tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 5)

Barbara di chuyê,n tru,´o,c.

OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , O ´ , C

1999 – 2000

, AI (T âp 5)

NH ` A XU ´ ÂT B

,

AN GI ´ AO D UC

2

L `o i n ´ oi ¯ dâ`u

Ðê,thu,,g´oi l ênh phông ch˜u,tôi biên so an m ôt sô´ ¯dê` to´an thi Olympic, m`a c´ac h octr`o cua tôi ¯, d˜a l`am b`ai t âp khi h oc t.âp LATEX Ðê,ph u v u c´ac b.an ham h oc to´an tôithu th âp v`a gom l.ai th`anh c´ac s´ach ¯di.ên tu,,, c´ac b an c´o thê,tham khao M˜ôi t âp tôi s˜e,gom khoang 50 b`ai v´o, ,i l`o,i giai.,

Râ´t nhiê`u b`ai to´an d.ich không ¯du,.o,c chuâ,n, nhiê`u ¯diê,m không ho`an to`an ch´ınhx´ac v ây mong b.an ¯d oc t u,ng˜âm ngh˜ı v`a t`ım hiê,u lâ´y Nhu,ng ¯dây l`a nguô`n t`ai li êutiê´ng Vi êt vê` chu ¯, dê` n`ay, tôi ¯d˜a c´o xem qua v`a ngu,`o,i d.ich l`a chuyên vê` ng`anh To´anphô,thông B an c´o thê,tham khao l ai trong [1],[2].,

Râ´t nhiê`u ¯do an v`ı m´o,i h oc TeX nên câ´u tr´uc v`a bô´ tr´ı c`on xâ´u, tôi không c´o th`o,igian su,,a l ai, mong c´ac b.an thông cam Cuô´n s´ach n`ay c´o c´ach không cho sao ch´ep,ch˜u,Vi êt, c´ac b.an thu,,xem nh´e

H`a N ôi, ng`ay 20 th´ang 9 n˘am 2013

Nguy˜ên H˜u,u Ðiê,n

51

M uc l uc

L`o,i n´oi ¯dâ`u 3

M uc l uc 4

Chu,o,ng 40.Ðê` thi olympic Hungary 6

40.1.Ðê` b`ai 6

40.2.L`o,i giai, 8

Chu,o,ng 41.Ðê` thi olympic to´an Ireland 14

41.1.Ðê` b`ai 14

41.2.L`o,i giai, 16

Chu,o,ng 42.Ðê` thi olympic to´an Italy 19

42.1.Ðê` b`ai 19

42.2.L`o,i giai, 20

Chu,o,ng 43.Ðê` thi Olimpic To´an Nh ât Ban, 25

43.1.Ðê` b`ai 25

43.2.L`o,i giai, 25

Chu,o,ng 44.Ðê` thi Olimpic To´an Korea 30

44.1.Ðê` b`ai 30

44.2.L`o,i giai, 30

Chu,o,ng 45.Ðê` thi olympic to´an Ba Lan 35

45.1.Ðê` b`ai 35

45.2.L`o,i giai, 36

Chu,o,ng 46.Ðê` thi olympic to´an Ð`ai loan 39

46.1.Ðê` b`ai 39

4

46.2.L`o,i giai, 40

T`ai li êu tham khao, 44

CHU , O , NG 40

40.1 Ðê` b `ai

B `ai 40.1. Ta c´o n ≥ 5 l`a c´ac sô´ th u,c thoa m˜an c´ac ¯, diê`u ki ên sau:

1, C´ac sô´ kh´ac 0, nhu,ng ´ıt nhâ´t c´o 1 sô´ l`a 1999

2, Bâ´t c´u,4 sô´ trong c´ac sô´ ¯d´o c´o thê,du¯,.o,c s´˘ap xê´p du,´o,i d.ang h`ınh h.oc tô,h o,p.T`ım c´ac sô´ ¯d´o

B `ai 40.2. Cho tam gi´ac ABC v´o,i bC = 900 Hai h`ınh vuông S1, S2du¯,.o,c d u,ng trongtam gi´ac ABC sao cho S1 v`a tam gi´ac ABC c´o chung ¯d,ınh C, S2 c´o m ôt c.anh trên

AB Cho [S1]= 441, [S2]= 440 T´ınh AC + BC

B `ai 40.3. Cho O v`a K lâ`n lu,.o,t l`a tâm cua m ˘at câ`u tiê´p x´uc v´o, ,i c´ac m ˘at v`a c´ac c.anh

cua 1 h`ınh ch´op c´o ¯, d´ay l`a h`ınh vuông c anh 2 X´ac ¯d.inh thê,t´ıch cua h`ınh ch´op nê´u,

O v`a K c´ach ¯dê`u ¯d´ay

B `ai 40.4. V´o,i bâ´t k`y sô´ n nguyên du,o,ng, x´ac ¯d.inh (b`˘ang m ôt biê,u th´u,c cua n), sô´,

c ˘ap sô´ x, y nguyên du,o,ng sao cho x2− y2 = 102.302n Sau ¯d´o ch´u,ng minh r`˘ang sô´c´ac c ˘ap sô´ n`ay không bao gi`o,t ao th`anh m ôt h`ınh vuông

B `ai 40.5. Cho 0 < x, y, z ≤ 1 T`ım tâ´t ca c´ac sô´ x, y, z th, oa m˜an phu, ,o,ng tr`ınh:

B `ai 40.8. M ôt n˘amo,,thê´ ky 20, Alex nh ân thâ´y v`ao ng`ay sinh nh.ât c, ua anh â´y c ông,

