Về đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp riêmann hai chiều

Lời nói đầuĐờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình vi phân, chẳng hạn [1], [2], [3].. Trong khoá

Lời nói đầu

Đờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann

đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình vi phân, chẳng hạn [1], [2], [3] Nó có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các độ đo các hình hình học trên đa tạp Riemann và trong việc khảo sát các tính chất hình học nội tại trên đa tạp.

Trong khoá luận này ,chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và chứng minh chi tiết các tính chất của đờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann 2 chiều

Luận văn đợc chia làm 2 chơng

Chơng I: Đờng trắc địa trên mặt trong E 3

Trong chơng này ,chúng tôi đã trình bày khái niệm đờng trắc địa trên mặt trong E 3 chứng minh một số tính chất cơ bản của nó Bằng việc sử dụng khái niệm độ cong trắc địa và độ cong pháp dạng chúng tôi trình bày cách xây dựng đợc trờng mục tiêu Đarbounx dọc Γ Đặc biệt trong chơng này chúng tôi đã trình bày chi tiết việc tìm các đờng trắc địa trên các mặt quen thuộc trong E 3

Chơng II: Phép chuyển dời song song và đờng trắc địa trên đa tạp Riemann 2 chiều.

Trong chơng này, chúng tôi trình bày khái niệm đạo hàm của vectơ dọc cung tham số và chứng minh các tính chất cơ bản Và trình bày khái niệm phép chuyển dời song song dọc cung và đờng trắc địa trên đa tạp Riemann Chúng tôi đã chứng minh tính chất trực giao của phép chuyển dời song song Đặc biệt chúng tôi đã thiết lập đ-

ợc phơng trình của phép dời song song dọc cung kín, cách tính đợc góc hôlônômi dọc các vĩ tuyến của mặt tròn xoay Đồng thời, chúng tôi cũng đã chứng minh phép chuyển dời song song và đờng trắc địa bất biến qua vi phôi đẳng cự.

Khoá luận đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Quang Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn BCN Khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ bộ môn hình học cùng các thầy cô, bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khoá luận

Vinh tháng 4 năm 2003

Mục Lục

Trang

Chơng I: Đờng trắc địa trên mặt trong E 3

ξ 1 -Trờng mục tiêu Đarboux dọc Γ 3

ξ 3 - Đờng trắc địa trên một số mặt quen thuộc 12 Chơng II: Đờng trắc địa và phép chuyển dời song song dọc

cung trên đa tạp Riêmann hai chiều

ξ 1 - Đạo hàm của trờng vectơ dọc một cung tham số 18

ξ 2 - Phép chuyển dời song song dọc cung tham số 23

ξ 3 - Đờng trắc địa trên đa tạp Riêmann hai chiều 35

Chơng I: Đờng trắc địa trên mặt trong E 3

Trong khoá luận này, chúng tôi xét mặt S trong E3, trong đó S là một đa tạphai chiều đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n

ξ1 Trờng mục tiêu DaRboux dọc cung chính quy

I Độ cong trắc địa

1.1 Định nghĩa: Giả sử Γ là cung chính quy định hớng trên mặt S trong E3, Γ

đợc cho bởi tham số ρ: J→ S : t  ρ(t) là một tham số hoá của Γ Khi đó hàm

số kg: J →R

) ( '

) ( )).

( ) ( ' (

t

t n t t

ρ

ρ ρ

đợc gọi là độ cong trắc địa củaΓ

Để định nghĩa trên là hợp lý ta cần chứng minh kg không phụ thuộc tham số

đẫ chọn Thật vậy, ta xét tham số hoá tơng đơng r: s→ r(s)

với r=ρλ (trong đó λ’>0) Khi đó:

).

( ) ( ) ( ).

( ) ( r

; ) ( )

) 3 ( ).

( ).

( ) ( ) ( 3

) (

) ( ).

) ( )

(

(

s

n s S

s s

r

s r n s r s

r

λ λ ρ

λ ρ λ

λ λ

λ ρ

λρ λρ λρ

s n

3)(

)(

)).

