t ai p > 0 sao cho f (x) = f (x + p) v´o,i
m oi x ∈ R Khi ¯d´o {ax + sin x} = {ax + ap + sin(x + p)} v´o,i m oi x ∈ R; n´oi c´ach kh´acg(x)= ap + sin(x + p) − sin x l`a m.ôt sô´ nguyên v´o,i m.oi x Tuy nhiên g liên t.uc, v`ı
v ay tô`n t.ai k ∈ Z sao cho g(x) = k v´o,i m oi x ∈ R Viê´t l.ai ¯diê`u trên ta ¯du,.o,c
sin(x+ p) − sin x = k − ap v´o,i m oi x ∈ R
Cho x= y, y + p, y + 2p, , y + (n − 1)p rô`i c.ông l.ai ta ¯du,.o,c
sin(y+ np) − sin y = n(k − ap) v´o,i m oi y ∈ R v`a n ∈ N
Bo,,i v`ı vê´ tr´ai cua phu, ,o,ng tr`ınh trên b.i ch.˘an bo,,i 2, ta kê´t lu ân r`˘ang k = ap v`asin(x+ p) = sin x v´o,i m.oi x ∈ R Ð.˘ac bi.êt, sin(π2 + p) = sin(π
2) = 1 v`a do ¯d´o
p= 2mπ v´o,i m ∈ N Nhu, v.âya = kp = k
2mπ = πr v´o,i r = k
2m ∈ Q, ¯dpcm
Trang 9L `o , i gi ai 31.2 Gi , a s, u,, c´ac u,´o,c c,ua n l`a 1 = d1 < d − 2 < · · · < dk = n; khi ¯d´o
didk +1−i= n v´o,i m˜ôi i V`ı v.ây
d1dk.) Ðê,ch´u,ng minh vê´ phai, ¯, d ˘at S2 = Pk
i =1di2v`a d`ung bâ´t
bo,,i v`ı d1, , dk l`a c´ac sô´ nguyên phân bi êt t`u,1 ¯dên n Do ¯d´o
Lu,´o,i ô vuông ,o, vên tr´ai ch´u,a 17 sô´1, 15 sô´2 v`a 16 sô´3; v`ı m˜ôi h`ınh ch˜u, nh.ât
3 × 1 ch´u,a 1 sô´ 1, 1 sô´ 2 v`a 1 sô´ 3, g´oc cua Jerry ph, ai ph, u 1 sô´ 3 v`a 2 sô´ 1;,v`ı v ây n´o phai ¯, du,.o,c ¯d.inh hu,´o,ng nhu, d Nhu,ng m˜ôi g´oc nhu, v.ây phu 1 sô´ 1, 1,sô´ 2 v`a 1 sô´ 3 trong lu,´o,i ô vuông bên ph,ai, tu,o,ng t.u, ¯dô´i v´o,i bâ´t k`ı h`ınh ch˜u,
Trang 1010 Chu,o,ng 31 Ðê` thi olympic to´an Belarus
nh ât 3 × 1 Bo,,i v`ı lu,´o,i ô vuông bên ph,ai c˜ung ch´u,a 17 sô´ 1, 15 sô´ 2 v`a 16 sô´
3, Jerry không thê,xê´p 48 ô vuông c`on l ai v´o,i c´ac h`ınh cua cô â´y.,
(b) C´ach s´˘ap xê´p sau ¯dây thoa m˜an.,
H`ınh ¯dâ`u tiên c´o thê,xoay v`a ¯d ˘at trên tâ´m bang 7 × 7 sao cho h`ınh vuông c, ua,Tom ¯d ˘at v`ao ch˜ô trô´ng cua b, ang, miê`n chu, ,a ¯du,.o,c phu Tu, ,o,ng t u,, h`ınh th´u,2c´o thê,xoay v`a ¯d ˘at v`ao trong phâ`n chu,a ¯du,.o,c phu 4 × 4 c`on l ai sao cho h`ınh,vuông cua Tom v˜ân ¯, d ˘at ¯du,.o,c, v`a cuô´i c`ung, ¯do,n g´oc c´o thê,xoay v`a ¯d ˘at m`akhông chô`ng lên h`ınh vuông cua Tom.,
Trang 11V`ı v ây(m+ n)2+ (2r)2 = AC2 = (t + u + v)2
m2+ 2mn + n2+ 4r2 = t(t + u) + v(v + u) + 2π + uσ + u2
m2+ 2mn + n2+ 4r2 = m2+ n2+ 2π + uσ + u2
2mn+ 4r2−π = π + uσ + u2.Nhân ca 2 vê´ v´o, ,i π ta c´o