4 ch˜u, sô´ cua n˘am sinh c, ua anh â´y v`ao th`ı ¯, du,.o,c tuô,i th u,c s u,cua m`ınh C˜ung m ôt,ng`ay sinh nh ât nhu,v ây, Bernath ngu,`o,i c`ung ng`ay sinh nhu,ng không giô´ng nhu, tuô,i

cua Alex c˜ung nh ân thâ´y ¯diê`u n`ay vê` n˘am sinh v`a tuô, ,i cua m`ınh Ng`ay ¯, d´o ca hai,ngu,`o,i ¯dê`u du,´o,i 99 tuô,i Hoi bao nhiêu n˘am th`ı tuô, ,i cua h o c´o s u, ,kh´ac nhau

B `ai 40.9. Cho tam gi´ac ABC v`a D l`a m ôt ¯diê,m thu ôc AB C´ac ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p

cua tam gi´ac ACD, CDB tiê´p x´uc v´o, ,i nhau t ai m ôt ¯diê,m trên c anh CD Ch´u,ng minhr`˘ang ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac ABC tiê´p x´uc v´o,i c.anh AB t.ai D

B `ai 40.10. Cho R l`a b´an k´ınh m ˘at câ`u ngo.ai tiê´p cua 1 h`ınh ch´op c´o ¯, d´ay l`a h`ınhvuông G oi r l`a b´an k´ınh m.˘at câ`u tiê´p x´uc v´o,i 4 m ˘at bên v`a m.˘at ¯d´ay Gia s, u,,r`˘ang 2R

= (1 + √2)r X´ac ¯d.inh g´oc gi˜u,a nh˜u,ng m ˘at liê`n kê` cua h`ınh ch´op.,

8 Chu,o,ng 40 Ðê` thi olympic Hungary

L `o , i gi ai 40.1 Tru , ,´o,c hê´t ta gi,a s,u, r`˘ang tâ´t c,a c´ac sô´ n`ay ¯dê`u không âm Nê´u x ≤

y ≤ z ≤w ≤ v l`a 5 sô´, do ¯d´o x, y, z, w; x, y, z, v; x, y, w, v; x, z, w, v; y, z, w, v tâ´t

ca ¯, dê`u l`a h`ınh h oc tô,h o,p

So s´anh m˜ôi c ˘ap 2 tô,h o,p sô´ th`ı nh ân thâ´y: x = y = z = w = v Do ¯d´o tâ´t ca nh˜u, ,ngsô´ n`ay c´o vai tr`o nhu,nhau

Giai s, u,,r`˘ang c´o m ôt sô´ n`ao ¯d´o l`a không âm trrong c´ac sô´ trên th`ı thay m˜ôi sô´ x = |x|.Gi´a tr.i cua tô, ,h o,p h`ınh h oc n`ay ¯du,.o,c bao to`an T`u, ,tâ´t ca c´ac ¯, diê`u ki ên trên c´ac gi´atr.i |x| l`a nhu,nhau Do ¯d´o, m˜ôi sô´ nguyên l`a 1999 ho ˘ac -1999 v`ı n ≥ 5 V`ai b ô 3 sô´ l`anhu,nhau Nhu,ng không tô,h o,p h`ınh h oc n`ao c´o thê,du¯,.o,c h`ınh th`anh t`u,3 sô´ -1999,

1 v`a 1999 ho ˘ac t`u,3 sô´ 1999, 1 v`a -1999

V`ı v ây, tâ´t ca nh˜u, ,ng sô´ n`ay l`a nhu,nhau v`a b`˘ang 1999

L `o , i gi ai 40.2 , Ð ˘at S1 = CDEF v`a S2 = KLMN v´o,i D, K thu.ôc c.anh AC v`a Nthu ôc BC

Khi ¯d´o c anh cua h`ınh vuông S, 1 = 21, c.anh cua h`ınh vuông S, 2 = √440 v`a a= BC,

L `o , i gi ai 40.3 , G oi r, R lâ`n lu,.o,t l`a b´an k´ınh cua c´ac m ˘at câ`u tu, ,o,ng ´u,ng G oi h`ınhch´op c´o ¯d´ay ABCD, ¯d,ınh P, chiê`u cao h Theo t´ınh châ´t ¯dô´i x´u,ng th`ı O v`a K n`˘amtrên ¯du,`o,ng cao qua P.

C´˘at h`ınh ch´op bo,,i m ôt m.˘at ph˘ang vuông g´oc v´o, ,i ¯d´ay, m ˘at ph˘ang ¯, d´o c´˘at ¯d´ay b`˘ang

Ðu,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac c´˘at m.˘at câ`u tâm O v`a do ¯d´o c´o b´an k´ınh r

M ˘at kh´ac: Di.ên t´ıch tam gi´ac n`ay b`˘ang 12r pp(p − a)(p − b)(p − c) ho.˘ac b`˘ang

Do ¯d´o: d(K,(ABCD))= r

Ta c´o: R2= KM2= r2+ 1

Ho,n n˜u,a, nê´u m ˘at câ`u th´u,2 tiê´p x´uc v´o,i c anh AP t.ai N

Theo t´ınh châ´t tiê´p tuyê´n ta c´o: AN= AM = 1

3 Suy ra thê,t´ıch cua h`ınh ch´op V, = 1

3.4.√7

3 = 4√7

9

L `o , i gi ai 40.4 T`u , ,gia thiê´t: x, 2− y2 = 102.302n suy ra x, y phai c´o c`ung t´ınh ch˜˘an,,

le T`u, ,d´o c ˘ap sô´ (x, y) l`a ¯d´ap sô´ ¯d´ung khi v`a ch¯ ,ı khi (u,v)= (x +y