( )(

)((

3

1.2 Ví dụ:

Giả sử mặt đinh ốc đứng S trong E3 đợc cho bởi tham số r: IR2→E3

(u,v) → (v cosu,v sinu,bu)

⇒ ( , ) ( sin 2, cos2 , )

v b

v v b v b v

r u r v

r u

r v u r

) (

) ( )).

( ) ( ( )

v u

u n u u

ρ

1.3.Mệnh đề :

i) Khi Γ đổi hớng thì độ cung trắc địa đổi dấu

ii) Tại những điểm không song chính quy của Γ, độ cong trắc địa triệt tiêu.iii) Khi Γ là cung phẳng thì kg trùng với độ cong đại số của cung phẳng Γ

λ λ

ρ

ρ ρ ρ

s n

( 3 )) ( (

3 3 ).

(

) ( ) ( ) ( )

t g k

ρ

ρ ρ

ρ

iii) Do Γ là cung phẳng nên ta xét tham số hoá

ρ :t→ ρ (t) = (x(t),y(t), 0 ) ∈S

Ta có: ρ ′ (t) = (x′ (t),y′ (t), 0 ) ; ρ ′ (t) = (x′ (t),y′ (t), 0 )

tyt x

txty

tytx t

tn

t tk

ρρ

(Vì n ρ (t) = ( 0 , 0 , 1 ))

II Trờng mục tiêu Đarbounx dọc Γ.

1.4 Định nghĩa: Giả sử Γ là cung chính quy định hớng trên mặt S với tham

số hoá tự nhiên ρ: J→S ;t→ ρ (t) của Γ Ta kí hiệu T = ρ ′ ; Y= n ρ ∧T, n ρ =Z.Khi đó

(T,Y,Z) đợc gọi là trờng mục tiêu Đarboux dọc Γ

1.5 Mệnh đề: Ta gọi k là độ cong của Γ thì kg= k.N.Y

Chứng minh: Giả sử ρ: J→ S ;t ρ(t) là tham số hoá tự nhiên của Γ, theo

định nghĩa ta có:

)) ( ).

( ) ( ( ) ( )).

( ) ( ( )

(

) ( )).

( ) ( ( )

t

t n t t

III Độ cong pháp dạng:

1.7 Định nghĩa: Giả sử α là một vectơ khác 0 của TpS, nếu đặt ~( ) (( ))

α

α α

I

II

thì K~( α ) không thay đổi khi thay α bởi mα (m∈IR* ) Đại lợng k~( α ) đợc gọi là

độ cong pháp dạng theo phơng α của S

Để định nghĩa trên là hợp lí ta cần chứng minh k~( α )= k~(mα ) với ∀m∈IR*.Thật vậy: Ta xét cung tham số ρ : J → S (J mở chứa 0)

αρ α

m m

m n

0 )

ds

n D T n

) (

=

⇔

=k N n ρ

T I

T II

1.9 Định nghĩa: Đại lợng τg =h(T).Y đợc gọi là độ xoắn trắc địa của cung Γ

IV Công thức Đarboux dọc Γ: Giả sử (T,Y,Z) là đờng mục tiêu Đarboux

dọc Γ Ta có:

) 2 (

)1 (

Y T k DZ

Z T k DY

Z k Y k

DT

g n

g g

n g

τ τ

Trong đó: k n =k~(T)

Chứng minh: Do T.T = 1 nên DT.T = 0 ta suy ra: DT = α.Y+β.Z

Vậy ta có: Y.DT = α + β.Y.Z = α (vì Y.Z=0)

Và α = DT.Y = k.N.Y = Kg

Mặt khác : Z.DT = α.Z.Y + β ⇒β = DT.Z = k.N.Z = k~(T) =K n

Vậy DT = kgY + knZ

Chứng minh tơng tự ta đợc: DY=−k g.T + τg.Z ; DZ = −k n T − τg.Y

ξ2 Đờng trắc địa trên mặt trong E3

2.1 Định nghĩa: Giả sử mặt S⊂ E3 đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến

2.2 Ví dụ: Giả sử S là mặt cong ốc đứng trong ví dụ(1-2)

Ta xét vĩ tuyến ρ~(v) =r(u0,v) = (vcosu0,vsinv0,bu0)

