Phần 1 khối đa diện, phép biến hình trong không gian file word image marked

Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện gọi tắt là đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau: + Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc khôn

Trang 1

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I: KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

1 Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa

mãn hai điều kiện sau:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc

có một cạnh chung

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

2 Khái niệm về khối đa diện

• Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa

diện đó

+ Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện

+ Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện

ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong

của khối đa diện

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài,…của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài,…của hình đa diện tương ứng

• Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ

Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp

Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt

Tương tự ta có các định nghĩa về khối chóp n-giác, khối chóp cụt n-giác, khối chóp đều, khối hộp…

• Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó

Trang 2

Ví dụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’ ta có khối lăng trụ ngũ giác ABCDE A’B’C’D’E’; với hình chóp tứ giác đều S.ABCD ta có khối chóp tứ giác đều S.ABCD;…

II: PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN\

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H 1 ), (H 2 ) sao cho (H 1 ) và (H 2 ) không

có điểm trong chung thì ta nói có thể phân chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H 1)

và (H 2 ) Khi đó, ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) để được khối đa diện (H)

Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện:

Ví dụ 1: Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp

tam giác S.ABC và S.ACD ta thấy rằng:

+ Hai khối chớp S.ABC và s.ACD không có điểm trong

chung (tức là không tồn tại điểm chung trong của khối chóp này

và là điểm trong chung của khối kia và ngược lại)

+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối

chóp S.ABCD

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp S.ABC và S.ACD hay hai khối chóp S.ABC và S.ACD được ghép lại thành khối chóp S.ABCD

Ví dụ 2:

+ Cắt khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng (A’BC)

Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện

A’ABC và A’BCC’B’

+ Nếu ta cắt khối chóp A’BCC’B’ bởi mặt phẳng

(A’B’C’) thì ta chia khối chóp A’ BCC’B’ thành hai khối

chóp A’BCB’ và A’CC’B’

Như vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối tứ diện A’ABC, A’BCB’, và A’CC’B’

Nhận xét: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện

Ví dụ 3: với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta có thể phân chia thành 5 khối tứ diện sau:

+ DA’D’C’

+ A’ABD

Trang 3

+ C’BCD

+ BA’B’C’

+ BDC’A’

B MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

➢ Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt

➢ Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

➢ Kết quả 3: Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh Nếu số

mặt của (H) là lẻ thì p phải có số chẵn

Chứng minh: Gọi m là số các mặt của khối đa diện (H) vì mỗi mặt của (H) có p

cạnh nên m mặt sẽ có pm cạnh Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa

giác nên số cạnh của (H) bằng

2

pm

c = Vì m lẻ nên p phải là số chẵn

➢ Kết quả 4 (Suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho (H) là đa diện có m mặt, mà các

mặt của nó là những đa giác co p cạnh Khi đó số cạnh của (H) là

Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là c và m

Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh

của đa diện là 3

Một số khối đa diện có đặc điểm như trên mà có số mặt bằng 4, 6, 8, 10:

+ Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác

+ Xét tam giác BCD và hai điểm A, E ở về hai phía của mặt phẳng (BCD) Khi đó ta

có khối lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác

+ Khối bát diện ABCDE có 8 mặt là các tam giác

+ Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M, N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác Khi đó khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác

➢ Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối

tứ diện

➢ Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

➢ Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải

là số chẵn

Trang 4

Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn

➢ Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

➢ Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

➢ Kết quả 11: Với mỗi số nguyên k ≥ 3 luôn tồn tại một hình đa diện có 2k cạnh

➢ Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k ≥ 4 luôn tồn tại một hình đa diện có 2k + 1 cạnh

➢ Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có:

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh;

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh

➢ Kết quả 14: tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều

Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của tứ diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện H có 6 mặt là tam giác đều Ghép thêm vào H một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện H có 8 mặt là các tam giác đều Bằng cách như vậy, ta được khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều

VẤN ĐỀ 2: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

I: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định được một

điểm M’ duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Ta còn nói F biến điểm M thành điểm M’ và kí hiệu M’ = F(M)

Qua phép biến hình F, mỗi hình (H) được biến thành hình (H’) gồm tất cả các ảnh của các điểm thuộc hình (H)

