Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tập riemann

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Hà Tuấn Dũng ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hà Tuấn Dũng

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH

TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THẠC DŨNG

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ NGUYỄN THẠC DŨNG đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoaToán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình họctập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luônbên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Hà Tuấn Dũng

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực

và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việcthực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Hà Tuấn Dũng

Lời mở đầu 1

1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann 41.2 Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann 131.3 Tensơ độ cong, độ cong Ricci 16

2.1 Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tạp Riemann 222.2 Một số hệ quả 38Tài liệu tham khảo 45

Lời mở đầu

Năm 1986, trong bài báo [5] đăng trên Acta Mathematica, Li-Yau đã nghiên cứucác ước lượng gradient và chỉ ra bất đẳng thức Harnak cho nghiệm dương của phươngtrình nhiệt ut = ∆u (ở đây chỉ số t bên dưới ký hiệu phép lấy vi phân theo biến t,

∆u là toán tử Laplace của u) trên một đa tạp Riemann đầy Ước lượng Li-Yau saunày được cải tiến và tổng quát hóa cho các phương trình phi tuyến khác trên đa tạpRiemann Bên cạnh đó năm 1993, Hamilton đã đưa ra một ước lượng gradient khác,sau này được gọi là ước lượng gradient kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt trên các

đa tạp Riiemann compact trong bài báo [3] Từ các ước lượng gradient này, người ta

có thế so sánh nghiệm tại các điểm khác nhau trên cùng một thời gian Sau này, ướclượng gradient kiểu Hamilton được tổng quát hóa lên trên các đa tạp Riemann đầy,không compact trong các công trình của Souplet và Zang ( xem trong [7])

Mặt khác, kể từ sau các nghiên cứu của Perelman về các gradient Ricci soliton

để chứng minh giải thiết Poincare - một trong bảy bài toán thiên niên kỷ, các nhàToán học đặc biệt quan tâm đến các không gian đo metric trơn Nhắc lại rằng , mộtkhông gian đo metric trơn là bộ ba (M, g, e−fdv) trong đó M là một đa tạp Riemannvới metric g, f là hàm trơn trên M , còn dv là dạng thể tích ứng với metric Riemanng.Toán tử Laplace có trọng trên M được xác định bởi

∆f· = ∆ · − h∇f, ∇·i

ở đây ∆ là toán tử Laplace trên M Trên (M, g, e−fdv), các độ cong Bakry-Émery Ricf

và độ cong N -Bakry-Émery RicN

f lần lượt được định nghĩa bởi

Ricf = Ric + Hessf, RicNf = Ricf − 1

trên một đa tạp Riemann (M ,g) Ở đây, ∇ và ∆ lần lượt là liên thông Levi-Civita

và toán tử Laplace- Beltramil tương ứng với g và V là một trường vector trơn trênM.Trong tài liệu [2] của Jost và tài liệu [4] của Yi Li đã giới thiệu độ cong

RicV = Ric −1

2LVg, RicNV = RicV − 1

NV ⊗ Vvới số nguyên dương N > 0 bất kỳ và LV là kí hiệu đạo hàm Lie dọc theo hướng V.Khi V = ∇f và f là một hàm trơn trên M thì các độ cong RicV, RicN

V lần lượt trởthành độ cong Bakry-Émery Ricf và độ cong N -Bakry-Émery RicNf Trong bài báo [9],Nguyen Thac Dung và Nguyen Ngoc Khanh đã nghiên cứu ước lượng gradient kiểuHamilton-Souplet-Zhang cho phương trình nhiệt dưới đây

nó với một hàm hương phù hợp) để trở thành một metric mới với độ cong vô hướnghằng Chú ý rằng nếu eg = g.ϕ2 (ở đây ϕ là một hàm dương) thì R và eR liên hệ vớinhau bởi phương trình (xem trong [8])

trong đó

b = n − 24(n − 1)R, c = −

n − 24(n − 1)R,e α =

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 "Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann" chúng tôi nhắc lại các khái niệm

cơ bản trong hình học vi phân, định nghĩa của toán tử Laplace trên đa tạp Riemanncùng các khái niệm về liên thông, độ cong Ricci, độ cong Bakry - Émery m chiều.Chương 2 "Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tạp Rie-mann"chúng tôi chứng minh ước lượng gradient kiểu Hamilton - Souplet - Zang chophương trình nhiệt tổng quát được đề cập ở trên và đưa ra các hệ quả thu được từ ướclượng này

TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

A ĐA TẠP TRƠN

Định nghĩa 1.1 Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được

M được gọi là một đa tạp tôpô n - chiều nếu với mỗi p ∈ M , tồn tại một bộ ba{ϕ, U, V }, trong đó U là một lân cận mở của p trong M, V là một tập con mở của Rn,

và ϕ : U → V là một đồng phôi Mỗi bộ ba như vậy được gọi là một bản đồ tại p

Hai bản đồ {ϕ1, U1, V1} và {ϕ2, U2, V2} được gọi là tương thích nếu phép chuyển

ϕ12= ϕ2◦ ϕ−11 : ϕ1(U1∩ U2) → ϕ2(U1∩ U2),

là một đồng phôi Lưu ý: ϕ1(U1∩ U2) và ϕ2(U1∩ U2) là mở trong Rn

Định nghĩa 1.2 Một atlas A trên đa tạp M là một tập các bản đồ {ϕα, Uα, Vα} tươngthích với nhau, thỏa mãn S

αUα= M Hai atlas trên M được gọi là tương đương nhaunếu hợp của chúng cũng là một atlas trên M

Định nghĩa 1.3 Một đa tạp trơn n - chiều là một đa tạp tôpô M n - chiều được trang

bị bởi một lớp tương đương của atlas sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn Lớptương đương này được gọi là cấu trúc trơn của atlas

ϕ1(x) = 1

1 − xn+1(x1, , xn) , ϕ2(x) =

1

1 + xn+1(x1, , xn) Khi đó {ϕi, Ui, Rn} tạo thành một atlas trên Sn Siêu cầu Sn là một đa tạp trơn

B ÁNH XẠ TRƠN

Định nghĩa 1.4 Giả sử ta có một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn Ta nóirằng ánh xạ là trơn nếu với bất kỳ bản đồ {ϕα, Uα, Vα} của M và ψβ, Uβ, Vβ của N ,ánh xạ

C∞(U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz

Xp(f g) = f (p)Xp(g) + Xp(f )g(p)

Ở đây U là một lân cận của p như đã nói trong định nghĩa 1.1

Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian vectơ vàđược gọi là không gian tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là TpM Không gian đối ngẫuđược gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và được ký hiệu là Tp∗M Cả TpM và

Tp∗M đều là những không gian vectơ n- chiều

Giả sử {ϕ, U, V } là một bản đồ của p với ϕ(p) = 0 Khi đó, các ánh xạ

Định nghĩa 1.6 Cho ánh xạ trơn f : M → N , với mỗi p ∈ M , vi phân của f là ánh

xạ tuyến tính dfp : TpM → Tf (p)N được định nghĩa bởi

dfp(Xp)(g) = Xp(g ◦ f )

Với mọi Xp ∈ TpM và mọi g ∈ C∞(N )

Trong trường hợp đặc biệt f : M → R là một hàm trơn, ta có thể đồng nhất Tf (p)Rvới R Ta được:

Xp(f ) = dfp(Xp)

Ở đây dfp ∈ T∗

pM còn được gọi là vectơ đối tiếp xúc tại p

Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương quanh p Ta sẽ kí hiệu ϕ = x1, , xn
với xk là hàm tọa độ thứ k trên U , và ký hiệu bản đồ bởi U ; x1, , xn Vậy cơ sởđối ngẫu của {∂1, , ∂n} trong T∗

pM là

n

dx1p, , dxnp

o, và

dfp = (∂1f ) dx1p+ + (∂nf ) dxnp

D PHÂN THỚ TIẾP XÚC

Định nghĩa 1.7 Cho E và M là hai đa tạp trơn, π : E → M là toàn ánh trơn Tanói (π, E, M ) là một phân thớ vectơ hạng k nếu với mỗi p ∈ M,

1 Ep = π−1(p) là một không gian vectơ k chiều

2 Tồn tại lân cận mở U của p và một vi phôi ΦU : π−1(U ) → U × Rk sao cho

là tuyến tính, phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V

Ta gọi E là không gian tổng, M là cơ sở và ΦU là ánh xạ tầm thường địa phương Mộtphân thớ vectơ hạng 1 thường được gọi là đường thẳng phân thớ

E CẤU TRÚC RIEMANN

Cho M là một đa tạp m chiều khi đó ta có định nghĩa cấu trúc metric Riemann vàđịnh nghĩa đa tạp Riemann như sau:

Định nghĩa 1.8 Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương ứng với mỗi

p ∈ M một tích vô hướng gp(·, ·) = h·, ·ip trên TpM sao cho với hai trường vectơ X, Y

trên tập con mở U ∈ M , hàm số p → p, Yp là hàm khả vi Đa tạp M cùng với cấutrúc Riemann g xác định trên M được gọi là một đa tạp Riemann và ký hiệu là (M, g).

