Về các định lý điểm bất động cặp đôi trong không gian 2 mêtric

6 2 Về các định lý điểm bất động cặp đôi trong không 2.1 Các định lí về điểm bất động cặp đôi cho các ánh xạ trong không gian mêtric có thứ tự.. 132.2 Định lý điểm bất động cặp đôi cho c

KHOA TOÁN HỌC

ĐINH BÍCH YẾN

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CẶP ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN

2-MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

VINH, 2012

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 51.2 Không gian 2-mêtric 6

2 Về các định lý điểm bất động cặp đôi trong không

2.1 Các định lí về điểm bất động cặp đôi cho các ánh xạ

trong không gian mêtric có thứ tự 132.2 Định lý điểm bất động cặp đôi cho các ánh xạ trong

không gian 2-mêtric có thứ tự 18

MỞ ĐẦU

Không gian 2-mêtric được Ghaler xây dựng năm 1963 (xem [6]), một

ví dụ cơ bản về 2-mêtric là diện tích tam giác nối ba điểm trong mặtphẳng R2 Không gian 2-mêtric không có cấu trúc tôpô, nhưng sự hội

tụ của dãy cũng được xây dựng tương tự như không gian mêtric Từ đó,người ta có thể nghiên cứu được nhiều tính chất giải tích khá phong phútrên không gian 2-mêtric Ngày nay, lý thuyết về không gian 2-mêtric

đã phát triển khá hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong một số lĩnhvực của toán giải tích (xem [10]) Một trong những hướng nghiên cứunhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học là các định lý điểmbất động đối với các ánh xạ trên không gian 2-mêtric (xem [5],[7], [9],[11]) Các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trên không gian2-mêtric hầu hết được phát triển và tương tự từ các kết quả đã có trênkhông gian mêtric Năm 2006 G.T Bhaskar and V Lakshmikantham(xem [3]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động cặp đôi và chứng minh

sự tồn tại của loại điểm này đối với một số lớp ánh xạ trên không gianmêtric có thứ tự Các vấn đề về sự tồn tại điểm bất động cặp đôi củacác ánh xạ đang nhận được sự quan tâm của nhiều chuyên gia tronggiải tích hàm bởi tính triển vọng trong ứng dụng của chúng (xem [10]).Các vấn đề về sự tồn tại điểm bất động cặp đôi của các ánh xạ trongkhông gian 2-mêtric là chưa được nghiên cứu thấu đáo Với mục địchtập dượt nghiên cứu khoa học và nghiên cứu sự tồn tại điểm cặp đôitrong không gian 2-mêtric có thứ tự, chúng tôi lựa chọn đề tài sau chokhóa luận: Về các định lý điểm bất động cặp đôi trong không gian2-mêtric

Nội dung của khóa luận được trình bày trong 2 chương

Chương 1 Không gian 2-mêtric

Nội dung của chương này trình bày các kiến thức cơ sở về không gianmêtric, không gian 2-mêtric

Chương 2 Về các định lý điểm bất động cặp đôi trong không gian2-mêtric

Nội dung của chương này trình bày một số kết quả về định lý điểm bất

động cặp đôi đối với các ánh xạ trong không gian mêtric có thứ tự vàkhông gian 2-mêtric thứ tự Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày một sốđịnh lý về sự tồn tại điểm cặp đôi của ánh xạ trong không gian mêtriccủa G T Bhaskar và V Lakshmilantham Mục 2.2 chúng tôi đưa ramột số định lý điểm bất động cặp đôi đối với các ánh xạ trên khônggian 2-mêtric thứ tự.

