các định luật cơ bản của cơ học môi trường liên tục

Chư ơngưIVưCác định luật cơ bản của cơ học môi tr ờng liên tục ư Cơư họcư môiư trư ờngư liênư tục,ưmộtưmặtưdựaưtrênư cácưkếtưquảư củaưcơưhọcưlýư thuyết,ưmặtưkhácưdựaưtrênưcácưđịnhưluậtưk

Chư ơngưIVư

Các định luật cơ bản của cơ học môi tr ờng liên tục

ư Cơư họcư môiư trư ờngư liênư tục,ưmộtưmặtưdựaưtrênư cácưkếtưquảư củaưcơưhọcưlýư thuyết,ưmặtưkhácưdựaưtrênưcácưđịnhưluậtưkhácưcủaưtựưnhiênưđểưxâyưdựngưhệưphư ơngư trìnhưđầyưđủưkhảoưsátưcácưđạiưlư ợngưđặcưtrư ngưchoưmôiưtrư ờng.ưư

Đốiưvớiưmôiưtrư ờngưcổưđiểnưđư ợcưsửưdụngưphổưbiếnưcácưđịnhưluậtưsauưđây:ưư

1 Định luật bảo toàn khối l ợng

2 Định luật bảo toàn năng l ợng.ư Địnhưluậtưbảoưtoànư năngưlư ợngưđư ợcư

thểưhiệnưthôngưquaưcácưđịnhưluậtưnhiệtưđộngưlựcưhọc.ưư

Đ 1 định luật bảo toàn khối l ợng

1 Định luật bảo toàn khối l ợng

ư Khốiưlư ợngưchứaưtrongưmộtưthểưtíchưkhépưkínưVưkhôngưđổiưkhiư Vưthayưđổiưtheoưthờiưgian.ưư

ư

ư

ư

ư

ư

V,ưt1ư

V,ưt2ư const

dv

m

v





2 Đạo hàm của tích phân

x t

f dv

t x x x

f dt

d

v

i i





















 ,

, 2 3

chứngưminh:ưư

Theoưđịnhưnghĩaưđạoưhàm:ưưưưưưưưưư

t

dv t t

x x x f dv

t x x x f dv t t

x x x f

dv t x x x f dv

t t

x x x

f t

dv t x x x

f dt

d D

t

t

v

























































, , , ,

, , ,

,

, lim

, , , ,

, ,

1 lim

, , ,

3 2 1 3

2 1 3

2 1

0

3 2 1 3

2 1 0

3 2 1

ư

Vư

V'ư

dVư dsư

ư

Chúưýưrằng:ưưư dv=ds.vntư

ư Doưđó:ưư

x x x t tdv fv tds

f

s

n v

v











, , , 2 3







s

n v

ds fv

dv t

f

ư ápưdụngưcôngưthức:ưGaussư-ưOstrogratskiưchoưtíchưphânưmặtưtaưthuưđư ợc:ưư

 fv  dv x

t

f D

v

i i





















i

v x

f t

f dt

df











ư Nên:ưư ư ư

dv x

v f dt df

dv x

v f x

f v t

f D

i

i i

i























































3 Ph ơng trình liên tục:

ápư dụngư côngư thứcư tínhư đạoư hàmư tíchư phânư choư địnhư luậtư bảoư toànư khốiư lư ợngưtaưđư ợc:ưư