π(2mn + 4r2−π) = π(π + uσ + u2)= (mn)2,l`a m ôt h`am b.âc 2 theo π v´o,i nghi êm
π = mn + 2r2± p(mn+ 2r2)2− (mn)2.Nhu,ng v`ı m2n2 = t(t + u)v(v + u) ≥ t2v2, ta c´o mn ≥ π Do ¯d´o, AK · LC = π =
mn+2r2− p(mn+ 2r2)2− (mn)2 V`ı (AK · AL) · (CK · CL)= m2· n2, ta c´o AL · KC=
m2n2
Theo nhu,bô,dê¯ ,, gia s, u,,r`˘ang AB k CD v`a h`ınh tr`on tiê´p x´uc v´o,i AB, BC, CD, DA
tu,o,ng ´u,ng t ai c´ac ¯diê,m P, Q, R, S Ta c˜ung ¯d ˘at m = AP = PB = AS = BQ v`a
Trang 1212 Chu,o,ng 31 Ðê` thi olympic to´an Belarus
L `o , i gi ai 31.5 T`u , ,3∠BAC = 2∠BCA
∠PAN = ∠NAC = ∠ACP = ∠PCQ = ∠QCD
Ð ˘at θ l`a sô´ ¯do cua c´ac g´oc trên V`ı ACNP v`a ACDQ l`a 2 t´u, ,gi´ac ¯dê`u, nên
θ = ∠ANP = ∠CQD = ∠CPN
T`u, s u, tu,o,ng ´u,ng gi˜u,a g´oc-c anh-g´oc ta suy ra 4NAP 4CQD 4PCN Do ¯d´o
CP= CQ, v`a do t´ınh ¯dô´i x´u,ng ta c´o AP = QB V`ı v.ây, [CQD] = [NAP] = [NQB]
L `o , i gi ai 31.7 , Ho ˘ac l`a n = 1 v`a 2 ≤ m ≤ 3 ho.˘ac l`a n = 2 v`a m = 3 Ðiê`u n`ay d˜êd`ang kiê,m tra ¯du,.o,co,,h`ınh du,´o,i ¯dây
4n2− 2n= (n + m)2
− (n+ n) ≤ mann≤ mn2v`a m ≥ 4n
2− 2n
n2 = 4 −2
n V`ı v ây 4 − 2n ≤ m ≤ 3, ¯dpcm
Trang 13L `o , i gi ai 31.8 Ðê , ,do¯,n gian, viê´t f (x), = sin xπ
22000
T ai k = 0, biê,u th´u,c trong dâ´u ngo ˘ac b`˘ang −3 C´o phu,o,ng tr`ınh sin(3θ) =
4 sin3θ − 3 sin θ, v`a ¯dê,´y r`˘ang f (k) , 0 khi 1 ≤ k ≤ 21999, ta c´o thê,viê´t l ai t´ıch trênnhu,sau
k =1
f(3k) ·
22000− 13Y
k =2
1999+ 13
k =2
1999+ 13
Kê´t h o,p v´o,i biê,u th´u,c31.1cho ta t´ıch câ`n t`ım l`a (−3)(−1) = 3
L `o , i gi ai 31.9 Kh , ao s´at xem m ôt sô´ nguyên du, ,o,ng j c´o thu ôc danh s´ach thu ¯du,.o,c
¯
dâ`u tiên hay không Nê´u n´o l`a ¯dô`ng du,cua 1( mod m), th`ı j, + mn c˜ung thu.ôc danhs´ach thu ¯du,.o,c ¯dâ`u tiên, nên ch´ung c`ung b.i x´oa Nê´u ngu,.o,c l ai, th`ı gia s, u,, n´o l`a sô´c`on l ai th´u,tsau khi ch´ung ta ¯d˜a x´oa tâ´t ca c´ac b ôi sô´ c, ua m C´o n u, ,´o,c c,ua m b.i x´oan`˘am gi˜u,a j v`a j+ mn, v`ı v.ây j + mn l`a sô´ c`on l.ai th´u, (t + mn − n) sau khi ch´ung tax´oa tâ´t ca c´ac b ôi sô´ c, ua m Nhu, ,ng ho ˘ac l`a t v`a t + mn − n c`ung l`a ¯dô`ng du,cua 1(,
Trang 1414 Chu,o,ng 31 Ðê` thi olympic to´an Belarusmod m) ho ˘ac c`ung không l`a ¯dô`ng du,cua 1( mod m) Do ¯, d´o, j b.i x´oao,,lu,.o,t th´u,haikhi v`a chı khi j, + mn c˜ung b.i x´oa.
