CHUONG 6 cơ môi trường liên tục

HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNGTrong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy.. Bài to

6.1 HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy) Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng

Bài toán phẳng chia ra 2 loại

1 Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy

2 Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy

2 Bài toán ứng suất phẳng :

Xét tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ

Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng số theo

bề dày Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :

zz = τxz = τyz = 0 (a)Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên :

zz  0 (b)Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng

Ân số của bài toán gồm có:

Các ứng suất : xx, yy, τxy.

Các biến dạng : xx, yy, xy, zz  0.

Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là

x, y, τxy với E, ν là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu.

Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị.

Bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng biểu diễn trên hình vẽ sau

Tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét

sẽ là :

zz = xz = yz = 0 (d)

và zz  0 (e)

Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng

3 Bài toán biến dạng phẳng

Ẩn số của bài toán gồm có:

6.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN PHẲNG

Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện

liên tục của biến dạng

; E

; E

(6.1)

(6.2) (6.3)

Các điều kiện biên

Nghiệm của (*) sẽ là tổng của nghiệm

tổng quát phương trình thuần nhất

và nghiệm riêng của phương trình (*)

6.3 PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG SUẤT AIRY

Hàm ứng suất Airy

Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất

Airy

00

Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất

Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) hay

p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì

giữa p và q phải có quan hệ :

Phương trình thứ (1) của hệ (6.8)

Tức (xx.dy - xy.dx) là vi phân toàn phần của 1

hàm A(x,y) nào đó Nên ta có quan hệ

Adx + Bdy = du(x,y) là vi phân toàn phần của 1 hàm φ(x,y)

Thay (d) vào (a) và (b)

Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất

(6.9)

Phương trình hàm ứng suất Airy

Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học,

và vật lý của môi trường

Sử dụng (5.5) để tính cho trường hợp trạng thái ứng suất phẳng

2 2

2 2

y S

Bài toán trạng thái ứng suất phẳng  zz  0;S    xx yy ;

Bài toán trạng thái biến dạng phẳng

Kết luận

• Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.11) sau đó tìm các ứng suất theo (6.9)

• Nếu fx, fy  0  Cộng thêm các nghiệm riêng

• Theo (6.9) việc thêm hay bớt hàm  một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất không thay đổi

• Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học:

* y

Nếu (6.12) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.19); (6.11)

& (6.13) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định

 Định lý Levy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các

ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng

số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu

6.4 HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất  thỏa mãn 2 yêu cầu :

- Phương trình trùng điều hòa

- Điều kiện biên

Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ

 z z

z

M y J

Theo kết quả Sức bền vật liệu

Theo hàm φ → φ là hàm đa thức bậc 4 đối với x,y

2 Các điều kiện biên tĩnh học

(e) (f)

2 2

6.5 HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG CHUỖI LƯỢNG GIÁC

Khi tải trọng biên phân bố không liên tục thì việc dùng hàm ứng suất dưới dạng

0 sin

sin 2

(6-19)với

3 2

1

'

y ch y

y sh C y

ch y ysh C

y ch C

y sh C

)(

)(

2 4

2 3

2 2

2 1

''

y sh y

y ch y

ch

C

y sh y

ch y

sh C

y ch C

y sh C

F

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

k k

Với các Ci là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên

- Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và

(6-23)Nghiêm của Ribiere cho điều kiện (khi x=0 và x=L) là ;

Nghiệm tổng quát:

k k k

6.6 GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN (SPHH).

Phương pháp SPHH là một trong những phương pháp số cho phép giải gần đúng các bài toán không thể giải được bằng phương pháp giải tích

1 Đạo hàm và sai phân cấp 1

Giả sử cho một hàm liên

 : gọi là bước sai phân có

thể đều hoặc không đều

Đạo hàm của hàm bằng biểu thức gần đúng(x)

x x

dx

d

o x

i i 1 

    sai phân lùi

x x

x x

2 Đạo hàm và sai phân cấp cao

Đạo hàm cấp n có thể lấy gần đúng

i n

i n

n

x dx

2

1 2

2 2

x x

x dx

1 2

4

2 2 4

x x

3 Đạo hàm và sai phân của hàm 2 biến.

Giả sử cho một hàm liên tục khả vi trong miền S, ta chia miền này bằng lưới với bước lưới là ,

),

( y x



x

 y

Ta có thể viết các đạo hàm tại

điểm 0 như sau:

 2

3 0

1 2

2 3

   

 2

4 0

2 2

2 4

6 5

6 5

4 3

2 1

0 2

2

y x

6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân.

2

24

22

62

4

12 4

0 2

10

4 3

2 1

1 9

x

x x

y y

xy

y x

4

22

7 5

8 6

0 2

2 3 0

1 0

2

2 4 0

2 0

2

2 2

5 Giá trị φ(x,y) và đạo hàm của nó trên biên.

Để xác định giá trị hàm φ(x,y) trên biên ta xét một phân tố ds theo biên của tấm

có pháp tuyến v(l,m) chịu tải trọng (như hình vẽ)f , x f y

l y x

f m y x

l y

2

2 2

2 2

B A y

B A

;)

(

;)



6 Giá trị của hàm φ(x,y) tại những điểm ngoài biên.

1) Đối với các điểm ở trên của biên chu tuyến (hình a)

Ta có suy ra:

y

T N

y

y T

()

y

y T

3) Đối với các điểm ở bên trái của biên chu tuyến (hình c)

Ta có suy ra:

x

N T

y

x T

y x T

- Hình dạng lưới chia phụ thuộc vào hình dạng vật thể

- Độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào kích thước chia lưới

2 2

21120

Các chuyển vị trong mặt phẳng là:

X H

q

Hãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán?

Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng riêng p, chịu tác dụng lực như hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất trong tường chọn hàm ứng suất làđa thức bậc ba

với a, b, c, d là hằng số

x

y

h O

qh

