Về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b mêtric nón có thứ tự bộ phận

Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận.. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b-mêtric nón có thứ tự bộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————————————–

LÊ XUÂN DƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG

GIAN b-MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

LÊ XUÂN DƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG

GIAN b-MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG

THANH HÓA, NĂM 2019

Theo Quyết định số 1896/QĐ-ĐHHĐ ngày 21 tháng 11 năm 2019 của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức:

Học hàm, học vị, Họ và tên Cơ quan Công tác Chức danh

trong hội đồng

PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Đại học Tây Bắc Chủ tịch

GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Viện toán học Phản biện 1

TS Hoàng Nam Đại học Hồng Đức Phản biện 2GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Đại học Hồng Đức Ủy viên

TS Đỗ Văn Lợi Đại học Hồng Đức Thư ký

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của hội đồng

Xác nhận của Người hướng dẫn

PGS.TS Đinh Huy Hoàng

* Có thể tham khảo luận văn tại Thư viện trường hoặc bộ môn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củaPGS.TS Đinh Huy Hoàng Các kết quả được trình bày trong luận văn là hoàntoàn trung thực, không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và cáccông trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Lê Xuân Dương

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại

học Hồng Đức - Thanh Hóa dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS.TS Đinh Huy

Hoàng, Trường Đại học Sư phạm Vinh Thầy đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo

giúp tôi hoàn thành luận văn này Qua đây tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Thầy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô đã giảng dạy tôi và cảm ơntất cả bạn bè vì sự giúp đỡ chân tình của mọi người Tôi xin gửi lời cảm ơn tớiphòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa đã giúp đỡ về mặtthủ tục để tôi hoàn thiện luận văn này

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, cơ quan nơi tôicông tác đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập và nghiêncứu

Mặc dù đã cố gắng song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót.Tác giả rất mong nhận được ý kiến góp ý của các nhà khoa học, các thầy giáo,

cô giáo, các anh chị và đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019

Lê Xuân Dương

Mục lục

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 3

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.2 Không gian mêtric nón 4

1.3 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận 8

Chương 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 19

2.1 Không gian b -mêtric nón 19

2.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b-mêtric nón có thứ tự bộ phận 24

KẾT LUẬN 31

2.3 Tiếng Việt 32

2.4 Tiếng Anh 32

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học và kỹ thuật Vìthế nó là một trong những chủ đề đã và đang được các nhà toán học trong vàngoài nước quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả Nguyên lý Banach(1922) về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gianmêtric đầy đủ là kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động.Nguyên lý này đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ và không gian tổng quáthơn Năm 1993, S.Czerwik ([7]) đã mở rộng lớp không gian mêtric bằng cáchđưa ra khái niệm không gian b-mêtric và một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ co trong không gian này Không gian Mêtric nón được đưa

ra và nghiên cứu bởi Huang Long Guang và Zhang Xian ([4]) Lớp không gianmêtric nón thực sự rộng hơn lớp không gian mêtric Vào năm 2010, N.Hussain

và M.H.Shah ([6]) đã mở rộng lớp không gian mêtric nón là lớp không gian mêtric bằng cách đưa ra khái niệm không gian b-mêtric nón và chứng minh một

b-số định lí về sự tồn tại điểm bất động trong không gian b-mêtric nón Năm 2006,T.G.Bhaskar và V.Laksmikantham ([8]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộđôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận Sau đó, vấn đề về sự tồn tại điểmbất động bộ đôi của các ánh xạ trong các không gian mêtric, b-mêtric, b-mêtricnón đã được quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả (xem [4], [6], [7])

Có một vấn đề được đặt ra và ở đây là các kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộđôi trong các không gian mêtric nón, b-mêtric có thể mở rộng cho không gianb-mêtric nón được hay không? Mục đích của chúng tôi là tiếp cận vấn đề nàynhằm tìm hiểu không gian b-mêtric nón và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động

bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian b-mêtric nón cóthứ tự bộ phận Do đó chúng tôi chọn đề tài luận văn là: "Về sự tồn tại điểm bất

động bộ đôi trong không gian b-mêtric nón có thứ tự bộ phận".