L´y lu ân tu,o,ng t u, cho danh s´ach thu ¯du,.o,c th´u, 2 Do ¯d´o, trong 1 trong 2 danhs´ach, v.i tr´ı cua c´ac sô´ b.i x´oa l.˘ap l.ai v´o, ,i chu k`ı mn; v`a gi˜u,a mô´i mn sô´ liên tiê´p c`on
l ai ch´ınh x´ac mn−(m+n−1) sô´ (Trong danh s´ach ¯dâ`u tiên, n+(bmn − n −n 1c+1) =
ca 2 tru, ,`o,ng h.o,p, tâ´t ca phâ`n t, u,,chung cua 2 danh s´ach l`a c´ac sô´ ch˜˘an gi˜u, ,a n+2v`a 2n M˜ôi sô´ 2n − i ¯d´o (v´o,i i < n −1
2 ) l`a sô´ th´u
,(n − 1 − i) trên ca 2 danh,s´ach, ch´u,ng to r`˘ang (2, n) l`a tô´t.,
(b) Th u,c ra, 1 c ˘ap nhu,thê´ n`ay luôn tô`n t ai, ch,ı câ`n m ôt c.˘ap ¯do,n gian nhâ´t (m, n), =(3, 4) l`a ¯du Danh s´ach thu ¯, du,.o,c ¯dâ`u tiên (lên ¯dê´n k= 12) l`a 3, 5, 6, 9, 11, 12v`a danh s´ach thu ¯du,.o,c th´u,2 l`a 3, 4, 7, 8, 11, 12 C´ac phâ`n tu,,chung l`a 3, 11, 12,v`a ch´ung c`ung c´o v.i tr´ı giô´ng nhau
L `o , i gi ai 31.10 Sau khi chuyê , ,n an t´o,i a0
n = a2n
am
− nm
a2m
an
− am
v`a am t´o,i a0
a0n
n + a
0 m
= an
n + am
m
Trang 15Do ¯d´o khi viê´t du,´o,i d.ang phân sô´tô´i gian nhâ´t, I, 1c´o m˜âu sô´ chia hê´t cho 125.Bây gi`o, gia s, u,, ngu,.o,c l ai r`˘ang ch´ung ta c´o thê,t ao chuyê,n tâ´t c´ac sô´ th`anh sô´nguyên theo th´u,t u, b1, b2, , b100 Khi ¯d´o, I2 = P100
Trang 16B `ai 32.3. H`anh tinh Zork c´o h`ınh câ`u v`a c´o m ôt v`ai th`anh phô´ V´o,i bâ´t k`ı th`anhphô´ n`ao cua Zork, c´o tô`n t ai th`anh phô´ ¯dô´i c u, ,c A’ (t´u,c l`a, ¯dô´i x´u,ng qua tâm h`ınhcâ`u) Trong Rork, c´o nh˜u,ng con ¯du,`o,ng nô´i hai th`anh phô´ v´o,i nhau Nê´u c´o m.ôt con
¯
du,`o,ng nô´i th`anh phô´ P v`a Q, th`ı c´o m.ôt con ¯du,`o,ng nô´i P’ v`a Q’ Nh˜u,ng con ¯du,`o,ngkhông giao nhau, v`a m˜ôi c ˘ap th`anh phô´ ¯du,.o,c nô´i v´o,i nhau bo,,i m ôt sô´ tr`ınh t u,du¯,`o,nggiao thông M˜ôi th`anh phô´ ¯du,.o,c g´˘an bo,,i m ôt gi´a tr.i, v`a s u,kh´ac bi êt gi˜u,a gi´a tr.i c´ac
c ˘ap th`anh phô´ ¯du,.o,c kê´t nô´i tô´i ¯da l`a 100 Ch´u,ng minh r`˘ang c´o tô`n t ai c´ac th`anh phô´
¯
dô´i c u,c v´o,i gi´a tr.i kh´ac nhau nhiê`u nhâ´t l`a 100