I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC HÌNH

Trang 5

1 Định nghĩa phép dời hình

Phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN

Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt

phẳng,…

2 Các phép dời hình trong không gian thường gặp

a Phép đối xứng qua mặt phẳng

Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến

hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi

điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt

phẳng trung trục của đoạn MM’

Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp (P) biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’

Ví dụ 1: Mọi mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S) đều là mặt

phẳng đối xứng của mặt cầu (S)

Ví dụ 2: Hình tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng đó là

các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện

Chẳng hạn: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh

CD Khi đó ta có (ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều

Trang 6

c Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực đoạn MM’

d Phép đối xứng tâm

cho điểm O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM+OM'= 0

3 Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình (H) và (H’) gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Khi đó:

+ Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau

(vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A’B’C’D’ biến

thành hình chóp C’.ABCD)

+ Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’

bằng nhau (Qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì

hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ

AA’D’.BB’C’)

Định lý: Hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng

nhau, nghĩa là:

AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’, AC = A’C’, BD = B’D’

III PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

1 Phép vị tự trong không gian

a Định nghĩa

Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M’ thỏa mãn: OM'=kOMđược gọi là phép vị tự Điểm O gọi là tâm vị

tự, số k được gọi là tỉ số vị tự

Trang 7

➢ Kết quả 1: Phép biến hình biến mỗi điểm M của không gian thành chính nó gọi là

phép đồng nhất, thường được kí hiệu là e Phép đồng nhất e là một phép dời hình

➢ Kết quả 2: Phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính

➢ Kết quả 3: Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f biến A thành A, biến B

thành B Khi đó f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó

➢ Kết quả 4: Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó

với f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C Khi đó, f biến mọi điểm M của mặt phẳng (ABC) thành chính nó, tức là f(M) = M

➢ Kết quả 5: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q)

là một phép tịnh tiến

Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho AB ⊥ (P) Khi đó, thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) thì kết quả là phép tịnh tiến theo vecto v=2AB

Trang 8

➢ Kết quả 6: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q))

➢ Kết quả 7: phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc

trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó

➢ Kết quả 8: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ 1 và phép vị tự V’ tâm O’ tỉ số k’ Khi đó

nếu k.k’ = 1 thì hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến

➢ Kết quả 9: Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng

AB//A’B’, AC//A’C’, AD//A’D’, CB//C’B’, BD//B’D’, DC//D’C’

Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng

➢ Kết quả 12: Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng tỉ lệ, tức

Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng

VẤN ĐỀ 3: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

1: Khối đa diện lồi

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kỳ hai điểm A và B nào của nó thì mọi

điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó

Trang 9

2: Khối đa diện đều

a Định nghĩa

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

+ Các mặt là những đa giác đều n cạnh

+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện loại {n, p}

b Định lí

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3}, loại {3;5}

Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều

3: Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

Chú ý: giả sử khối đa diện đều loại {n;p} có D đỉnh, C cạnh và M mặt

Khí đó: pD = 2C = nM

B MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

➢ Kết quả 1: Cho một khối tứ diện đều Khi đó:

+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;

+ Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều)

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Trang 10

➢ Kết quả 2: Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát

diện đều

➢ Kết quả 3: Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập

phương

➢ Kết quả 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu

chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó Đoạn thẳng nối hai đỉnh đồi diện gọi

là đường chéo của khối bát diện đều Khi đó:

+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;

+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;

+ Ba đường chéo bằng nhau

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM “PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN”

Câu 1:

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là

A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d)

Câu 2:

Trang 11

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là

Trang 12

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là

A hình (a) B hình (b) C hình (c) D hình (d)

Câu 6: Trong các mặt của khối đa diện, số cạnh cùng thuộc một mặt tối thiểu là

Câu 7: Khối đa diện đều loại  5;3 có tên gọi là:

A khối lập phương B khối bát diện đều

C khối hai mươi mặt đều D khối mười hai mặt đều

Câu 8: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại  4;3 là

Trang 13

Câu 19: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đều loại  4;3 cạnh a bằng:

Câu 25: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều

B Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều

C Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều

D Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều

Câu 26: Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Câu 30: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Số đỉnh và số mặt của mọi hình đa diện luôn bằng nhau

B Số đỉnh của mọi hình đa diện luôn lớn hơn 4

C Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp 2 lần số đỉnh

D Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 6

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	772,24 KB