Độ cong và độ xoắn trên đại số

Độ cong và độ xoắn trên đại số là một trong những khái niệm cơ bản của hình học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật khác, .... Chính vì v

NGUYỄN HỮU NAM

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

TRÊN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

NGUYỄN HỮU NAM

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

TRÊN ĐẠI SỐ

CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC -TÔPÔ

MÃ SỐ: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

NGHỆ AN - 2014

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương I ĐẠI SỐ 3

1.1 Đại số 4

1.2 Đại số Lie 5

1.3 Đồng cấu đại số 8

1.4 Ánh xạ ad 12

Chương II ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 17

2.1 Đạo hàm trên đại số 17

2.2 Liên thông tuyến tính trên đại số 22

2.3 Độ cong và độ xoắn trên đại số 27

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời vào những năm giữa thế kỷ XIX, từ các công trình chủ yếu của Riemann là kết quả chính trong luận án tiến sĩ (1851) và bài giảng bảo vệ chức danh giáo sư (1859) Mối quan tâm của Riemann là các độ cong của không gian, mà chủ yếu là độ cong hằng tại một điểm của không gian

Độ cong và độ xoắn trên đại số là một trong những khái niệm cơ bản của hình học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật khác, Chính vì vậy, độ cong và độ xoắn trên đại

số được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm, như :

W.Klingenberg, B.O.Neill, A.Ya.Sultanov, Đỗ Ngọc Diệp,

Trong luận văn này, bằng việc sử dụng công cụ liên thông tuyến tính 

trên đại số G, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về độ cong và độ xoắn trên đại số G

Luận văn được mang tên: Độ cong và độ xoắn trên đại số

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương I Đại số

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của Đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau Chương I được chia làm bốn phần:

1.1 Đại số,

1.2 Đại số Lie,

1.3 Đồng cấu trên đại số,

1.4 Ánh xạ ad

Chương II Độ cong và độ xoắn trên đại số

Đây là chương thể hiện nội dung chính của luận văn.Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm trên đại số, liên thông tuyến tính trên đại số và độ cong, độ xoắn trên đại số Chương II được chia làm 3 phần:

2.1 Đạo hàm trên đại số,

2.2 Liên thông tuyến tính trên đại số,

2.3 Độ cong và độ xoắn của đại số

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014, tại trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS - TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tận tình tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Hình học – Tôpô; các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học của trường Đại học Vinh, đã tận tâm giảng dạy, góp

ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn Tác giả cũng tỏ lòng biết ơn các bạn trong lớp cao học 20, các đồng nghiệp trường THPT Nam Đàn I, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Chương I ĐẠI SỐ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ

bản của đại số, đại số Lie và đồng cấu đại số Cũng trong chương này, ta luôn

giả thiết K là một vành giao hoán có đơn vị e = 1  0

Một mô đun G trên K, đó là một nhóm cộng Aben cùng với phép nhân:

+) Ta chú ý rằng, trong trường hợp K là một trường thì G được gọi là

không gian véc tơ trên K

+) Ta thường viết ab thay cho a.b với a b G, 

+) Giả sử M là một đa tạp khả vi thực, n chiều

Ta ký hiệu : T (M) = {f : M  R f khả vi trên M}

B (M) = { X X trường véc tơ khả vi trên M }

Khi đó : T (M) là một vành giao hoán có đơn vị e

; 1 ,

MR p  p M và B(M) là mô đun trên T (M) với hai phép toán:

 X + Y : p X pY p; p M X, p,Y pT M p

 f X : p f p X( ) p ; p M f,  T (M), X pT M p

Chú ý: * Mỗi phần tử của môđun G được gọi là một véc tơ

* Giả sử G’ là một tập con của G và cùng với phép toán như trên G,

mà G’ lập thành một mô đun trên K, thì ta nói G’ là môđun con của G

* Giao của một họ các môđun con của G cũng là một mô đun con của G

* Giả sử {Gi} iI là một họ các mô đun con của G, thỏa mãn:

Giả sử G là một mô đun trên K, G được gọi là một đại số trên K , nếu

G được trang bị một phép toán mới ( phép tích trong) :

a b



 ) (3) Khi đó Mn là đại số

Thật vậy: Mn cùng với 2 phép toán (1) và (2) là một không gian véctơ thực

Ở đây ta kiểm tra các tiên đề của phép tích trong :

T1) Giả sử A( B + C) = D, trong đó C = ( )cij , D = (dij)M n là ma trận vuông cấp n