Ta chú ý rằng bản thân g không phải là một metric trên M Tuy nhiên g sẽ cảm sinhmột cấu trúc metric tự nhiên trên M

Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau: Cho

U, x1, , xn là một hệ tọa độ địa phương và {∂1, , ∂m} là trường vectơ tọa độtương ứng Ta ký hiệu

gij(p) = i, ∂j

p.Với bất kì vectơ trơn X = Xi∂i và Y = Yi∂j trên U ta có

• gij(p) là trơn với mọi p ∈ M , với mọi i, j

• gij = gji, ma trận (gij(p)) là đối xứng với mọi p

• Ma trận (gij(p)) xác định dương với mọi p

Định nghĩa 1.9 Cho (M, gM) và (N, gN) là hai đa tạp Riemann Vi phôi f : M → Nđược gọi là một vi phôi đẳng cự nếu gM = f ∗ gN

Sau đây ta sẽ trình bày một số cách để xây dựng đa tạp Riemann

Có nhiều cách để xây dựng một đa tạp Riemann mới từ đa tạp cũ, như một số ví dụsau

1 Cho (N, gN) là một đa tạp Riemann, và f : M → N là một phép dìm trơn, ví dụ:

dfp : TpM → Tf (p)N là toàn ánh với mọi p ∈ M , ánh xạ "kéo - lùi" f∗gN địnhnghĩa bởi

(f∗gN)p(Xp, Yp) = (gN)f (p)(dfp(Xp), dfp(Yp)),

là một metric Riemann trên M Ta gọi f∗gN là metric cảm sinh và f là một phépdìm đẳng cự

2 Cho (M, g) là một đa tạp Riemann bất kỳ, và ϕ : M → R là một hàm dương,trơn, tùy ý trên M Khi đó, ϕg định nghĩa bởi:

(ϕg)p(Xp, Yp) = ϕ(p)gp(Xp, Yp),

là một metric Riemann trên M , nó còn được gọi là metric bảo giác với g

Dưới đây là một số ví dụ về đa tạp Riemann

Ví dụ 1.1.4 Một tích vô hướng chuẩn trong Rm xác định một metric Riemann chínhtắc g0 trên Rm với (g0)ij = δw Tổng quát hơn, với bất kỳ ma trận A dương cấp m × n,

gp(Xp, Yp) := XpTAYpxxác định một metric Riemann trên Rm với gij = Aij

Ví dụ 1.1.5 Cho M = S2 là mặt bậc hai R3 Để tính toán metric cảm sinh Riemann

từ metric chuẩn tắc trong R3, ta cần chọn một hệ tọa độ địa phương Ta sử dụng tọa

độ trụ θ và z để tham số hóa S2

x =√

1 − z2cosθ, y =√

1 − z2sinθ, z = z,với 0 ≤ θ ≤ 2π, −1 < z < 1 Ta có:

Định nghĩa 1.10 Cho M là đa tạp trơn Một metric Riemann trên M là một trường

2 -tensơ hiệp biến, g ∈ T(M ) sao cho:

1 g là đối xứng g(X, Y ) = g(Y, X) với mọi trường vectơ trơn X, Y ∈ TpM, với mọi

p ∈ M

2 g xác định dương

g(X, X) > 0, với mọi X 6= 0

Đa tạp Riemann M cùng với một metric Riemann g được gọi là đa tạp Riemann

Cho g là metric Riemann trên M Khi đó ta có thể xác định một tích vô hướng h, itrên TpM xác định bởi

tử ] được gọi là toán tử thăng.

Định nghĩa 1.11 Vectơ gradient của f là ∇f = ](df )

Định nghĩa trên là tương đương với ∀X ∈ Γ(T M ) thì

Ở đây ı(X) là ánh xạ tích trong của một trường vectơ xác định bởi

X1 dx1(Y1) d1(Yn−1)

X2 dx2(Y1) dx2(Yn−1)

. .

Xn dxn(Y1) dxn(Yn−1)

dx1(Y1) d2(Yn−1)

.

dxn(Y1) dxn(Yn−1)

... class="page_container" data-page="26">

ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN

NHIỆT TRÊN ĐA TẠP

RIEMANN< /h2>

Cho M đa tạp Riemann không compact n chiều với... Xét phương trình truyền nhiệt

ut = ∆u + hV, ∇ui + auαlnu + buα+ cu (2.1)

Trong chương chứng minh ước lượng gradient cho nghiệmdương phương trình. .. định lí so sánhLaplace [4] chúng tơi thu kết trình bày định lí 2.2 Trongmục 2, giới thiệu bất đẳng thức Harnack cho phương trình (2.1) vàcác hệ ước lượng gradient Định lí 2.2 kết báocủa Ruan [6]