Khoá luận tốt nghiệp ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tập riemann

L Ờ I C Ả M Ơ NTrước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ NGUYỄN THẠC DŨNG đã tận tình hướng dẫn để em có th

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

L Ờ I C Ả M Ơ N

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ NGUYỄN THẠC DŨNG đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này

Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016

Sinh viên

H à T u ấ n D ũ n g

L Ờ I C A M Đ O A N

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực

và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

H à T u ấ n D ũ n g

M ục lục

1 T O Á N T Ử L A P L A C E T R Ê N Đ A T Ạ P R I E M A N N 41.1 Toán tử Laplace trê n đ a tạ p R ie m a n n 41.2 Liên th ô n g Levi - C iv ita trê n đ a tạ p R i e m a n n 131.3 Tensơ độ cong, độ cong Ricci 16

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Lời m ở đầu

N ăm 1986, tro n g bài báo [5] đăng trê n A cta M ath em atica, Li-Yau đ ã nghiên cứu các ước lượng g rad ien t và chỉ ra b ấ t đẳng thứ c H arnak cho nghiệm dương của phương trìn h nh iệt U ị = A u (ở đây chỉ số t bên dưới ký hiệu phép lấy vi p h ân theo biến t,

A u là to á n tử Laplace của u) trê n m ột đa tạ p R iem ann đầy Ước lượng Li-Yau sau

này được cải tiến và tổng q u á t hóa cho các phương trìn h phi tu y ến khác trê n đ a tạ p

R iem ann Bên cạnh đó năm 1993, H am ilton đã đưa ra m ột ước lượng gradient khác, sau này được gọi là ước lượng gradien t kiểu H am ilton cho phương trìn h n hiệt trê n các

đa tạ p R iiem ann com pact tro n g bài báo [3] T ừ các ước lượng g radien t này, người ta

có th ế so sánh nghiệm tạ i các điểm khác n h a u trê n cùng m ột thời gian Sau này, ước lượng g rad ien t kiểu H am ilton được tổng q u á t hóa lên trê n các đ a tạ p R iem ann đầy, không com pact tro n g các công trìn h của Souplet và Zang ( xem tro n g [7])

M ặt khác, kể từ sau các nghiên cứu của P erelm an về các gradien t Ricci soliton

để chứng m inh giải th iế t Poincare - m ột tro n g bảy bài to á n th iên niên kỷ, các nh à Toán học đặc b iệt quan tâm đến các không gian đo m etric trơ n N hắc lại rằn g , m ột

không gian đo m etric trơ n là bộ b a ( M, g , e ~ f d v ) tro n g đó M là m ột đ a tạ p R iem ann với m etric g, f là hàm trơ n trê n M , còn dv là dạng th ể tích ứng với m etric R iem ann g.Toán tử Laplace có trọ n g trê n M được xác định bởi

A r = A - - ( V / , V - >

ở đây A là to án tử Laplace trê n M Trên (M , g, e~ỉ dv), các độ cong B akry-É m ery RiCf

và độ cong IV -Bakry-Ém ery R i c lần lượt được định nghĩa bởi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

trê n m ột đ a tạ p R iem ann ( M ,g) ở đây, V và A lần lượt là liên th ô n g Levi-C ivita

và to án tử Laplace- B eltram il tương ứng với g và V là m ột trư ờng vector trơ n trê n

M Trong tà i liệu [2] của Jo st và tà i liệu [4] của Yi Li đ ã giới th iệ u độ cong

R i c v = R i c -c v q, R i c ặ = R i c v - V 0 V

với số nguyên dương N > 0 b ấ t kỳ và L y là kí hiệu đạo hàm Lie dọc th eo hướng V

K hi V = V / và f là m ột hàm trơ n trê n M th ì các độ cong R i c y , R i C y lần lượt trở

th à n h độ cong B akry-E m ery RiCf và độ cong IV-Bakry-Ém ery RiCf Trong bài báo [9],