Ta có: ρ~′ (v) = (cosv0, sinv0, 0 ); ρ ′′ (v) = ( 0 , 0 , 0 ) ⇒K g(v) = 0 : ∀v; ρ ′′ (v)cùng phơng

v

v

Vậy: Đờng vĩ tuyến là đờng trắc địa trên S

Cung tham sốv  r(v0,v) là cung trắc địa trên S

2.3 Mệnh đề.

i) Giả sử Γ là cung song chính quy trên S Khi đó : Γ là đờng trắc địa trên Skhi và chỉ khi trờng vectơ pháp tuyến N thẳng góc với S dọc Γ

ii) Giả sử hai mặt S và S~ tiếp xúc nhau dọc Γ thì Γ là đờng trắc địa trên S khi

và chỉ khi Γ là đờng trắc địa trên S~

iii) Nếu ρ :t ρ (t) là cung trắc địa trên S thì ρ ′(t) là hàm hằng

iv) ảnh của cung trắc địa trên S là đờng trắc địa trên S

v) Giả sử Γ là đờng trắc địa thì mọi tham số hoá vận tốc hằng của Γ đều làcung trắc địa

θ song song với n ρ ⇔N thẳng góc với S dọc Γ

ii) Ta có: ( ) ( ) 3

) (

) ( )).

( (

t

t n t t

t

ρ

ρ ρ

) (

~ ) ( ) ( ( ) (

~

t

t n t t

t

ρ

ρ ρ

Trong đó ρ :t ρ (t) là một tham số hoá của Γ trên S và trênS~ vì S và S~

tiếp xúc nhau dọc Γ nên Tρt)S=Tρt)S~: ∀t suy ra n ρ (t) = ±~n ρ (t)

Do đó k g(t) = 0 ⇔k~g(t) = 0 

iii),iv) Hiển nhiên

v) Cho Γ là đờng trắc địa trên S: Giả sử ρ: J→ S ; t ρ(t) là một tham sốhoá vận tốc hằng của Γ

Theo giả thiết Γ là đờng trắc địa nên:

t t

n t t

t t

(t ρ t

Từ (1),(2) ,(3) suy ra: n ρ (t) ∧ ρ ′′ (t) = 0 ∀t⇔ ρ ′′ (t) và n ρ(t) công tuyến

ρ

⇔

∀t là cung trắc địa

Nhận xét: Cung chính quy Γ là đờng trắc địa trên S ⇔ Γ có một tham số hoá

< đặc biệt là tham số hoá tự nhiên > là một cung trắc địa trên S

2.4 Mệnh đề: Giả sử Γ là một cung song chính quy trong E3 Khi đó, Γ là ờng trắc địa của mặt kẻ tạo bởi các trùng pháp tuyến của nó

đ-Chứng minh: Ta xét tham số hoá tự nhiên ρ: I→ E3 ; u  ρ(u) của Γ

v u

r r

r r v u r n

2.5 Mệnh đề: Giả sử ρ: I→ S là một cung trắc địa trên S; r = ρλ : J→

S là cung tham số tơng đơng với ρ trên S Khi đó r là cung trắc địa khi và chỉ khi

vi phôi đổi tham số λ có dạng: λ: J→ I , s λ(s)=as+b.

Giả sử S⊂ E3 có tham số hoá địa phơng r:U →S

) ( t

; :

).

, ( )

0

′′

′ +′

′ +

′ +

′′

0

2

1

0

2

1

2 2

2 2

v u G r r u G v G v

v u E r r v E u E u

u v uu v

v u vv u

Ta giả sử F=r u′r v′ = ⇒ =F v′ =r uv′′r v′ +r v′r vv′′ ⇒r vv′′r v′ = −r uv′′r v′ = − G v′

2

1

.

0

2

1 2

1

0

2

1 2

1

2 2

2 2

v u G u E G v G v

v u E v G E u E u

u v

v

v u

0

.