2 , x−y

2 ) l`a m ôt c.˘ap sô´nguyên du,o,ng thoa m˜an u, > v v`a u.v = 52.302n

C´o: 52.302n= 22n.32n.52n+2c´o c´ac yê´u tô´ ch´ınh x´ac l`a: (2n+ 1)2.(2n + 3)

Do ¯d´o: nê´u không c´o ¯diê`u ki ên u > v th`ı (2n + 1)2.(2n + 3) ch´ınh l`a c.˘ap sô´ (u,v) câ`n

10 Chu,o,ng 40 Ðê` thi olympic Hungaryt`ım.

M ôt c´ach ch´ınh x´ac, m ôt c.˘ap sô´ (u,v) m`a u = v khi ¯d´o do t´ınh ¯dô´i x´u,ng, m ôt nu,,a c´ac

c ˘ap sô´ c`on l.ai c´o u > v

D˜ân ¯dê´n ta c´o: 12[(2n+ 1)2(2n+ 3) − 1] = (n + 1)(4n2+ 6n + 1) l`a c.˘ap thoa m˜an.,

Gia s, u,,r`˘ang: (n+ 1)(4n2+ 6n + 1) l`a m.ôt h`ınh vuông

T`u,n+ 1 v`a 4n2 + 6n + 1 = (4n+2)(n+1) - 1 l`a nh˜u,ng sô´ nguyên tô´, 4n2+ 6n + 1c˜ung l`a m ôt h`ınh vuông

Nhu,ng: (2n+ 1)2 < 4n2+ 6n + 1 < (2n + 2)2(Ðiê`u n`ay mâu thu˜ân) suy ra ¯diê`u câ`nch´u,ng minh

L `o , i gi ai 40.5 T`u , , gia thiê´t ta c´o: x, + y + z > 0 v`ı ngu,.o,c l.ai th`ı phu,o,ng tr`ınh vônghi êm

Do 0 < x, y, z , 1 nên ta c´o: (1 − z)(1 − x) ≥ 0 ⇒ 1 + zx ≥ x + z v`a do ¯d´o ta c´o:

x

1+y+zx ≤ x +y+zx .

Tu,o,ng t u,cho 2 sô´ c`on l ai m`a vê´ tr´ai nhiê`u nhâ´t l`a: (x + y + z)(x + y + z) ≤ x +y+z3 .

Nê´u gia s, u,,c´ac gi´a tr.i x, y, z l`a b`ınh ¯d,˘ang, ch´ung ta phai c´o ¯, diê`u ki ên ¯d.˘ac bi.êt l`a: x+ y + z = 3 suy ra x = y = z = 1

Sau ¯d´o ch´ung ta thu,,l ai ¯dê,kê´t lu ân r`˘ang n´o th u,c s u,l`a nghi êm

V ây phu,o,ng tr`ınh c´o nghi êm l`a (x, y, z) = (1, 1, 1)

L `o , i gi ai 40.6 , G oi m.˘at câ`u c´o tâm O v`a A, B, C l`a c´ac ¯diê,m bâ´t k`y n`˘am trên m ˘atcâ`u Ta c´o:

SOAB = 1

2OA.OB sinAOB ≤d 12r2

M ˘at kh´ac: Khoang c´ach t`u, ,C ¯dê´n (OAB) l´o,n nhâ´t l`a CO= r

Khi ¯d´o: T´u,di ên OABC c´o thê,t´ıch l´o,n nhâ´t l`a:r63

Nê´u A;A’, B; B’, C; C’ l`a c´ac c ˘ap ¯diê,m ¯dô´i nhau trên m ˘at câ`u th`ı b´at gi´acABCA’B’C’ c´o thê,du¯,.o,c chia th`anh 8 t´u,di ên v´o,i ¯dınh O v`a v`ı thê´ V, max = 4r 3

3 V´o,i ¯diê`u ki ên b`ai to´an, ta thu nho t´u, ,di ên T v´o,i thê,t´ıch V theo h ê sô´12 vê` m˜ôi ¯d,ınh

¯

dê,c´o ¯du,.o,c m ôt t´u,di ên, m˜ôi t´u,di ên c´o V = T8

Sau ¯d´o 6 trung ¯diê,m t ao th`anh m ôt b´at gi´ac v´o,i thê,t´ıch l`a:V2

M ˘at kh´ac: C´ac ¯do.an nô´i 2 ¯diê,m ¯dô´i di ên C v`a D cua b´at gi´ac n`ay c´o tr ong tâm P,

nhu,l`a trong ¯diê,m O cua n´o.,

Nê´u O kh´ac P th`ı OP l`a ¯du,`o,ng trung tr.u,c cua m˜ôi ¯, do an v`a tâ´t ca nh˜u, ,ng ¯do an n`ayn`˘am trên m ˘at ph˘ang ¯, di qua P v`a vuông g´oc v´o,i ¯du,`o,ng th˘ang OP.,

Nê´u không th`ı trung ¯diê,m s˜e h`ınh th`anh 3 c ˘ap c´ac ¯diê,m ¯dô´i di ên nhau, thê,t´ıch cua,n´o l´o,n nhâ´t l`a 4r33

Do ¯d´o: V ≤ 8r33 v´o,i bâ´t k`y t´u,di ên n`ao

L `o , i gi ai 40.7 , G oi a, b lâ`n lu,.o,t l`a sô´ nho nhâ´t, l´o, ,n nhâ´t trong b`an c`o, Ch´ung ¯du,.o,cchia ra bo,,i nhiê`u nhâ´t l`a n2− 1 ô vuông theo chiê`u ngang v`a n2

