về các phép biến đổi trong không gian vectơ euclid

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ THUỲ LINH VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHONG GIAN VECTƠ EUCLID CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ THUỲ LINH

VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG THỊ THUỲ LINH

VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

TRONG KHONG GIAN VECTƠ EUCLID

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYÊN THÀNH QUANG

VINH - 2009

MỤC LỤC

Trang

CHUONG 1 CAC PHEP BIEN DOI TRONG KHONG GIAN

VECTO EUCLID 0 ccccccsessssssssssssessssssssesssecsscssseesseesssecssecsseeesieesseesseeess 3

1.1 Không gian vectơ EUucÌId - -s s+++x++x£+£+vreereerreeereererree 3

1.2 Phép biến đổi liên hợp -:- s+2E++E+E+2E2EE2E2EeExerkrrrerrree 13 1.3 Phép biến đổi đối xứng + Set E2 212112212121 16 CHUONG 2 ANH XA TRUC GIAO VA KHONG GIAN UNITA 21

2.3 Một số bài tập minh hoạ 2-52 St E‡EEE2EE2EEEEEEEErrkerxrrk 32 KẾT LUẬN 5-52-5221 11211271112117112111211211 111211111 xe 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 2-22 ©5222+22E+2£E+2E2Exevrxezxesrxecrx 38

Đại số tuyến tính, khởi đầu với việc giải các hệ phương trình tuyến tính Về sau đề có thể hiểu thấu đáo cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện

để một hệ phương trình có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn

Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt những lĩnh vực khác nhau,từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết biểu diễn

nhóm Vì thế nó trở thành một môn học cơ sở thuộc các ngành khoa học

cơ bản

Với mục đích tìm hiểu ứng dụng của Đại số tuyến tính, trong luận văn này tôi cố gắng trình bày một cách có hệ thống một số khái niệm,chứng minh chỉ tiết các tính chất, kết quả của không gian vectơ Euclid, tìm tòi một

số kết quả, bài tập minh họa có liên quan các vấn đề đã nêu

Cấu trúc luận văn gồm 2 chương, ngoài phần mở đầu kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Trong chương I, chúng tôi trình bày lại một số định nghĩa, tinh chất

của không gian vectơ Euclid, các phép biến đổi (phép biến đổi liên hợp,

phép biến đồi đối xứng) trong không gian vectơ Euclid

Chương 2 của luận văn giới thiệu ánh xạ trực giao, không gian Unita,

một số bài tập minh hoạ

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Vinh, dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tác giả bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc

Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan đã

giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho chúng tôi trong quá trình học tập

tại lớp Cao học XV Đại SỐ

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Đào tạo Sau

đại học, Khoa Toán đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong thời gian học tập

Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp Cao học XV

Đại số đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận

được sự chỉ bảo của quý thầy cô và đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác gia

Chương 1

CÁC PHÉP BIÉN ĐỎI TRONG KHÔNG GIAN

VECTƠ EUCLID

1.1 Không gian vectơ Euclid

Trong hình học, tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa bằng tích của độ dài hai vectơ đó và cosin của góc xen giữa chúng Việc trực tiếp trừu tượng hoá các khái niệm độ dài của vectơ và góc xen giữa hai vectơ

khó hơn nhiều so với việc trừu tượng hoá khái niệm tích vô hướng Vì thế,

trước hết chúng ta nghiên cứu khái niệm tích vô hướng, rồi sử dụng nó để

định nghĩa độ dài của vectơ và góc xen giữa hai vectơ

Giả sử E là một không gian vectơ thực Nhắc lại rằng một hàm

niExE>j được gọi là song tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với từng biến khi cố định

biến còn lại Mỗi hàm song tuyến tính như thế được gọi là một dạng song tuyến tính trên E

1.1.1 Định nghĩa (a) Dang song tuyén tinh 47: Ex Ej duge goi 1a đối

(đ) Một dạng song tuyến tính, đối xứng và xác định đương trên E

được gọi là một (ích vô hướng trên E

Tích vô hướng trên không gian E thường được ký hiệu là ¢ ):

œ :ExE>i

(a,B)a (4,8).