0

2

1 2

1

Gv

v G E u

E

u

u

u u

0.

u

2 2

cGv

vGu vG

0 ) (

vG v u G v vv G v u G E

u

0 )

( 2

2

u.

u

)1(

1

22

c vG

c vG uE

2

) (t =c

′

ρ , từ tính chất (v) của mệnh đề (2-3) ta coi C1=1 (tức

ρ là tham số hoá tự nhiên)

c cvG

vGvE E 1v

1

2 2 2

)1(

c-G

EG dt

2

2 2

dt G

c dv

dv

cdt Gdv G cG vE

Từ ′ suyra = ±∫ 2du

c - G

EG t

ξ3 Đờng trắc địa trên các mặt quen thuộc.

3.1 Mệnh đề: Cung tham số trên mặt phẳng là cung trắc địa khi và chỉ khi nó

là tham số hoá của đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng

Chứng minh: Ta xét cung tham số ρ: J→E2; t  ρ (t) =((x(t), y(t),0)∈E2

bat

x(t) 0)(

0)(

ty

tx

Khi đó: ρ (t) =((at+b),ct+d), 0)=t.(a,c, 0 )

Vậy ρ là tham số hoá của đờng thẳng(hoặc một phần đờng thẳng).

Hệ quả: Cung chính quy Γ trên mặt phẳng là đờng trắc địa khi và chỉ khi Γ là

đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng

Nhận xét: Cho 2 điểm A,B phân biệt thuộc mặt phẳng (P)khi đó đờng thẳng

AB là đờng trắc địa trên (P) đi qua A và B

3.2 Đờng trắc địa trên mặt cầu:

Ta xét mặt cầu S2 tâm 0 bán kính R: x2 + y2 + z2 = R2, S2 đợc định hớng bởitrờng vectơ pháp tuyến hớng ra ngoài

3.2.1 Mệnh đề: Cung chính quy Γ trên S2 là đờng trắc địa khi và chỉ khi Γ là

đờng tròn lớn (hoặc một phần đờng tròn lớn) trên S2

Chứng minh: Ta xét tham số tự nhiên của Γ:ρ:J→S2 s  ρ (s) là tham sốhoá tự nhiên của Γ

Ta có: ο ρ (s) ρ ′ (s) = 0 suy ra (ο ρ (s) ρ ′ (s))′= 0

Từ (1) ⇒ ρ ′′ (s) ≠ 0 : ∀s do đó Γ là cung song chính quy trên S2

Theo tính chất (1) của mệnh đề 2- 3 ta có: Γ là đờng trắc địa ⇔

: ) ( )

s n

n D T

h = − ′ = − ′ = ′ = −

) ( 0 ) ( )

i) Cung tham số ρ: J→S2 ;t ρ (t) ∈S2 là cung trắc địa khi và chỉ khi ρ là

tham số hoá vận tốc hằng của đờng tròn lớn hay một phần đờng tròn lớn

ii) Giả sử A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) là 2 điểm thuộc mặt cầu S2 Khi đó tồn tại

đờng trắc địa trên S2 đi qua A,B đợc xác định nh sau:

Ta có: 0A= (x1,y1,z1) ; 0B = (x2,y2,z2)

Nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (0AB) n= 0A∧ 0B

) ,

, (y1z2 −y2z1 x2z1 −x1z2 x1y2 −x2y1

x(y1z1+y2z1) + y(x2z1-x1z2) + z(x1y2-x2y2) = 0

Vậy phơng trình đờng trắc địa trên S2 đi qua A,B là:





= + +

=

− +

− +

−

2 2 2 2

2 1 2 1 2

1 1 2 2

2 2

(

R z y

x

y x y x z z x z x y z y z

Do đó: r là tham số hoá clerô của G

Ta xét tham số hoá tự nhiên ρ :t  ρ (t) =r(u(t),v(t)) của Γ Theo kết quảmệnh đề 2.3 và mệnh đề 2.6: Γ là đờng trắc địa ⇔ ρ là cung trắc địa ⇔

Vậyρ :t ρ (t) = (Rcos(at+b),Rsin(at+b),ct+d)

Nếu c = 0, a≠ 0thì ta có : ρ :t ρ (t) = (Rcos(at+b),Rsin(at+b),d)

ta suy ra ảnh của ρ là đờng tròn

R y

Nếu a=0 thì ρ: t ρ (t) = (Rcosb,Rsinb,ct+d) =

),0,0(),sin,cos

suy ra ảnh củaρ ~ là cung đinh ốc tròn trên G

Vậy cung chính quy Γ trên G là đờng trắc địa ⇔Γ là đờng tròn hoặc là đờngthẳng hoặc là cung đinh ốc tròn