− 1 theo chiê`u d oc.V`ı thê´ c´o 1 c´ach t`u,m ôt ô ¯dê´n ô kh´ac v´o,i chiê`u d`ai l´o,n nhâ´t l`a 2(n2− 1) Sau ¯d´o t`u,hai ô vuông tiê´p theo chênh l êch nhau nhiê`u nhâ´t l`a n, ta c´o: b − a ≤ 2(n2− 1).n.Nhu,ng t`u,tâ´t ca c´ac ô trên b, ang l`a nh˜u, ,ng sô´ n`˘am gi˜u,a a v`a b, chı c´o 2(n, 2− 1).n+ 1l`a c´ac sô´ kh´ac bi êt c´o thê,tô`n t ai

V`a v`ı n4 >h

(2(n2− 1)n+ 1)n

2i >n

2ô vuông ch´u,a nh˜u,ng con sô´ giô´ng nhau (ÐPCM)

L `o , i gi ai 40.8 , Ð ˘at c l`a sô´ n˘am ¯d˜a cho

N˘am sinh cua Alex ho ˘ac l`a 18uv ho.˘ac l`a 19uv v´o, ,i u, v l`a c´ac ch˜u, sô´ V`a do ¯d´o,

ho ˘ac c = 18uv + (9+u+v) = 1809 + 11u + 2v ho.˘ac c = 19uv+(10+u+v) = 1910 +11u+ 2v Tu,o,ng t.u,, ¯d.˘at n˘am sinh cua Bernath kê´t th´uc b`˘ang c´ac ch˜u, ,u’, v’

Alex v`a Bernath không thê,sinh v`ao c`ung 1 thê´ ky v`ı nê´u thê´ th`ı ta s˜e c´o: 11u, + 2v

= 11u’ + 2v’ suy ra 2(v - v’) = 11(u’ - u)

Do ¯d´o ho ˘ac (u, v) = (u’, v’) ho.˘ac |v − v0| ≥ 11

Ta thâ´y 2 tru,`o,ng h.o,p trên không thê,xay ra.,

Không mâ´t t´ınh tô,ng qu´at khi n´oi Alex sinh v`ao nh˜u,ng n˘am 1800 v`a 1809+ 11u +2v= 1910 + 11u’ + 2v’ ⇒ 11(u − u0

L `o , i gi ai 40.9 Gi , a s, u,, r`˘ang ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p tam gi´ac XYZ tiê´p x´uc v´o,i c.anh

YZ, ZX, XYo,,U, V, W ´Ap d ung t´ınh châ´t cua tiê´p tuyê´n ta c´o:,

12 Chu,o,ng 40 Ðê` thi olympic Hungary

XY+ YZ + ZX = (YW + YU) + (XW + ZU) + (XZ) v`a YU = 1

2(XY+ YZ − ZX)

Do ¯d´o nê´u ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p cua tam gi´ac ABC v`a CDB tiê´p x´uc t ai E th`ı:,

AD+ DC - CA = 2DE = BD + DC = CB ⇔ AD − CA = (AB − AD) − BC

Do t´ınh châ´t ¯dô´i x´u,ng ca hai m ˘at câ`u c´o tâm ¯dê`u thu ôc ¯du, ,`o,ng cao k,e t`u, ¯d,ınh P M ˘at

ph,˘ang (MNP) c´˘at h`ınh ch´op trong tam gi´ac MNP v`a c´˘at m ˘at câ`uo,,du¯,`o,ng tr`on l´o,n

G oi ¯du,`o,ng tr`on nh,o nhâ´t c´o tâm l`a O n´o tiê´p x´uc v´o,i c.anh PM, PN v`a c´˘at ¯du,`o,ngtr`on l´o,no,,c´ac ¯diê,m U, V, W

L ai su,,d ung t´ınh châ´t ¯dô´i x´u,ng th`ı W n`˘am trên ¯du,`o,ng cao h.a t`u, P

Do ¯d´o OP= 2R - r = √2 r

Tam gi´ac OUP l`a m ôt tam gi´ac vuông cân v`a [OPU = [OPV = 450

V`ı thê´ tam gi´ac NPM l`a tam gi´ac cân v`a khoang c´ach t`u, , P ¯dê´n m ˘at ph˘ang (ABD),

¯

d´ung b`˘ang BC2

Do ¯d´o: t`u,m ôt m.˘at câ`u c´o thê,xây d u,ng m ôt khô´i l.âp phu,o,ng v´o,i tâm P v`a m ôt m.˘atl`a ABCD Khô´i l âp phu,o,ng n`ay c´o thê,du¯,.o,c chia th`anh 6 h`ınh ch´op ¯dô`ng d ang v´o,iP.ABCD

Ð ˘ac bi.êt 3 h`ınh ch´op n`ay c´o chung ¯d,ınh A Khi ¯d´o 3 lâ`n g´oc gi˜u,a 2 m ˘at ph˘ang,(PAB), (PAD) t ao th`anh g´oc 2π3