Nguyên T h ac D ung và N guyên Ngoe K h an h đ ã nghiên cứu ước lượng g rad ien t kiểu

H am ilton-S ouplet-Z hang cho phương trìn h nh iệt dưới đây

U ị = A y U + au log u + bu

trê n đa tạ p R iem ann không com pact, tro n g đó a, b là các hàm không đổi dấu xác định trê n M X [0, + o o ), là hàm th u ộ c C 1( M ) với biến X

Bên cạnh đó, m ột tro n g những vấn đề cũng th u h ú t sự quan tâm của nhiều n hà

Toán học đó là bài to á n Y am abe được p h á t biểu như sau: "Cho (M , g ) là m ột đ a tạ p

R iem ann com pact có số chiều n > 3 và R là m ột độ cong vô hướng tương ứng với g Liệu có tồ n tạ i hay không m ột m etric g bảo giác với g sao cho độ cong vô hướng R tương ứng với g là h ằn g ?" Năm 1984, R ichard Schoen đã chứng m inh được rằn g b ấ t kì

m ột m etric trê n đa tạ p R iem ann com pct đều có th ể hiệu chỉnh bảo giác (tức là nh ân

nó với m ột hàm hương phù hợp) để trở th à n h m ột m etric mới với độ cong vô hướng

hằng C hú ý rằn g nếu g — g.ip2 (ở đây <p là m ột hàm dương) th ì R và R liên hệ với

nh au bởi phương trìn h (xem tro n g [8])

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Uị = A u + {V , V u ) + a u aln u + bua + cu

Trong đó a , b ,c là các hàm không đổi dấu xác định trê n M X [0 ,+ o o ), là hàm thuộ c

C 1( M ) với biến X , a là m ột hằng số dương D ựa trê n các phương p h áp cơ b ả n của bài báo [6] và các kết quả gần đây về định lý so sánh Laplace trong [2] và [4], chúng tôi

đã tổ n g q u á t hóa th à n h công kết quả của R u an và th u được ước lượng g radien t cho phương trìn h nh iệt tổng q u á t nói trê n

K hóa luận gồm hai chương:

Chương 1 "Toán tử Laplace trên đa tạp R ie m a n n " chúng tôi nhắc lại các khái niệm

cơ b ản tro n g hình học vi p h ân , định nghĩa của to án tử Laplace trê n đ a tạ p R iem ann

cùng các khái niệm về liên thô n g, độ cong Ricci, độ cong B akry - É m ery m chiều Chương 2 " ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tạp Rie-

m a n n "chúng tô i chứng m inh ước lượng g radient kiểu H am ilton - Souplet - Zang cho

phương trìn h nhiệt tổ n g q u á t được đề cập ở trê n và đưa ra các hệ qu ả th u được từ ước lượng này

Chương 1

T O Á N TỬ LAPLACE T R Ê N Đ A TẠP R IE M A N N

A Đ A T Ạ P T R Ơ N

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 Giả sử M là m ộ t không gian tôpô H ausdorff có cơ sở đếm được

M được gọi là m ộ t đa tạp tôpô n - chiều nếu với m ỗi p E M , tồn tại m ộ t bộ ba

{ ip, u , V } , trong đó u là m ộ t lân cận m ở của p trong M , V là m ộ t tập con m ở của R ",

và <p : u —» V là m ộ t đồng phôi M ỗi bộ ba như vậy được gọi là m ộ t bản đồ tại p.

H ai b ản đồ u 1 , Vi} và u 2, v 2} được gọi là tương th ích nếu phép chuyển

¥>12 = <p2 ° P Ĩ 1 ■ f i ( U i n u 2) —> <p2{Ui n u 2),

là m ột đồng phôi Lưu ý: (pi(Ui n u 2) và (p2(Ui n u 2) là mở tro n g R ".