Khóa luận được thực hiện tại Khoa Toán học - Trường Đại học Vinhdưới sự hướng dẫn chu đáo, tận tình của Thầy giáo TS Kiều PhươngChi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến với Thầy Đồngthời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy

cô giáo trong khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trìnhhọc tập Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới người thân, các bạn sinhviên 49A - Toán và tất cả bạn bè đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóaluận Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình của tác giả

đã luôn “sát cánh” bên tác giả để tác giả yên tâm học tập Mặc dù đã córất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những lờichỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để khóaluận hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 5 năm 2012

Đinh Bích Yến

Chương 1

Không gian 2-mêtric

Nội dung của chương này trình bày các kiến thức cơ sở về không gianmêtric, không gian 2-mêtric

Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian mêtric vàtập sắp thứ tự

1.1.1 Định nghĩa

Cho X là một tập khác rỗng Hàm d : X × X → R được gọi là một

mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1 d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

2 d(x, y) = d(y, x); với mọi x, y thuộc X

3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z); với mọi x, y, z thuộc X

Khi đó (X, d) được gọi là không gian mêtric

1.1.2 Định nghĩa

Cho (X, d) là không gian mêtric Dãy {xn} ∈ X được gọi là hội tụtới x ∈ X và kí hiệu là xn → x (x được gọi là giới hạn của dãy {xn}),nếu

lim

n→∞d(xn, x) = 0

Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất

Cho (X, d) và (Y, ρ) là các không gian mêtric, và ánh xạ f : X → Y.

1 Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {xn} ∈ X mà

Một tập sắp thứ tự là một tập X khác rỗng và một quan hệ hai ngôi

“ ≤”; kí hiệu là (X, ≤) sao cho với mọi a, b, c ∈ X ta có

1 a ≤ a; (tính phản xạ)

2 Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b; (Tính phản đối xứng)

3 Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c (Tính bắc cầu)

Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2- mêtric

1.2.1 Định nghĩa.

Cho X là một tập gồm ít nhất 3 điểm Một 2-mêtric trên X là mộtánh xạ:

ρ : X × X × X → R

thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a 6= b, tồn tại một điểm c nào đóthuộc X thỏa mãn

ρ(a, b, c) 6= 0

Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0

2 ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b); ∀a, b, c ∈ X

3 ρ(a, b, c) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X

Khi đó X được gọi là một không gian 2-mêtric

1.2.2 Chú ý

Dễ dàng thấy ρ không âm Thật vậy, trong 3 cho a = c ta được

ρ(a, b, a) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, a, d) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X

2 ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y); ∀x, y, z ∈ X.

3 Bất đẳng thức ρ(x, y, z) ≤ ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(y, z, t) luônđúng ∀x, y, z, t ∈ X

1.2.4 Ví dụ

(R2, ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diện tích tamgiác tạo bởi 3 đỉnh x, y, z ∈ R2 Thật vậy, xét ánh xạ:

ρ :R2 ×R2 ×R2 → R(A, B, C) 7→ SABC

1 Lấy (A, B) ∈ R2×R2 là hai điểm phân biệt Khi đó: ∃C ∈ R2 saocho A, B, C không thẳng hàng thì:

Trường hợp 1: Nếu SABC = 0 thì hiển nhiên

0 = SABC ≤ SABD + SACD + SBCD, ∀D ∈ R2

Trường hợp2: Nếu SABC > 0: Lấy D bất kỳ, D ∈ R2, có 3 khảnăng sau xảy ra:

KN1: D không nằm miền ngoài tam giácABC (D nằm miền tronghoặc nằm trên các cạnh, Hình 1) thì

SABC = SABD + SACD + SBCD

KN2: D nằm ở miền (1),(3),(5) như Hình 2.Không mất tính tổngquát, giả sử D ∈ miền (1) Khi đó

SABC = SCBD − SCDA − SBAD < SABD + SACD + SBCD

KN3: D nằm trên miền (2), (4), (6), và biên như Hình 3 Khôngmất tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (2) Khi đó

SABC = SABD + SACD− SBCD < SABD + SACD + SBCD

Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric

Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric Khi đó

1 Nếu dãy {xn} hội tụ tới x ∈ X và xn ⊂ X hội tụ tới y thì x = y

2 Nếu dãy {xn} hội tụ tới x ∈ X thì mọi dãy con của nó cũng hội

2 Giả sử dãy {xn} hội tụ tới x trong không gian 2-mêtric (X, ρ) và

{xnk} hội tụ tới x trong không gian 2-mêtric (X, ρ) và {xnk} ⊂{xn} Ta chứng minh

Thật vậy, do {xnk}là dãy con của dãy {xn}nên ta có thể chọn cáchđánh số sao cho nk > k, ∀k ∈ N Vì xn → x nên: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N :

Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric Nếu {xn} ⊂ X hội tụ tới

x thì ρ(xn, a, b) → ρ(x, a, b) khi n → ∞, với mọi a, b ∈ X

Chứng minh Giả sửxn hội tụ tớix Khi đóρ(xn, x, a) → 0khin → ∞

với mọi a ∈ X Với mọi a, b ∈ X ta có

ρ(xn, a, b) ≤ ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) + ρ(x, a, b)

⇔ ρ(xn, a, b) − ρ(x, a, b) ≤ ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) (1.1)Tương tự ta có

1.2.9 Nhận xét.

Sử dụng Mệnh đề 1.2.7 ta dễ dàng chứng minh được dãy hội tụtrong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy Thật vậy, giả sử xn hội tụtới x ∈ X, ta luôn có

(R2, ρ), trong đó ρ(x, y, z) là diện tích tam giác với các đỉnh x, y, z

là không gian 2-mêtric đầy đủ

Chứng minh Gọi ρ1 là mêtric khoảng cách trong mặt phẳng Giả sử

theo mêtric ρ1 Khi đó, dễ dàng kiểm tra được xn → x theo 2-mêtric

ρ Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ

1.2.12 Định nghĩa

Cho (X, ρ), (Y, d) là các không gian 2-mêtric

1 Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy

{xn} ⊂ X hội tụ tới x thì dãy f (xn) hội tụ tới f (x) trong Y

2 Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi

x ∈ X

Trong định nghĩa trên ta có thể thay (Y, d) là không gian mêtric

Chương 2

Về các định lý điểm bất động cặp đôi trong không gian 2-mêtric có thứ tự

Nội dung của chương này trình bày một số kết quả về định lý điểmbất động cặp đôi đối với các ánh xạ trong không gian mêtric có thứ tự

và không gian 2-mêtric thứ tự

trong không gian mêtric có thứ tự

Chúng tôi trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm cặp đôi của ánh

xạ trong không gian mêtric của G T Bhaskar và V Lakshmilantham([3])

2.1.1 Định nghĩa.(Bhaskar and Lakshmikantham )

Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự và ánh xạ F : X × X → X Ánh xạ

F được gọi là có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) nếu

F là đơn điệu không giảm theo biến thứ nhất và đơn điệu không tăngtheo biến thứ hai Nghĩa là, với x, y bất kì thuộc X ta có

x1, x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1, y) ≤ F (x2, y);

và y1, y2 ∈ X; y1 ≤ y2 ⇒ F (x, y1) ≥ F (x, y2)

2.1.2 Ví dụ

Cho X = [0, 1], trong X xét mối quan hệ x  y ⇔ x, y ∈ {0, 1} và

x ≤ y, với “≤ ” là quan hệ thứ tự thông thường, ta dễ thấy (X, ) là

2.1.5 Định lý (Bhaskar and Lakshmikantham )

Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự, d là một mêtric trong X sao cho

(X, d) là không gian mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X là ánh xạliên tục, có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) trong X.Giả sử tồn tại một số k ∈ [0, 1) sao cho

Như vậy, (2.1) và (2.2) đã được chứng minh.

Từ đó ta suy ra {Fn(x0, y0)} và {Fn(y0, x0)} là dãy Cauchy trong X.Thật vậy, với m > n, từ tính chất của mêtric suy ra

Vậy {Fn(x0, y0)} là dãy Cauchy trong X

Tương tự {Fn(y0, x0)} là dãy Cauchy trong X

Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại x, y ∈ X sao cho

Trong Định lý 2.1.5 ánh xạ F không nhất thiết phải liên tục mà ta

bổ sung thêm tính chất cho không gian mêtric X thì kết quả của định

lý vẫn đúng

2.1.6 Định lý (Bhaskar and Lakshmikantham )

Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự, d là một mêtric trong X sao cho

(X, d) là không gian mêtric đầy đủ, và X có tính chất sau:

1 Nếu một dãy không giảm {xn} → x thì xn ≤ x, ∀n

2 Nếu một dãy không tăng {yn} → y thì y ≤ yn, ∀n

Cho F : X × X → X là ánh xạ có tính chất đơn điệu pha trộn(mixed monotone) trong X Giả sử tồn tại một số k ∈ [0, 1) sao cho

d(F (x, y), F (u, v)) ≤ k

2[d(x, u)+d(y, v)], với mỗi x ≥ u, y ≤ v

Nếu tồn tại x0, y0 ∈ X mà

x0 ≤ F (x0, y0) và y ≥ F (x0, y0)

thì tồn tại x, y ∈ X sao cho

x = F (x, y) và y = F (y, x)

Chứng minh Từ những kết quả chứng minh của Định lý 2.1.1, bây giờ

ta chỉ cần chứng minh F (x, y) = x và F (y, x) = y Thật vậy

không gian 2-mêtric có thứ tự

Trong mục này, chúng tôi xây dựng các định lý điểm bất động cặpđôi cho các ánh xạ trong không gian 2-mêtric có thứ tự Không gian2-mêtric X được gọi là không gian 2-mêtric có thứ tự nếu X là tậpsắp thứ tự Không gian (R2, ρ) được giới thiệu trong chương trước làkhông gian 2-mêtric thứ tự, trong đó quan hệ thứ tự trên R2 được chobởi (x, y) ≤ (u, v) nếu và chỉ nếu x ≤ u và y ≤ v

2.2.1 Định lý

Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự, ρ là một 2-mêtric trên X sao cho

(X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X là một

ánh xạ liên tục và có tính chất đơn điệu pha trộn trên X Giả sửtồn tại một số k ∈ [0, 1) sao cho

ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ k

2[ρ(x, u, a) + ρ(y, v, a)]

với mọi x ≥ u và y ≤ v và với mọi a thuộc X Khi đó, nếu tồn tại

x0, y0 thuộc X sao cho x0 ≤ F (x0, y0); y0 ≥ F (y0, x0) thì tồn tại x, y

thuộc X sao cho x = F (x, y) và y = F (y, x)

với mọi a ∈ X Do đó {Fn(x0, y0)} là dãy Cauchy trong X Tương tự

{Fn(y0, x0)} là dãy Cauchy trong X

Vì (X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ, nên tồn tại x, y ∈ X sao cho

Vậy F (x, y) = x Hoàn toàn tương tự ta có F (y, x) = y

Tính liên tục của ánh xạ F trong định lý trên có thể thay bằng mộttính chất của không gian X

2.2.2 Định lý

Giả sử F thoả mãn các giả thiết của Định lý 2.2.1 ngoại trừ tínhliên tục Giả sử X có tính chất sau:

i) Nếu có một dãy không giảm xn → x thì xn ≤ x; ∀n

ii) Nếu có một dãy không tăng yn → y thì yn ≥ y; ∀n Khi đó F cóđiểm bất động cặp đôi

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh, F (x, y) = x và F (y, x) = y Từgiả thiết Fn(x0, y0) ≤ x và Fn(y0, x0) ≥ y, với mọi a ∈ X

Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự, ρ là một 2-mêtric trên X sao cho

(X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X là mộtánh xạ có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) trên X

sao cho tồn tại x0, y0 thuộc X mà x0 ≤ F (x0, y0), y0 ≥ F (y0, x0), giả

sử tồn tại 2 số thực không âm a1, a2, và a1 + a2 < 1 sao cho

ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ a1ρ(x, u, a) + a2ρ(y, v, a)]

với mọi x, y, u, v, a ∈ X sao cho x ≥ u và y ≤ v Nếu

1 F liên tục, hoặc

2 X có tính chất sau:

i) Nếu có một dãy không giảm xn → x thì xn ≤ x; ∀n

ii) Nếu có một dãy không tăng yn → y thì yn ≥ y; ∀n

thì tồn tại x, y thuộc X sao cho x = F (x, y) và y = F (y, x)