B `ai 32.4. O,,Tumbolia c´o n ¯d ôi b´ong ¯d´a Ch´ung ta muô´n tô,ch´u,c m ôt giai vô ¯, d.ichsao cho m˜ôi ¯d ôi b´ong cho,i ¯d´ung m ôt lâ`n v´o,i m ôt ¯d ôi Tâ´t ca c´ac tr ân ¯du, ,.o,c tô,ch´u,cv`ao chu nh ât, v`a m˜ôi ¯d ôi cho, ,i không ¯du,.o,c qu´a m ôt tr.ân c`ung ng`ay X´ac ¯d.inh gi´a tr.i
m nguyên nho nhâ´t sao cho c´o thê, ,tô,ch´u,c ¯du,.o,c m ôt giai vô ¯, d.ich trong m chu nh ât.,
B `ai 32.5. Cho tam gi´ac ABC, h˜ay chı ra c´ach d u, ,ng v´o,i thu,´o,c k,e v`a compass, m.ôttam gi´ac A’B’C’ v´o,i di ên t´ıch tô´i thiê,u sao cho A’, B’, C’ lâ`n lu,.o,t n`˘am trên AB, BC,
CA,∠B0A0C0= ∠BAC v`a ∠A0C0B0 = ∠ACB
32.2 L `o , i gi ai ,
L `o , i gi ai 32.1 Cho R , = AD ∩ BE, S = AC ∩ BD, T = CE ∩ AD Ta c´o
∆PQR ∼ ∆CAD bo,,i v`ı ch´ung l`a c´ac tam gi´ac tu,o,ng ´u,ng trong c´ac ng˜u gi´ac QTRPS
Trang 17v`a ABCDE, v`a v`ı ∆CAD ∼ ∆PAR nên ch´ung ta c´o ∆PQR ∆PAR Do ¯d´o[APQD]= APQD
Bây gi`o,ta chı ra r`˘ang gi´a tr.i ´ıt nhâ´t l`a 66 Gi, a s, u,,ngu,.o,c l ai, n c´o thê,b`˘ang 65 K´ı
hi êu ai l`a sô´ h`ınh vuông bên tr´ai h`ang i (i= 1, 2, , 10); trong h`ang i, c´o (ai
2) c ˘ap ôvuông c`on l ai Nê´u không c´o bô´n ô vuông c`on l.ai t.ao th`anh g´oc h`ınh ch˜u,nh ât, th`ı
tô,ng sô N = P10
i =1(a2i) phai không vu, ,.o,t qu´a (102 )= 45 Nhu,ng ch´u ´y r`˘ang, v´o,i cô´ ¯d.inh
P10
i =1ai = 35, th`ı gi´a tr.i nho nhâ´t c, ua, P10
i =1(a2i) ¯d at ¯du,.o,c khi v`a ch,ı khi không c´o hail´o,n ho,n 1 Do ¯d´o, 45= P10
i =1(a2i) ≥ 5.(4
2)+5.(3
2)= 45, , ¯dây l`a gi´a tr.i tô´i thiê,u, ngh˜ıal`a n˘am gi´a tr.i ai b`˘ang 4 v`a gi´a tr.i c`on l.ai b`˘ang 3 Khi ¯d´o d˜ê d`ang nh.ân thâ´y ngo`aiho´an v.i cua h`ang v`a c ôt, th`ı h`ang n˘am ¯dâ`u tiên c, ua b, ang cho nhu, ,sau:
Ch´ung ta kiê,m tra h`ınh n`ay v`a nh ân thâ´y r`˘ang c´o thê,c´o h`ang kh´ac ch´u,a ´ıt nhâ´t 3
ô vuông c`on l ai Do ¯do n không thê,´ıt ho,n 66, ch´ung ta ¯du,.o,c ¯diê`u phai ch´u, ,ng minh
L `o , i gi ai 32.3 , K´ı hi êu |A| l`a gi´a tr.i cua th`anh phô´ A Tên c, ua c´ac c ˘ap th`anh phô´ l`a,
