CƠ học môi TRƯỜNG LIÊN tục

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu bài toán đó đối với cơ hệ gồm vô số chất điểm tuỳ ý N =∞, mà khoảng cách giữa các chất điểm thay đổi trong quá trình chuyển động... Sự nghiên cứu theo hướ

và tương tác trong hệ cũng như các phương pháp xây dựng các mối liên hệ hữu hạn giữa chuyển động của hệ và tương tác Trong phần này ta sẽ nghiên cứu bài toán đó đối với cơ hệ gồm vô số chất điểm tuỳ ý (N =∞), mà khoảng cách giữa các chất điểm thay đổi trong quá trình chuyển động

Có hai lĩnh vực khoa học nghiên cứu vấn đề này: Vật lý và cơ học Các thuyết vật lý nghiên cứu cấu trúc hạt (phân tử, nguyên tử ) sự chuyển động của chúng và sự tương tác giữa …

các hạt Sự nghiên cứu theo hướng đó biểu thị quan điểm vi mô đối với bài toán này và cho các kết quả sâu sắc về bản chất bên trong của sự tương tác và chuyển động của các hạt của môi trường Tuy nhiên các kết quả nghiên cứu theo hư ớng này khó vận dụng vào các bài toán thực tế kỹ thuật nghiên cứu các môi trường đàn hồi, dẻo và thuỷ khí…

Tồn tại một quan điểm khác nghiên cứu vấn đề này, thích ứng hơn với thực tiễn và bổ khuyết cho những hạn chế của quan

điểm vật lý trình bày ở trên Đó là lĩnh vực cơ học môi trường liên tục Lĩnh vực này không quan tâm đến cấu trúc vi mô của vật chất mà coi môi trường như một phần không gian chứa đầy một cách liên tục một loại vật liệu nào đó Như vậy tính liên tục

là một đặc điểm (giả thiết) cơ bản để nghiên cứu bài toán này Cách nghiên cứu một môi trường thực tế như vậy gọi là nghiên cứu theo quan điểm vĩ mô Như vậy, CHMTLT là môn khoa học nghiên cứu chuyển động vĩ mô và cân bằng của chất khí, chất lỏng và vật rắn biến dạng Giả thiết cơ bản của CHMTLT

là có thể xem vật chất như là một môi trường đậm đặc liên tục

Bỏ qua cấu trúc nguyên tử, đồng thời có thể xem tất cả các đại lượng đặc trưng của chúng (mật độ, ứng suất, tốc độ phần tử ) phân bố liên tục trong môi trường Vì vậy có thể sử dụng trong Cơ học Môi trường liên tục công cụ các hàm liên tục

Nhờ giả thiết liên tục của môi trường ta có thể coi cả môi trư ờng được hợp thành từ các phân tố sắp xếp liên tục và áp dụng các định luật chuyển động của cơ học lý thuyết đã biết cho các phân tố đó và về mặt toán học có thể mô tả các đại lượng cần thiết (vị trí, vận tốc, gia tốc, ) qua các hàm liên tục hoặc khả …

vi và áp dụng các quy tắc của toán học giải tích.

Đ2 Các khái niệm và các phép tính tenxơ

1 Một vài ký hiệu và quy ước

1.1 Cũng như các khoa học khác, CHMTLT cần phải nghiên cứu các đại lư

ợng có cùng bản chất Trong trường hợp này, ngoài các ch số để chỉ ý nghĩa ỉ chung còn ghi thêm các chỉ số để chỉ những nghĩa riêng phân biệt những đối tượng cụ thể.

Ví dụ ta dùng các chữ x 1 , x 2 , x 3 để chỉ các toạ của điểm theo 3 phương của một hệ trục toạ độ nào đó Ví dụ khác ta dùng các chỉ số kép ký hiệu các mô men quán tính và tính quán tính đối với hệ trục toạ độ nào đó

J 11 - Mô men quán tính đối với trục x

J 12 - Tích quán tính đối với mặt phẳng xy

a Nếu trong một biểu thức, một chỉ số nào đó được nhắc lại 2 lần thì ta phải lấy tổng đối với chỉ số đó

+

=

n i

n n i

a

1

2 2 1

n n

i i

i k

k

q

x dq

q

x dq

q

x dq

q

x

∂

∂ +

+

∂

∂ +

1 1

Các chỉ số thực hiện phép lấy tổng được gọi là chỉ số câm Các chỉ số khác gọi là các chỉ số tự do.

i ij

2 dx dx

dS = δ

i j

j

i j

i , δ , δδ

- Ký hiệu Spin (Phản đối xứng).

a Ký hiệu Spin hai chỉ số: εij : (i, j = 1, 2)

Dùng ký hiệu Spin hai chỉ số có thể viết định thức hạng hai dưới dạng:

2 1

2 ,

1 1

2 , 1 ,

j i

j i

j i

j i

j i j

i o j

i

ε

β α β α

ε

22 21

12 11

a a a

a a

a

a a

0

k j i

ε

NÕu 2 chØ sè bÊt kú b»ng nhau NÕu i, j, k lµ ho¸n vÞ ch½n cña c¸c sè 1, 2, 3 NÕu i, j, k lµ ho¸n vÞ lÎ cña c¸c sè 1, 2, 3

(i j)( j k)(k i)

k j

α αβγ

ε

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

2 Phép biến đổi toạ độ Các vectơ cơ sở

a Hệ toạ độ và đường toạ độ:

Giả sử ta có hai hệ toạ độ: x 1 , x 2 , x 3 và y 1 , y 2 , y 3

Nếu cho hai toạ độ không đổi, còn toạ độ còn lại thay đổi,

ta được một đường gọi là đường toạ độ.

x2

x2=c22

x2=c21

x1=c11 x1=c12 x1

Đường toạ độ trong hệ toạ độ

i x

r x

dx x

r r

e x

r

=

∂

∂

c Phép biến đổi toạ độ:

Giả sử ta có hai hệ toạ độ x 1 , x 2 , x 3 , và ξ1 , ξ2 , ξ3 , Giữa hai hệ toạ độ tồn tại một phép biến đổi một - một

Ký hiệu:

thì các ai klập thành ma trận của phép biến đổi Định thức của ma trận là Jacobiên của phép biến đổi Từ được đơn trị nên det A ≠ 0.Ngược lại, giữa ξi và xi cũng tồn tại phép biến đổi ngược:

Do đó ma trận của phép biến đổi (bik)

Rõ ràng ma trận bik là ma trận nghịch đảo với ma trận aik

i

x a

d Sự thay đổi của các đại lượng qua phép biến đổi toạ độ:

Giả sử, trong hệ toạ độ x 1 , x 2 , x 3 :

j j i i

j j

i

x

r r

k i i k k

k

i i i

e r

3 Định nghĩa Tenxơ:

a Định nghĩa:

Tenxơ là một hệ thống các phần tử (còn gọi là các thành phần của Tenxơ, là các hằng số hoặc hàm số) xác định trong một hệ toạ độ đã cho và khi thay đổi hệ toạ độ các thành phần này thay ổi theo một quy luật xác định đ

∗ Tenxơ hạng 0:

Nếu F(x 1 , x 2 , x… n ) là một hàm số xác định trong không gian n chiều và khi biến đổi hệ toạ độ giá trị của F không thay đổi thì F gọi là Tenxơ hạng 0 F còn gọi là đại lượng vô hướng

Râ rµng vÐc t¬ a bÊt biÕn

Vay a lµ mét Tenx¬ h¹ng nhÊt

j a b

a ′ =

i i j

j i i j

a

a= ′ ′ = / =

∗ Tenxơ hạng hai và hạng cao

Ta xét một đối tượng T có các thành phần T i j trong một hệ toạ

độ nào đó và viết:

Giả sử các thành phần T ị j thay đổi theo luật

Trong trường hợp nàyT cũng tạo thành một Tenxơ, vì nó bất biến qua phép biến đổi toạ độ Thật vậy:

j i j

T

T =

q p i q i p j

T ′ =

q p q p j

i q p j q i p j

i j

T

Tương tự ta có thể định nghĩa Tenxơ hạng cao Chẳng hạn:

Tenxơ hạng 4 là đối tượng T có các phần tử T pqrs sao cho khi biến đổi hệ toạ độ các thành phần này biến đổi theo quy luật:

Trong trường hợp này T tạo thành Tenxơ vì nó bất biến qua phép biến đổi tọa độ

Cũng như trường hợp trên, nếu ta viết T dưới dạng:

Thì ta thấy ngay T bất biến qua phép biến đổi hệ toạ độ

pqrs sm

rl qk pi

T ′ =

s r q p s q p

, m

, l

, k

, i s r q p m s l r k q i p

, m

, l

, k

, i

' m l k

T

Tenxơ đối xứng và phản đối xứng.

Tenxơ đối xứng với cặp chỉ số nào đó là Tenxơ mà khi đổi chỗ cặp chỉ số đó giá trị của các thành phần của nó không đổi

Nếu đổi chỗ các cặp chỉ số nào đó mà các thành phần của T

đổi dấu thì T được gọi là tenxơ phản đối xứng.

Ví dụ: Tenxơ thoả mãn điều kiện

Tính đối xứng cũng như phản đối xứng là bất biến trong phép biến đổi hệ toạ độ

jiklm jklm

jiklm jklm

T = −

4 Các phép tính Tenxơ:

Ta nghiên cứu hai phép tính

a Phép cộng: Ta chỉ có thể thực hiện phép cộng đối với các

tenxơ có cùng tính chất, tức là có cùng hạng và cùng loại.

Cho hai Tenxơ: A i j và B i j , sao cho khi biến đổi hệ tọa độ các thành phần này biến đổi theo luật:

Tổng hai Tenxơ là một Tenxơ có các thành phần là là tổng các thành phần tương ứng:

C i j = A i j + B i j

Dễ dàng chứng minh rằng C i jlà một Tenxơ mà:

j i jq ip

A′ = B′pq = b ip b jq B i j

) B A

( b b B

q p

' q

j i jq ip

C′ =

b Phép nhân Tenxơ với một số:

Nhân Tenxơ T với một vô hướng λ ta được một Tenxơ có hạng, loại như Tenxơ đã cho

j i qj

pi

λ ′ =

c Phép nhân giữa hai hai tenxơ.

Tích của hai tenxơ là một tenxơ

Giả sử cho hai tenxơ có các thành phần

Tích của chúng sẽ là 1 tenxơ có các thành phần

Trong đó và

với (α, β, γ, i, j, k n)

β α

β

α a A a

A i' j = i j

γ

γ B b

B'k = k

γ γ β α

β

a B

A i' j 'k = i j k

γ β α γ

γ β

k j