N´oi m ôt c´ach kh´ac: V´o,i 3 h`ınh ch´op PABD, PADE, PAEB ta ¯d ˘at P’ l`a trung ¯diê,m

cua c anh AP, B’, C’, D’ l`a c´ac ¯diê, ,m thu ôc c´ac m.˘at ph˘ang (PAD), (PAE), (PAD) sao,cho c´ac ¯du,`o,ng th˘ang B’P’, D’P’, E’P’ l`a c´ac ¯, du,`o,ng th,˘ang vuông g´oc v´o,i AP G´oc

câ`n t`ım l`a g´oc gi˜u,a bâ´t k`y hai ¯du,`o,ng th˘ang n`ao trong c´ac ¯, du,`o,ng th˘ang n`ay Nhu, ,ng

do 3 ¯du,`o,ng th˘ang n`ay c`ung thu ôc m ôt m.˘at ph, ˘ang vuông g´oc v´o, ,i AD nên g´oc n`ay

phai b`˘ang, 2π3

B `ai 41.2. Ðiê,m P n`˘am trong tam gi´ac cân v`a khoang c´ach t´o, ,i 3 ¯d,ınh lâ`n lu,.o,t l`a 3,

4, 5 T`ım di ên t´ıch tam gi´ac

B `ai 41.3. Chı ra r`˘ang không sô´ nguyên n`ao d ang xyxy trong h.ê 10 l`a l.âp phu, ,o,ng 1sô´ nguyên C˜ung t`ım ¯du,.o,c sô´ nho nhâ´t b > 1 m`a l`a sô´ l âp phu, ,o,ng c´o d ang xyxy

B `ai 41.4. Ch´u,ng minh r`˘ang 1 h`ınh tr`on c´o b´an k´ınh 2 c´o thê,chia th`anh 7 h`ınh tr`on(c´o thê,chô`ng nhau) c´o b´an k´ınh 1

B `ai 41.5. Nê´u x l`a 1 sô´ th u,c m`a x2− x l`a 1 sô´ nguyên, v`a cho c´ac sô´ n ≥ 3 th`ı x2− xv˜ân l`a sô´ nguyên th`ı x l`a sô´ nguyên

B `ai 41.6. T`ım c´ac sô´ nguyên du,o,ng m`a c´o ¯d´ung 16 u,´o,c du,o,ng theo th´u, t.u,

b Ch´u,ng minnh r`˘ang N c´o thê,viê´t nhu, s u, kê´t h o,p cua 4 t âp chia m`a v´o, ,i bâ´t k`y

m, n ∈ N v´o,i |m-n|=2,5 n`˘am gi˜u,a c´ac b.ô ¯d´o T`u, ¯d´o c˜ung ch,ı ra r`˘ang không thê,l`amv´o,i 3 b ô

B `ai 41.9. M ôt d˜ay sô´ th u,c xn du¯,.o,c ¯d.inh ngh˜ıa nhu,sau: x0, x1 l`a c´ac sô´ th u,c t`uy ´y,v`a xn +2= 1+xn +1

xn T`ım x1998

B `ai 41.10. M ôt tam gi´ac ABC c´o 3 c.anh du,o,ng, bA= 2bB,C ≤b 90o T`ım chu vi nho,nhâ´t cua tam gi´ac ABC.,

16 Chu,o,ng 41 Ðê` thi olympic to´an Ireland

AC = √32+ 42− 2.3.4.cos150o= q25+ 12√3 V ây di.ên t´ıch tam gi´ac l`a 25√3

4 + 9

L `o , i gi ai 41.3 Nê´u sô´ c´o 4 ch˜u , , sô´ xyxy = 101.xy th`ı l`a 1 l.âp phu,o,ng th`ı101|xy, ¯diê`u n`ay mâu thu˜ân Ðô,i xyxy = 101.xy t`u, h.ê b sang h.ê 10 Ta thâ´y,xyxy= (b2 + 1).(bx + y).x, y < b; b2 + 1 > bx + y V`ı thê´, ¯dê,xyxy l`a l âp phu,o,ng,

b + 1 phai chia hê´t b, o,,i 1 sô´ ch´ınh phu,o,ng Ch´ung ta c´o thê,d˜ê d`ang kiê,m tra b= 7l`a sô´ nho nhâ´t th, oa m˜an, v´o, ,i b2 + 1 = 50 Sô´ l.âp phu,o,ng nho nhâ´t chia hê´t 50 l`a,

1000, sô´ câ`n t`ım l`a 2626 trong h ê 7

L `o , i gi ai 41.4 Ta c´o thê , ,g´oi c´ac h`ınh l uc gi´ac ¯dô`ng d.ang v´o,i ¯d ô d`ai c.anh 1 trong 1h`ınh d ang tô,ong: 1 h`ınh l uc gi´aco,,gi˜u,a v´o,i c´ac h`ınh l uc gi´ac kh´ac liê`n c.anh v´o,i n´o.D˜ê thâ´y h`ınh tô,ng h o,p ¯d´o c´o thê,ch´u,a bo,,i 1 h`ınh tr`on b´an k´ınh 2 M`a ch´ung ta c´othê,ch´u,a m˜ôi h`ınh l uc gi´ac bo,,i 1 h`ınh tr`on ¯do,n v.i V.ây vâ´n ¯dê` ¯du,.o,c ch´u,ng minh.