0



dt

dm

ư

v

dv dt

d

Theoư(A)ưtaưcó:ưư

x

t i  

















dt

d

v

i v





ư DoưthểưtíchưVưtuỳưýưnênưtaưthuưđư ợcưphư ơngưtrình:ưư

0 x

dt  i 



 v i

d





Phư ơngưtrìnhư(1)ưgọiưlàưphư ơngưtrìnhưliênưtục.ư

Đ 2 Định luật bảo toàn năng l ợng các định luật nhiệt động học

1 Trongưchư ơngưnàyưchúngưtaưchỉưnghiênưcứuưcácưmôiưtrư ờngưởưđóưxảyưraưcácưquáư

trìnhư cơ,ư nhiệt.ư Nhữngư quáư trìnhư phứcư tạpư hơn:ư hoá,ư điện,ư từ… Cần ư Cầnưthiếtư phảiư nghiênưcứuưcácưđịnhưluậtưđặcưtrư ngưchoưcácưquáưtrìnhưđóưđểưcùngưvớiưcácưphư ơngư trìnhư chuyểnư độngư tạoư thànhư hệư phư ơngư trìnhư kínư (sốư phư ơngư trìnhư bằngư sốư ẩnư (thôngưsốưcủaưmôiưtrư ờngư)),ưmôưtảưtrạngưtháiưcủaưmôiưtrư ờng.ưư

2 Định luật bảo toàn cơ năng:

2 Định luật bảo toàn cơ năng:

Nếuưchoưrằngưtrongưmôiưtrư ờngưchỉưdiễnưraưcácưquáưtrìnhưcơưhọcưmàưkhôngư cóưcácưquáưtrìnhưkhácư(nhiệtưhọc)ưthìưtaưcóưmôiưtrư ờngưcơ.ưĐốiưvớiưloạiưmôiưtrư ờngư nàyưxảyưraưđịnhưluậtưbảoưtoànưcơưnăngưư

Theoưphư ơngưtrìnhưchuyểnưđộng:ưư

i

ij j

j

x

F dt

dv









ư Nhómưcảưhaiưvếưvớiưvjưrồiưtíchưphânưtheoưvưxácưđịnhư

x dv

v F dv

d

dv

v i

ij j

v j j

v





ư Đốiưvớiưtíchưphânưthứưnhấtưtaưcóưthểưbiếưđổi:ưư

dv

v dt

d dv

d

dv v

v

j

v













2

2





ư Doưvưcốưđịnhư(khôngưphụưthuộcưthờiưgian)ưnên:ưư

dv

v dt

d dv

v dt

d

v

























2 2

2 2



ĐặtưE v dv

v













2

2

 ưvàưgọiưlàưđộngưnăngưtoànưphầnưcủaưmôiưtrư ờng.ưư

ư Doưđó:ư

dt

dE dv

d

dv

v

ư Xétưtíchưphânưthứưhai:ưư v dv

x j

v i

ij

 :ư

ư ư

j n

j j ij

i

v

x







ư

ư Đốiưvớiưcácưthànhưphầnư

i

j

x

v



 ,ưtaưcóưthểưbiếnưđổiưthành:ưư

ij ij j

i i

j j

i i

j i

j

V D x

v x

v x

v x

v x

v

































































2

1 2

1

ư

Doưđó:ưư ij j ij ij ij ij i j i j

i

v

x

s ả =s +s =s

( i j V i j = 0 do tớch cuộn giữa ten xơ đối xứng và phản đối xứng).ư

Có thể xem i j và Di j là lực suy rộng và vận tốc suy rộng, nên

i j i j

V

D dV

s

ò là công suất của biến dạng được ký hiệu bởi U

dt

d

Còn j j

V

F v dV r

ò là công suất của lực khối,

i j j i j j

Ký hiệu công suất của các ngoại lực là A

dt

d

Do đó ta có thể viết: A dE U

Hay được phát biểu: Biến thiên của động năng và công suất của nội lực bằng công suất của ngoại lực

3.2 Ph ơng trình năng l ợng:

ư Từư côngư thứcư biểuư thịư địnhưluậtư nhiệtư độngư họcư 1,ư taư cóư thểư biếtư dư ớiư dạngưtíchưphân:ưư

v v

dv dv v ds F V dv zdv c n ds

2

ư

ưưu là năng lượng riờng, z là hằng số bức xạ nhiệt của đơn vị khối lượng, c i là vộc

tơ đặc trưng cho sự truyền nhiệt qua một đơn vị diện tớch

Chuyểnưtừưcácưtíchưphânưmặtưvềưtíchưphânưthểưtíchưvàưchúưýưđếnưtínhưtuỳưýưcủaưthểư tíchưv,ưtaưcó:ư

z

ư



































j

j j

j i

j ij

x

C V

F x

v u

v dt

d

2

2

ư

ư Nhânư vôư hư ớngưhaiư vếư củaưphư ơngư trìnhư chuyểnư độngư vớiư Vjư rồiư biếnư