* Giả sử G là đại số thỏa mãn : g1.g2 = g2.g1, g g1, 2G, khi đó G

được gọi là đại số giao hoán

Đại số G có tính chất : (g1g2)g3 = g1(g2g3); g g g1, 2 3G, khi đó G

được gọi là đại số kết hợp

* Mn là đại số kết hợp nhưng không là đại số giao hoán

* Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết G là một đại số kết hợp

Một đại số G trên K được gọi là đại số Lie nếu phép toán tích trong

(phép tích trong được kí hiệu : [,] ( móc Lie),

 , :G G G

( , )a b [ , ]a b , thỏa mãn thêm hai tiên đề sau :

a) [a, b] = - [b, a] ; a b G,  ( tính chất phản xứng của móc Lie),

b)  a b c, ,     b c a, ,     c a b, ,  0 ;a b c G, ,  (hệ thức Jacobi của móc Lie)

Chú ý: * Mọi đại số tầm thường G( [a, b] = 0; a b G,  ) đều là đại số Lie

* Số chiều của đại số Lie là số chiều của môđun G

* Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường R và dim G= n, cấu trúc của đại số Lie G được xác định bởi tích Lie của từng cặp véc tơ thuộc

cơ sở { e1, e2, … , en} đã chọn trước trên G, như sau :

1) Cho G là đại số trên K , với tích Lie được cho bởi :

 a b, ab ba ;a b G,  Khi đó, G là một đại số Lie

Thật vậy: Ta đã biết G cùng 3 phép toán : phép cộng trên K; phép nhân

G với K; phép tích trong là một đại số

Ở đây, để chứng tỏ G là đại số Lie, ta chỉ việc kiểm tra 2 tính chất: phản xứng và Jacobi của tích Lie :

+ a b G,  , ta có: [a, b] = ab – ba = - ( ba – ab) = – [b,a]

+ a b c G, ,  , ta có : [ , ],a b c = [ , ]. a b cc a b.[ , ]

= (ab – ba)c – c(ab – ba)

= abc – bac – cab + cba (1)

Tương tự ta cũng có :

[ , ],b c a = bca – cba – abc + acb  (2)

[ , ],c a b = cab – acb – bca + bac  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : [ , ],a b c +  [ , ],b c a +  [ , ],c a b = 0 

2) Với G là không gian véc tơ Ơclit thông thường 3 chiều R3, với [a,b] = a  b ( là tích có hướng trong R3 ) Khi đó, G là đại số Lie trên R Thật vậy :

* G = R3 là môđun với 2 phép toán cộng và nhân thông thường

* Phép toán [a,b] = a  b là một ánh xạ song tuyến tính trong R3,

là đại số Lie 3) Cho Mn (R) = {A A là ma trận vuông cấp n trên R}, với tích Lie được cho bởi : [A, B] = A.B – B.A là một đại số Lie

Thật vậy, với phép cộng và phép nhân thông thường các ma trận và tích Lie được định nghĩa ở trên thì Mn (R) là một đại số

Bây giờ ta kiểm tra 2 tính chất của tích Lie:

ABC BAC CAB CBA BCA CBA ABC

ACB CAB ACB BCA BAC

1.2.3 Nhận xét Cho G là đại số Lie, khi đó x y z, , G, thì :

Giả sử G, G’ là hai đại số trên K, ánh xạ, f G: G', f được gọi là

đồng cấu đại số nếu : * f( g1+ g2) = f(g1)+f(g2) ; g g1, 2G ,

* f(g1) =f(g1) ;  g1, G,K ,

* f(g1.g2) = f(g1).f(g2) ; g g1, 2G

Như vậy :

- Một đồng cấu đại số là một ánh xạ bảo tồn các phép toán trên đại số

- Một đồng cấu đại số f vừa là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số

- Nếu có một đẳng cấu từ G đến G’, khi đó ta nói G đẳng cấu với G’ và

viết G ~ G’

1.3.2 Nhận xét Giả sử f là một đồng cấu đại số : G  G’, khi đó :

a) ker f gG f g( )0 là iđêan của G

Thật vậy: Với g1, g2 ker f , g3G ta có:

+ f( g1 - g2) = f(g1) - f(g2) = 0  g1 - g2 kerf ,

+ Với K, f( g1) =  f(g1) = 0  g1kerf ,

+ f(g1.g3) = f(g1).f(g3) = 0  g1g3kerf

Vậy Imf là đại số con của G’

f  : G’  G Với ' ' '

- N được gọi là đại số Lie con của G nếu [N, N] N

- N được gọi là Iđêan của G nếu [G, N] N

- Một Iđêan N cực đại của G thỏa mãn [G, N] = 0, thì N được gọi là

tâm của G và được kí hiệu T(G)