V´o,i bâ´t k`ı c ˘ap th`anh phô´ n`ao ¯du,.o,c kê´t nô´i v´o,i nhau bo,,i m ôt v`ai tr`ınh t u,du¯,`o,ng,
phai tô`n t ai a, b sao cho Z, av`a Zb0 du¯,.o,c kê´t nô´i bo,,i m ôt ¯du,`o,ng ¯do,n Do ¯d´o, |Za− |Zb0| ≤
100 v`a |Zb− |Za0| ≤ 100 Thêm n˜u,a, ta c´o
|Za− |Za0|+ |Zb− |Z0b| ≤ 200
Do ¯d´o, ho ˘ac 0 ≤ |Za− |Za0| ≤ 100 ho ˘ac 0 ≤ |Zb− |Zb0| ≤ 100; Trong ca hai tru, ,`o,ng
h o,p n`ay ta c´o ¯diê`u phai ch´u, ,ng minh
L `o , i gi ai 32.4 , G oi anl`a gi´a tr.i nguyên du,o,ng nho nhâ´t m`a c´o thê, ,tô,ch´u,c du,.o,c gia,
vô d.ich gi˜u,a n ¯d ôi b´ong trong ai ng`ay chu nh ât Cho n > 1, nhâ´t thiê´t a, n ≥ 2[n2− 1],
Trang 1818 Chu,o,ng 32 Ðê` thi olympic to´an Brazilngu,.o,c l ai, tô,ng c´ac tr ân ¯dâ´u không vu,.o,t qu´a (2[n2] − 2).[n2] ≤ (n−1)2 2 < (n
2), d˜ân ¯dê´nmâu thu˜ân
M ˘at kh´ac, 2[n2] − 1 ¯du ng`ay Gi, a s, u,,r`˘ang n= 2t + 1 ho.˘ac 2t + 2; sô´ ¯d.ôi t`u, 1 ¯dê´n nv`a ng`ay chu nh ât t`u, ,1 ¯dê´n 2t+ 1 V`ao ng`ay chu nh ât th´u, ,i, ho ˘ac ¯d ôi th´u,i ngô`i ngo`ai(nêu n l`a le) ho ˘ac cho, ,i v´o,i d ôi 2t + 2 (nê´u n ch˜˘an); v`a c´o bâ´t k`ı ¯d ôi j n`ao kh´ac cho,iv´o,i ¯d ôi k , 2t + 2 sao cho j + k ≡ 2i( mod 2t + 1) Sau ¯d´o m˜ôi ¯d ôi cho,i v´o,i c´ac ¯d ôib´ong kh´ac, ¯diê`u phai ch´u, ,ng minh
L `o , i gi ai 32.5 Tâ´t c , a c´ac g´oc ¯, dê`u ¯d.inh hu,´o,ng modulo 180o
Ðê,thu ân ti.ên, g oi bâ´tk`ı g´oc A’B’C’ l`a ”zart” nê´u A’, B’, C’ lâ`n lu,.o,t n`˘am trên AB, BC, CA, v`a∆ABC ∼
∆A0
B0C0 Sau ¯d´o, vâ´n ¯dê` l`a d u,ng tam gi´ac zart v´o,i di ên t´ıch nho nhâ´t.,
Gia s, u,,c´o m ôt tam gi´ac zart bâ´t k`ı, v`a cho P l`a ¯diê,m (kh´ac A’) giao cua ¯, du,`o,ngtr`on ngo ai tiê´p tam gi´ac Â’C’ v`a BB’A’
Sau ¯d´o
∠B0PC0 = 360o
− ∠A0PB0− ∠C0PA0
=
360o− (180o− ∠CBA) − (180o− ∠BAC) = 180o− ∠ACB,
v`ı thê´ P c˜ung n`˘am trên ¯du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p tam gi´ac CC’B’ Tiê´p t.uc ta c´o,
∠PAB = ∠PC0A0 = ∠B0
C0A0− ∠B0C0P
= ∠B0
CC0− ∠B0CP0 = ∠PCA,v`a tu,o,ng t u,ta c´o
∠PAB = ∠PC0A0 = ∠PCA = ∠PB0
C0 = ∠PBC