L `o , i gi ai 41.5 Ta gi , a s, u,,c´o thê,phân t´ıch xn− k= kx + mz cho 1 sô´ sô´ nguyên k v`a

m, m`a ch´u ´y r`˘ang x= xn−x−ma

k th`ı h o,p l´y, phâ`n c`on l ai c˜ung thê´ Ðê,ll`a 1 sô´ nguyên

du,o,ng Ta thâ´y r`˘ang: a x2l = (x2)l = (x + z)l

; b x2l+1 = x(x2)l = x(x + z)l

; D˜ê d`angthâ´y r`˘ang, c´ac phân t´ıch trên l`am giam gi´a tr.i c, ua x , v`a ch, ,ı d`ung v´o,i sô´ nguyên L ˘ap

l ai c´ac phân t´ıch trên ta thâ´y ¯du,.o,c gia s, u,,ban ¯dâu l`a ¯d´ung

L `o , i gi ai 41.6 , Ð ˘at sô´ nguyên n = pa1

u,´o,c: 1, 2, 3, 6, 9, 18 T`u, d c´o 16 u,´o,c, ta thâ´y r`˘ang d = 2.32

ho ˘ac d = 2.37 Nê´u

d = 2.37, d854, d9 = 81, d9− d8 , 17 V`ı thê´ p>27 Nê´u p < 54, d7 = 27, d8 =

p, d9 = 54 = d8+ 17 nên p=37 Nê´u p > 54, th`ı d7= 27, d8 = 54, d9 = d8+ 17 = 71

Ta c´o kê´t qua cho b`ai to´an l`a: 2.3, 3.37= 1998 v`a 2.33.71= 3834

L `o , i gi ai 41.7 Bâ´t ¯ , d˘ang th´u, ,c ¯dâ`u tiên c´o thê,suy tr u,c tiê´p t`u, bâ´t ¯d˘ang th´u, ,c AM –

HM ho ˘ac Cauchy-Schwars, v`ı n´o c´o thê,viê´t l ai nhu,sau

f (a+b)+ f (b+c)+ f (c+a)

3 ≥ f ((a+b)+(b+c)+(c+a)3 )

T`u,d´o gi¯ ai ¯, du,.o,c BÐT ¯dâ`u C˜ung b`˘ang BÐT Jensen, ta c´of(a)+ f (b)2 ≥ a+b

2

Thay ¯dô,i c´ac biê´n trong BÐT v`a lâ´y tô,ng ta c´o BÐT th´u,2

L `o , i gi ai 41.8 a D˜ê d`ang kiê , ,m tra r`˘ang c´ac b ô 3k + 1, 3k + 2, 3k, k ∈ N

Thoa m˜an ¯, diê`u ki ên ¯dâ`u b`ai

b Ðâ`u tiên ta c´o ch´u ´y c´ac b ô 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3, 4k, k ∈ N

Thoa m˜an ¯, dâ`u b`ai

Ta c´o thê,giai ´y 2 b`˘ang ph, an ch´u, ,ng Gia s, u,,c´o 3 t âp A, B, C thoa m˜an ¯, diê`u ki ên Tach´u ´y r`˘ang 1, 3, 6 phai, o,,c´ac b ô kh´ac nhau Thê´ 4 ∈ B Ta c´o v`a 2, 5 <B v`a 2,5 thu ôc

2 t âp kh´ac nhau Ðiê`u n`ay d˜ân ¯dê´n 2 tru,`o,ng h.o,p:

1, 2 ∈ A, 3, 4∈ B, 5,6∈C ho ˘ac 1, 5 ∈ A, 3, 4∈ B, 2,6∈C nhu,ng ca 2 TH ta không thê, ,

L `o , i gi ai 41.10 , Ð ˘at AB = c, BC = a, CA = b Ta c´o A = 2B v`a C = 180o– 3B ´Ap

d ung ¯d.inh l´y SIN

a = b = c

18 Chu,o,ng 41 Ðê` thi olympic to´an IrelandT`u,sinA= sin2BcosB v`a sinC = sin3B = 3sinB˘4sin3B, ta c´o

a= 2bcosB, c = b(3-4sin2B)= b(4cos2B-1) v`a a2= b(b+c) T`u, ¯d´o ta t`ım 1 tam gi´acc´o chu vi nho nhâ´t, ta c´o gcd(a,b,c), = 1 Th.u,c tê´, gcd(b,c) = 1 T`u, b, c tu,o,ng t.u, nhaunhu,a2 Ta c´o ch´u ´y r`˘ang, sô´ ch´ınh phu,o,ng a2du¯,.o,c biê,u di˜ên nhu,kê´t qua c, ua 2 sô´,nguyên tô´ b, c m`a ca b v`a b, + c l`a sô´ ch´ınh phu,o,ng V`ı thê´, m.ôt v`ai sô´nguyên m, mm`a gdc(m,m)= 1, ta c´o b = m2, b+ c = n2, a= m.n, 2cosB = n

m = a

b T`u,C> 90o, tac´o 0< B < 30ov`a √3 < 2cosB= n

m < 2D˜ê d`ang kiê,m tra r`˘ang (m,n) = (4,7) l`a c.˘ap sô´ nho nhâ´t th, oa m˜an tam gi´ac,(a,b,c)=(28,16,33) thoa m˜an m oi ¯diê`u ki.ên.,

B `ai 42.3. Cho w, w1, w2 l`a 3 ¯du,`o,ng tr`on v´o,i b´an k´ınh r, r1, r2 (0 < r1 < r2 < r).

Ðu,`o,ng tr`on w1 w2 tiê´p x´uc trong v´o,i w t ai A v`a B v`a giao nhau t.ai hai ¯diê,m phân

bi êt.Ch´u,ng minh r`˘ang AB ch´u,a ¯diê,m giao nhau cua w, 1v`a w2khi v`a ch,ı khi r1+r2 = r

B `ai 42.4. Albert v`a Barbara cho,i m ôt tr`o cho,i nhu,sau: Trên m ôt b`an c´o 1999 c´aique M˜ôi ngu,`o,i cho,i lâ`n lu,.o,t phai lâ´y trên b`an m ôt sô´ que sao cho ngu, ,`o,i cho,i dichuyê,n ´ıt nhâ´t m ôt que v`a nhiê`u nhâ´t l`a m ôt nu,,a sô´ que c`on l ai trên b`an.Ngu,`o,i cho,in`ao c`on l ai 1 que trên b`an s˜e b.i thua Barbara di chuyê,n tru,´o,c H˜ay ch,ı ra ngu,`o,i cho,in`ao chiê´n th´˘ang?

