cơ môi trường liên tục

Chẳng hạn đối với vật thể rắn biến dạng có các môn sau: Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ biến, Cơ học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… T

1.1 Nhi ệm vụ và đối tượng của môn học

1.1.1 Nhi ệm vụ của môn học

Nhiệm vụ của môn học cơ học môi trường liên tục nói chung và lý thuyết đàn hồi nóiriêng là tìm cách xác định trạng thái ứng suất, biến dạng và trường chuyển vị trong môitrường liên tục khi chịu tác dụng của ngoại lực hoặc các yếu tố ảnh hưởng khác Môitrường liên tục là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục Cũng như các môn cơ họcbiến dạng khác, các kết quả của môn học là cơ sở cho việc giải quyết các bài toán kỹthuật

Do môn học nghiên cứu tất cả các môi trường liên tục vì vậy lý thuyết xây dựngtrong môn học là lý thuyết tổng quát để giải tất cả các dạng kết cấu khác nhau vàphương pháp của môn học là phương pháp chung nhất để giải các bài toán trong cơ học

Vì vậy cách đặt vấn đề về mặt toán học là chặt chẽ và chính xác hơn so với các môn họcnhư Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu v.v…

2

1.1.2 Đối tượng của môn học

Đối tượng của môn học là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa là tại một

điểm bất kỳ luôn lấy được một phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó Tùy thuộccấu tạo vật chất và tính chất cơ học của môi trường vật chất mà người ta có thể chia ralàm 3 loại: Môi trường rắn; Môi trường lỏng; Môi trường khí

Tương ứng với mỗi loại vật thể của môi trường ở trên, có thể xây dựng các lý thuyếtriêng cho từng môi trường Chẳng hạn đối với vật thể rắn biến dạng có các môn sau:

Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ

biến, Cơ học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong các chương sau môn học chủ yếu

đề cập đến bài toán phân tích ứng suất biến dạng của vật thể rắn biến dạng đàn hồi khichịu tác dụng của ngoại lực

1.2 Các gi ả thuyết và nguyên lý cơ bản của môn học

3

Môn cơ học môi trường liên tục khác với môn Sức bền vật liệu là giải bài toán mộtcách chặt chẽ nhưng môn học cũng phải đưa vào các giả thuyết để làm đơn giản bàitoán khi tính toán so với kết cấu thực tế Các giả thuyết cơ bản:

1.2.1 Gi ả thuyết 1: Giả thuyết về cấu tạo liên tục của vật thể đàn hồi

Vật thể liên tục trước và sau khi biến dạng (không có lỗ rỗng, không gián đoạn), cácphân tố trong vật thể cũng liên tục Như vậy biến dạng và chuyển vị của từng điểm trong

Trong thực tế các vật thể luôn có cấu trúc nhấtđịnh, không cần phải dùng thiết bị phóng đại để quan sát chúng ta cũng có thể thấy cấutrúc của vật thể có những điểm gián đoạn Vì vậy, nếu biểu diễn được sự gián đoạn của

vật thể bằng toán học thì kết quả phân tích cũng rất phức tạp đối với các bài toán đơngiản Cần chú ý rằng, lý thuyết cơ học môi trường liên tục coi vật thể là liên tục nhưngkhi phân tích vẫn tưởng tưởng cắt vật thể ra thành các phân tố vô cùng bé bằng các mặtbất kỳ, nhưng những phân tố nằm cạnh nhau thì chúng cùng chung một mặt bên và từngphân tố không mang tính chất riêng biệt

