Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC VINH - - - - F -NGUYỄN THỊ THÙY LINH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh - 2016...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THÙY LINH

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG

CỦA CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THÙY LINH

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG

CỦA CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS ĐINH HUY HOÀNG

Vinh - 2016

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm nghiêncứu trong giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kỹ thuật.Nguyên lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtricđầy đủ của Banach (1922) là một trong những kết quả quan trọng đầu tiêntrong lý thuyết điểm bất động Kết quả này đã được mở rộng cho nhiều loạiánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau

Vào năm 1993, để mở rộng lớp các không gian mêtric, S Czerwik [4] đã đưa

ra khái niệm không gian b-mêtric và chứng minh một vài kết quả về sự tồn tạiđiểm bất động của ánh xạ co trong không gian b-mêtric Sau đó nhiều nhà toánhọc đã tìm cách mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong khônggian mêtric cho không gian b-mêtric Năm 2013, M Kir và H Kiziltunc [6] đãchứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Kannan và kiểuChatterjea trong không gian b-mêtric Mới đây (2014), Z Mustafa và các cộng

sự [8] đã mở rộng các kết quả của Kannan [5], Chatterjea [2], Choudhury [3],Moradi [7] và Razami, Parvaneh [9] về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ

co kiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trongkhông gian mêtric cho không gian b-mêtric Cũng vào năm 2014, A Aghajani

cùng các cộng sự [1] và R Roshan cùng các cộng sự [10] đã chứng minh một

số định lí về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian

b-mêtric Để tìm hiểu về không gianb-mêtric và lý thuyết điểm bất động, chúngtôi tiếp cận hướng nghiên cứu này với mục đích tìm kiếm các điều kiện đủ đểcho các ánh xạ trong không gianb-mêtric có điểm bất động chung.Với mục đích

đó, được sự hướng dẫn của thầy PGS-TS Đinh Huy Hoàng, tôi thực hiện đề tài

" Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co trong khônggian b-mêtric "

Nội dung luận văn chia làm 2 chương:

Chương 1: Không gian b-mêtric

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất

cơ bản của không gian b-mêtric

Chương 2: Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co suyrộng trong không gian b-mêtric

Trong chương này đầu tiên chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tạiđiểm bất động chung của hai ánh xạ T-co và T-co yếu suy rộng trong khônggian b-mêtric, đó là Định lí 2.1.1 và các Hệ quả 2.1.2, 2.1.4, 2.1.5 và Hệ quả2.1.7 Sau đó, chúng tôi đưa ra một định lí mới về sự tồn tại điểm bất độngchung của hai ánh xạ T-co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric đó là Định

lí 2.2.1 và các Hệ quả 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5

Luận văn này được thực hiện tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầygiáo, PGS TS Đinh Huy Hoàng Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và

lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng, người đã tậntình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong quá trình học tập và thực hiện đềtài Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạoSau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học Trường Đại học Vinh

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện đềtài Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo ở Khoa Sư phạm Toánhọc - Đại học Vinh đã giảng dạy giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng nhưquá trình thực hiện đề tài Tôi cũng xin cảm ơn các tác giả những bài báo,bài viết mà chúng tôi đã tham khảo sử dụng trong luận văn Cuối cùng, tôixin cảm ơn bố mẹ, anh chị em và những người thân cũng như bạn bè, đồngnghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài

Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã cố gắng, nỗ lực nhiều Tuy nhiên

do điều kiện và năng lực nghiên cứu còn hạn chế nên chắc chắn luận văn khótránh khỏi những thiếu sót về nội dung lẫn cách trình bày Vì vậy, tôi rất mongđược sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh hơn

Vinh, tháng 07 năm 2016

Tác giảNguyễn Thị Thùy Linh

Chương 1

KHÔNG GIAN b - MÊTRIC

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian

b-mêtric làm cơ sở cho việc trình bày chương 2

Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và được

kí hiệu bởi (X, d) hoặc X

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {xn} là dãy số thực bị chặn Khi đó, tồn tại

inf

n sup{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R và sup

n

inf{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R Ta gọiinf

n→∞

xn =+∞ (tương ứng, lim inf

Chú ý Trong tài liệu này ta viết ∞ thay cho +∞

1.1.3 Bổ đề ([1]) Với mọi dãy số thực {xn}, ta có

là dãy bị chặn trong R Khi đó, ta có

2) lim inf

n→∞ f (xn) ≥ f (lim inf

n→∞ xn).Chứng minh 1) Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, } Khi đó,

1.1.6 Định nghĩa Hàm ψ : [0, ∞) → [0, ∞) được gọi là hàm chuyển đổikhoảng cách nếu

1 Ánh xạ f : X → X được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea nếu