Ta nhận thấy rằng : Mỗi Iđêan của G là một đại số Lie con của G

Đặc biệt T(G) là một đại số Lie con giao hoán của G

Giả sử G và G’ là hai đại số Lie trên trường K Khi đó, đồng cấu đại số

'

: G G

  được gọi là đồng cấu Lie

- Nếu  là đồng cấu Lie vừa song ánh thì  được gọi là một đẳng cấu Lie

- Các đại số Lie G, G’ được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một

đẳng cấu '

: G G

1.3.6.Mệnh đề

Giả sử V là không gian véc tơ trên trường số thực R Khi đó

End V = { :f V V f là đồng cấu tuyến tính } là một đại số Lie với tích Lie [f,g] = fg – gf

Thật vậy :

* Rõ ràng EndV là một không gian véc tơ trên R

* EndV là một đại số:

+ Với f f g1, 2, EndV, ta có : [f1 + f2, g] = (f1 + f2 ) g – g (f1 + f2) = f1 g – g f1 + f2 g – g f2 = [f1,g] + [f2,g] ,

[ , ],f g h  [(f g g f ), ]h = (f g g f )h h f g (  g f )

= f g h  g f h  h f g  h g f  (1)

[ , ],g h f  [(g h h g ), ]f = g h f  h g f   f g h   f h g  (2)

[ , ],h f g =  [(h f  f h g ), ] = h f g   f h g  g h f  g f h  (3) Cộng (1), (2), (3) ta được [ , ],f g h[ , ],g h f [ , ],h f g0;

Khi đó,  là đồng cấu Lie và Ker() = T(G)

Thật vậy : * là đồng cấu đại số: Với x y, G ,   K ta có: +) (x+y)(z) = adxy(z)

= [ x , [y,z]] – [ y,[ x , z]]

= [adx, ady](z)

= [( x ), (y)](z) ; zG ( x y ) = [ ( ),  x , (y)]

* Ta chứng tỏ D là đạo hàm : f g G,  ;K, ta có : +) D(f +g) = (f + g)’ = f ’ + g’ = D(f) + D(g) ,

Vậy Dx là đạo hàm trên R3

Chú ý: Từ ví dụ này, ta nhận thấy rằng phép đạo hàm trên R không 3

Giả sử G là đại số trên K, ta ký hiệu F ={ ánh xạ X X là đạo hàm trên

G} Khi đó : F là một đại số Lie trên trường K với tích Lie

X X1 , 2 X X1 2 X X2 1; X X1, 2F

Chứng minh:

* Ta thấy rằng F là một môđun trên K Do đó để chứng minh F là một

đại số, ta cần kiểm tra các tiên đề :

+ Với X X X1, 2, 3F, ta có :

[X 1 + X 2 , X 3 ] = (X 1 + X 2) X 3 – X 3 ( X 1 + X 2 )

= ( X 1X 3 – X 3X 1 ) + ( X 2X 3 – X 3X 2)

= [X 1 , X 3 ] + [X 2 , X 3]

[X ,2 X3],X = 1 X X X2 3 1X X X3 2 1X X X1 2 3 X X X1 3 2 (2)

[X ,3 X1],X2 = X X X3 1 2 X X X1 3 2 X X X2 3 1X X X2 1 3 (3) Cộng từng vế của (1), (2), (3) :

[X ,1 X2],X + 3 [X ,2 X3],X + 1 [X ,3 X1],X2 = 0

2.1.5 Định lý

Giả sử G là đại số Lie, khi đó: ánh xạ adx : GG

y  x y , là ánh xạ đạo hàm ,Chứng minh : * adx là ánh xạ tuyến tính: ( theo nhận xét 1.4.2.)

* Ta có : adx [y,z] = [ x , [y,z]] = - [[y,z], x ]

Hệ quả: Kí hiệu Ga = ad x x G , thì Ga là một Iđêan của F

Thật vậy : Ta lấy tùy ý X  F và ad xGa Ta có :

[X, ad ] = x ad X x( )  [X,ad x]G a  [F, Ga]  Ga

Vậy Ga là Iđêan của F

Ga được gọi là đại số liên kết của đại sốLie G

2.2 LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ

Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số giao hoán trên K và G có đơn vị 

