Độ cong thiết diện của đa tạp riemann

Thực chất của Hình học Riemann là nghiên cứu các tính chất của hình học trên các Đa tạp Riemann.. Độ cong và độ xoắn của Đa tạp là những vấn đề cơ bản của Hình học Riemann.. Trong lu n v

2

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ giữa thế kỉ 19 Thực chất của Hình học Riemann là nghiên cứu các tính chất của hình học trên các Đa tạp Riemann

Độ cong và độ xoắn của Đa tạp là những vấn đề cơ bản của Hình học Riemann Nó có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học nh toán học v t

l l thu ết tru ền th ng và thực tiễn

Trong lu n văn nà , ch ng t i trình bà các tính chất về độ cong thiết diện của Đa tạp Riemann và Đa tạp Riemann con

Nội dung chính của lu n văn đ c trình bà trong 2 ch ơng

Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Trong ch ơng 1 ch ng t i trình bà chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của liên th ng êvi-Sivita và các tính chất về độ cong của Đa tạp Riemann làm cơ sở cho việc trình bà ch ơng 2 nh : Sự t n tại và du nhất

của liên th ng êvi-Sivita trên đa tạp M (Mệnh đề 1.2 tính bất biến của liên

th ng êvi-Sivita và tính bất biến của độ cong trên Đa tạp Riemann qua một ánh xạ vi ph i đ ng cự Mệnh đề 1.5 và 1.11 chứng minh chi tiết một s tính chất về độ cong của Đa tạp Riemann ( đề 1.8 ệnh đề 1.9 và 1.1

Chương 2: ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Trong ch ơng nà ch ng t i trình bà chứng minh một s tính chất về

độ cong thiết diện của Đa tạp Riemann và Đa tạp Riemann con: hứng minh

chi tiết một s tính chất của ánh xạ R ệnh đề 1.13 độ cong thiết diện của

Đa tạp Riemann và Đa tạp Riemann con không phụ thuộc cơ sở Đ nh l 1.15

và 1.22), một s tính chất khác đề 1.17 1.18 và ệnh đề 1.19, 1.23) Ngoài ra, ch ng t i đ chỉ ra các ví dụ về độ cong của m t c u m t

xu ến trong 3

, độ cong thiết diện của siêu trụ trong 4 v i cấu tr c Riemann

cảm sinh

3

u n văn đ c hoàn thành tại hoa Sau đại học - Tr ờng Đại học inh

d i sự h ng d n của th giáo P S-TS Ngu ễn Hữu Quang Tác giả xin

ch n thành cảm ơn sự gi p đ chỉ bảo t n t m của Th trong quá trình học

t p và nghiên cứu Tác giả cảm ơn các Th giáo trong t Hình học đ giảng

dạ và chỉ bảo cho tác giả trong quá trình học t p và nghiên cứu

Tác giả c ng xin chân thành cảm ơn các Th giáo c giáo khoa Toán khoa Sau đại học an giám hiệu Tr ờng Đại học inh an giám hiệu nhà

tr ờng THPT im iên các đ ng nghiệp bạn b và gia đình đ tạo mọi điều kiện thu n l i cho tác giả trong quá trình hoàn thành lu n văn nà

Vinh,

T gi

4

Chương 1

ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Trong ch ơng nà ta giả thiết: (M, g) là Đa tạp Riemann thực có cơ sở đếm đ c v i hệ bản đ {U, } I Ta kí hiệu:

 F(M) = {f f:MR, khả vi trên M}

 B (M) = {X X là tr ờng v c tơ tiếp x c khả vi trên M}

 T p M = { h ng gian các vectơ tiếp x c v i M tại p  M}

 : Liên th ng tu ến tính trên Đa tạp M

I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Liên thông Lêvi - Sivita trên đa tạp M lu n t n tại và du nhất

Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề trên ta sử dụng b đề sau:

Chứng minh ổ đề: Ta c n chứng minh sự t n tại và tính du nhất của A

trong l n c n của một điểm tù pM

7

= X ZZ, X .YZ X.Y    Y, Z X Y Z.X   X, Y Z (theo (6))

= X Z.Y Z, X Y Z X.Y    Y, Z X Y Z.X    X,Y Z

=X Y.Z  X Y.ZZ, X Y Z X.Y   Y, Z X Y Z.X   X, Y Z (theo (7))

 2X Y.Z  X Y.Z   Z, X Y Z X.Y    Y, Z X Y Z.X   X, Y Z hia hai vế cho 2 ta đ c:

giờ ta kiểm tra tính chất 1 và 2 của 

ì vai tr của X, Y, Z nh nhau nên từ (3) ta c ng có:

  thỏa m n điều kiện 1 của liên th ng êvi-Sivita

lu n t n tại liên th ng êvi-sivita trên Đa tạp Riemann.

Giả sử M là Đa tạp Riemann v i liên thông Lêvi-Sivita ,

M là Đa tạp Riemann con v i cấu trúc Riemann cảm sinh

1.3 Mệnh đề (xem [3])

Ta đ t X Y = T

X Y

 hi đó  là một liên thông Lêvi - Sivita trên M

Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra  là một liên thông tuyến tính

Bây giờ ta kiểm tra  thoả mãn hai điều kiện 1 và (2) Th t v :

V  là liên thông Lêvi-Sivita trên M □

1.4 Định nghĩa (xem [2]) iả sử (M, g), (N, g ’) là các Đa tạp Riemann,

Th t v dễ dàng kiểm tra đ c  là một liên th ng tu ến tính Ở đ

ta chỉ chứng minh  thỏa m n hai điều kiện của liên th ng êvi - Sivita

1 T f X, f Y    = f X f Y  f Y f X f X, f Y  

= fX Y fY X f X, Y  (theo B đề 1.11) = fX Y  Y X  X,Y 

= f 0 = 0

11 : T f X, f Y   = 0

 là một liên th ng êvi-Sivita trên N.□

II ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN:

1) Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính

Th t v , ta kiểm tra R tuyến tính đ i v i X:

= X Y - (Y[].X + Y X)

=(X Y - Y X) - Y[].X

Suy ra:  X, YZ =  X, Y   Y.X Z

T ơng tự, kiểm tra đ c R tuyến tính đ i v i Y

Bây giờ ta kiểm tra R tuyến tính đ i v i Z

2) Áp dụng B đề 1.8 ta có R là tam tu ến tính nên ta chỉ c n chứng minh (2)

đ ng trong tr ờng mục tiêu của một bản đ đ a ph ơng (U, x);

1

n i

Trong 3 m t c u có độ cong đ c xác đ nh nh sau đ i v i liên thông

Lêvi-Sivita cảm sinh trên D

Đ t X = R u = (-sinu cosv, cosu cosv, 0)

Y = R v = (cosu.sinv, -sinu.sinv, cosv)

R uu = (-cosu.cosv, -sinu.cosv, 0)= sinv.cosv.R v - cos 2 v.N

R uv =R vu =(sinu.sinv, -cosu.sinv, 0) = -tanv.R u

R vv =(-cosu.cosv, -sinu.cosv, -sinv) = - N

T ơng tự, ta xét m t xuyến trong 3 xác đ nh bởi tham s hoá:

 u, v r abcos 2πu  cos 2πv, a b  cos 2πu  sin 2πv, bsin 2πv

i: a > b > 0, (u, v) 2

Y R   π a b πu πu, π a b πu πv,

 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 

uu

R b

ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Trong ch ơng này ta kí hiệu g(X, Y) = X.Y là tích vô h ng trên Đa tạp

Riemann

I ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN

Bây giờ ta xét ánh xạ:

     :

X, Y, Z, T R X, Y, Z, T R X, Y, Z T. 

của Đa tạp Riemann

1.15 Định lý (xem [3])