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2 M ộ t atlas Ả trên đa tạp M là m ộ t tập các bản đồ {<£>a , Ua , Va } tương

thích với nhau, thỏa m ãn u Ua = M Hai atlas trên M được gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng cũng là m ộ t atlas trên M

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 M ộ t đa tạp trơn n - chiều là m ộ t đa tạp tôpô M n - chiều được trang

bị bởi m ộ t lớp tương đương của atlas sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn Lớp tương đương này được gọi là cấu trúc trơn của atlas.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

V í d ụ 1 1 1 R " là m ộ t đa tạp trơn.

V í d ụ 1 1 2 X ét siêu cầu n chiều tro n g R"+1

s n = { ( a r , , x n+i) s R n+ 1 |a;J + + x ĩ^í+1 = 1 }

Gọi N — (0, 0 , , 0 ,1 ) € Rn+1 và 5 = (0, 0 , , 0, — 1) € R "+1 lần lượt là điểm cực

bắc và điểm cực nam của s n , đ ặ t Ui — s n \ {V } và u 2 — s n \ {5 } X ét phép chiếu nổi (Pi : Uị —> R " định nghĩa bởi

T Á X) = 3 -( x u , x n), <p2(x) = — — -( x u , x n).

K hi đó {ipi, Ui,w.n} tạo th à n h m ột atlas trê n s n Siêu cầu s n là m ột đ a tạ p trơ n.

B Á N H X Ạ T R Ơ N

Đ ị n h n g h ĩ a 1 4 Giả sử ta có m ộ t ánh xạ f : M —> N giữa hai đa tạp trơn Ta nói

rằng ánh xạ là trơn nếu với bất kỳ bản đồ {ipa, Ua , Va} của M và {'ệp, Up, Vp} của N , ánh xạ

Cho M là m ột đa tạ p trơ n n chiều; C ° ° ( M ) là tậ p các hàm k h ả vi vô hạn trê n M

Đ ị n h n g h ĩ a 1 5 M ộ t vectơ tiếp xúc tại điểm p E M là m ộ t ánh xạ tuyến tính X p :

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

c °° (U) —> R thỏa m ãn quy tắc Leibnitz

X p i ỉ g ) = f ( p ) X p(g) + x p( f ) g( p)

0 đây u là m ộ t lân cận của p như đã nói trong định nghĩa 1 1.

T ập hợp t ấ t cả các vectơ tiếp xúc của M tạ i p lập th à n h m ột không gian vectơ và được gọi là không gian tiếp xúc của M tạ i p, ký hiệu là TpM K hông gian đối ngẫu được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tạ i p và được ký hiệu là T * M C ả T p M và

T * M đều là những không gian vectơ n- chiều.

G iả sử {<£>, u,v} là m ột b ản đồ của p với (p(p) = 0 K hi đó, các án h xạ

dị : C ° ° (U ) — y R

d f o </?- 1 J 1 1 , 2 , , n' ~ r ® * T (0)

là các vectơ tiếp xúc tạ i p Các vectơ này là độc lập tu y ến tín h và tạo th à n h m ột cơ sở

của Tp(M )

Đ ị n h n g h ĩ a 1 6 Cho ánh xạ trơn f : M -y N , với mỗi p £ M , vi phân của Ị là ánh

xạ tuyến tính dfp : TpM —> Tf (p) N được định nghĩa bởi

dfp( X p)(g) = X p(g o f )

Với mọi Xp £ T p M và mọi g £ C° ° ( N)

Trong trư ờng hợp đặc b iệt / : M —> R là m ột hàm trơ n , ta có th ể đồng n h ấ t T ỉ(p)R

với R Ta được:

x p( f ) = df p( Xp)

ở đây dfp £ T * M còn được gọi là vectơ đối tiếp xúc tạ i p.

