Về các phép biến đổi trong không gian vectơ euclid

Với mục đích tìm hiểu ứng dụng của Đại số tuyến tính, trong luận văn này tôi cố gắng trình bày một cách có hệ thống một số khái niệm,chứng minh chi tiết các tính chất, kết quả của không

Tr-êng §¹i häc Vinh

Hoµng ThÞ thuú linh

Tr-êng §¹i häc Vinh

Hoµng ThÞ thuú linh

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 3

1.1 Không gian vectơ Euclid 3

1.2 Phép biến đổi liên hợp 13

1.3 Phép biến đổi đối xứng 16

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ TRỰC GIAO VÀ KHÔNG GIAN UNITA 21

2.1 Ánh xạ trực giao 21

2.2 Không gian Unita 30

2.3 Một số bài tập minh hoạ 32

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt những lĩnh vực khác nhau,từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết biểu diễn nhóm… Vì thế nó trở thành một môn học cơ sở thuộc các ngành khoa học

cơ bản

Với mục đích tìm hiểu ứng dụng của Đại số tuyến tính, trong luận văn này tôi cố gắng trình bày một cách có hệ thống một số khái niệm,chứng minh chi tiết các tính chất, kết quả của không gian vectơ Euclid, tìm tòi một

số kết quả, bài tập minh họa có liên quan các vấn đề đã nêu

Cấu trúc luận văn gồm 2 chương, ngoài phần mở đầu kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số định nghĩa, tính chất của không gian vectơ Euclid, các phép biến đổi (phép biến đổi liên hợp, phép biến đổi đối xứng) trong không gian vectơ Euclid

Chương 2 của luận văn giới thiệu ánh xạ trực giao, không gian Unita, một số bài tập minh hoạ

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan đã

giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho chúng tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học XV Đại số

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong thời gian học tập

Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp Cao học XV Đại số đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

Chương 1

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN

VECTƠ EUCLID

1.1 Không gian vectơ Euclid

Trong hình học, tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa bằng tích của độ dài hai vectơ đó và cosin của góc xen giữa chúng Việc trực tiếp trừu tượng hoá các khái niệm độ dài của vectơ và góc xen giữa hai vectơ khó hơn nhiều so với việc trừu tượng hoá khái niệm tích vô hướng Vì thế, trước hết chúng ta nghiên cứu khái niệm tích vô hướng, rồi sử dụng nó để định nghĩa độ dài của vectơ và góc xen giữa hai vectơ

Giả sử E là một không gian vectơ thực Nhắc lại rằng một hàm

:

η E E 

được gọi là song tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với từng biến khi cố định biến còn lại Mỗi hàm song tuyến tính như thế được gọi là một dạng song tuyến tính trên E

1.1.1 Định nghĩa (a) Dạng song tuyến tính :η E E  được gọi là đối

) , (      

(d) Một dạng song tuyến tính, đối xứng và xác định dương trên E

được gọi là một tích vô hướng trên E

Tích vô hướng trên không gian E thường được ký hiệu là .,.:

Số thực  ,  được gọi là tích vô hướng của hai vectơ  ,  Những điều kiện để .,. là một tích vô hướng được liệt kê như sau:

, , ,

, , ,

,

, , ,

, , ,

,

2 1

2 1

1 1

2 1

2 1

a a

1.1.2 Định nghĩa Không gian vectơ thực E cùng với một tích vô hướng

trên E được gọi là một không gian vectơ Euclid

1.1.3 Ví dụ (a) Không gian các vectơ tự do đã học ở hình học sơ cấp là một không gian vectơ Euclid với tích vô hướng thông thường

i y x

1,

i y x

1,

Nó được gọi là tích vô hướng chính tắc trên n Nhận xét rằng theo cách này mỗi cơ sở của E cho phép xác định trên E một tích vô hướng Hai tích vô hướng xác định bởi hai cơ sở khác nhau thì nói chung khác nhau