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm cách mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trongkhông gian mêtric nón và không gian b-mêtric đã có trong các tài liệu thamkhảo [3], [5], [8] cho không gian b-mêtric nón

3 Phương pháp nghiên cứu

Dựa vào một số kết quả đã có trong không gian mêtric nón và không gianb-mêtric rồi dùng phương pháp của lý thuyết điểm bất động để tìm ra các kếtquả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b-mêtric nón

4 Kết quả đạt được

Đưa ra được một vài kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của cácánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian b-mêtric nón có thứ tự bộ phận

5 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn gồm hai chương chính như sau:– Chương 1 trình bày không gian mêtric nón và một số kết quả về sự tồntại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón đã có trong các tài liệutham khảo

– Chương 2 trình bày việc mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng bộ đôi trong không gian mêtric nón cho không không gian b-mêtric.Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏinhững khiếm khuyết và sai sót nhất định Rất mong nhận được sự góp ý, phêbình của các nhà khoa học, quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản vềkhông gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, thứ tự bộ phận, làm cơ sởcho việc trình bày luận văn

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là một tập khác rỗng và ≤ là một quan hệ hai

ngôi trên X Quan hệ ≤ được gọi là thứ tự bộ phận trên X nếu với mọi x, y, z∈X ,

được gọi là một mêtric (hay khoảng cách) trên X

Tập X cùng với mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là

(X , d) hoặc X

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn} trong không gian mêtric (X, d) được gọi là

hội tụ tới x ∈ X nếu d(x, xn) → 0 khi n → ∞ Khi đó ta ký hiệu

xn→ x hoặc lim

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X , d) là không gian mêtric Dãy {xn} ⊂ X

được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu lim

Không gian mêtric (X , d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mỗi dãy

Cauchy trong X đều hội tụ

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường K (K = R

hoặc K = C) và k.k : X → R Hàm k.k được gọi là một chuẩn trên X nếu

i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X ; kxk = 0 ⇔ x = 0;

ii) kαxk = |α| kxk , ∀α ∈ K, x ∈ X ;

iii) kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ X

1.2 Không gian mêtric nón

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản về nón vàkhông gian mêtric nón

1.2.1 Định nghĩa Cho E là không gian Banach trên trường số thực R Một tập

con P của E gọi là nón trong E nếu

i) P là đóng, P 6= ∅; P 6= (0, 0).

ii) Với (x, y), (u, v) ∈ P, và với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có a(x, y) + b(u, v) ∈ P;iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0)

Vậy P là một nón trên E

3) Giả sử C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên |a, b|

Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn

k f k = supx∈[a,b]| f (x)|,∀ f ∈ C[a,b].Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi f , g ∈

1.2.3 Định nghĩa Cho P là một nón trong không gian Banach E Nón P được

gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E và

0 ≤ x ≤ y, ta có kxk ≤ K kyk Số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này

được gọi là hằng số chuẩn tắc của P.

1.2.4 Bổ đề Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c ∈ E, {xn},

{yn} là các dãy trong E và α là các số thực dương Khi đó

i) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;

ii) Nếu a  b và c  d thì a + c  b + d;

iii) αintP ⊂ intP;

iv) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ ;

v) Với mỗi c1∈ intP và c2 ∈ intP, tồn tại d ∈ intP sao cho c1 d và c2 d;

vi) Với mỗi c1, c2∈ intP, tồn tại e ∈ intP sao cho e  c1 và e  c2;

vii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;

viii) Nếu a ≤ λ a với a ∈ P, 0 < γ < 1 thì a = 0;

ix) Nếu 0 ≤ xn≤ yn, với mỗi n ∈ N và lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn= y thì 0 ≤ x ≤ y;

Chứng minh. i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a  b và

b c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP

⊂ intP Vậy a  c

ii) Để ý rằng intP+P = ∪x∈P(x + int P) là tập mở và P nón nên suy ra x+intP ⊂

P Do đó P + intP ⊂ P Nếu a ≤ b và b  c thì b − a ∈ P và c − b ∈ intP Suy

ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vậy a  c

iii) Ta có a  b và c  d và nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP, suy ra b − a +

d− c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP, do đó a + c  b + d

iv) Vì phép nhân vô hướng là liên tục nên αintP ⊂ intP

v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, chọn số tự nhiên n > 1 sao cho δ