Số thực (z.Ø) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ z, Những

điều kiện để é ) là một tích vô hướng được liệt kê như sau:

(a, +ø;, 8) =(œ,, 8)+ (ø; 8), (aq,, )=a(a, 8),

Tỉnh đối xứng (a, B) =(B.a),

Tỉnh xác định dương (a,a)>0,

7Ý(œ,z)=0 Sø=0

với mọi đ,đ,, Ö, B, cE,aeji

1.1.2 Định nghĩa Không gian vectơ thực E cùng với một tích vô hướng trên E được gọi là một không gian vecto Euclid

1.1.3 Ví dụ (a) Không gian các vectơ tự do đã học ở hình học sơ cấp là một không gian vectơ Euclid với tích vô hướng thông thường

(a, B) =|||Z|cos (af)

(b) Giả sử E là một không gian vecto thuc n chiều và (€1, €ạ, , en) là một cơ sở của nó Có thể định nghĩa một tích vô hướng trên E như sau Nếu a= Ve B= Yye; , thi ta dat

Nó được gọi là /ích vô hướng chính tac trên ¡ ” Nhận xét rằng theo cách này mỗi cơ sở của E cho phép xác định trên E một tích vô hướng Hai tích vô hướng xác định bởi hai cơ sở khác nhau thì nói chung khác nhau (c) Giả sử E=£ [a,b] là không gian các hàm thực liên tục trên [a,b] Công thức,

(f.8)= [ f@e@av fg €£ [4,5]

xác định một tích vô hướng trên không gian vô hạn chiều £ [a,b]

Tính liên tục của các hàm trong £ [a,b] được dùng đề chứng minh tính xác định đương của dạng song tuyến tinh (fg) a (fg)

Mỗi không gian vectơ con #Ƒ của không gian vectơ Euclid E£ được trang bị một tích vô hướng, là thu hẹp của tích vô hướng đã cho trên # Vi thế Ƒ cũng là một không gian vectơ Euclid Nó được gọi là mộ: không gian vectơ Euclid con của E

Bây giờ ta định nghĩa độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ trong

một không gian vectơ Euclid

1.1.4 Định nghĩa Giả sử # là một không gian vectơ Euclid với tích vô

hướng () Khi đó, độ đài (hay chuẩn) của vectơ ae E là số thực không

âm lai =/(a,a)

Nhận xét rằng, ngược lại, tích vô hướng cũng được hoàn toàn xác định bởi độ dài vectơ Thật vậy

Chứng mình Nêu ơ = 0 thì bất đắng thức đúng một cách hiển nhiên, bởi vi

hai về của nó đều bằng 0

Xét trường hợp a #0.Ta có (ø + B,ta+ B)>0,Vte; Hay la

Khai căn hai về của bất đẳng thức, ta có

Trong R" với tích vô hướng chính tắc, bất đắng thức trên có đạng

(a+ B,a+ B)=(a,a)+2(a, B)+(B, 8)

Vi a 1B, cho nén (@B) = 0 Do d6| at B |?= |al’+ BI’ "

Các tính chất cơ bản của độ dài vectơ được liệt kê trong mệnh đề sau đây:

tuyến tính

(ii) Nếu hệ vecfơ(e, e, ) la truc giao va khéng chita vecto 0, thi hé

(fe) là trực chuẩn

Ching minh (i) Giả sử (e, e,) là một hệ trực giao và không chứa vectơ 0

Giả sử có một ràng buộc tuyến tính

đ,e, + + a,e, =0 Nhân vô hướng 2 về với e,, va su dung gia thiét e, Le, với ¡ j, ta CÓ: 0= (ae + +.4,¢,,€,) =a, (e,,¢,)+ +4, (e,,¢,) =a, (e,,e,)