(c) Giả sử E  a b, là không gian các hàm thực liên tục trên  a b, Công thức,

định dương của dạng song tuyến tính (f,g) f,g

Mỗi không gian vectơ con F của không gian vectơ Euclid E được trang bị một tích vô hướng, là thu hẹp của tích vô hướng đã cho trên E Vì thế F cũng là một không gian vectơ Euclid Nó được gọi là một không gian

vectơ Euclid con của E

Bây giờ ta định nghĩa độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ trong một không gian vectơ Euclid

1.1.4 Định nghĩa Giả sử E là một không gian vectơ Euclid với tích vô

hướng ,. Khi đó, độ dài (hay chuẩn) của vectơ aElà số thực không



Chứng minh Nếu  = 0 thì bất đẳng thức đúng một cách hiển nhiên, bởi vì hai vế của nó đều bằng 0.

Xét trường hợp a  0.Ta có tαβ tα β,    0, t Hay là

, ,

i i n

i i

x

1 2

1 2

1.1.7 Mệnh đề (i) Mỗi hệ trực giao không chứa vectơ 0 đều độc lập

Chứng minh (i) Giả sử e1, ,e là một hệ trực giao và không chứa vectơ 0 k

Giả sử có một ràng buộc tuyến tính

Lặp lại lập luận trên với k được thay bởi k - 1, ta thu được ak-1 = 0

Cuối cùng ta thu được

1,

j i

Một cơ sở của E đồng thời là một hệ trực chuẩn được gọi là một cơ

sở trực chuẩn Định lý sau đây nói lên tính phổ biến của cơ sở trực chuẩn

1.1.8 Định lý Mọi không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều đều có cơ sở

trực chuẩn

Chứng minh Định lý được chứng minh bằng phép trực giao hoá Schmidt

Giả sử (1, , n ) là một cơ sở bất kỳ của không gian vectơ Euclid E Trực

giao hoá Schmidt là phép dựng một cơ sở trực giao e 1, ,en của E với

Ta đặt e = 1 α1 Như thế L e 1 L a( ).1 Giả sử đã xây dựng được hệ trực giao e 1, ,e i 1  sao cho:

,

i i

i

e e

e e

1 1

1 1

1 1

1 1

, ,

, ,

i ii

i i

e e

e

e e

k i ik

e e

Quá trình này tiếp diễn cho tới i = n Hệ gồm n vectơ trực giao

e 1, ,en sinh ra không gian n chiều E Vậy hệ đó là một cơ sở trực giao của E Cuối cùng, chuẩn hoá cơ sở trực giao này ta thu được một cơ sở trực

1.1.9 Ví dụ Trực giao hoá hệ vectơ sau đây trong không gian R 4 với tích

vô hướng (định nghĩa nhờ cơ sở) chính tắc:

1 = (1, 0, 0, 0)

2 = (2, 1, 0, 0)

3 = (3, 2, 1, 0)

4 = (4, 3, 2, 1) Giải Ta đặt e 1 α1 1,0,0,0 Vectơ thứ hai được tìm dưới dạng

1 1

( , ) 1.2

2( , ) 1.1

α e λ

1 1

3 2 32

2 2

( , ) 1.3

3( , ) 1.1( , ) 1.2

2( , ) 1.1

α e λ

e e

α e λ

1 1

4 2 42

2 2

4 3 43

e e

α e λ

e e

α e λ

Tóm lại, hệ (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) chính là cơ sở chính tắc của 4

Mệnh đề sau đây cho thấy cơ sở trực chuẩn giúp cho việc tính tích vô

1.1.10 Mệnh đề Giả sử ( , , )e1 e là một cơ sở trực chuẩn của không gian n vectơ Euclid E Khi đó, nếu i i, i i

αx e β y e thì :



 , = a 1 b 1 + + a n b n Chứng minh Do tính song tuyến tính của tích vô hướng, ta có



j i j i i

j j i

i e b e a b e e

a , ) ( , ) )

1.1.11 Mệnh đề Giả sử U là một không gian vectơ con của không gian

vectơ Euclid hữu hạn chiều E Khi đó, (U) = U, và E có thể phân tích thành tổng trực giao E = U 