3.3.2 Hệ quả 1 : cung tham sốρ :t ρ (t)trên S là cung trắc địa khi và chỉ khi

nó là tham số hoá vận tốc hằng của một trong 3 loại đờng kể trên ( mệnh đề 3.3.1)

3.3.3 Hệ quả 2: Giả sử A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) là 2 điểm phân biệt thuộcmặt trụ G Khi đó tồn tại đờng trắc địa thuộc một trong 3 loại đờng trắc địa ( mệnh

đề 3.3.1) đi qua A và B

Chứng minh : Thật vậy ta xét các trờng hợp sau

+) Nếu z1 = z2= α thì A,B thuộc đờng tròn (ع)

z

R y

Ta xét tham số hoá ρ1:t ρ (t) = (Rcost,Rsint, α ) của (ع)

Ta có : ρ1′(t) = ( −Rsint,Rcost, 0 ) ⇒ ρ1′(t) =R=const

Vậy (ع) là đờng trắc địa ( tơng ứngρ 1 là cung trắc địa ) đi qua A và B

+) Nếu A B= (x −x ,y −y ,z −z )cộng tuyến với véc tơ = thì đờng

Ta xét tham số hoá :ρ2:t A+t.kthìρ 2 cung trắc địa đi qua A,B

+) Nếu z1 ≠z2và (AB,K( 0 , 0 , 1 ))không cộng tuyến: ta xét cung đinh ốc tròntrên G với tham số hoá

) , sin , cos (

; :

=

=

= +

=

=

2 2

2 2 2

2

1 1

1 1 1

1

; sin

; cos

; sin

;

cos

z b at y t R x t

R

z b at y t R x t

là một tham số hoá của S, hơn nữa :

r u′ = (cosv, sinv, 1 );r v′ = ( −usinv,ucosv, 0 )

Suy ra :E= 2 ;F = 0 ;G=u2nh vậy r là tham số hoá clerô của S

Cũng từ đó ta có trờng véc tơ pháp tuyến đơn vị :

) 2

1 , 2

sin , 2

cos ( ) 2

, sin , cos (

) ,

u

u v u v u r

r

r r v u

r

n

v u

i) Đờng toạ độ u=u0 không phải là đờng trắc địa trên S

ii) Đờng toạ đọ v=v0 là đờng trắc địa trên S

Chứng minh :

i) Đờng toạ độ u=u0 có tham số hoá ρ (v) =r(u0,v) = (u0cosv,u0sinv,u0)

Ta có :ρ′ (v) = ( −u0sinv,u0cosv, 0 ); ρ′′ (v) =u0 =const

Do đó theo tính chất 5 của mệnh đề ( 2-3 ) : Đờng toạ độ u=u0 là đờng trắc

v v

v v

n v u v u

sin , 2

cos ( ) ( //

) 0 , sin ,

cos (

Suy ra: cung tham sốρ ~là cung trắc địa và đờng toạ độ v=v0 là đờng trắc địa

3.4.2 Mệnh đề : Mọi cung trắc địa trên S chỉ có 1 trong 2 dạng sau( khác

2

1

2

)(

2

2 2

2

α+

u

2 2

2 2

2 2 2

2

)2( 2

)1(

u dt

c u du

u

c u u

u

c v

Trờng hợp 1 : t=

2

2 ) ( )

( 2

2 2 2

u c

u − +α ⇔ = − α + ta thay u vào(1) suy ra:

2 ) (

2

2

c t

t

u và v′ = 0 ⇒v=v0 (hằng số)

2 ) ( ra

ρ =t − α

t Suy (cosv0 ,sinv0,1) đổi tham số hoá ta đợc :

t

cdt v

2

2 1 ) 2 (

) 2 ( 2 2

) (

2

2 2

2

2 ( − 2 +

c

t c

Chơng II : Đờng trắc địa và phép chuyển dời song

song dọc cung trên đa tạp riemann 2 chiều

Nh ta đã biết (xem [1] ): Giả sử M là một đa tạp 2 chiều, trên M ta trang bịmột metric Riemann tức là đặt ứng với mỗi p∈ M một tích vô hớng <,>p trên TpMsao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi Khi đó M cùng vớimetric Riemann đó đợc gọi là một đa tạp Riemann 2 chiều