4

vật thể là các hàm liên tục của các tọa độ

1.2.2 Gi ả thuyết 2: Giả thuyết về trạng thái không ứng suất ban đầu của vật thể

Theo giả thuyết này thì ứng suất ban đầu trong vật thể trước lúc đặt ngoại lực do quátrình hình thành vật thể sinh ra được xem bằng “không” Như vậy ứng suất trong vật thểkhi môn học nghiên cứu là phần tăng ứng suất tại điểm đang xét trong vật thể khi có tácdụng của ngoại lực sinh ra, chứ không kể đến ứng suất sẵn có ban đầu tại điểm đó.Trong kỹ thuật ta bỏ qua ứng suất ban đầu và sự gián đoạn của vật thể có sai khác thực

tế, nhưng bù lại khi ta tiến hành thí nghiệm các mẫu vật liệu để xác định các đặc trưng

cơ học của chúng (giới hạn đàn hồi, giới hạn chảy, v.v…) từ đó xác định ứng suất chophép của vật liệu bằng thực nghiệm chúng ta cũng bỏ qua ứng suất ban đầu và cấu trúc

thực của vật liệu

1.2.3 Gi ả thuyết 3: Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, đồng nhất và đẳng hướng

chất khi v dạng, nhưng khi không còn chịu tác dụng của ngoại lực “dỡ tải về không” thì

5

ật thể chịu tác dụng của ngoại lực thì biến

vật thể trở về nguyên hình dạng ban đầu Tính đồng nhất của vật liệu thể hiện là tính

chất tại mọi điểm khác nhau trong vật thể có tính chất như nhau Tính đẳng hướng của

vật liệu là tính chất tại một điểm bất kỳ trong vật thể theo mọi hướng đều có tính chất

cơ – lý là như nhau, như vậy bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phân tố đều là mặt phẳng đối

xứng của phân tố đó

1.2.4 Gi ả thuyết 4: Biến dạng và chuyển vị rất nhỏ hơn so với kích thước của vật thể

đến m hệ bậc nhất (tuân theo định luật Hooke tổng quát) Dựa vào giả thuyết này, khitính toán với các biến dạng dài tương đối hoặc biến dạng góc nếu ta khai triển các đạilượng này theo chuỗi Taylor thì ta có thể bỏ qua các biến dạng góc bậc cao

Ví dụ khi α rất nhỏ thì:

6

ối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là mối quan

a3 1

Xét trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc ox x x1 2 3 có các thành phần

véctơ đơn vị: e ;e ;e1 2 3 Xét véctơ a có các thành phần chiếu

lên các trục tọa độ là: a ;a ;a1 23 Ta có: x 1

7

a = a e11 + a e22 + a e33 (1.1) Hình

Xét hệ trục ox x x1 2 3 quay quanh điểm o chuyển thành hệ trục ox' x' x'1 2 3.Gọi các véctơ đơn vị trên các trục của hệ trục ox x x1 2 3 là e ;e ;e1 2 3 , véctơ đơn vịtrên các trục của hệ

8

l = =1 cos(a ;e );1 m = a2 = cos(a ;e );2 n = a3 = cos(a ;e )3

(1.2) a

trục ox' x' x'1 23 là e' ;e' ;e'12 3

Cosin chỉ phương của các véctơ đơn vị e ;e ;e1

3 trên hệ trục ox' x' x'1 2 3 lần lượt là:

sang ox' x' x'1 2 3

Từ (1.4) và (1.5) suy ra ma trận chuyển trục tọa độ là một ma trận trực giao có:

[T]−1 =[T]T (1.6) Xét một véctơ a trong hệ trục tọa độ cũ ox x x1 2 3 (hình 1.2a) có tọa độ là (a ;a ;a1 2 3 ),

ta

có:

a

= a e1 1 + a e2 2 + a e3 3 (1.7)Véctơ a trong hệ trục tọa độ mới ox' x' x'1 2 3 (hình 1.2b) có tọa độ là (a' ;a' ;a'1 2 3 ), ta có:

11

a = a ' .e'1 1 + a ' .e'2 2 + a ' .e'3 3(1.8) Chiếu (1.7) và (1.8) lên trục ox'1 của tọa độ của hệ trục ox' x' x'1 2 3 ta có:

a '1 = a cos(e ;e' )1

1 + a cos(e ;e' )2 21 + a cos(e ;e' )3 3 1

a'