đổiưtaưđư ợc:ưư ư j j j

i

ij

V F

v x

v dt

d









 2

2

ư

Trừưvếưvớiưvếưtừưcácưphư ơngưtrìnhưcuốiưcùngưtaưđư ợc:ưư













j

j i

j ij

x

C x

V dt

du

ư

ư Như ưđãưchứngưminhưtrongưbàiưtrư ớcư

i

j

x

V







ư

ư Nênưphư ơngưtrìnhưcuốiưcùngưcóưthểưviết:ư









j

j ij

ij

x

C D

dt

du

ư Phư ơngưtrìnhưnàyưđư ợcưgọiưlàưphư ơngưtrìnhưnăngưlư ợngưđịaưphư ơng.ư

ư Vécư tơư c  c1,c2,c3 đặcư trư ngư choư sựư truyềnư nhiệt.ư Địnhư luậtư Fourierư vềư quyư luậtư truyềnư nhiệtư choư taư mốiư quanư hệư giữaư nhiệtư độư vàư tốcư độư truyềnư nhiệtư

T

ư grad

ư

c  ư

4 Định luật nhiệt động thứ hai, bất đẳng thức Claodiut - Duyhem:

4.1 Các khái niệm, ph ơng trình trạng thái, hàm trạng thái và Entropi

4.1.1.ư Mộtư trạngư tháiư nhiệtư độngư họcư củaư hệư đư ợcư quyếtư địnhư bởiư mộtư sốư đặcư

trư ngưcơưbản.ưCácưđặcưtrư ngưnàyưưđư ợcưbiểuưthịưbằngưnhữngưđạiưlư ợngưnhiệtưđộngư họcưnàoưđó.ưCácưđạiưlư ợngưnàyưcóưthểưchiaưthànhưhaiưloại.ưư

ư -ưLoạiưthứưnhất:ưBaoưgồmưtấtưcảưcácưthôngưsốưđộcưlập,ưphảnưánhưđầyưđủưđặcư tínhưcủaưhệưvàưđư ợcưgọiưlàưcácưthôngưsốưtrạngưthái.ưư

ư -ưLoạiưthứưhai:ưgồmưcácưthôngưsốưcóưthểưbiểuưthịưquaưcácưthôngưsốưloạiư1ưvàư

đư ợcưgọiưlàưưhàmưtrạngưthái.ưư

ư Mộtưhệưthứcưbiểuưthịưmốiưquanưhệưgiữaưcácưthôngưsốưtrạngưtháiưcủaưhệưđư ợcư gọiưlàưphư ơngưtrìnhưtrạngưthái.ưư

4.1.2 Entropi

ư Trongưsốưcácưhàmưtrạngưthái,ưhàmưxácưđịnhưbằngưbiểuưthức:ưư





L T

dQ

Trongưđó:ưư

+ưL:ưưđư ờngưbiểuưdiễnưquáưtrìnhưdiễnưbiếnưtrạngưtháiư

củaưhệưtừưưvịưtríưđầuưdẫnưđếnưvịưtríưkhảoưsátưM.ưư

ư +ưdQ:ưưviưphânưnhiệtưnăngưtrongưquáưtrìnhư(L)ư

ư +ưT:ưnhiệtưđộưtuyệtưđốiưcủa hệ.ư

ư +ưSưđư ợcưgọiưlàưEntropiưcủaưhệ.ưĐâyưlàưmộtưhàmưtrạngưtháiưđóngưvaiưtròưquanư trọngưtrongưviệcưnghiênưcứuưquáưtrìnhưnhiệtưđộng.ưư

Mư

Lư

oư

ư

Ngư ờiưtaưđư aưvàoưkhảoưsátưđạiưlư ợngưsư gọiưlàưEntropiưriêngưhayưmậtưđộưEntropi.ư Doưđóưtaưcóưthểưviết:ưưưưưư





v

dv s

S ư ư ư

làưEntropiưcủaưmộtưthểưtíchưmôiưtrư ờngưliênưtục.ưư

Doư tínhư chấtư cộngư củaư Entropi,ư ngư ờiưtaư cóư thểư coiư mỗiư viư phânư mậtư độư entropiưđư ợcưcấuưthànhưtừưhaiưthànhưphần:ưư