Vi e, #0, nén (e,,e,) > 0 Do dé z, =0 Từ đó ta thu được ràng buộc

đ,e,+ + a, 2 1 k-l = 0

Lặp lại lập luận trên với k được thay bởi k - 1, ta thu được ay.¡ = 0

Cuối cùng ta thu được

sở trực chuẩn Định lý sau đây nói lên tính phổ biến của cơ sở trực chuẩn

1.1.8 Định lý Mọi không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều đều có cơ sở trực chuẩn

Chứng mình Định lý được chứng minh bằng phép trực giao hod Schmidt Giả sử (ø, z„) là một cơ sở bất kỳ của không gian vectơ Euclid E Truc

giao hod Schmidt là phép dựng một cơ sở trực giao (e, e,) của E với

tính chất sau:

LỆc, e,)= L(ø, œ,), (K=1/2, ,.¡—1) Sau đó, ta chuẩn hoá (e, e, ) để thu được một cơ sở trực chuẩn của Z.

Ta đặt e= ø, Như thế L(e,)=L(a,) Giả sử đã xây dựng được hệ trực

giao (e, e,,) sao cho:

Quá trình này tiếp diễn cho tới ¡ = n Hệ gồm n vectơ trực giao

(£, ,) sinh ra không gian n chiều E Vậy hệ đó là một cơ sở trực giao của E Cuối cùng, chuẩn hoá cơ sở trực giao nay ta thu được một cơ sở trực

1.1.9 Ví dụ Trực giao hoa hé vecto sau đây trong không gian R¿ với tích

vô hướng (định nghĩa nhờ cơ sỏ) chính tắc:

a = (1, 0,0, 0)

a = (2, 1,0, 0) a3 = (3,2, 1,0)

Vậy e,=-2e,+a, =—2(1,0,0,0)+(2,1,0,0)=(0,1,0,0) Vecto thứ

ba được tìm dưới dạng e; = Às¡€¡ + A32€2 + G3, trong đó:

¬- 13

Vậy e,=—3e, — 2e, + a, =(0.0.1,0)

Tuong tu, e,=A,e,+4,e, +4,,e, +a, Trong do:

Như thế e, =—4e, — 3e, — 2e, —2e, + ø, =(0,0,0,1)

Tom lai, hé (e;, ø;, e;, e¿) chính là cơ sở chính tắc của ia

Mệnh đề sau đây cho thấy cơ sở trực chuẩn giúp cho việc tính tích vô

1.1.10 Mệnh đề Giá sử (6, €,) là một cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ Euclid E Khi đó, nếu œ= È`xe, B= dye, thi:

(œ.8) = aibi + + anb„, Chứng mình Do tính song tuyến tính của tích vô hướng, ta có

Vi (e), €n) là một cơ sở trực chuẩn, cho nên

1.1.11 Mệnh đề Giả sử U là một không gian vectơ con của không gian

vectơ Euclid hữu hạn chiều E Khi đó, (U)ˆ = U, và E có thể phân tích

thành tổng trực giao E = U @ U*

Chứng mình Chọn một cơ sở trực giao (e;, ,e„) của U, và bổ sung nó để có một cơ sở (€;, ,đ„, %„+¡, ,œ„) của E Áp dụng phép trực giao hoá Schmidt cho cơ sở đó, ta thấy m vectơ đầu của cơ sở không thay đổi, bởi vì chúng đã trực giao sẵn rồi Kết quả là ta thu được một cơ sở trực giao

(C, ,C„, €„+¡, ,e„) của E Các vectƠ e„;;, , e; trực giao với mỗi phần tử trong cơ Sở (;, , e„) của E: # = a¡e¡ + + quớ,

Do tính trực giao của cơ sở nói trên, ta thu được:

a= (e,.¢,) =Ú đ„ = (e,.e.)

Hệ quả là ơ biểu thị tuyến tính qua (e„:¿ ,e„) Kết hợp điều này với

VIỆC đ„+¡, Cy € U-, ta suy ra (đ„:;, ,e„) là một cơ sở của U†,

Từ đó, lập luận tương tự ta thấy: nếu B L U', thì B biểu thị tuyến tính

qua (e¿, ,e„), tức là B € U Nhu vay, (U*)* =U

Cuối cùng, ta có phân tích trực giao

E=L(e, e„)®* L(e„.„, ,e,)=U ®` U'.