1 = a l1 1 + a m2 1 + a n3 1 (1.8a)

x 1 x 1

x x

12

m n11 +m n22 +m n3 3 = 0

n l1 1 +n l2 2 +n l3 3 = 0

Tr ường vô hướng là hàm vô hướng của các điểm trong miền xác định của hàm Giả

sử có trường vô hướng ϕ(x ,x ,x1 2 3) thì ta có định nghĩa:

phương trình:

ϕ=const (1.13)

16

Trong công thức (1.12) thì đại lượng ký hiệu ∇ϕ là một véctơ được gọi là toán tửNabla trong tọa độ Descartes

Véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt cho bởi phương trình (1.13) tại một điểm nào đótrên bề mặt là v thì ta có:

Nếu hàm ϕ có ∇ ϕ=20 thì hàm ϕ được gọi là hàm điều hòa

Nếu hàm ϕ có ∇ ∇ ϕ = 2 ( 2 ) 0 thì hàm ϕ được gọi là hàm trùng điều hòa (hàm điềuhòa kép)

Ví d ụ 1.1: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C biết tọa độ

của các điểm trong hệ trục tọa độ ox x x1 2 3 là: A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)

L ời giải:

18

Phương trình của mặt phẳng đi qua 3 điểm A,

B, C:

xa1 + xb2 + xc3 =1

19

Trường hợp đặc biệt: a = b = c (mặt ABC nghiên đều với các trục tọa độ), khi đó véctơ

pháp tuyến đơn vị của mặt là: vr = ±1 eur1 + ±1 euur2 + ±1 euur3

3 3 3

Ví d ụ 1.2: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm

21

Suy ra véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt cầu tại điểm A: v = 0.e1 − 0,6.e2 − 0,8.e3 hay

v = (0; 0,6; 0,− − 8)

22

 a1 a2a3





Thực tế trong toán học chúng ta đã gặp một số loại đại lượng:

- Đại lượng vô hướng: là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng là các con số Trong thực

tế có một số đại lượng là đại lượng vô hướng như: khối lượng, thời gian v.v…

- Đại lượng có hướng (đại lượng véctơ): là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng ngoài

các con số còn có phương và chiều Trong thực tế có một số đại lượng là đại lượng cóhướng như: vận tốc, gia tốc, lực v.v…

Ngoài 2 đại lượng vừa trình bày, trong thực thế còn những đại lượng đặc trưng cho

một trạng nào đó của môi trường mà đại lượng này không phụ thuộc vào cách chọn hệtrục tọa độ Các đại lượng này được biểu diễn bởi một số giá trị nào đó gọi là thànhphần của đại lượng Đối với những hệ trục khác nhau thì những thành phần này cũng

24

thay đổi theo một quy luật nào đó (có thể xác định các thành phần của đại lượng nàytrong hệ trục tọa độ mới nếu biết các thành phần của đại lượng này trong hệ trục tọa độ

cũ) Những đại lượng có quy tắc thay đổi các thành phần như vậy được gọi là đại lượngtenxơ

Một tenxơ có 3n phần tử thì tenxơ đó có hạng là n Như vậy tenxơ hạng 0 sẽ có 30 =1

phần tử, tenxơ hạng 1 sẽ có 31 =3 phần tử, tenxơ hạng 2 sẽ có 32 =9 phần tử, tenxơ

hạng

3 sẽ có 33 =27 phần tử v.v…

Xét một véctơ a trong hệ trục tọa độ

ox x x1 2 3 véctơ a có tọa độ (a ;a ;a1 2 3 ), như vậy nếu bi thì ta cũng có thể xác định đượctọa độ

25

ết tọa véctơ a trong hệ trục tọa độ ox x x1 2 3

véctơ a trong hệ trục tọa độ mới ox' x' x'1 2 3 như vậy ta nói đại lượng véctơ cũng chính

là một đại lượng tenxơ và vì tenxơ này có 3 phần tử nên ta nói véctơ là đại lượng tenxơhạng “1” Tương tự như thế, đại lượng vô hướng cũng có thể được coi là tenxơ hạng