Do tính chất hút của B(0, δ ) nên tồn tại m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ ), suy ra

−c2∈ mB(0, δ ) và mc1− c2∈ intP Đặt d = mc1− c2 Khi đó, d thỏa mãn (vi).vii) Chọn δ0 ≤ 0 sao cho c1+ B(0, δ0), c2+ B(0, δ0) ⊂ intP trong đó B(0, δ0) ={x ∈ E : kxk < δ } Do tính chất hút của B(0, δ0) nên tồn tại m > 0 sao cho

c1∈ mB(0, δ0), suy ra −c1∈ mB(0, δ0) và mc1− c1∈ intP, mc2− c2∈ intP Đặt

e= m1c1− c1+ mc2− c2 Khi đó, e thỏa mãn (vii)

viii) Giả sử x ∈ intP Từ giả thiết suy ra a ≤nx với mọi n = 1, 2, , do đónx−a ∈ Pvới mọi n = 1, 2, Vì nx = kxkn → 0 nên x

n→ 0 Do đó x

n− a → −a Mặt khác,

vì dãyxn− a ⊂ P và P đóng trong E nên −a = P Như vậy a và −a ∈ P Vì Pnón nên a = 0

ix) Vì a ≤ λ a nên λ a − a ∈ P hay a(λ − a) ∈ P Do 0 < λ < 1 nên 1 − λ > 0

Từ đó suy ra −a = 1−λ1 a∈ P hay −a ∈ P Như vậy a và −a ∈ P Vì P nón nên

a= 0

x) Ta có xn≤ ynsuy ra yn− xn∈ P Do P đóng nên lim

n→∞(yn− xn) ∈ P Mặt kháclim

n→∞(xn) = x, lim

n→∞(yn) = y

1.2.5 Bổ đề Giả sử P là nón trong không gian Banach E, và {x} là dãy

trong P Khi đó, nếu xn → 0 thì mỗi c ∈ intP, tồn tại n0 ∈ N sao cho xn c với

mọi n ≥ n0.

Chứng minh. Giả sử {x} là dãy trong P và xn → 0 Với mọi c ∈ intP, và intP

là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE(0, δ ) ⊂ intP, trong đó c + BE(0, δ )

là hình cầu mở tâm 0 bán kính δ trong E Do đó, nếu x ∈ E mà kxk < δ thì

c− x ∈ intP Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n0 ∈ N sao cho kxk < δ , vớimọi n ≥ n0

Suy ra c − xn∈ intP với mọi n ≥ n0 Do đó, xn c với mọi n ≥ n0

Chú ý: Từ đây về sau, ta luôn giả thiết E là không gian Banach thực, P là

nón trong E với intP 6= ∅, ≤ và  là hai quan hệ thứ tự trên E được xác địnhbởi P

1.2.6 Định nghĩa ([4]) Cho X là tập khác rỗng và d : X × X → E, P là một nón

trong E Hàm d được gọi là mêtric nón trong X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) 0 ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón và được

ký hiệu là (X , d) hoặc X

Từ định nghĩa trên ta nhận thấy khái niệm của không gian mêtric nón tổng quáthơn khái niệm không gian mêtric Bởi vì mỗi một không gian mêtric là mộtkhông gian mêtric nón trong trường hợp E = R và P = [0, +∞)

1.2.7 Ví dụ 1) Cho E = R2và nón P =(x, y) ∈ R2: x ≥ 0, y ≥ 0 Xét X = R

và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi

(.x,y) = (α|x − y|,β |x − y|),∀x,y ∈ X,trong đó α, β là các hằng số dương cho trước Khi đó, ta dễ dàng chứng minhđược rằng d là một mêtric nón hay (X , d) là không gian mêtric nón

2) Giả sử E = C[a,b] và P là nón Ta xác định hàm d: E × E → E bởi

d( f , g) = | f − g| ∀ f , g ∈ E,trong đó | f − g|(x) = | f (x) − g(x)| với mọi x ∈ [a, b] Khi đó, d thỏa mãn bađiều kiện

(i) 0 ≤ d( f , g) với mọi f , g ∈ E và d( f , g) = 0 khi và chỉ khi f (x) = g(x) vớimọi x ∈ [a, b] nghĩa là f = g;

(ii) Ta có d( f , g) = d(g, f ) = | f − g| với mọi f , g ∈ E;