Cho {<£>, U, V } là m ột b ản đồ địa phương qu an h p Ta sẽ kí hiệu (p — { x 1, , x n) với x k là hàm tọ a độ th ứ k trê n u , và ký hiệu bản đồ bởi {U; X 1, , x n } Vậy cơ sở

đối ngẫu của {Ỡ1 , , ỡ„} tro ng T * M là ị ^dxị , , dx p j , và

dfp = ( ỡ i / ) dx ị + + (dnf ) d x p

D P H Â N T H Ớ T I Ế P X Ú C

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Đ ị n h n g h ĩ a 1 7 Cho E và M là hai đa tạp trơn, 7T : E —> M là toàn ánh trơn Ta

nói (lĩ, E , M ) là m ộ t phân thớ vectơ hạng k nếu với mỗi p Ễ M ,

1 Ep = Tĩ~1(p) là m ộ t không gian vectơ k chiều.

2 Tồn tại lân cận m ở u của p và m ộ t vi phôi $£/ : 7r~1 ( u ) ư X R k sao cho

$u Or-^p)) = {p}xRk.

3 N ếu u, V là hai tập mở với p Ễ u n V, $£/, là các vi phôi trên thì ánh xạ

9uv( p) = $ u ° ^ ỹ 1 : M X R k -> {p} X R k

là tuyến tính, phụ thuộc trơn vào p 6 u n V.

Ta gọi E là không gian tổng, M là cơ sở và $ ụ là ánh xạ tầm thường địa phương M ột phân thớ vectơ hạng 1 thường được gọi là đường thẳng phân thớ.

V í d ụ 1 1 3 D ặt T M = u TpM là hợp rời của các không gian tiếp xúc tại M Khi

đó, với ánh xạ chiếu

7T : T M — > M

( p, Xp) I— » p

T M là m ộ t phân thớ vectơ hạng n trên M Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc trên M

M ột ánh xạ tầm thường địa phương của T M được cho bởi

T(p = (7T,d(p) : 7T_ 1 (Í7) -> Ỉ7 X R ” ,

với {ip, u, V } là m ộ t bản đồ địa phương của M

E C Ấ U T R Ú C R I E M A N N

Cho M là m ột đ a tạ p m chiều khi đó ta có định nghĩa cấu trú c m etric R iem ann và

định nghĩa đ a tạ p R iem ann như sau:

Đ ị n h n g h ĩ a 1 8 M ộ t cấu trúc m etric R ie m a n n trên M là việc đặt tương ứng với mõi

p Ễ M m ộ t tích vô hướng gp(-, •) = (•, ■) trên TpM sao cho với hai trường vectơ X , Y

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

trên tập con m ở u £ M , hàm số p —> ( X p , Y p ) là hàm khả vi Da tạp M cùng với cấu

trúc R ie m a n n g xác định trên M được gọi là m ột đa tạp R ie m a n n và ký hiệu là (M , g ).

Ta chú ý rằn g b ản th â n g không p h ả i là m ột m etric trê n M Tuy nhiên, g sẽ cảm sinh

m ột cấu trú c m etric tự nhiên trê n M

Ta có th ể mô tả m ột cấu trú c m etric g sử dụng tọ a độ địa phương như sau: Cho

{u, X 1 , , x n } là m ột hệ tọ a độ địa phương và { ỡ i , , ỡ m} là trư ờng vectơ tọ a độ

• 9i j (p) là trơ n với mọi p £ M , với mọi i , j

• 9ij = 9ịii m a trậ n (ỡij(p)) là đối xứng với mọi p.

• M a trậ n (g%j{p)) xác định dương với mọi p.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 9 Cho (M , g M) và (N , g N ) là hai đa tạ p R iem ann Vi phôi / : M —> N được gọi là m ột vi phôi đ ẳng cự nếu gM = f * 9 n -

Sau đây t a sẽ trìn h bày m ột số cách để xây dựng đ a tạ p R iem ann

Có nhiều cách để xây dựng m ột đa tạ p R iem ann mới từ đ a tạ p cũ, như m ột số ví dụ sau