“0” Như vậy đại lượng tenxơ là một đại lượng tổng quát mà các đại lượng vô hướng vàđại lượng có hướng là các trường hợp riêng của nó

Tenxơ hạng hai là đại lượng có 32 =9, nếu gọi các thành phần của tenxơ hạng 2 là a(i, jij =1,2,3) thì ta có thể biểu diễn tenxơ hạng 2 dưới dạng ma trận sau:

a11 a12 a13 (aij )=a 21 a 22 a 23 

a31 a32 a33 

Tenxơ hạng 2 được gọi là đối xứng nếu: aij = a ji ; phản xứng nếu: aij =−a ji

26

M ột số phép tính cho tenxơ hạng 2 (ma trận):

- Phép nhân ma trận với một vô hướng λ[A]

27

thư

ớ

Tích của ma trận[A] với một vô hướng λ là ma trận [B] với các phần tử của ma trận

Xác định hàng cuối cùng của ma trận bậc (3x3) cho dưới đây để có được ma trận biếnđổi

28

(nxk) thành ma trận [C]có kích thướ

2 1 1

2

22

32 210

và véctơ b(1,2,3); c(3, 1, 1)− − Tìm các thành phần của véctơ tổng a = +b c trong phép

) II (

 2 − 2 25 

Xác định tọa độ của điểm M( 4,3, 1)− − trong hệ trục tọa độ mới

Ch ương 2: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

n n x 1 1

Hình 2.1 Ứng suất tại một điểm

Ứng suất trung bình tại điểm K: ptb = ∆P (2.1)

∆A

Ứng suất tại điểm K: pv =lim∆P (2.2)

∆ →A0 ∆A

33

P ν ν

Hình 2.2 Các thành phần ứng suất tại một điểm

Ứng suất tại điểm K chiếu lên các trục tọa độ (hình 2.2a):

(2.3) Ứng suất tại điểm K phân ra hai thành phần (hình 2.2b):

pv =σ +τv v (2.4)trong đó: σ v : có phương hướng theo phương pháp tuyến của mặt cắt ngang và được gọi

là ứng suất pháp; τ v :có phương tiếp tuyến với mặt cắt ngang và được gọi là ứng suất

tiếp

35

ox x x1 2 3 có 1 trục là vuông góc với mặt cắt

ngang (chẳng hạn trục ox1) thì ứng suất

pháp theo phương trục ox1 được ký hiệu là

σ11; ứng suất tiếp trên mặt cắtngang lúc này được phân thành haithành phần có phương theo trục

ox2 và ox3 được ký hiệu lần lượt

36

là: τ12; τ13 Tương tự như vậy, trên mặt có

Tại một điểm bất kỳ trong vật thể, khi tách ra một phân tố hình lập phương mà các

pháp tuyến lần lượt trùng với phương các trục tọa độ của hệ trục ox x x1 2 3thì trên các m

t (hình 2.4):

- 3 thành phần ứng suất pháp: σ11; σ22; σ33

- p: τ12; τ21;τ23; τ32 ;τ31; τ13

Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ

số thì chỉ số đầu tiên là chỉ số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyếncủa mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ số của trục tọa độ có phương là phương của véctơ ứngsuất

Quy ước dấu của các thành phần ứng suất:

38

ặt của phân tố này có các thành phần ứng suấ

6 thành phần ứng suất

tiế

- Đối với ứng suất pháp: Ứng suất pháp được coi là dương

khi có hướng cùng với hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt

- Đối với ứng suất tiếp:

+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt trùng với chiều dương của 1 trục tọa

độ thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều cùng (ngược) với chiều dương

của trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó

+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt ngược với chiều dương của 1 trục tọa

độ thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều ngược (cùng) với chiều dương

của

trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó

39

2.1.2 H ệ thống ký hiệu ứng suất

Trong mục 2.1.1 là khi hệ trục tọa độ được ký hiệu là ox x x1 2 3, ngoài ra hệ trục tọa

độ còn được ký hiệu là oxyz vì vậy hệ thống ký hiệu ứng suất có thể viết dưới các dạngkhác nhau sau:

σ11 σ12 σ13  σxx σxy σxz  σx

σ21 σ22 σ23  ; σyx σyy σyz ; τyx

σ31 σ32 σ33  σzx σzy σzz  τzx

Khi cho môi trường chịu tác dụng của các ngoại lực:

- Lực thể tích: là các lực phân bố bên trong không gian của môi trường và được ký hiệu: f

; khi chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi

40

- L ực bề mặt: là các lực phân bố trên bề mặt của môi trường và được ký hiệu: f*; khichiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi*

Ta tưởng tượng chia môi trường ra thành các phần tử bằng các mặt phẳng vuông gócvới các trục tọa độ, nếu căn cứ vào ngoại lực tác dụng thì có thể phân thành 2 loại phần

tử: - Phần tử loại 1: là các phần tử chỉ chịu tác dụng của lực thể tích;

- Phần tử loại 2: là phần tử chịu tác dụng cả lực thể tích và lực bề mặt

Xét tại một điểm bất kỳ trong vật x

41

thể nghiên cứu, tách ra một phân tố có kích

thước dx dx dx1 2 3 Trên 8 mặt của phân tố có

các thành phần ứng suất như hình 2.5 Xét cân

bằng phân tố, chiếu các phương trình cân

(2.5)

42

 + + = ρf

∂x ∂x ∂x

∂τ311 +∂τ322 +∂σ333 + = ρf3 0 d wdt2 2 

2.2.3 Ph ương trình cân bằng cho phân tố loại 2

Khi thỏa mãn các phương trình cân bằng (2.5) thì mới chỉ có các phân tố bên trongthỏa mãn điều kiện cân bằng Để vật thể cân bằng thì ngoài các phân tố bên trong thỏamãn điều kiện cân bằng, các phân tố nằm giáp ngoài biên cũng cần phải được thoả mãnđiều kiện cân bằng Do đó những điểm nằm trên bề mặt của vật thể sẽ phải cân bằng vớicác ngoại lực tác dụng trên bề mặt của vật thể như hình 2.6 Phương trình cân bằng viếtcho các phân tố giáp với bề mặt vật thể:

44

Hình 2.6 Ứng suất trên trên phân tố loại 2

tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi

2.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt

nghiêng là v có cosin chỉ phương là

46

Ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng (chiếu các thành phần pvi lên phương pháp tuyếncủa của mặt cắt ngang):

(2.10) Ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:

48

Một tenxơ ứng suất Tσ có thể phần thành 2 thành phần: tenxơ lệch ứng suất Dσ vàtenxơ cầu ứng suất Toσ

σ =tb (2.16)

50

Giải phương trình (2.19) sẽ tìm được 3 nghiệm σ σ σ1; 2; 3 tương ứng với 3 ứng suất

chính: σ σ σ1; 2; 3 của bài toán

Quy ước là: σ ≥σ ≥σ1 2 3

* Ph ương chính: Muốn tìm phương chính của ứng suất chính nào thì thay giá trị ứng

suất chính tướng ứng vào 2 trong 3 phương trình của hệ (2.17) và kết hợp với phương

trình:

l2 + + =m2

1 (2.20)

53

Ví dụ muốn tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1, bằng việc ta đi giải

2.6 Ứng suất tiếp lớn nhất

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp lớn nhất là v có cosin chỉ phương

là

(pv1,pv2,pv3) Dựa vào cân bằng phân tố ta sẽ có:

Ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng (chiếu các thành phần pvi lên phương pháp tuyếncủa của mặt cắt ngang):

(2.23) Ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:

τ =v(pv )2 − σ( v )2 (2.24)

Thay (2.21), (2.22), (2.23) vào (2.24) sẽ được τv là hàm theo (l,m,n) Vì ứng suất đạtcực trị nên ta có bài toán quy hoạch theo biến (l,m,n):

Hàm mục tiêu: τ→ max

Các ràng buộc: (l 2 + m 2 + n ) 2 = 1

56