CHUONG 2 cơ môi trường liên tục

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠTrong cơ học, cũng như trong toán học và vật lý ta thường gặp các đại lượng có các tính chất khác nhau..  Đại lượng vô hướng: là những đại l

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Trong cơ học, cũng như trong toán học và vật lý ta thường gặp các đại lượng

có các tính chất khác nhau.

 Đại lượng vô hướng: là những đại lượng được đặc trưng bằng một trị số theo một đơn vị đo như: nhiệt độ, khối lượng, …

 Đại lượng vec tơ: là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, ví dụ: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, …

 Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, …

Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng.

2.1 TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.

2.1.1 HỆ THỐNG KÍ HIỆU

- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là: ai , aj , aijk , …

- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3 Do đó

 ai biểu thị một trong ba phần tử a1 , a2 , a3

 aij biểu thị một trong chín phần tử a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a3 2, a3 3

 aijk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 , , a333

 Hệ thống các phần tử như ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aij là hệ thống hạng hai bao gồm phần tử Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm phần tử.

2

3

n

3

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

2.1.2 QUY ƯỚC CÁC CHỈ SỐ

 Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến

3 Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, có thể thay bằng chữ số khác Ví dụ:

 Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3

Ví dụ, ai là hệ thống gồm a1 , a2 , a3

2.1.3 HỆ ĐỐI XỨNG VÀ PHẢN XỨNG

 Một hệ được gọi là đối xứng nếu: a ij =a ji

Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều có chỉ số, ví dụ a ijk = a ikj → hệ thống a ijk đối

a b a b1 1 a b2 2 a b3 3 a b

 Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng.

 Một hệ được gọi là phản đối xứng nếu: a ij =-a ji

if:

;





1

3 0

 Ký hiệu Levi-Chivita e ijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như sau















1 1

0

ijk

e

khi hai chỉ số bất kì bằng nhau khi hai chỉ số lập thành hoán vị chẵn 1,2,3 khi hai chỉ số lập thành hoán vị lẻ 1,2,3

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) của toạ độ các điểm trong miền không gian x1, x2, x3 xác định của hàm và t là tham số thời gian

2.1.3 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HAY TENXƠ HẠNG KHÔNG

i i

e x

e x

e x

e x

grad





























3

2 2

1 1 Với e i là vectơ đơn vị trên trục 0x i; Ký hiệu đọc là “; Ký hiệu đọc là “∇ đọc là “∇ đọc là “ nabla”

 Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ = const Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó trên bề mặt sẽ là

















grad

e x grad

e x grad

e x grad

grad v

3 3

2 2

1



















Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với:

2

3

2

2

2























































x x

x

2 3

2 2

2

2 2

1

2 2

x x





























 0

2



Phương trình: gọi là phương trình điều hòa Nghiệm của phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép Nghiệm của phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép

0

4 2

2









  

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Ví dụ 2.1 Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) như trên hình 2.1

Lời giải:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C





1              1              1             

Xác định véc tơ pháp tuyến đơn vị

grad







v 1 e  1e  1e

Khi a=b=c, mặt nghiêng đều với ba trục tọa độ

2.1.5 VÉC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT

1 Các thành phần của Véc tơ

a

Các đại lượng vật lý như lực, vận tốc, gia tốc được biểu diễn trong không gian dưới dạng véc tơ trên hình 2.2

i

a a e a e a e

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

Cosin chỉ phương của véc tơ trong hệ trục tọa độ

i i

a

a

l12 l22 l32  1

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

2 Các phép tính vecto (xem lại phần toán học)

3 Ma trận biến đổi hệ trục tọa độ.

Xoay hệ trục tọa độ x i quanh gốc 0 thành lập

hệ trục tọa độ mới x’ i (hình 2.3) Véc tơ đơn vị trong hệ trục tọa độ x i

i

e

Véc tơ đơn vị trong hệ trục tọa độ x’ i

i

e ' 

ij

ij

 

 

   

e ' c c c e

e ' c c c e C e

c c c

e c ' c ' c ' e '

e c ' c c e ' C' e'

c ' c ' c '

Quan hệ giữa các véc tơ đơn vị hệ trục tọa độ cũ và mới

Ma trận C là ma trận cosin chỉ phương hay ma trận chuyển hệ trục tọa độ Điều kiện cần và đủ để C là ma trận chuyển hệ trục tọa độ

1 1

1

2 33

2 32

2 31

2 23

2 22

2 21

2 13

2 12

2 11



















c c

c

c c

c

c c

c

* Đối hệ tọa độ trục mới

0

0

33 23 32

22 31

21

23 13 22

12 21

11













c c c

c c

c

c c c

c c

c

1 1 1

2 33

2 23

2 13

2 32

2 22

2 12

2 31

2 21

2 11



















c c

c

c c

c

c c

c

0

0

33 32 23

22 13

12

32 31 22

21 12

11













c c c

c c

c

c c c

c c

c

* Đối hệ tọa độ trục cũ

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

Thay đổi của các thành phần véc tơ khi biến đổi hệ trục tọa độ

Viết dưới dạng rút gọn

1 1 11 2 12 3 13 1

2 1 21 2 22 3 23 2

3 1 31 2 32 3 33 3







j j

j j

j j

2.1.6 TENXƠ HẠNG HAI

ij ik jk kl

a '   c c a

1 1

1

2 33

2 23

2 13

2 32

2 22

2 12

2 31

2 21

2 11



















c c

c

c c

c

c c

c

0 0 0

31 33 21

23 11

13

33 32 23

22 13

12

32 31 22

21 12

11



















c c c

c c

c

c c c

c c

c

c c c

c c

c

* Đối hệ tọa độ trục cũ:

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ

BÀI TẬP CHƯƠNG II

Bài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:

Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:

Và véc tơ Tìm véc các thành phần của vecto































33 32

31

1 0

0

0 5

4 5

3

c c

c









































2

1 2

1 2

2 2

2 0

2

1 2

1 2

2

1 , 2 , 3,c( 2 , 1 , 1 )

b

HẾT CHƯƠNG 2