1 Cho (N , gN) là m ột đ a tạ p R iem ann, và / : M —> N là m ột phép dìm trơ n , ví dụ:

dfp '■ T p M —> Tỹịp^N là to à n ánh với mọi p £ M , ánh xạ "kéo - lùi" /*ỔJV định

nghĩa bởi

U * 9 n ) p { X p , Y p) = (gN )f{p)(dfp( X p) , df p(Yp)),

là m ột m etric R iem ann trê n M Ta gọi /* Pjv là m etric cảm sinh và / là m ột phép dìm đẳng cự

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

2 Cho (M , g ) là m ột đa tạ p R iem ann b ấ t kỳ, và ip : M —> R là m ột hàm dương, trơ n, tù y ý trê n M K hi đó, (pg định nghĩa bởi:

( T9} p{ Xp, Vp) TÌPÌỡpi Xp, Vp),

là m ột m etric R iem ann trê n M , nó còn được gọi là m etric bảo giác với g.

Dưới đây là m ột số ví dụ về đa tạ p R iem ann

V í d ụ 1 1 4 M ộ t tích vô hướng chuẩn trong Mm xác định m ộ t m etric R ie m a n n chính

tắc g0 trên Mm với (go)ij — Sw Tổng quát hơn, với bất kỳ ma trận A dương cấp m x n,

9p{Xp,Yp) := XỊ AYp

■¡íxác định m ộ t m etric R ie m a n n trên Mm với gij = Aị j.

V í d ụ 1 1 5 Cho M — s2 là m ặ t bậc hai M3 Đ ể tính toán m etric cảm sinh R ie m a n n

từ m etric chuẩn tắc trong M3, ta cằn chọn m ộ t hệ tọa độ địa phương Ta sử dụng tọa

Khóa luận tốt nghiệp Đại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 0 Cho M là đa tạp trơn M ột m etric R ie m a n n trên M là m ộ t trường

2 -tensơ hiệp hiến, g G T ^ M ) sao cho:

1 g là đối xứng g ( X , Y ) = g(Y, X ) với m ọi trường vectơ trơn X , Y E TpM, vôi mọi

p e M

2 g xác định dương

g ( x , x ) > 0, với mọi 1 ^ 0

Da tạp R ie m a n n M cùng với m ộ t m etric R ie m a n n g được gọi là đa tạp R iem ann.

Cho g là m etric R iem ann trê n M K hi đó ta có th ể xác định m ột tích vô hướng (,) trê n TpM xác định bởi

N hư vậy, x b n h ận từ X b ằng cách h ạ chỉ số xuống Trong âm nhạc, việc hạ m ột

n ố t nhạc xuống m ột cung th ì n ố t nhạc đó gọi là m ột n ốt giáng, đây cũng là lý do m à

t a gọi x b là ánh xạ giáng

Trong hệ tọ a độ địa phương, ánh xạ b có biểu diễn d ạng m a trậ n là (<?jj) Do g là

m etric R iem ann nên m a trậ n (g ) là m a trậ n khả nghịch M a trâ n h ngược của nó được

kí hiệu là Do vậy, án h xạ b có ánh xạ ngược

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

N hư vậy, CƯ# n h ận được từ CƯ b ằng cách nâng chỉ số lên Trong âm nhạc, khi m ột

n ố t nhạc được nâng lên m ột cung th ì nốt nhạc đó được gọi là n ốt th ăn g Do đó, to án

tử Ịị được gọi là to á n tử th ăn g

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 Vectơ gradient của f là V / = ị (df ).

Đ ịnh nghĩa trê n là tương đương với v x G T ( T M ) th ì

là m ột dạng vi p h ân dương trê n u Trong đó G — det(gij), ỹij — g ( d ị , d j ) và d x 1 A

A dxn là độ đo Lebesgue trê n R " Ta định nghĩa to á n tử divergence như sau:

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 2 Toán tử divergence của X là hàm d i v ( x ) trên M định nghĩa hởi

( d i v X ) d V o l = d { i ( X ) d V o l } .

