CHUONG 5 cơ môi trường liên tục

Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau → các phương trình 5.2 không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp xx của phương

Trong lý thuyết đàn hồi tuyến

tính (quan hệ ứng suất và biến

Trong đó:

Các hệ số a ij là các hằng số đàn hồi của vật liệu

(5.1)

(5.2)

5.1 CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI

Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:

Số gia của công do xx sinh ra

Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:

Số gia của công do xy sinh ra

Số gia của công của một đơn

vị thể tích (công riêng) A

(5.3)

(5.4)

Tương tự đối với yy và zz Tương tự đối với yz và zx

Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.

8)

5.2 ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT- CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU.

5.2.1 Dựa vào định lý Green

Từ (5.2)

- Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự

lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a 15 = a 51

- Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của

(5.2) ta có: a ij = a ji (5.9)

Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối

xứng qua đường chéo chính Do đó các hằng

5.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng

Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào

đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau → các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp xx của phương trình thứ nhất trong hệ (5.2)

không thay đổi

(c) Nhưng các biến dạng góc xy và yz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên

Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận :

- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc

- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối

Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9)

Nếu ta đổi chiều trục z thì không đổi nhưng yz

và zx sẽ đổi dấu

(e) (f)

Nhận được a11 a ;a33 31 a ;a12 32 a13

Do ma trận đàn hồi đối xứng

12 21 13 31 23 32

a a a a a aHoán vị vòng tương tự

11 22 33

a a a

   

   

   

(5.12) (5.13)

Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ c a b / 2   

Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng Hai hằng số vật lý  và μ được gọi là hằng số Lame.

2 2 2

E – Mô đun đàn hồi Hệ số biến dạng ngang (Poát xông)

Đây là hai đặc trưng đàn hồi của vật liệu

G – Mô đun đàn hồi trượt được xác định theo



E G

2(1 )



  Xác định hằng số Lame (đặc trưng biến dạng) theo các đặc trưng đàn hồi.

E

2(1 ) E

(5.18)

5.4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Phương trình cân bằng hoặc chuyển động Navier Phương trình hình học Cauchy

Phương trình cân bằng hoặc chuyển động Navier Phương trình hình học Cauchy

2 31

2 32

5.4.2 Các phương pháp giải bài toán đàn hồi tuyến tính

Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn cho phép xác định được 15 hàm ẩn Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một

số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính

1 Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w

2 Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất

3 Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất

5.5 CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ

u x

 

2 2

2 2

Phương trình Lame tổng hợp được các điều kiện cân bằng về tĩnh học, hình học và vật

lý Giải (5.20) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke

Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta

2

2 2

2

2 2

u 0

v 0

a Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.20) lần lượt theo các biến x, y, z

u 0

Lấy đạo hàm bậc hai lần lượt theo các biến x, y, z

Thay hệ quả (1) vào (b)   2 0

Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa

5.6 GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT

Hệ phương trình (5.24) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường Giải (5.24) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy.

Hệ (5.24) gọi là hệ phương trình Beltrmi

Nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác không

Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const.

Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính chất của các ứng suất

2 2

Hệ quả 3: Các nghiệm ứng suất, chuyển vị, biến

dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể

tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép    4 ij 0; 4u i     0; 4 ij 0; (5.27)

5.7 CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN, ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

1 Điều kiện biên theo ứng suất

Các ứng suất phải thỏa mãn điều kiện cân bằng

2 Điều kiện biên theo chuyển vị

Nghiệm chuyển vị phải thỏa mãn điều kiện

chuyển vị hoặc đạo hàm của các chuyển vị theo

3 Điều kiện ban đầu

Trong các bài toán các đại lượng phụ thuộc vào biến không gian và thời gian, ngoài

điều kiện biên cần thêm các điều kiện ban đầu tại thời điểm t=t o (hay t=0)

Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ Để giảm bớt khó khăn trong nhiều trường hợp điều kiện biên ứng suất được đơn giản hóa bằng sử dụng nguyên lý Saint-Venant

Trạng thái ứng suất và biến dạng của một điểm xa nơi đặt lực của vật thể sẽ không thay đổi khi ta thay hệ lực tác động bằng một hệ lực khác tương đương

Hệ lực tương đương ở đây được hiểu là hệ lực có cùng véc tơ lực chính và mô men chính

Sử dụng nguyên lý này ta có thể thay thế điều kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng các điều kiện biên tích phân viết theo hợp lực

5.8 Nguyên lý Saint-Venant

5.9 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương pháp thuận

Là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.20) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.24) hay Beltrami Michell (5.25) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định Phương pháp này rõ ràng, minh bạch về mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện

2 Phương pháp ngược :

Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.22) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho trước Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được

3 Phương pháp nửa ngược Saint - Venant: Theo phương pháp này ta cho trước

một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược

5.9 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

1 Phương phỏp giải tớch

Là phương phỏp xỏc định cỏc hàm ẩn là cỏc hàm liờn tục Sử dụng giải tớch cho kết quả là nghiệm tường minh, chớnh xỏc và đỏng tin cậy nhưng lại gặp phải cỏc khú khăn về mặt toỏn học Trờn thực tế hiện nay cú rất ớt cỏc lời giải giải tớch cho cỏc bài toỏn cơ học vật rắn biến dạng (cho cỏc bài toỏn đơn giản)

Thay thế cho hàm nghiệm liên tục (gi i tích), ta chỉ xác định nh ng giá trị rời rạc ữu hạn các điểm của vật thểnờn ph ơng pháp số còn gọi là ph ơng pháp rời rạc hoá

5.10 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển

vị hay ứng suất có duy nhất không Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển vị duy nhất hay ta nhận được nhiều hơn hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho

Trường hợp nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi đã cho là đa trị

Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật thể và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất.

5.11 VÍ DỤ GIẢI BÀI TOÁN XOẮN THUẦN TUÝ THANH LĂNG TRỤ

1 Hệ các phương trình cơ bản

Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint-Venant giả thiết

z z

Các liên hệ Cauchy,

định luật Hooke

0 0 0

yz  ;zx  ;

1

02

Các điểm trên mặt cắt ngang không có chuyển

vị theo phương bán kính, chỉ có chuyển vị theo

3 Hàm Prandtl để giải bài toán

4 Thanh có tiết diện ellipse

Ứng suất tiếp lớn nhất tại hai đầu bán trục ngắn m ax  2M2

Trường hợp mặt cắt ngang hình tròn a=b=d/2

Mô men chống xoắn

M

d /





BÀI TẬP CHƯƠNG V

Bài 5.1 Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất:

) / ( 4 0 1

0 3 2

1 2 4

2

cm kN T

1- Biến dạng dài theo phương:

2- Biến dạng chính và phương các biến dạng chính.

0 3 3

0 3 2

xy v

a

y x x

u    ;  ;  

2

) ( 2 2 2

Mo

x

y x

M o  y /

0

; /

HẾT CHƯƠNG 5!