U Chứng minh Chọn một cơ sở trực giao (e 1 , ,e m) của U, và bổ sung nó để có

một cơ sở (e 1 , ,e m ,m+1 , ,n ) của E Áp dụng phép trực giao hoá Schmidt

cho cơ sở đó, ta thấy m vectơ đầu của cơ sở không thay đổi, bởi vì chúng đã trực giao sẵn rồi Kết quả là ta thu được một cơ sở trực giao

(e 1 , ,e m , e m+1 , ,e n ) của E Các vectơ e m+1 , , e n trực giao với mỗi phần tử

trong cơ sở (e 1 , , e n ) của E:  = a 1 e 1 + + a n e n

Do tính trực giao của cơ sở nói trên, ta thu được:

0 ,

, , ,

0 ,

,

1 1

1

m m

m m

e e

e a

e e

e

Hệ quả là  biểu thị tuyến tính qua (e m+1 , ,e n) Kết hợp điều này với

việc e m+1, , e n U, ta suy ra (e m+1 , ,e n) là một cơ sở của U

Từ đó, lập luận tương tự ta thấy: nếu  U, thì  biểu thị tuyến tính

qua (e 1 , ,e m), tức là  U Như vậy, (U) = U

Cuối cùng, ta có phân tích trực giao

 , ,   L    

Bây giờ ta trở lại với chủ đề khoảng cách trong không gian vectơ Euclid Khoảng cách từ lập con A tới tập con B và E được định nghĩa như sau:

inf ,

u d V

U

d     uU vV     uinfU vV     

, inf

) ,

1.1.13 Ví dụ Trong không gian 4với tích vô hướng chính tắc, tìm khoảng cách từ  = (2, 4, -4, 2) tới phẳng B xác định bởi hệ phương trình:

Giải Rõ ràng β0, ,1 1 ,0B Vậy B=β V , trong đó V là không gian

các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

Do đó, Vlà không gian sinh bởi hai vectơ hệ số của phương trình trên:

1.2 Phép biến đổi liên hợp

Để định nghĩa được phép biến đổi liên hợp, ta cần bổ đề sau đây

1.2.1 Bổ đề Giả sử  :ER là một dạng tuyến tính trên không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều E Khi đó, tồn tại duy nhất vectơ  E sao cho

Nếu  = 0 thì ta chọn  =0 Ngược lại, nếu  0, thì Im() =

Ta có: dimEdimKer dim

Ký hiệu ndimE,ta có dimKer  n 1 Do đó, không gian (Ker) có

số chiều bằng 1 Gọi e (Ker ) 

Ta đặt  = (e) e E Mỗi x E đều có phân tích

x te z ( t ,zKer )

Ta có: x α,  te z , ( ).e e  te e e, ( ) t e e e( ) ,

t e( ) ( )te  (te z) ( )x 

1.2.2 Hệ quả Giả sử E là một không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều Khi

đó ánh xạ : E  E * đặt tương ứng mỗi  với E * xác định bởi hệ thức

x,  = x,  Như thế, đẳng cấu  cho phép đồng nhất ghép cập đối ngẫu giữa E và E*với tích vô hướng trong E

Bây giờ giả sử : E  E là một phép biiến đổi tuyến tính Với mỗi  cố định trong E tương ứng

(     

Ta dễ kiểm tra lại rằng ánh xạ

) (

) * = (*

) -1 Chứng minh Ta chỉ chứng minh tính chất (iii) Các phần còn lại được coi

như bài tập Theo định nghĩa, với mọi , E ta có

) ( ) ( , ),

trong cùng cơ sở ấy

Chứng minh Giả sử  và có ma trận lần lượt làA (a ij)và B (b ij)trong

cơ sở trực chuẩn (e1, ,e n)của E Ta có:

1.3 Phép biến đổi đối xứng

1.3.1 Định nghĩa (a) Phép biến đổi tuyến tính  : E E được gọi là một

phép biến đổi đối xứng (hay tự liên hợp) nếu  = *, tức là

(),  = ,  (), E

(b) Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu A = At

1.3.2 Hệ quả Nếu phép biến đổi tuyến tính  : E E là đối xứng thì ma trận của nó trong mọi cơ sở trực chuẩn của E là ma trận đối xứng Ngược lại, nếu phép biến đổi tuyến tính  có ma trận đối xứng trong một cơ sở trực chuẩn nào đó của E thì  là đối xứng