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

ở đây i ( x ) là ánh xạ tích tro n g của m ột trư ờng vectơ xác định bởi

ixu>{YU , Yn_ ,) = u ( X , Y í , ì Yn_ , ) p

với Y i, , Yn_I Ễ TpM với mọi p Ễ M

G iả sử X — E "=1 X idị dễ dàng tín h toán được,

0 đây ta đ ã sử dụng Quy ước tổng Einstein Nếu tro n g m ột biểu thứ c x u ấ t hiện

chỉ số trê n và chỉ số dưới tương tự n hau K hi đó, biểu th ứ c sẽ được hiểu là tổng của

t ấ t cả các giá trị có th ể có của chỉ số đó (thương là từ 1 đến số chiều)

T o á n t ử L a p la c e

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 3 Cho hàm trơn f trên (M , g ), ta định nghĩa toán tử Laplace A tác

động lên f như sau

A / := d i v ( V ỉ )

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Nghĩa là

A / = d iv(g ii dị f d j ) = ( V ỡ ^ a , / ) .Người ta chứng m inh được to á n tử Laplace là m ột to á n tử elliptic và là to á n tử tự

liên hợp nếu đa tạ p M là com pact.

1.2 Liên th ô n g Levi - C ivita trên đa tạp R iem ann

1 L iê n th ô n g t u y ế n t ín h

Cho M là m ột đa tạ p trơ n.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 4 M ộ t liên thông tuyến tính V trên M là m ộ t ánh xạ tuyến tính

V : r ° ° ( T M ) X r ° ° ( T M ) — > r ° ° ( T M )

( X , Y ) — > v * r sao cho với mọi X , Y £ r ° ° ( T M ) và f £ C ° ° ( M) thì

• v x ( / y ) = / v x y + ( x / ) y

Vectơ v * y được gọi là đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ

X

V í d ụ 1 2 1 Cho M = Mm K h i đó, đạo hàm theo hướng cho ta m ộ t liên thông tuyến

tính Thật vậy, nếu X = x idị và Y = Y ^ d , thì

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Cho V là m ột liên th ô n g tu y ến tín h trê n M T a định nghĩa to á n tử

T ( X , Y ) := V X Y - V y X ~ [ X , Y ]

Dễ d àng kiểm tr a được T có tín h chất tensơ, tứ c là

T ( f X , Y ) = f T ( X , Y )

T ( X J Y ) = Ị T ( X , Y )

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 Ta gọi T là tensơ xoắn của V Nếu T = 0, ta gọi V là liên thông

không xoắn, hoặc là liên thông đối xứng.

Cho (u, X1, , x n) là m ột b ản đồ tọ a độ, khi đó tồ n tạ i các hàm Ty trê n u sao cho

VaA - r* a*.

Các hàm Ty-Ớ* được gọi là các ký hiệu Christoffel của V đối với bản đồ đ ã cho

M ệ n h đ ề 1 1 V là m ộ t liên thông không xoắn nếu và chỉ nếu Ty = với mọi

Điều này kéo th eo r f , = r!L

Ngược lại, nếu Ty = T kjị, khi đó b ằng tín h to á n như trê n , T ( d ị , d j ) = 0 T ừ T là

m ột tensơ, ta có T ( X , Y ) = 0 với mọi X , Y Vậy V là m ột liên th ô n g không xoắn Ta

C h ú ý: Trong trư ờng hợp đặc biệt, t a th ấ y rằn g điều kiện đối xứng 'T y = với

mọi i, j " là độc lập với việc chọn tọ a độ địa phương.

L iên th ô n g L e v i - C iv ita

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 6 M ộ t liên thông V trên đa tạp R ie m a n n (M , g ) được gọi là liên

thông Levi - Civita (Liên thông R ie m a n n ) nếu có tensơ xoắn T = 0 và lien thông là tương thích với m etric g.

