Về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b mêtric có thứ tự bộ phận

Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer 1912 và nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích nó có nhiều ứng dụng trong Toán học và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912)

và nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1992) Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau Một trong những hướng mở rộng đó là đưa ra các khái niệm điểm bất động bộ đôi, bộ ba của các ánh xạ từ X X vào X và từ X X

X vào X tương ứng Sau đó, tìm điều kiện cho sự tồn tại điểm bất động bộ đôi, bộ ba Năm 2006, Bhaskar và Laksmikantham [2] đã đưa ra các khái niệm điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận Vào năm

1993, Czerwik [4] đã đưa ra khái niệm không gian b-mêtric và nghiêm cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian này Vấn đề về sự tồn tại các điểm bất động bộ đôi đã được quan tâm nghiên cứu trong các không gian mêtric, mêtric nón và thu được nhiều kết quả Có một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là, các kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi cho không gian mêtric có thể mở rộng trong không gian b-mêtric được hay không ? Luận văn của chúng tôi tiếp cận vấn đề này nhằm tìm hiểu không gian b-mêtric và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của ánh xạ đơn điệu trộn trong không gian b-mêtric có thứ

tự bộ phận

Với mục đích đó, Luận văn trình bày thành hai chương

Chương 1: Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự

bộ phận

Chương này dành cho việc trình bày lại một số kết quả đã có trong tài liệu tham khảo về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận.

Chương 2: Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b-mêtric có thứ tự

bộ phận.

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động

bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian b-mêtric có thứ tự

bộ phận, đó là Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.5 và các Hệ quả 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 và 2.2.6 các kết quả này là mở rộng của một số kết quả trong [3] và [7]

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của của Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

Tôi xin trân trọng cám ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong Tổ Giải Tích cùng các Thầy Giáo, Cô Giáo trong Khoa Sư phạm Toán và Phòng đào tao sau đại học - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Đồng thời tôi cũng cám ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán trường THPT Mê Linh – Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, các bạn học viên cao học khoá 22 – chuyên ngành Toán Giải Tích,

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý Thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, ngày 8 tháng 7 năm 2016

Tác giả

C HƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ

BỘ PHẬN

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric, có thứ tự bộ phận,…

1.1.1 Định nghĩa.([1]) Giả sử là một tập khác rỗng và là một quan

hệ hai ngôi trên Quan hệ được gọi là thứ tự bộ phận trên nếu với mọi ta có:

1)

2) Từ và suy ra

3) Từ suy ra

Tập cùng với thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập được sắp thứ tự bộ

phận hay tập có thứ tự bộ phận và ký hiệu là ( ) hoặc

1.1.2 Định nghĩa.([1]) Cho tập hợp Hàm d : thỏa mãn điều kiện:

1) 0 với mọi và

2)

3)

đƣợc gọi là một mêtric (hay khoảng cách) trên

Tập cùng với một mêtric trên nó đƣợc gọi là không gian mêtric và ký hiệu

là hoặc

1.1.3 Định nghĩa. ([1]) Cho không gian mêtric và tập con của Ta xác định hàm : cho bởi ( với mọi Khi đó là một mêtric trên ta gọi không gian mêtric ( ) là không gian

con của không gian

Mêtric đƣợc gọi là mêtric cảm sinh bởi trên

1.1.4 Định nghĩa. ([1]) Dãy { } trong không gian mêtric đƣợc gọi là

hội tụ tới và ký hiệu hoặc i

nếu khi

1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi

trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận

Mục này trình bày một số kết quả trong [7] về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận

1.2.3 Ví dụ 1) Giả sử là hàm cho bởi công thức

với mọi (x, y) 2 Khi đó, nếu trên ta xét quan hệ thông thường thì có tính đơn điệu trộn và mọi điểm 2 đều là điểm bất động bộ đôi của

Chứng minh Với mọi , ta có

Do đó, là điểm bất động bộ đôi của □

2) Trên ta xét quan hệ thông thường Khi đó, hàm

không có tính đơn điệu trộn nhƣng có điểm bất động duy nhất là (0,0)

Chứng minh Ta có T(0, 1) = 1 < T(0, 2) = 2 Do đó T không có tính đơn điệu

trộn □

1.2.4 Định lý. ([7]) Giả sử là một tập sắp thứ tự bộ phận, là một mêtric trên sao cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và là ánh xạ có tính đơn điệu trộn trên X Với mọi đặt = min{

}.

Khi đó, nếu 1) Tồn tại với sao cho + (1)

với mọi mà

2) Tồn tại sao cho và (2)

3) F liên tục hoặc và X có các tính chất (i) Nếu { } là dãy tăng trong và thì với mọi n = 1, 2,… (ii) Nếu { } là dãy giảm trong và thì với mọi n = 1, 2,… thì có một điểm bất động bộ đôi Hơn nữa, nếu thêm giả thiết các điểm bất động bộ đôi của so sánh được với nhau thì điểm bất động bộ đôi của là duy nhất Chứng minh Đặt , , và ( ) ,

= , =

Dựa vào tính đơn điệu trộn của , ta có

( ) ( ) ( )

và ( ) ( ) ( )

Ta dễ dàng chứng minh đƣợc

Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với mọi n ta có ( ) (3)

và ( ) (4)

Thật vậy, với n = 1, từ và từ (1) ta có

+ ( )

( )

+ ( )

= + ( )

Điều đó kéo theo ( )

Do đó

Tương tự = =

+ ( )

( ) ( )

+ ( )

= ) + ( )

Từ đó suy ra

Bây giờ, giả sử (3) và (4) đúng với n Ta chứng minh (3) và (4) đúng với n + 1 Từ giả thiết , và từ (3), (4) ta có

( )

( )

+ ( )

=

Điều đó dẫn đến ( )