Chứng minh Ta dùng các ký hiệu của mệnh đề trước Khi đó,  đối xứng (tức là  = *) nếu và chỉ nếu A = At

1.3.3 Mệnh đề Các không gian con riêng ứng với những giá trị riêng

khác nhau của một phép biến đổi đối xứng là trực giao với nhau

Chứng minh Giả sử  và  là các vectơ riêng của phép biến đổi đối xứng

 ứng với các giá trị riêng khác nhau  và  Nghĩa là

Chứng minh Giả sử A = (ij) là một ma trận thực đối xứng bất kỳ, có cấp

n Giả sử  là một nghiệm phức của phương trình đặc trưng

det (A - X E n) = 0

1.3.5 Bổ đề Giả sử  là một phép biến đổi đối xứng của E Nếu U là một không gian vectơ con -

Chứng minh Nếu E có một cơ sở trực chuẩn gồm những vectơ riêng của 

trong cơ sở đó là một ma trận chép, và do đó đối xứng vì thế  đối xứng Ngược lại, giả sử  đối xứng, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n=dim E rằng có một cơ sở trực chuẩn của E gồm toàn những vectơ riêng của  Kết

luận là hiển nhiên với n = 1, vì khi đó mỗi vectơ khác 0 trong E đều là

vectơ riêng của  Giả sử quy nạp rằng kết luận đúng với mọi không gian

có số chiều nhỏ hơn n Mặt khác,  có một giá trị riêng thực 1 Khi đó

L(e1) là một không gian vectơ con  ổn định Theo bổ đề trên, không gian

L (e1) cũng là  ổn định Ngoài ra, ta có:

dim L(e1) = dim E - 1 = n- 1 <n

Theo giả thiết quy nạp, có một cơ sở trực chuẩn (e2 , en) của L e1) gồm toàn những vectơ riêng của  Khi đó (e1, e2 ,en) là cơ sở trực chuẩn của E cũng gồm toàn những vectơ riêng của  

1.3.7 Hệ quả Mọi ma trận thực đối xứng đều chéo hoá được nhờ các ma

trận trực giao Cụ thể hơn, nếu A là một ma trận thực đối xứng, thì tồn tại

ma trận trực giao Q để cho

B = Q -1 AQ= Q t AQ

là một ma trận chéo

Chứng minh Chọn một không gian vectơ Euclid E số chiều n, là số hàng

và số cột của ma trận A Gọi  là tự đồng cấu của E nhận A làm ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào đó (e 1, , e n ) của E Khi đó  là một phép

biến đối xứng, vì A là đối xứng

Do có một cơ sở trực chuẩn (1 , ,n ) của E gồm toàn những vectơ riêng

của  Ma trận B của  trong cơ sở này tất nhiên là một ma trận chéo Bây

giờ gọi Q là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn (e 1 , e n) sang cơ sở trực

chuẩn (1 , ,n ) Khi đó Q là một ma trận trực giao Hơn nữa, ta có:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

A

Giải Trước hết ta tìm đa thức đặc trưng của A:

X X

A

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

3 3 3 3 )

2

t z y x

t z y x

t z y x

t z y x

t z y x E A

Hệ này có họ nghiệm phụ thuộc một tham số    x y z t

00

Hai vectơ này trực giao với nhau (Nếu trái lại, ta tiến hành trực giao hoá chúng) Cuối cùng, ta tìm vectơ riêng e3 ứng với  = 2 bằng cách đòi hỏi nó trực giao với hai vectơ e1,e2 tức là thoả mãn thêm hai phương trình:

00

2.1.1 Định nghĩa Giả sử E và E' là các không gian vectơ Euclid

ánh xạ f : EE' được gọi là một ánh xạ trực giao nếu nó là một ánh xạ

tuyến tính và nó bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là:

Chứng minh Đặt ω f aα bβ  af α bf β  với ,a bR α β, , E

Vì  bảo toàn tích vô hướng, nên với mỗi γE, ta có:

ωf γ( )   f aα bβ(  )af α( )bf β f γ( ),  

= f aα bβ f γ  , a f α f γ   , b f β f γ   , = aαbβ γ, a α γ, b β γ, 0

Như thế  trực giao với mọi vectơ có dạng , do đó  trực giao với mọi

tổ hợp tuyến tính của các vectơ có dạng 

Nói riêng   Từ đó suy ra ω0, hay là:

     

f aαbβ af α bf β , a b, R α β, , E 

2.1.3 Mệnh đề Giả sử E và E' là các không gian vectơ Euclid Khi đó ánh

xạ tuyến tính f : EE' là một ánh xạ trực giao nếu và chỉ nếu nó biến mỗi cơ sở trực chuẩn của E thành một hệ trực chuẩn của E'

Chứng minh Nếu ( , , )e1 e là một cơ sở trực chuẩn của E thì n

1

0

neáu neáu

( , , )e e là một cơ sở trực chuẩn của E, và n ( ( ), , ( ))f e1 f e n là một hệ trực

chuẩn của E' Khi đó, với mọi i i, j j

i

i e b e

= α β, Như vậy,  là một ánh xạ trực giao 

2.1.4 Mệnh đề Mỗi ánh xạ trực giao đều là một đơn cấu tuyến tính Nói

riêng, nếu : φ EE là một tự đồng cấu trực giao của một không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều E, thì  là một đẳng cấu tuyến tính

Chứng minh Giả sử f E: Elà một ánh xạ trực giao

Nếu  = 0 thì | | | ( ) | 0α  f α  , nên α0 Như thế Ker f( )0 Do đó 

là một đơn cấu tuyến tính

Nếu :φ EE là một ánh xạ trực giao, thì

dimEdim(Im )φ dim(K φer )

Vậy dim E = dim Im Do đó,  là một toàn cấu Phần trên của mệnh

đề đã khẳng định  là một đơn cấu Tóm lại  là một đẳng cấu tuyến tính

Theo mệnh đề trên thì mọi ánh xạ trực giao :h EE' đều là một

đẳng cấu từ E vào Im(h) Hơn nữa, mọi đẳng cấu trực giao : f EIm( )h

đều có dạng f hφ, trong đó  là một tự đẳng cấu trực giao của E

Thật vậy, chỉ cần lấy 1

:

Như vậy, việc nghiên cứu các ánh xạ trực giao có thể quy về việc

nghiên cứu các tự đẳng cấu trực giao (hay còn được gọi là các phép biến

đổi trực giao)

2.1.5 Mệnh đề Nếu  là một phép biến đổi trực giao của E thì ma trận của nó trong mỗi cơ sở trực chuẩn của E là một ma trận trực giao Ngược lại, nếu  có ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào đó của E là một ma trận trực giao thì  là một phép biến đổi trực giao

Chứng minh Giả sử  là một phép biến đổi trực giao và ( , , )e1 e là một n

cơ sở trực chuẩn của E Khi đó ( ( ), , ( ))φ e1 φ e n cũng là một cơ sở trực

chuẩn Gọi A là ma trận của  trong cơ sở ( , , )e1 e Khi đó, A chính là ma n

trận chuyển từ cơ sở ( , , )e1 e tới cơ sở n ( ( ), , ( ))φ e1 φ e n A là một ma trận

trực giao

Ngược lại, nếu  có ma trận A trong một cơ sở trực chuẩn nào đó

1

( , , )e e là một ma trận trực giao, n ( ( ), , ( ))φ e1 φ e n = ( , , )e1 e A là một cơ n

sở trực chuẩn Do đó,  là một phép biến đổi trực giao 

Bây giờ ta xét cấu trúc của một phép biến đổi trực giao

2.1.6 Mệnh đề Nếu  là một phép biến đổi trực giao, thì mọi giá trị riêng (nếu có) của  đều bằng 1 Các không gian con riêng P 1 () và P -1 () (nếu có) của  (ứng với các giá trị riêng 1 và -1) trực giao với nhau