C´o duy nhâ´t ¯diê,m P (m ôt trong nh˜u,ng ¯diê,m Brocard) thoa m˜an,
∠PAB = ∠PBC = ∠PCA,v`a do ¯d´o P l`a cô´ ¯d.inh ¯d ôc l.âp cua vi êc chon tam gi´ac A’B’C’ V`a n´o l`a nh˜u, ,ng ¯diê,m
tu,o,ng ´u,ng cua tam gi´ac ABC v`a A’B’C’, ch´ung ta c´o,
[A0B0C0]= [ABC](PA0
PA)
2
Trang 19Nhu,v ây[A’B’C’] l`a nho nhâ´t khi PA’ l`a nh, o nhâ´t, x, ay ra khi PA, 0⊥AB (v`a tu,o,ng
t u, PB0⊥PC v`a PC0⊥PA) Do ¯d´o tam gi´ac zart v´o,i di ên t´ıch nho nhâ´t l`a co, ,so,,cua,tam gi´ac A’B’C’ cua P cho tam gi´ac ABC Tam gi´ac n`ay th`ı th u, ,c s u,l`a tu,o,ng t u,v´o,itam gi´ac ABC; ¯d ˘at θ = ∠PAB l`a g´oc Brocard, n´o l`a anh c, ua tam gi´ac ABC du, ,´o,iph´ep quay θ − 90o, sau ¯d´o l`a ph´ep ¯dô`ng d ang tı sô´ sinθ.,
Ðê,d u,ng tam gi´ac n`ay, ¯dâ`u tiên v˜e cung tr`on X :∠BXA = ∠BCA + ∠CAB v`a{Y : ∠CY B = ∠CAB + ∠ABC} v`a cho P’ l`a giao ¯diê,m cua ch´ung (kh´ac B); khi ¯, d´och´ung ta c´o∠AP0C = ∠ABC + ∠BCA Ta c´o
Trang 20c anh cua t´u, ,gi´ac ABCD Ch´u,ng minh r`˘ang 2|MNPQ| ≤ |ABCD|.
B `ai 33.3. Trong m ôt cu ôc thi ¯dâ´u 8 gi´am khao cho ¯, diê,m c´ac th´ı sinh b`˘ang vi êc qua
ho ˘ac tru,.o,t Biê´t r`˘ang bâ´t k`y hai th´ı sinh , hai gi´am khao cho ¯, diê,m qua; hai gi´am
khao cho ¯, diê,m thi sinh ¯dâ`u tiên l`a qua v`a th´ı sinh th´u,hai l`a tru,.o,t; hai gi´am khao cho,
B `ai 33.5. Cho B1v`a C1 thu ôc c.anh AC v`a AB cua tam gi´ac ABC Ðo an,
BB1 v`a CC1 c´˘at nhau t ai D Ch´u,ng minh r`˘ang m ôt ¯du,`o,ng tr`on c´o thê, n.ôi tiê´p c´ac
c anh cua t´u, ,gi´ac AB1DC1 khi v`a ch,ı khi ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p cua tam gi´ac ABC v`a,ACD n ôi tiê´p v´o,i nhau
33.2 L `o , i gi ai ,
L `o , i gi ai 33.1 Phu , ,o,ng tr`ınh ¯du,.o,c viê´t l ai c´o d.ang
(x − y)(x2+ xy + y2)= z2
Bâ´t k`y m ôt u,´o,c chung c,ua x -y v`a x2+ xy + y2c˜ung chia hê´t cho z2v`a (x2+ xy +
y2) − (x+ 2y)(x − y) = 3y2 Gia ¯, d.inh z2v`a 3y2l`a nguyên tô´ c`ung nhau, do ¯d´o (x - y)
Trang 21v`a (x2+ xy + y2) phai l`a nguyên tô´ c`ung nhau V`ı v ây, m`a c, a (x - y) v`a (x, 2+ xy + y2)l`a sô´ ch´ınh phu,o,ng.