1.2 Không gian b-mêtric

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chấtcủa không gian b-mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sửX là tập hợp khác rỗng và số thực s ≥ 1 Hàm

d : X × X −→ [0, ∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X, ta có1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) d(x, y) = d(y, x);

3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác)

Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với hệ số

s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X

Chú ý 1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểu hệ sốcủa nó là s ≥ 1

2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng,không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi s = 1

Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơnlớp các không gian mêtric

1.2.2 Ví dụ 1) ([10]) Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric và d : X x X −→[0, ∞) là hàm được cho bởi

d(x, y) = (ρ(x, y))2 ∀x, y ∈ X

Khi đó, d là b-mêtric với s = 2

2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm

2 [d(x, z) + d(z, y)] với mọi x, y, z ∈ X Do đó, (X, d) là

không gian b-mêtric với tham số s = m

2 ≥ 1.Tuy nhiên, khi m > 2 thì bất đẳng thức tam giác thông thường không cònđúng và vì thế (X, d) không phải là không gian mêtric

1.2.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử {xn} là dãy trong không gian b-mêtric (X, d).Dãy {xn} được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí hiệubởi xn → x hoặc lim

n→∞xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

d(xn, x) < ε với mọi n ≥ n0 Nói cách khác,xn → x khi và chỉ khi d(xn, x) → 0

khi n → ∞

Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0

sao cho d(xn, xm) < ε với mọi n, m ≥ n0

Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đềuhội tụ

1.2.4 Bổ đề Giả sử {xn} là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và xn →

2) Giả sử xn → x và xn → y Khi đó, d(xn, x) → 0 và d(xn, y) → 0 khi

n → ∞ Theo bất đẳng thức tam giác, ta có

d(x, y) ≤ s[d(xn, x) + d(xn, y)] ∀n = 1, 2,

1.2.5 Bổ đề ([2]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric với hệ số s ≥ 1 và

{xn}, {yn} là hai dãy trong X hội tụ tới x, y tương ứng Khi đó

Đặc biết, nếu x = y thì lim

n→∞d(xn, yn) = 0 Hơn nữa, với mọi z ∈ X ta có

n→∞ d(yn, y) = lim sup

n→∞

d(yn, y) = lim

n→∞d(yn, y) = 0

Do đó, lấy lim inf

n→∞ hai vế của (1.2), ta được

1.2.6 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X −→ X.1) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu mọi dãy {xn} trong X mà xn → x ta

có f xn → f x

Ở đây và sau này ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X

2) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn} trong X mà {f xn}

hội tụ thì dãy {xn} hội tụ

3) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy con nếu với mọi dãy {xn} trong X mà

{f xn} hội tụ suy ra tồn tại dãy con {xnk} của {xn} mà {xnk} hội tụ.4) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x

Chương 2

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b - MÊTRIC

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểmbất động chung của các ánh xạ T-co và T-co yếu suy rộng trong không gian

2.1.1 Định lí Giả sử (X, d)là không gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s ≥ 1; T, f

và g : X → X là ba ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Tồn tại các hằng số không âm α1, α2, α3 sao cho:

với mọi x, y ∈ X.

(ii) T đơn ánh và có một trong các tính chất:

(a) T liên tục và hội tụ dãy con,

(2.3)

s ta cód(yn, yn+p) ≤ sd(yn, yn+1) + s2d(yn+1, yn+2)

Vì λ ∈ [0, 1) nên vế phải của (2.6) hội tụ tới 0 khi n → ∞ Từ đó suy ra

{yn} là dãy Cauchy Vì (X, d) là không gian đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho

lim

n→∞yn = y, tức là lim

n→∞T xn = y

(a) Giả sử T liên tục và hội tụ dãy con Khi đó, vì T xn → y và T là ánh

xạ hội tụ dãy con nên tồn tại dãy con {xnk} của {xn} sao cho xnk → x ∈ X

Vì T liên tục nên T xnk → T x Kết hợp với T xn → y suy ra y = T x

(b) Giả sử T (X) đóng trong X Khi đó, vì T xn → y nên y ∈ T (X) Do đótồn tại x ∈ X sao cho y = T x

(c) Giả sử T toàn ánh Khi đó, từ y ∈ X suy ra tồn tại x ∈ X sao cho

y = T x

Bây giờ, ta chứng minh x = f x = gx Theo bất đẳng thức tam giác ta có

d(y, T f x) = d(T x, T f x) ≤ sd(y, y2n+2) + sd(y2n+2, T f x)

= sd(y, y2n+2) + sd(T f x, T gx2n+1)

≤ sd(y, yn+2) + s2α1d(T x, y2n+1) + sα2(d(T x, y2n+2+ d(y2n+1, T f x))

+ s2α3(d(T x, T f x) + d(y2n+1, y2n+2))