Đ ịn h lý 1 1 (Định lý cơ bản của hình học R ie m a n n ) Giả sử (M , g) là đa tạp R iem ann,

khi đó tồn tại duy nhất m ộ t liên thông tuyến tính Levi - Civita trên M

C h ứ n g m in h Trước hết, t a giả sử rằng tồ n tạ i liên th ô n g Levi - C iv ita trê n M Ta

sẽ chứng m inh liên th ô n g này là duy n h ấ t T h ậ t vậy, ta có:

T iếp theo, để chứng m inh sự tồn tạ i ta chỉ cần kiểm tr a rằng V ỵ Y được xác định

bởi công th ứ c trê n th ỏ a m ãn các điều kiện của liên th ô n g Levi - C ivita T h ậ t vậy,

dễ th ấ y V x Y xác định m ột liên th ô n g tu y ến tín h trê n M T ín h chất tương thích với

m etric là kết q u ả trự c tiếp của công thứ c trê n , để chứng m inh X x Y là m ột liên thông

tự do xoắn, ta đ ặ t X = d ị , Y = dj và z = ỡfc, khi đó đồng n h ấ t thứ c bên trê n trở

th à n h

Nói cách khác,

ij9ỉk @i9jk &k9ỉj T d j g ki

2 r ý = g lk ( ỡjổfcj + dịgjk — d kgi j ) ■

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Vậy rõ ràng v ^ y là m ột liên th ô n g đối xứng (hay liên th ông không xoắn) □Vậy liên th ô n g Levi - C iv ita là liên th ô n g tu y ến tín h đối xứng duy n h ấ t m à tương

th ích với m etric g Ta cũng có th ể ký hiệu liên th ô n g Cevi - C ivita bởi V LC V í dụ, nếu ta xét M = M" với m etric chính tắc gữ th ì gịj = ỏij và d ẫn tới r ý = 0.

B ố đ ề 1 1 R là m ộ t trường c °° Tensơ kiểu (1 ,3 ).

C h ứ n g m in h T a có R tuyến tín h theo từ n g biến Tuy nhiên, với mọi / e

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 7 Hai tensơ R ở trên được gọi là tensơ độ cong của đa tạp R ie m a n n (M , g ).

= - V x [ Y , Z ] - Vy[Z,X] - V z [ X , y ] + V [Jf,y]Z + Vy,xT + X z , x Y

= - [X, [Y, z \ \ - [Y, [Z, X]] - [Z, [X, Y]] = 0

(c.) T a ký hiệu / = ( z , z ) , khi đó

( X x z , z ) = X f - ( Z , X x Z)

hay

( X x Z , Z ) = ị x ỉ ,

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

R ú t gọn tensơ độ cong loại (1,3) ta được

Ri c p( Xp , Yp) := Tr ( Zp I—> R( Xp, Zp) Yp) ,

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

sẽ xác định m ột tensơ loại (0, 2), được gọi là tensơ Ricci.

Lấy cơ sở trự c chuẩn eT của TpM th ì

RiCp(Xp, Yp^ ^ ^ R( Xp, 6r , Ypĩ c r )

r

Trong trư ờng hợp đặc biệt, t a th ấ y tensơ Ricci là m ột tensơ đối xứng loại (0, 2)

R i c ( x , Y ) = R ic (Y , X )

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 8 Với m ọi vectơ tiếp xúc Xp e S p M c T p M , ta gọi Ri c ( Xp) =

Ri c ( Xp, Xp) là độ cong Ricci của M tại p theo phương của Xp.

Đ ị n h lý 1 2 Độ cong Ricci của M tại p với mọi vectơ Xp Ễ S p M xác định tensơ Ricci

Ri c := Ri c — V 2Ộ

m — n - V ệ ® ộ.

Khóa luận tốt nghiệp Dại học HÀ T u ấ n D ũ n g

ở đây ta qui ước m — n nếu và chỉ nếu 4> — 0 K hái niệm độ cong B akry - É m ery m chiều có th ể xem như là m ột sự mở rộng của độ cong Ri c vì khi ậ là hàm hằng , hai

độ cong này là như nhau