B `ai 42.5. Bên m ôt c´ai hô` c´o m ôt ngôi l`ang c´o nh˜u,ng ngôi nh`a ¯du,.o,c xây theo h`ınh

tr u, ¯du,.o,c ¯d ˘at trên c´ac ¯diê,m thu ôc h`ınh ch˜u,nh ât c´o k´ıch thu,´o,c mxn M˜ôi ngôi nh`a l`a

m ôt ¯diê,m kê´t cua nh˜u, ,ng cây câ`u m`a nô´i v´o,i m ôt ho.˘ac nhiê`u ho,n c´ac ngôi nh`a c anhnhau (c anh cua ) X´ac ¯, d.inh gi´a tr.i m, n, p sao cho c´o thê,d ˘at c´ac cây câ`u sao cho¯t`u,m ôt ngôi nh`a bâ´t k`ı th`ı m ôt ngu,`o,i c´o thê, ¯di ¯dê´n c´ac ngôi nh`a kh´ac (Biê´t r`˘ang haingôi nh`a c anh nhaucos thê,du¯,.o,c nô´i bo,,i ho,n m ôt cây câ`u)

B `ai 42.6. X´ac ¯d.inh tâ´t ca c´ac b ô 3 sô´ (x, k, n) nguyên du, ,o,ng thoa m˜an,

3k− 1= xn

20 Chu,o,ng 42 Ðê` thi olympic to´an Italy

B `ai 42.7. Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i m˜ôi sô´ nguyên tô´ p th`ı phu,o,ng tr`ınh 2p+ 3p = an

không c´o nghi êm nguyên (a, n) v´o,i a, n > 1

B `ai 42.8. Ðiê,m D v`a E n`˘am trên c anh AB v`a AC cua 4ABC sao cho DE//BC,v`a DE l`a tiê´p tuyê´n v´o,i ¯du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p cua 4ABC Ch´u, ,ng minh r`˘ang: DE ≤

ABE,=ABEd = 90o, dBEA= [D0EC, 4ABE v`a 4CD0

E ¯dô`ng d ang v´o,i nhau =⇒

AE = EC; CE2 = AE2 = AB2 + BE2 = b2 + (a − CE)2, =⇒ CE=a2+ b2

2a V ây[CD0E]=[ACD0

Gia s, u,, xc´o n sô´ v`a ´ıt nhâ´t n´o c˜ung l`a kê´t qua c, ua sô´ nguyên tô´ n ¯, dâ`u tiên.Nê´u

n> 16 theo kê´t qua phâ`n trên , x > 10, nv`a s˜e c´o ´ıt nhâ´t n+ 1 sô´ (mâu thu˜ân) V`ı thê´

xc´o nhiê`u nhâ´t 15 sô´ Ch´u,ng to sô´ lu, ,.o,ng c´ac sô´ cân b`˘ang l`a h˜u,u han

L `o , i gi ai 42.3 , G oi O l`a tâm cua ¯, du,`o,ng tr`on w

C,D l`a tâm cua w, 1, w2n`˘am trên OA v`a OB G oi E l`a ¯diê,m ∈ AB sao cho CE//OB.4ACE v 4ABO Do ¯d´o AE = CE v`a E n`˘am trên w1

Ch´ung ta câ`n ch´u,ng minh r = r1 + r2 khi v`a ch,ı khi E n`˘am trên w2 Ta c´o

r = r1 + r2 ↔ OD = OB − BD = r − r2 = r1 = AC O l`a h`ınh b`ınh h`anh hay

DE//AO.Do ¯d´o r = r1+ r2 ↔ 4BDO v 4BOA hay BD = DE v`a E n`˘am trên w2

L `o , i gi ai 42.4 , G oi k l`a sô´ vô ´ıch nê´u ngu,`o,i cho,i ph,ai ¯dô´i m.˘at v´o,i k que không c´o

kha n˘ang th´˘ang Nê´u k l`a vô ´ıch,th`ı 2k, + 1 c˜ung v.ây Ngu,`o,i cho,i ¯dô´i m.˘at v´o,i c´ac que2k+ 1 ch,ı c´o thê,di chuyê,n c´ac que k+ 1; k + 2; ho.˘ac 2k , t`u, ¯d´o ngu,`o,i kia s˜e dichuyê,n c´ac que k V`ı v ây 2 l`a vô ´ıch; 5;11; 3.2n− 1 c˜ung v ây (n > 0 ) Tu,o,ng t u,nê´u 3.2n− 1 < k < 3.2n+1− 1 th`ı nh˜u,ng que k ¯du,.o,c ¯du,a ra m`a ngu,`o,i cho,i c´o thê,c`on

l ai 3.2n− 1 s˜e l`a ngu,`o,i th´˘ang V`ı 1999 không thu.ôc d.ang 3.2n− 1, n´o s˜e không phai,l`a que vô ´ıch v`a do ¯d´o Barbara c´o co,h ôi th´˘ang