Chứng minh Từ x0 ≤ F (x0, y0) := x1 và y0 ≥ F (y0, x0) := y1 Đặt

x2 = F (x1, y1) và y2 = F (y1, x1) ; Ta kí hiệu

F2(x0, y0) = F (F (x0, y0), F (y0, x0)) = F (x1, y1) := x2

F2(y0, x0) = F (F (y0, x0), F (x0, y0)) = F (y1, x1) := y2

Do F có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) ta có

với mọi a ∈ X Do đó {xm} và {ym} là dãy Cauchy trong X Vì X là

không gian 2-mêtric đầy đủ nên ∃x, y ∈ X sao cho

2 Giả sử có một dãy không giảm xn → x và có một dãy không tăng

yn → y sao cho ∀n, xn ≤ x ; và yn ≥ y Khi đó, ta có

ρ(F (x, y), F (xn, yn), a) ≤ a1ρ(x, xn, a) + a2ρ(y, yn, a)

Cho n → ∞ ta có ρ(F (x, y), x, a) ≤ 0, do đó F (x, y) = x Tương

tự, ta có F (y, x) = y

Chú ý, khi a1 = a2 thì Định lý 2.2.3 trở thành Định lý 2.2.1 và Định

lý 2.2.2

Bây giờ, ta xét họ Ψ các hàm thực ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) không

giảm thoả mãn điều kiện

Định lý sau đây đưa ra một kết quả về sự tồn tại điểm cặp đôi đối

với các ánh xạ co kiểu phi tuyến

2.2.4 Định lý

Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự, ρ là một 2-mêtric trên X sao cho

(X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X là một

ánh xạ có tính chất đơn điệu pha trộn trên X sao cho tồn tại x0, y0

thuộc X mà x0 ≤ F (x0, y0); y0 ≥ F (y0, x0) Giả sử tồn tại ϕ ∈ Ψ

i) Nếu có một dãy không giảm xn → x thì xn ≤ x; ∀n

ii) Nếu có một dãy không tăng yn → y thì yn ≥ y; ∀n

thì tồn tại x, y thuộc X sao cho x = F (x, y) và y = F (y, x)

Chứng minh Với mỗi n=1,2, đặtxn = F (xn−1, yn−1)vàyn = F (yn−1, xn−1),với x0, y0 xác định như trong giả thiết của định lý Khi đó, tương tự

như trong Định lý 2.2.1 ta nhận được {xn} là dãy tăng và {yn} là dãygiảm Với a ∈ X ta đặt

với mọi a ∈ X Do đó {xn} và {yn} là dãy Cauchy trong X Vì X là

không gian 2-mêtric đầy đủ nên ∃x, y ∈ X sao cho

2 Giả sử có một dãy không giảm xn → x và có một dãy không tăng

yn → y sao cho ∀n, xn ≤ x ; và yn ≥ y Khi đó, ta có

ρ(F (x, y), F (xn, yn), a) ≤ a1ρ(x, xn, a) + a2ρ(y, yn, a)

Cho n → ∞ ta có ρ(F (x, y), x, a) ≤ 0, do đó F (x, y) = x Tương

tự, ta có F (y, x) = y

trong Định lý 2.2.4 có thể thay bởi

ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ ϕa1ρ(x, u, a) + a2ρ(y, v, a)

với a1 + a2 < 1 và a1, a2 không âm

KẾT LUẬN

Khóa luận thu được các kết quả chính sau đây:

1) Trình bày hệ thống kiến thức cơ sở về không gian 2-mêtric

2) Trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động cặp đôi củamột số lớp ánh xạ trong không gian mêtric có thứ tự của G.T Bhaskarand V Lakshmikantham

3) Đưa ra một số định lý về sự tồn tại điểm bất động cặp đôi cuảmột số lớp ánh xạ trong không gian 2-mêtric có thứ tự như: Định lý2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3 và Định lý 2.2.4