(iii) Ta có | f − g| = | f − h + h − g| ≤ | f − h| + |h − g| với mọi f , g, h ∈ E nên

d( f , g) ≤ d( f , h) + d(h, g), ∀ f , g, h ∈ EVậy d là một mêtric nón trên E

1.2.8 Định nghĩa ([4]) Cho (X , d) là không gian mêtric nón và {xn} là dãytrong X

Dãy xn được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc

sao cho với mọi n ≥ nc ta có d(x, xn)  c Khi đó, ta kí hiệu lim

Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy trong X nếu với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự

nhiên nc sao cho với mọi n ≥ ncvà mọi p = 0, 1, ta có d(xn, xn+p)  c

Không gian mêtric nón (X , d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X

đều hội tụ

Chú ý rằng, trong không gian mêtric nón, mỗi dãy hội tụ chỉ hội tụ tới một điểmduy nhất và mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy

1.2.9 Định nghĩa Cho (X , d) là không gian mêtric nón Ánh xạ g : X → X được

gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn} là dãy trong X và xn→ x thì g(xn) → g(x)

1.3 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian

mêtric có thứ tự bộ phận

Mục này trình bày khái niệm điểm bất dộng bộ đôi và một vài kết quả về sựtồn tại điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gianmêtric nón có thứ tự bộ phận Các kết quả này đã có trong các tài liệu thamkhảo

1.3.1 Định nghĩa ([8]) Giả sử (X , ≤) là một tập sắp được thứ tự bộ phận và

ánh xạ F : X × X → X Ta nói F có tính đơn điệu trộn nếu với x, y ∈ X ta có

x1, x2∈ X, x1≤ x2 ⇒ F(x1, y) ≤ F(x2, y),

y1, y2∈ Y, y2≤ y1 ⇒ F(x, y1) ≤ F(x, y2)

1.3.2 Định nghĩa ([8]) Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X2 là điểm bất động bộ đôi của

ánh xạ F : X × X → X nếu F(x, y) = x và F(y, x) = y.

1.3.3 Chú ý Nếu (X , ≤) là tập có thứ tự bộ phận ≤ thì không gian tích X × X

có thứ tự bộ phận được xác định như sau

(x, y) và (u, v) ∈ X × X , (u, v) ≤ (x, y) ⇔ u ≤ x, y ≤ v

1.3.4 Định lí ([5]) Cho (X , ≤, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và F :

X× X → X là ánh xạ có tính đơn điệu trộn trên X và thỏa mãn các điều kiện

sau:

A1) Tồn tại α, β , γ ≥ 0 với 2α + 3β + 3γ < 2 sao cho với mọi u ≤ x, y ≤ v ta có

d(F(x, y), F(u, v) ≤αd(x, u) + d(y, v)

2+ βd(x, F(x, y)) + d(u, F(u, v)) + d(y, v)

2+ γd(x, F(u, v)) + d(u, F(x, y)) + d(y, v)

2

A2) Tồn tại x0, y0∈ X sao cho x0≤ F(x0, y0) và F(y0, x0) ≤ y0;

A3) F liên tục hoặc X có tính chất:

a) Nếu {xn} là dãy tăng trong X và {xn} → x thì xn≤ x với mọi n = 1, 2,

b) Nếu {xn} là dãy giảm trong X và {xn} → x thì x ≤ xnvới mọi n = 1, 2,

Khi đó, F có điểm bất động bộ đôi.

Chứng minh. Giả sử xn= F(xn−1, yn−1), yn= F(yn−1, xn−1), n = 1, 2,

Từ F có tính đơn điệu hỗn hợp trên X , và điều kiện (A2) ta có

x0≤ x1≤ ≤ xn ≤ xn+1 ≤

và

yn+1≤ yn≤ ≤ y1≤ y0Đặt

e= d(x1, x0) + d(y1, y0)

2(α + β + γ)

2 − β − γ .Khi đó, từ (A1) ta có

d(x2, x1) =d(F(x1, y1), F(x0, y0))

≤ αd(x1, x0) + d(y1, y0)

2+ βd(x1, F(x1, y1)) + d(x0, F(x0, y0)) + d(y1, y0)

2+ γd(x1, F(x0, y0)) + d(x0, F(x0, y0)) + d(y1, y0)