( ) Chứng minh tương tự, ta có

( ) ( )

Từ 0 <

< 1 và từ (3), (4) ta suy ra { }, { } là hai dãy Cauchy Vì

là không gian mêtric đầy đủ, nên tồn tại sao cho

i

và i

(5) Cuối cùng, ta cần chứng minh là một điểm bất động bộ đôi của

Giả sử liên tục Khi đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có

s[ ]

= s

Từ (5) và tính liên tục của , ta có

i

Do đó, Như vậy là điểm bất động bộ đôi của

Giả sử có tính chất (i) và (ii) Khi đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có

(6)

Vì là dãy tăng, hội tụ tới và là dãy giảm, hội tụ tới nên theo (i) và (ii) ta có và với mọi

Do đó, ta có

+

Từ (6) ta suy ra

+

khi

Điều đó kéo theo

( )

Vì nên do đó

Tương tự, ta có

(7)

Từ và với mọi n = 1, 2,… ta có

)

+

Vậy có điểm bất động bộ đôi □

1.2.5 Định lý. ([7]) Với giả thiết của định lý 1.2.4 và giả thiết thêm là

so sánh được với nhau thì

Chứng minh Giả sử Ta sẽ chứng minh

(8)

Vì F có tính đơn điệu trộn nên với n = 1 ta có

Giả sử Ta chứng minh (8) đúng với n + 1 Thật vậy, ta có

=

Bằng phương pháp quy nạp ta kết luận (8) đúng Mặt khác, từ (8) và điều kiện

co, ta có:

( )

Do đó

( )

khi n

Vì nên ta suy ra x = y □

2.1 Không gian b-mêtric

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian b-mêtric, làm cơ sở cho việc trình bày các kết quả trong mục sau

Tập cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với tham

số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được ký hiệu bởi hoặc

Chú ý 1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểu tham số

của nó là

2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric

ta thấy rằng, không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric

khi

Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơn các

lớp không gian mêtric

2.1.2 Ví dụ ([4]) 1) Giả sử là không gian mêtric và

là hàm được cho bởi

khi đó, là b-mêtric với

2) Giả sử và trên ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : x ) bởi | |

Khi đó, d là b-mêtric với (theo 1) nhưng không là mêtric trên vì

2.1.3 Định nghĩa ([4]) Giả sử là dãy trong không gian b-mêtric

Dãy được gọi là b-hội tụ ( nói gọn là hội tụ) tới và được kí hiệu bởi hoặc i nếu với mọi , tồn tại số tự nhiên sao cho với mọi Nói cách khác, khi và chỉ khi

khi

Dãy được gọi là dãy Cauchy nếu , tồn tại số tự nhiên sao cho với mọi

Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ 2.1.4 Bổ đề. Giả sử là dãy trong không gian b-mêtric và dãy Khi đó, 1) là dãy Cauchy; 2) là duy nhất; 3) i

i

Chứng minh 1) Vì nên với mọi tồn tại số tự nhiên sao cho

d( ) , n0

Từ đó suy ra

Do đó, là dãy Cauchy 2) Giả sử và Khi đó, và khi Theo bất đẳng thức tam giác ta có

Cho ta đƣợc i

i

Do đó tức là Vậy là duy nhất 3) Với mọi ta có

Từ đó suy ra

với mọi

Trong bất đẳng thức trên cho n và sử dụng i

ta đƣợc i

i

Vậy ta có bất đẳng thức 3) □ 2.1.5 Bổ đề. ([1]) Giả sử là không gian b-mêtric, và là hai dãy trong lần lượt hội tụ tới và Khi đó, ta có các hệ thức sau i

i

(1)

Đặc biệt, nếu thì i

Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có

Do đó, ta có

(2)

Vì , nên i

i

i

i

i

i

Do đó, i

hai vế của (2) ta được i

(3)

Tương tự như trên ta có

(4)

Lấy i

hai vế của (4) ta được i

(5)

Từ (3) và (5) suy ra (1) □

2.1.6.Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và

Ánh xạ được gọi là liên tục nếu mọi dãy trong mà và ta có

2.2 Một số kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm

bất động bộ đôi trong không gian b-mêtric có thứ tự

bộ phận

Trong mục này, chúng tôi đƣa ra một vài kết quả mới về sự tồn tại và duy nhất

của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian b-mêtric có thứ tự bộ

phận Các kết quả này là mở rộng của một số kết quả về sự tồn tại điểm bất

động bộ đôi trong không gian mêtric trong [3, 7]

Trong mục này, các không gian b-mêtric đƣợc nói tới, luôn giả thiết có

tham số và trên nó có thứ tự bộ phận đƣợc ký hiệu bởi trên ta

xét thứ tự bộ phận đƣợc xác định nhƣ sau :

và

Ta viết thay cho

2.2.1 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với và

là ánh xạ có tính đơn điệu trộn và thỏa mãn các điều kiện sau

Tồn tại các hằng số sao cho

(1)

và

(2)

với mọi và mà hoặc

2 ) Tồn tại sao cho

3) liên tục hoặc có các tính chất

i) Nếu là dãy tăng trong và thì với mọi n = 1, 2,…

ii) Nếu là dãy giảm trong và thì với mọi n = 1, 2,…

Khi đó, ó điểm bất động bộ đôi trong Hơn nữa, nếu thêm giả thiết các

điểm bất động bộ đôi của so sánh được với nhau thì điểm bất động bộ đôi của

là duy nhất

Chứng minh Đặt

,

( )

Từ điều kiện 2) ta có , Do đó, sử dụng tính đơn điệu trộn của suy ra ( ) ( ) ( )

và

Tương tự và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được (3)

Từ (3), sử dụng điều kiện 2) ta có

và

với mọi

Do đó