≤ sd(y, yn+2) + s2α1d(y, y2n+1) + sα2(d(y, y2n+2) + sd(y2n+1, y)

+ sd(y, T f x)) + s2α3(d(y, T f x) + d(y2n+1, y2n+2))

(2.7)với mọi n = 1, 2,

Vì yn → y nên từ Định nghĩa 1.2.3 và Bổ đề 1.2.4 suy ra vế phải của (2.7) hội

tụ tới s2(α2 + α3)d(y, T f x) Từ đó suy ra

d(y, T f x) ≤ s2(α2 + α3)d(y, T f x) (2.8)Mặt khác, từ (2.1) ta có

Tương tự ta chứng minh được x = gx Vậy x là điểm bất động chung của f và

Như vậy T x cũng là một điểm bất động chung của f và g Do đó T x = x =

f x = gx.Vậy xlà điểm bất động chung duy nhất củaT, f vàg Sau đây là một vài hệ quả của Định lí 2.1.1

Trong Định lí 2.1.1, lấy s = 1 ta nhận được Hệ quả sau

2.1.2 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ; T, f và g : X → X

là ba ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Tồn tại các hằng số không âm α1, α2, α3 sao cho:

α1 + 2(α2 + α3) < 1,d(T f x, T gy) ≤ α1d(T x, T y) + α2(d(T x, T gy) + d(T y, T f x))

+ α3(d(T x, T f x) + d(T y, T f y))

với mọi x, y ∈ X.

(ii) T đơn ánh và có một trong các tính chất:

(a) T liên tục và hội tụ dãy con,

2.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X → X Ánh

xạ f được gọi là co kiểu Banach nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho

d(dx, dy) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X

Khi đó, α được gọi là hằng số co của f

2.1.4 Hệ quả ([8]) Giả sử(X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ và f : X → X

là ánh xạ co kiểu Banach với hằng số co α Khi đó, nếu α < 1

s thì f có điểm

bất động duy nhất x∗ và fnx0 → x∗ với mọi x0 ∈ X

Chứng minh Trong Định lí 2.1.1, lấy α1 = α

s, α2 = α3 = 0, f = g và T là

ánh xạ đồng nhất trên X, tức T x = x với mọi x ∈ X Khi đó, ta có

sα1 + (α2 + α3)(s + 1) = α < 1

s

d(T f x, T gy) = d(f x, f y) ≤ αd(x, y) = α1sd(T x, T y)

với mọi x, y ∈ X Như vậy điều kiện (i) của Định lí 2.1.1 được thỏa mãn Tacũng dễ dàng kiểm tra được các điều kiện còn lại của Định lí 2.1.1 cũng đượcthỏa mãn Do đó áp dụng Định lí 2.1.1 ta có điều phải chứng minh 2.1.5 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s ≥ 1; f

và g : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn

Tồn tại các hằng số không âm α1, α2, α3 sao cho:

sα1 + (s + 1)(α2 + α3) < 1

s,d(f x, gy) ≤ α1sd(x, y) + α2(d(x, gy) + d(y, f x))

2.1.6 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian mêtric và f : X → X

1) ([6]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ [0, 1

2) sao chod(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)], ∀x, y ∈ X

2) ([4]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ [0, 1

2) sao chod(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)], ∀x, y ∈ X

2.1.7 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Khi đó,

1) ([6]) Nếu f : X → X là ánh xạ co kiểu Kannan thì f có điểm bất động duynhất

2) ([4]) Nếu f : X → X là ánh xạ co kiểu Chatterjea thì f có điểm bất độngduy nhất

Chứng minh Khẳng định 1) được suy ra từ Hệ quả 2.1.5 với việc lấy s =

1, g = f, α1 = α2 = 0, α3 = α

Khẳng định 2) được suy ra từ Hệ quả 2.1.5 với việc lấy s = 1, g = f, α1 = α3 =

T −co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric

Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất độngchung của hai ánh xạ T −co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric

2.2.1 Định lí Giả sử (X, d)là không gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s ≥ 1; T, f

và g : X → X là ba ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Tồn tại ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ và các hằng số không âm α1, α2, α3, α4 sao cho

ψ d(T f x, T gy) ≤ ψ max {α1sd(T x, T y), α2d(T x, T gy) + α3d(T y, T f x),

α4s(d(T x, T f x) + d(T y, T f y))}

− ϕ α1d(T x, T y), α2d(T x, T gy), α3d(T y, T f x),

α4d(T x, T f x), α4d(T y, T gy)

với mọi x, y ∈ X

(ii) T đơn ánh và có một trong các tính chất:

(a) T liên tục và hội tụ dãy con,

Với mỗi n = 0, 1, ta có

ψ d(y2n+1, y2n+2)
= ψ d(T f x2n, T gx2n+1)