L `o , i gi ai 42.5 Gi , a s, u,,c´o thê,d ˘at ¯du¯ ,.o,c c´ac cây câ`u theo c´ach n`ay v`a ¯d ˘at ch´ung theoc´ac ¯diê,m cua so, ,dô` lu¯ ,´o,i: {(a, b) | 1 6 a 6 m,1 6 b 6 n, } So,n m`au c´ac ngôi nh`am`au xanh v`a nhu ôm ch´ung theo c´ach hinh b`an c`o, sao cho m˜ôi cây câ`u ¯du,.o,c nô´iv´o,i m ôt ngôi nh`a kh´ac V`ı m˜ôi nh`a l`a m ôt ¯diê,m cuô´i cua câ`u (ch´ınh l`a ¯, diê,m p),sô´ nh˜u,ng ngôi nh`a m`au xanh phai b`˘ang v´o, ,i sô´ c´ac ngôi nh`a ¯du,.o,c nhu ôm v`ı v.ây

2 | mn D˜ê thâ´y mn = 2 thoa m˜an v´o, ,i m oi gi´a tr.i cua p v´ı d u cho p = 1, th`ı mn,không thê, > 2 v`ı nê´u nô´i 2 ngôi nh`a A, B bâ´t k`ı th`ı ch´ung s˜e không thê, nô´i ¯du,.o,cv´o,i bâ´t k`ı ngôi nh`a n`ao kh´ac Tu,o,ng t u,,nê´u (m = 1, n > 2) ho.˘ac(n = 1, m > 2) th`ınh˜u,ng cây câ`u p phai nô´i (1, 1) v`a (1, 2)ho ˘ac (1, 1) v`a (2, 1) nhu, ,ng s˜e không c´o ngôinh`a n`ao ¯du,.o,c nô´i v´o,i bâ´t k`ı ngôi nh`a n`ao kh´ac ( Vô l´y) Bây gi`o, ta gia s, u,,2 | mnv´o,im, n > 1 v`a p > 1,không mâ´t t´ınh tô,ng qu´at gia s, u,,r`˘ang 2 | m Xây d u,ng m ôt h.êthô´ng nh˜u,ng cây câ`u xuâ´t ph´at t`u,(1, 1) lên ¯dê´n (1, n),sang phai (m, n) ,xuô´ng (m, 1),,sang tr´ai (m − 1, 1) v`a sau ¯d´o tro,,l ai (1, 1).B`˘ang c´ach l.˘ap ¯di l.˘ap l.ai t`u,(k, 1), lên trênsang (k, n − 1) sang tr´ai xuô´ng (k − 1, n − 1) ¯dê´n (k − 1, 1) v`a sang tr´ai (k − 2, 1) v´o,i

k = m − 1, m − 3, 3 (h`ınh v˜e E du,´o,i ¯dây chı ra vi êc xây d u, ,ng n`ay v´o,i m = 6, n = 4)

22 Chu,o,ng 42 Ðê` thi olympic to´an Italy

V`ı ch´ung ta xây 2 câ`u d˜ân ¯dê´n m˜ôi nh`a v`a bâ´t k`ı nh`a n`ao c˜ung c´o thê,dê´n ngôi nh`a¯bâ´t k`ı kh´ac.V`ı c´ac cây câ`u p − 2 không ¯dô,i câ`n cho m˜ôi ngôi nh`a Ðê,r`˘ang kê´t qua,ch´ınh x´ac c´o m.n cây câ`u,m ôt sô´ n`ao ¯d´o ;Do ¯d´o nê´u ch´ung ta xây m˜ôi cây câ`u kh´actheo c´ach ¯d´o v`a l`am p − 2 lâ`n th`ı s˜e c´o p cây câ`u s˜eo,,bên ngo`ai c´ac ngôi nh`a.Do ¯d´o

ho ˘ac m.n = 2 v`a p bâ´t k`ı, ho.˘ac 2 | mn v´o,i m, n, p > 1

L `o , i gi ai 42.6 (3 , k− 1, k, 1) v´o,i m oi sô´ nguyên du,o,ng k,v`a (2, 2, 3) X´et tru,`o,ng h.o,p

n=1th`ı hiê,n nhiên Bây gi`o,n không thê,b`˘ang 3 bo,,i v`ı ta không thê,viê´t: 3k = (xn

)2+1(bo,,i v`ı không c´o sô´ n`ao b`ınh phu,o,ng ¯dô`ng du,2 modulo 3) v`a c˜ung c´o thê,ch´ung ta

phai c´o x , 1.,

Gia s, u,,r`˘ang n > 1 l`a sô´ le v`a x, > 2 Khi ¯d´o 3k = (x + 1)PPn−1

i =0(−x)i

Ðê,´y r`˘ang ca x, +1 v`a PPn−1

i =0(−x)idê`u l`a l˜uy th`u¯ ,a c

, ch´ung ta c´o 3k = x03+1= (x0+1)(x02−x0+1) Theo ch´u,ng minh trên x0+1

phai l`a l˜uy th`u, ,a cua 3 hay 3, t Nhu,ng ta l ai c´o 3k = (3t− 1)3+1 = 33t− 32t+1+3t +1,v´o,i

t> 1 m`a sô´ n`ay phai n`˘am gi˜u, ,a 33t−1 v`a 33t v´o,i t > 1 Do ¯d´o ta phai c´o t, = 1, x0 = 2v`a k= 3 cho ta nghi.êm (x, k, n) = (2, 2, 3)

L `o , i gi ai 42.7 Khi p , =2 ta c´o an = 13 vô nghi.êm

Khi p l`a sô´ le th`ı 5 | (2, p+ 3p); v`ı n > 1 nên ta c´o 25 | (2p+ 3p) → 2p+ (5 − 2)p

≡ 2p+ (C1

p.5.(−2)p−1+ (−2)p) ≡ 5p.2p−1

(mod 25), nên 5 | p V`ı v ây ch´ung ta phai,c´o p= 5 nhu,ng an = 25+ 35= 52.11 không thoa m˜an.,