Bây giờ ta trở lại với chủ đề khoảng cách trong không gian vecto Euclid

Khoảng cách từ lập con A tới tập con B và E được định nghĩa như sau:

d(A,B) =" 5.» AaB)

Nói riêng, nếu A chỉ gồm một phần tử ơ thì ta sẽ ký hiệu đơn giản

d({a}, B) boi d (a, B) Nhu vay:

d(a,B) =}, d(a, Be B) Tập a+U={atu/ueU}, trong do U là một không gian vecto con của E được gọi là phẳng song song với U và đi qua œ Ta sẽ xét trường

hợp đặc biệt khi A và B là những phẳng song song với các không gian

d(a+U,b+V) với U ={0} Theo định nghĩa

d(a+U,B+V)=™ uel vel d(at+u,Bt+v)=" ue vel la-B+u-v

Dat u-v = t'e(U+V) Taco:

1.1.13 Ví dụ Trong không gian ¡ ,với tích vô hướng chính tắc, tìm khoảng cách từ œ = (2, 4, -4, 2) tới phẳng B xác định bởi hệ phương trình:

x+2y+z-/=l Min Giải Rõ ràng Ø =(0,7,—1,0)e B Vậy B=Ø +, trong đó V là không gian

các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

Do đó, Ƒˆ là không gian sinh bởi hai vectơ hệ số của phương trình trên:

(2-r—s)+2(3—2r~ 3s)+(—3—~r—s)—(2+r+ 3s)= 3—7r—11s=0,

(2-r—s)+3(3—2r— 3s)+(~3—~r—s)~ 3(2+r+ 3s)=2—1r— 20s=0

Từ đó r=2, s =-1 Thay các giá trị đó vào v” ta có:

d(a,Ø) =|v' Fl(.1.1DE 2.

1.2 Phép biến đỗi liên hợp

Để định nghĩa được phép biến đổi liên hợp, ta cần bổ đề sau đây

1.2.1 Bồ đề Giả sử ^: E — R là một dạng tuyến tính trên không gian vectơ Euclid hitu hạn chiều E Khi đó, tôn tại duy nhất vectơ œeEsao cho

Chứng mình Tính duy nhất Giả sử có các vectơ œ,B€E sao cho

Nếu 2= 0 thì ta chon a =0 Ngược lại, nếu 2 #0, thì Im(A) =i -

Ta co: dim E = dim Kerl + dimj

số chiều bằng 1 Gọi ee(Ker2)'

Ta đặt œ = ^(e) e eE Mỗi x eE đều có phân tích

Ta có: (x,a) = (te + z,1(e).e) = (te,| (e).e) = Al (e)(e,e)

1.2.2 Hệ quả Giá sử E là một không gian vectơ Euelid hữu hạn chiêu Khi

đó ánh xạ £ E — E ” đặt tương ứng mỗi ơ với („ eE * xác định bởi hệ thức

f(x) =(e,a), Week la mét dang cau tuyến tính

Chứng mình Rõ ràng {„ xác định bởi hệ thức trên là một dạng tuyến tính

trên E Hơn nữa đề kiểm tra rằng

Kế Soa = Vo

Noi cach khac f: E > EŸ là một ánh xạ tuyến tính Sự tồn tại và tinh duy

ac¡i,dø,j<E

nhất của vectơ œ nói ở bố đề trước chứng tỏ { là một dang cau

Anh xa f dugc goi la dang cấu chính tắc giữa E và E” Nó được định nghĩa

trong đó ( ): Ex E>; là ghép cập đối ngẫu giữa E và EỶ, thì hệ thức

xác định f¿ trở thành

&Œ, fa) = &, QÒ

Như thế, đẳng cấu { cho phép đồng nhất ghép cập đối ngẫu giữa E và E”

với tích vô hướng trong E

Bây giờ giả sử : E -› E là một phép biiến đổi tuyến tính Với mỗi B cô

định trong E tương ứng

g:E>R

aa (9(a),f)

là một đạng tuyến tính trên E Do đó có duy nhất phần tử được ký hiệu là

@ (8) trong E sao cho

1.2.3 Định nghĩa ọ` được gọi là phép biến đổi liên hợp của 9

Phép biến đổi liên hợp có những tính chất sau đây:

1.2.4 Mệnh đề Với mọi ø e L(E,E), ơe¡ ta có:

() (p+)"=g +ự

(ag) = ag

Œ (0)°=ø

đi) ()`=wø

(v) Nếu @ khá nghịch thì ` cũng vậy, và

(ø)`= (ø)”

Chứng mình Ta chỉ chứng minh tinh chat (iii), Cac phan còn lại được coi

như bài tập Theo định nghĩa, với mọi œ,Be E ta có

(ự(ø).8) = (ø.(øy)'(8)) Mặt khác: (ự(ø).8) = (y(a).(gy (B)) = (ø.w`ø (B))

Vi (2,(gy)'(B)) = a.y"y'(B) với mọi ø,8 e E, nên ta có:

1.2.5 Mệnh đề Nóu A là ma trận của ¢ trong một cơ sở trực chuẩn nào đó của E, thì A' là ma trận của @' trong cùng cơ sở ấy

co sé truce chuan (e,, ,e,)clia E Ta cd:

(ge, ),e,) = ®a,e,.e) = (Ya, (e,5e) =d,

k=l k=l

Tương tự: (e,„ø ())=(ø'(6),e,)=b,

Điều kiện (ø'(e,),e,)= (e,„ø (ø,)) tương đương với a, = b„ với mọi i, j, hay

là:

B=ấ

1.3 Phép bién d6i déi xing

1.3.1 Định nghĩa (a) Phép biến đổi tuyến tính ọ : E—› E được gọi là mộ

phép biến đổi đối xứng (hay tự liên hợp) nêu (ọ = @`, tức là

((2) 8® = (œ 9(B)), VaB EE

(b) Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu A = A'

1.3.2 Hệ quả Néu phép biến đổi tuyến tính ọ: E-> E là đối xứng thì ma

trận của nó trong mọi cơ sở trực chuẩn của E là ma trận đối xứng Ngược

trực chuẩn nào đó của E thì ọ là đối xứng

Chứng minh Ta dùng các ký hiệu của mệnh đề trước Khi đó, ọ đối xứng

(tức là ọ = g’) nếu và chỉ nếu A = A‘ "

1.3.3 Mệnh đề Các không gian con riêng tứng với những giá trị riêng

khác nhau của một phép biến đồi đối xứng là trực giao với nhau

Chứng mình Giả sử ø và / là các vectơ riêng của phép biến đổi đối xứng

ọ ứng với các giá trị riêng khác nhau 2 và Nghĩa là

Hệ phương trình }°"_.a,x, — Ax, = 0(i=1, n) có định thức

Sa,b,b, =3 ,ua,b,b =3, a be ee ll i jar sj, O, ip 2/9,

=>" ,4,,b,b, (do A đối xứng) ijl ig J7

1.3.6 Định lý Phép biến đối tuyến tính p của không gian vectơ Euclid

hữu hạn chiều R là đối xứng nếu và chỉ nếu có một cơ sở trực chuẩn của E gồm toàn những vectơ riêng của ¢

Chứng mình Nếu E có một cơ sở trực chuẩn gồm những vectơ riêng của @ trong cơ sở đó là một ma trận chép, và do đó đối xứng vì thế ø đối xứng Ngược lại, giả sử ø đối xứng, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo ø=dim E

rằng có một cơ sở trực chuẩn của E gồm toàn những vectơ riêng của ø Kết luận là hiến nhiên với ø = I, vì khi đó mỗi vectơ khác 0 trong E déu 1a

vectơ riêng của ø Giả sử quy nạp rằng kết luận đúng với mọi không gian

có số chiều nhỏ hơn ø Mặt khác, ø có một giá trị riêng thực ^¡ Khi đó