Ta ¯d ˘at a = √x − y, ch´ung ta c´o
m2 = n2+ 3y2
ho ˘ac
(m − n)(m+ n) = 3y2,v`ı thê´ (m − n, m+ n) = (1, 3y2), (3, y2
), ho ˘ac (y, 3y)X´et tru,`o,ng h.o,p ¯dâ`u tiên, n = y < 2a2+ 3y = n, d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân
X´et tru,`o,ng h.o,p th´u, hai, ch´ung ta c´o 4a2 = 2n − 6y = y2− 6y − 3 < (y − 3)2.V`a khi y ≥ 10 ta c´o y2− 6y − 3 > (y − 4)2, do ¯d´o y= 2, 3, 5, ho.˘ac 7 trong tru,`o,ng
− ∠Y − ∠Z.Khoang c´ach t`u, ,YZ l`a l´o,n nhâ´t khi n´o l`a tâm cua cung, m`a x, ay ra khi, ∠Y = ∠Z; va
t ai ¯diê,m n`ay XWYZ = 1
2tan(∠Y+∠Z2 )
Gia s, u,,M, N, P, Q tu,o,ng ´u,ng trên c anh AB, BC, CD, DA Cho T l`a giao ¯diê,m cua,
AC v`a BD Cho α= ∠ADB, β = ∠BAC, γ = ∠CADδ = ∠DBA Theo bô,dê` c´o, MT ≤¯
Trang 2222 Chu,o,ng 33 Ðê` thi olympic to´an BulgariaNhu,ng v`ı α+γ2 + β+δ2 = 90o
, biê,u th´u,c cuô´i c`ung thu ¯du,.o,c 14AB.ADsin∠ABD Do
diê`u phai ch´u, ,ng minh
L `o , i gi ai 33.3 Cho t , ,ı l ê r (ho.˘ac qua ho.˘ac tru,.o,t), cho r k´ı hi êu t,ı l ê phâ`n c`on l.ai.Ngo`ai ra, bâ´t c´u,khi n`ao m ôt c.˘ap gi´am khao ¯, dô`ng ´y v´o,i t,ı l ê m ôt v`ai th´ı sinh, g oi l`a
m ôt s u,thoa thu ân Ch´ung ta ch´u, ,ng minh r`˘ang bâ´t k`y hai gi´am khao chia s, e nhiê`u,nhâ´t l`a ba hi êp ¯d.inh , gia s, u,,b`˘ang c´ach mâu thu˜ân n`ay ¯dê`u l`a sai lâ`m Sau ¯d´o , gia,
Tu,o,ng t u,nhu,v ây, h o phai cho D t, ,ı l ê d Nhu,ng bây gi`o,diê`u ki ên tru¯ ,.o,t cho c´ac th´ısinh C v`a D t,ı l ê d, d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân V`ı v.ây , m˜ôi c.˘ap gi´am khao ¯, dô`ng ´y tô´i ¯da l`a
ba xê´p h ang, nhu,yêu câ`u ; do ¯d´o c´o tô´i ¯da 3.(8
2)= 84 thoa thu ân gi˜u, ,a tâ´t ca c´ac gi´am,
khao M ˘at kh´ac, ¯dô´i v´o, ,i m˜ôi th´ı sinh c´o ch´ınh x´ac bô´n gi´am khao ¯, d´anh dâ´u l`a qua
Trang 23v`a ch´ınh x´ac 4 gi´am khao ¯, d´anh dâ´u l`a thâ´t b ai, do ¯d´o c´o (42)+ (4
2) = 12 quyê´t ¯dinhv´o,i m˜ôi th´ı sinh Suy ra c´o nhiê`u nhâ´t l`a 8412 = 7 th´ı sinh , v`a nhu, Bang du, ,´o,i ¯dây ch,ı
ra (v´o,i 1 k´ı hi êu l`a qua v`a 0 l`a tru,.o,t) , n´o th u,c s u,l`a c´o thê,c´o ch´ınh x´ac 7 th´ı sinh:
H`ınh 33.2:
L `o , i gi ai 33.4 Khi y , 2 + 3y > 0, (y + 1)3 > x3 > y3 Do ¯d´o ch´ung ta c´o y2+ 3y ≤
0, v`a y = −3, −2, −1, ho.˘ac 0 - kê´t qua nh ân ¯du, ,.o,c l`a (x, y)= (1, 0), (1, -2), v`a (-2,-3)