2

= αe + βd(x1, x2) + d(x0, x1) + d(y1, y0)

2+ γd(x1, x1) + d(x0, x2) + d(y1, y0)

2

≤ αe + β e +β

2d(x1, x2)+ γd(x0, x1) + d(x1, x2) + d(y1, y0)

d(y1, y2) = d(F(y0, x0), F(y1, x1))

≤ αd(y0, y1) + d(x0, x1)

2+ βd(y0, y1) + d(y1, y2) + d(x0, x1)

2+ γd(y0, y2) + d(y1, y2) + d(x0, x1)

2

≤ (α + β + γ)e +β + γ

2 d(y1, y2)Suy ra

d(y1, y2) ≤ 2(α + β + γ)

2 − β − γ e= λ eChứng minh tương tự ta có với mọi n = 1, 2,

d(xn+1, xn) ≤ 2(α + β + γ)

2 − β − γ .

d(xn, xn−1) + d(y, yn−1)

2

= λd(xn, xn−1) + d(y, yn−1)

2và

d(xn, xm) ≤ λ

n

1 − λe C, ∀m > n > NVậy {xn} là dãy Cauchy Tương tự ta cũng có {yn} là dãy Cauchy

Vì (X , ≤, d) là không gian mêtric nón đầy đủ nên tồn tại x∗, y∗∈ X sao cho

xn→ x∗, yn→ x∗.Mặt khác, vì F liên tục nên

x∗= lim

n→∞xn= lim

n→∞F(xn−1, yn−1) = F(x∗, y∗)và

y∗= lim

n→∞yn= lim

n→∞F(yn−1, xn−1) = F(y∗, x∗)Vậy (x∗, y∗) là điểm bất động bộ đôi của F

Bây giờ, giả sử F không liên tục nhưng X có các tính chất a) và b)

Khi đó, vì {xn} là dãy tăng, xn → x∗ và {yn} là dãy giảm yn → y∗ nên ta có

xn≤ x∗ và yn≤ y∗ với mọi n ∈ N Khi đó, sử dụng (A1) ta có

d(F(x∗, y∗), xn) = d(F(x∗, y∗), F(xn−1, yn−1))

≤ αd(x∗, xn−1) + d(y∗, yn−1)

2+ βd(x∗, F(x∗, y∗)) + d(xn−1, xn) + d(y∗, yn−1)

2+ γd(x∗, xn) + d(xn−1, F(x∗, y∗)) + d(y∗, yn−1)

2

≤ αd(x∗, xn−1) + d(y∗, yn−1)

2+ βd(x∗, xn) + d(xn−1, xn) + d(y∗, yn−1)

2+ γd(x∗, xn) + d(xn−1, xn) + d(y∗, yn−1)

2+β + γ

2+ γd(x∗, xn) + d(xn−1, xn) + d(y∗, yn−1)

2Mặt khác, với mọi C ∈ intP, tồn tại N ∈ N sao cho mọi n > N thì

Vậy (x∗, y∗) là điểm bất động bộ đôi của F

1.3.5 Định lí ([5]) Giả sử các điều kiện của Định lý 1.3.4 được thỏa mãn Khi

đó, nếu x0, y0, so sánh được với nhau và 2α + β + 3γ < 2 thì x∗= y∗.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử x0 ≤ y0 Khi đó, từ tính đơnđiệu trộn của F suy ra xn≤ yn với mọi n = 0, 1, Do đó, ta có

d(yn, xn) =d(F(yn−1, xn−1), F(xn−1, yn−1))

≤ αd(xn, yn−1) + βd(xn−1, xn) + d(yn−1, yn) + d(xn−1, yn−1)

2+ γd(xn−1, yn) + d(yn−1, xn) + d(xn−1, yn−1)

2+ γd(xn−1, yn) + d(yn−1, xn)



α +β + γ

2

[d(xn−1, x∗) + d(y∗, yn−1)]



α +β

2 + γ

[d(xn−1, x∗) + d(y∗, yn−1)] + γd(y∗, yn) + d(x∗, xn)



α +β

2 + γ

[d(xn−1, x∗) + d(y∗, yn−1)]

+

h

1 +γ2i[d(y∗, yn) + d(x∗, xn)]