K( δ ) kh ng phụ thuộc vào việc chọn cơ sở {X, Y} của p δ p

Chứng minh: iả sử X , Y ) là một cơ sở bất kì của δ p

2

k – k h12 2 k 2 ) R(X, Y, Y) Y

= λ1 (Y.Z)(X 1 T) +λ2 (Y.Z) (X 2 T) - λ1 (X 1 Z) (Y.T) - λ2 (X 2 Z)(Y.T)

= λ1 ((Y.Z)(X 1 T) - (X 1 Z) (Y.T)) + λ2 ((Y.Z) (X 2 T) - (X 2 Z)(Y.T))

P p (Y, Z, X, T) = (Z.X)(Y.T) - (Y.X)(Z.T) = (X.Z)(Y.T) - (X.Y)(Z.T)

P p (Z, X, Y, T) = (X.Y)(Z.T) - (Z.Y)(X.T) = (X.Y)(Z.T) - (Y.Z)(X.T)

II ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN CON

Trong mục nà ta giả thiết:

• N là Đa tạp Riemann (n + 1) chiều v i liên th ng êvi - Sivita 

• M là Đa tạp Riemann con n chiều đ nh h ng v i liên th ng êvi - Sivita

1 1

2 2

2 2

1 1

1

1

2

Y k X

Y, h k X h l Y k X

Y, h k X h l Y k X

ọi R,R l n l t là độ cong của Đa tạp Riemann M, N

K,K l n l t là độ cong thiết diện của Đa tạp Riemann M, N

,  l n l t là liên th ng êvi-Sivita của Đa tạp Riemann M, N

36 Phát biểu và chứng minh tính chất tam tu ến tính của độ cong của Đa tạp Riemann ( đề 1.8

Phát biểu và chứng minh tính chất phản xứng đ i v i biến thứ nhất và ba của ánh xạ đề 1.18

Áp dụng các c ng thức xác đ nh đ c độ cong của m t c u và m t xu ến trong 3, độ cong của siêu trụ trong 4 v i cấu tr c Riemann cảm sinh í dụ 1.12, 1.16)

Trong thời gian t i ch ng t i s tiếp tục nghiên cứu về độ cong thiết diện của §a tạp giả Riemann

TÀI LIỆU THAM HẢO

T i liệ Ti ng Việt

[1] Khu Qu c Anh - Nguyễn Doãn Tuấn, Lý uyế l ê ô và Hì c Riemann, NXB ĐHSP Hµ Néi, (2005)

[2] Nguyễn Hữu Quang, Mở đầu về Hì c R e a , ài giảng chu ên đề

Sau đại học Vinh, (2005)

[3] Đoàn Quỳnh, Hì c v p â , NXB Giáo dục, (2000)

37 [4] Đoàn Quỳnh, Bà ập ì c v p â , NXB Giáo dục, (2000) [5] Nguyễn th Diệu Thuý, Độ co cơ bả rê Đa ạp Riemann, Lu n văn thạc sĩ, (2006) [6] Nguyễn th Quỳnh Xuân, Tenxơ cong, tenxơ xoắ và độ co ế d ệ trên Đa ạp Riemann, Lu n văn thạc sĩ, (2004) [7] Gromoll.D, Klingenberg.W, Meyer.W (1971), Hì c R e a toàn cục, Bản d ch từ tiếng Nga, ng ời d ch Tr ơng Đức Hinh T i liệ Ti ng Anh [8] Neill.B.O, Elementary Differential Geometry Academic Preess, New York- London, 1966 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: ĐỘ CONG CỦA ĐA TẠP RIEMANN 3

I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA Đ TẠP RIE NN 3

II ĐỘ ON Đ TẠP RIE NN 10

Chương 2: ĐỘ CONG THIẾT DIỆN CỦA ĐA TẠP RIEMANN 20

38 I ĐỘ ON THIẾT DIỆN Đ TẠP RIE NN 20

II ĐỘ ON THIẾT DIỆN Đ TẠP RIE NN ON 29

ẾT LU N 35

TÀI LIỆU THAM HẢO 36