≤ ψ max {α1sd(y2n, y2n+1), α2d(y2n, y2n+2) + α3d(y2n+1, y2n+1),

α4s(d(y2n, y2n+1) + d(y2n+1, y2n+2))}

− ϕ(α1d(y2n, y2n+1), α2d(y2n, y2n+2), 0, α4d(y2n, y2n+1), α4d(y2n+1, y2n+2))

≤ ψ max {α1sd(y2n, y2n+1), α2s(d(y2n, y2n+1) + d(y2n+1, y2n+2)),

ψ d(y2n+1, y2n+2)
≤ ψ d(y2n+1, y2n+2)
− ϕ α1d(y2n, y2n+1), α2d(y2n, y2n+2),

Nếu α4 6= 0 thì d(y2n+1, y2n+2) = 0 Điều này mâu thuẫn với (2.10).

Giả sử α4 = 0 Khi đó, nếu α2 6= 0 thì d(y2n+2, y2n) = 0 và bất đẳng thức đầutiên trong (2.9) trở thành

ψ d(y2n+1, y2n+2)
≤ ψ α1sd(y2n, y2n+1)

Bất đẳng thức này cũng là một điều mâu thuẫn với (2.10) vì α1s ≤ 1 Nếu

α4 = α2 = 0 thì tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn Như vậy (2.10)không thể xảy ra Do đó

Nếu một trong các số α1, α2, α4 khác không thì r = 0

Nếu α1 = α2 = α4 = 0 thì từ bất đẳng thức đầu tiên trong (2.9) ta có

ψ(r) ≤ ψ(0) Do đó r = 0 Vậy

lim

n→∞d(yn, yn+1) = 0 (2.13)

Tiếp theo, ta chứng minh {yn} là dãy Cauchy Vì (2.13) nên chỉ cần chứngminh {y2n} là dãy Cauchy Giả sử {y2n} không là dãy Cauchy Khi đó, tồn tại

ε > 0 sao cho có thể tìm được hai dãy con {y2nk} và {y2mk} của {y2n} sao cho

d(y2nk−1, y2mk−1) ≤ sd(y2nk−1, y2nk−2) + sd(y2nk−2, y2mk−1)

Sử dụng (2.14) và bất đẳng thức tam giác ta có

ε ≤ d(y2nk, y2mk) ≤ s[d(y2nk, y2nk−1) + d(y2nk−1, y2mk)]

Vì ψ là hàm tăng nên từ bất đẳng thức này suy ra

ψ ε

s − d(y2nk, y2nk−1)
≤ ψ d(T f x2nk−2, T gx2mk−1)

≤ ψ max {α1sd(y2nk−2, y2mk−1), α2d(y2nk−2, y2mk)

+α3d(y2mk−1, y2nk−1), α4s d(y2nk−2, y2nk−1) + d(y2mk−1, y2mk)

− ϕ α1d(y2nk−2, y2mk−1), α2d(y2nk−2, y2mk), α3d(y2mk−1, y2nk−1),

α4d(y2nk−2, y2nk−1), α4d(y2mk−1, y2mk)

Cho k → ∞, sử dụng các tính chất của các hàm ψ, ϕ và các bất đẳng thức(2.15), (2.16), (2.17)ta có

Khi đó, theo (2.14) và bất đẳng thức tam giác ta có

ε ≤ d(y2nk, y2mk) ≤ sd(y2nk, y2nk−2) + sd(y2nk−2, y2mk)

≤ s2d(y2nk, y2nk−1) + s2d(y2nk−1, y2nk−2) + sd(y2nk−2, y2mk)

Cho k → ∞ ta được

ε

s ≤ lim inf

k→∞ d(y2nk−2, y2mk) (2.21)

Vì α2 6= 0 nên từ (2.20) suy ra lim inf

k→∞ d(y2nk−2, y2mk) = 0 Điều này mâu thuẫnvới (2.21)

Giả sử α1 6= 0 Khi đó, từ (2.20) suy ra lim inf

Ta lại có một điều mâu thuẫn Từ đây suy ra {y2n} là dãy Cauchy Do đó {yn}

là dãy Cauchy Vì X là không gian đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho yn → y,tức T xn → y

(a) Giả sử T liên tục và hội tụ dãy con Khi đó, vì T xn → y và T là ánh

xạ hội tụ dãy con nên tồn tại dãy con {xnk} của {xn} sao cho xnk → x ∈ X

Vì T liên tục nên T xnk → T x Kết hợp với T xn → y suy ra y = T x

(b) Giả sử T (X) đóng trong X Khi đó, vì T xn → y nên y ∈ T (X) Do đótồn tại x ∈ X sao cho y = T x

(c) Giả sử T toàn ánh Khi đó, từ y ∈ X suy ra tồn tại x ∈ X sao cho

y = T x