L `o , i gi ai 33.5 Ta n´oi r`˘ang ¯ , du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac ABD tiê´p x´uc v´o,i AD t.ai
T1 v`a ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p cua tam gi´ac ACD tiê´p x´uc v´o, ,i AD t ai T2; do ¯d´o DT1 =
f rac12(DA+ DB − AB) v`a DT2 = f rac12(DA + DC − AC)
Gia s, u,,dâ`u tiên m ôt ¯du¯ ,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p AB1DC1 Cho n´o n ôi tiê´p v´o,i c´ac c anh
AB1, B1D, DC1, C1At ai c´ac ¯diê,m theo th´u,t u,E, F, G, H T`u,t´ınh châ´t n ôi tiê´p, ch´ung
ta c´o
AB − BD= (AH + HB) − (BF − DF)(AH+ BF) − (BF − DF) = AH + DFv`a tu,o,ng t u,AC - CD= AE + DG Nhu,ng AH + DF = AE + DG b`˘ang t´ınh châ´t n.ôitiê´p, c´o ngh˜ıa l`a AB -BD= AC - CD v`a do ¯d´o ch´ung ta c´o hai ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´ptiê´p x´uc nhau
Gia s, u,,ngu,.o,c l ai l`a hai ¯du,`o,ng tr`on tiê´p x´uc v´o,i nhau Khi ¯d´o DA + DB - AB =
DA + DC - AC Cho ω l`a ¯du,`o,ng tr`on cua ABB, 1, v`a cho D’ l`a ¯diê,m n`˘am trên BB1
Trang 2424 Chu,o,ng 33 Ðê` thi olympic to´an Bulgaria(kh´ac B1) sao cho ¯do an CD’ tiê´p x´uc v´o,i ω Gia s, u,,b`˘ang phan ch´u, ,ng r`˘ang D , D0.T`u,kê´t qua cuô´i, ta biê´t r`˘ang ¯, du,`o,ng tr`on c,ua tam gi´ac ABD’ v`a ACD’ l`a n.ôi tiê´p v`aD’A+ D’B - AB = D’A + D’C - AC Do ¯d´o t`u, DB - AB = DC - AC v`a D’B - AB =D’B - AC, ch´ung ta c´o DB - D’B= DC - D’C b`˘ang c´ach hai vê´ Do ¯d´o DD’ = |BD -D’B| = |DC - D’C| Nhu,ng bâ´t ¯d˘ang th´u, ,c tam gi´ac không ¯d´ung v´o,i tam gi´ac DD’C,
¯
d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân дo l`a ¯diê`u phai ch´u, ,ng minh
Trang 25BC Ch´u,ng minh r`˘ang ¯d ô d`ai cua cung bên trong tam gi´ac l`a không ¯, dô,i.
B `ai 34.3. X´ac ¯d.inh tâ´t ca c´ac sô´ nguyên du, ,o,ng n sao cho n = d(n)2, o,,dây d(n) k´ı¯
hi êu sô´ c´ac u,o,c du,o,ng cua n (gô`m c, a 1 v`a n).,
B `ai 34.4. Gia s, u,, a1, a2, a8 l`a t´am sô´ nguyên kh´ac nhau t`u, t âp S = {1, 2, 17}.Ch´u,ng minh r`˘ang tô`n t ai m ôt sô´ nguyên k > 0 sao cho phu,o,ng tr`ınh ai − aj = kc´o ´ıt nhâ´t ba nghi êm kh´ac nhau T`ım m ôt t.âp x´ac ¯d.inh gô`m 7 sô´ nguyên kh´ac nhau{b1, b2, b7} t`u,S sao cho phu,o,ng tr`ınh
bi− bj = kkhông thê,c´o ba nghi êm phân bi.êt v´o,i m oi k > 0
B `ai 34.5. Cho x, y, z l`a c´ac sô´ th u,c không âm sao cho
x+ y + z = 1
x2y+ y2z+ z2x ≤ 4
27,dâ´u b`˘ang xay ra khi n`ao.,