Ta chú ý tới ánh xạ aX : GG, x aX x( )a X x a G ( );   , x G

2.2.1 Mệnh đề

Giả sử G là đại số kết hợp Khi đó với  a G X, F thì aX  F

Chứng minh : +) aX( x + y) = a.X( x + y)

thì  là liên thông tuyến tính trên đại số G

Thật vậy, G là đại số trên R ( thỏa 3 tiên đề của định nghĩa), bây giờ ta kiểm tra 4 tiên đề của liên thông trên đại số : X Y Z, ,  F;  G

T 1) X(Y Z) = D Y X( Z)

= X Y 1Z1 ,X Y2 Z2, X Y n Z n 

= X[Y ],X[Y ], X[Y ]1 2 n   X[Z ],X[Z ], X[Z ]1 2 n  = D Y X D Z X

Chứng minh : X Y Z, , F, ta kiểm tra các tiên đề:

Vậy  là liên thông tuyến tính trên đại số G

Nhận xét : G = T(R3

) = { f : R3 R, f khả vi } , X Y D Y X (X Y) Khi đó là liên thông tuyến tính trên đại số G

2.2.4 Định lý

Cho 1, 2 là hai liên thông tuyến tính trên đại số G, đặt     a 1 b 2 Khi đó,  là liên thông tuyến tính trên đại số G, nếu và chỉ nếu a b ; với ,

     là liên thông đại số trên G

Thật vậy, Với X, X’, Y, Y’  F, ta kiểm tra 4 tiên đề của liên thông đại số:

T1) X(Y Y') =  1 2 '

X

a  b Y Y = a1X(Y Y') b 2X(Y Y')

= a1X Y  a 1X Y' b 2X Y  b 2X Y'

=  1 2  1 2 '

a  b Y    a b Y = X Y  X Y' ,

T3) cX Y =  1 2

cX

a  b Y = a1cX Y  b 2cX Y

=  1 2

X

c a  b Y = cX Y ;  c G ,

T4) X(cY) =  1 2

( )

X

a  b cY = a1X(cY) b 2X(cY)

=  1   2 

= X[c].Y  c X Y ( vì a b ) ;  c G

2.2.5 Nhận xét * Tổng của hai liên thông tuyến tính trên đại số chưa chắc

đã là một liên thông tuyến tính trên đại số đó

*Ta chú ý rằng:X( )  X;  K X, F thì ta có   1 (1 ) 2là một liên thông trên G, với 1 2

,

  là các liên thông trên G

* Với mỗi X F và là liên thông trên G thì X :Y X Y là phép đạo hàm trên mô đun F( F là mô đun trên G)

2.3 ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của độ cong và độ xoắn trên đại số G

c) Giả sử  trên G được cho bởi X Y  X Y S X Y( , );X Y, F; ở

đây S là ánh xạ song tuyến tuyến tính đối xứng F F  F và là liên thông tuyến tính trên G

Ta có : ( , )T X Y = X Y  Y X [X,Y]

= (X Y S X Y( , )) ( Y X S Y X( , ))X Y,  = X Y  Y X X Y, 

= T X Y( , );X Y, F

Như vậy : T = T (Ở đây T là độ xoắn trên G theo )

d) T(X, Y) = - T(Y, X) ; X Y, F

2.3.5 Mệnh đề

Với G = J ( n

R ), F = B ( R ) và n  D Khi đó R(X, Y, Z) = 0 ; , ,

= X1 Y Z   Y X1Z  X Y1 , Z   X2 Y Z   Y X2Z X Y2 , Z = R X Y Z( 1, , )  R X Y Z( 2, , ) ; X X Y Z1, 2, , F

Bây giờ ta đặt        X, Y X Y Y X ;X Y, F Khi đó ta có mệnh đề sau

 D D X, YDX Y, 

Từ (2.3.7.c), ta ký hiệu D (R n) = {D XX B (R n)}, ta trang bị cho

D(R ) các phép toán sau : n

1) D X D Y( )Z D Z X D Z Y ; Z B (R ) , n

2) D X( )Z = .D X( ) ;Z R,

3) D D X, Y( )Z = DX Y, Z ;  Z B (R ) n

2.3.8 Mệnh đề

D (R ) cùng ba phép trên lập thành một đại số Lie trên R n

Chứng minh : * Rõ ràng với phép toán (1) và (2) ở trên D ( n

R ) là một

mô đun trên R

Bây giờ ta kiểm tra các tiên đề của các phép toán (3)

Như vậy phép toán (3) có tính chất tuyến tính với D X

Chứng minh tương tự phép toán (3) cũng có tính chất tuyến tính với D Y

Ta tiếp tục kiểm tra tính chất phản xứng và Jacôbi của phép toán (3): +) D D X, Y( )Z = DX Y, Z