Giả sử {U1,U2} là trờng mục tiêu trực chuẩn trên một tập mở V của M ta gọi

{θ1 ,θ2} là trờng đối mục tiêu của nó Khi đó tồn tại duy nhất 1- dạng vi phân 1

1 1 2 2 2 2 1

ξ1 Đạo hàm của trờng vectơ dọc một cung tham sốBây giờ ta xét cung tham số trên (M,<,>) ρ : I→M,t ρ (t) trong đó I là mộtkhoảng con của R

.Trờng vectơ X dọc ρ là ánh xạ X:I → ∪Tρt)M(t∈I)

t X(t) ∈Tρ(t ) M

Giả sử {U1,U2} là trờng mục tiêu khả vi trên một tập mở U chứa ρ(t), khi đó

trong lân cận J⊂I của t trờng vectơ X dọc ρ có thể biểu diển bởi

(t)) ( (t).U (t))

( (t)U

X(t) = Ψ1 1 ρ + Ψ2 2 ρ2 trong đó:

R J :

Ψ X đợc gọi là khả vi tại t nếu Ψ1, Ψ2 khả vi tại t X đợc gọi là

khả vi trên I nếu X khả vi tại ∀t∈I

Chú ý: Từ nay ta chỉ xét các trờng vectơ khả vi dọc cung tham số

1.1 Định nghĩa: Giả sử X là trờng vectơ dọc cung tham số ρ : I→ M , t

 ρ (t), ta xác định trờng vectơ

dt X

∇ nh sau: Với mỗi t0∈I ta lấy trờng mục

tiêu trực chuẩn{U1,U2} trong một lân cận của ρ(t0), ta viết

X(t)= Ψ1(t)U1( ρ (t)) + Ψ2(t).U2( ρ (t))

Ta đặt:

)) ( ( )).

( ).

( ( ) ( ( ) ( ( )).

( )).

( ( ) ( (

)

2 0

1 0 2 0 ' 2 0 1

ω ρ

ρ

+ Ψ′

=

∇

Trong đó 2

1 1

đợc gọi là đạo hàm của trờng vectơ X dọc ρ.

Ta chứng minh định nghĩa trên không phụ thuộc vào trờng mục tiêu đã chọn.Thật vậy để chứng minh đơn giản ta dùng kí hiệu ma trận hình thức:

1

1 2

2 2

1 21

UUU

Từ đó ta viết: X = (U  ρ ) Ψ và ∇ = (U  ρ )( Ψ′ + ω ( ρ ′ ) Ψ

dt X

Ta xét trờng mục tiêu trực chuẩn U~ = (U~1,U~2) ; U~ = U.C với C là ma trậntrực giao cấp 2

Suy ra: ϕ~= (C ρ ) − 1 ϕ.

Do ω~=C− 1 ω C +C − 1 C′ nên

) (

) ( ) ).(

( ) ( )

)(

.) ( ) ( ) () ).(

(

1 1

1 1

1

ρ ρ ρ

ρω ρ ρ

ρ ρ

C C

C C U

(vì C ρ (C ρ ) − 1 =I)

Vậy định nghĩa trên không phụ thuộc trờng mục tiêu đã chọn

2.2 Mệnh đề: Giả sử X,Y là 2 trờng vectơ dọc cung tham số ρ: I → M,)

∇

= +

∇

) (

dt

X X

dt

d dt

dt

X Y

X dt

d

,,

Chứng minh: với mỗi t0 ∈I , ta chọn cơ sở trực chuẩn {U1,U2} trong lân cậncủa ρ(t0), trong lân cận t0 ta viết:

)) ( ( ) ( ))

( ( ) ( )

(

)) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )

t U t t

U t t

Y

t U t t

U t t

X

ρ ρ

ρ ϕ

ρ ϕ

Ψ + Ψ

=

+

=