ư ds ds i  ds e ư

ư Thànhư phầnư ds(i)ư sinhư raư doư cácư quáư trìnhư xảyư raư bênư trongư môiư trư ờngư

ds(i)ư0.ưư

ư +ưNếuưquáưtrìnhưlàưthuậnưnghịchưthì:ưds(i)ư=ư0ư

ư +ưNếuưquáưtrìnhưkhôngưthuậnưnghịchưthìưds(i)ư>0ư

ư Thànhưphầnưds(e)ưsinhưraưdoưcácưyếuưtốưngoàiưtácưđộngưvàoưmôiưtrư ờng.ư

4.2 Định luật nhiệt động thứ 2, bất đẳng thức Claudiut - Duyhem:

4.2.1 Định luật:

Vưkhôngưbaoưgiờưnhỏưhơnưtổngưnguồnưentropiưđư aưvàoưquaưbiênưgiớiưcủaưthểư tíchưVưvàưentropiưsinhưraưởưbênưtrongưthểưtíchưVưcủaưnguồnưbênưngoài.ư

4.2.2 Biểu thức của định luật:

ư Địnhư luậtư nàyư chỉư thểư hiệnư quaư dạngư toánư họcư bởiư đẳngư thứcư Claudiutư -ư

T

n

c dt

d

s

i i





v v

dv

ư e

ư dv

ư s

Trongưđóưeưlàưmậtưđộưcôngưsuấtưcủaưnguồnưentropiưbênưngoàiưứngưvớiưmộtư

đơnưvịưkhốiưlư ợng.ưư

ư BiếnưđổiưtíchưphânưmặtưthànhưtíchưphânưbaưlớpưdoưtínhưtuỳưýưcủaưV,ưtaưđư ợcư bấtưđẳngưthứcưdư ớiưdạngưviưphân:ưư





















T

C x

e dt

i



ư :ưTốcưđộưsinhưraưentropiưtrongưmộtưđơnưvịưkhốiưlư ợng.ưư

Bất đẳng thức này phải thỏa món với mọi quỏ trỡnh và với bất cứ thụng số trạng thỏi nào Vỡ vậy nú đúng vai trũ quan trọng, thường được dựng để biện luận trong cỏc trường hợp cần thiết

Đ3 các ph ơng trình cơ bản của môi tr ờng liên tục

đặt bài toán biên của cơ học môi tr ờng liên tục

1 Các ph ơng trình cơ bản của cơ học môi tr ờng liên tục

ư Trongưcácưmôiưtrư ờngưcơưnhiệtưbằngưcácưđịnhưluậtưchuyểnưđộngưvàưvậtưlýư taưđãưthuưđư ợcưhệưphư ơngưtrìnhưsauưđây:ưư

ư -ưPhư ơngưtrìnhưchuyểnưđộng:ưư

j

ij j

j

x

F dt

dv









ư -ưPhư ơngưtrìnhưliênưtục:ưư

ư ư ư  div v  0

dt

ư

ư





ư

ư -ưPhư ơngưtrìnhưnăngưlư ợng:ư









j

i ij

ij

x

C D

dt

du

ư

ư VớiưgiảưthiếtưFjưvàưhằngưsốưbứcưxạưzưlàưđãưcho.ưư

Trongưhệưphư ơngưtrìnhưnàyưchứaư14ưẩn:ưhàmưmậtưđộư,ưbaưthànhưphầnưvậnưtốcư v,ư sáuưthànhưphầnưứngưsuấtưijư,ưbaưthànhưphầnưvectơư cvàưmậtưđộưnộiưnăngưu.ưư

ư Thêmưvàoưhệưphư ơngưtrìnhưnàyưlàưbấtưphư ơngưtrìnhưClaudiutư-ưDuyhem.ưư



















T

C x

e dt

i

ư Trongưbấtưphư ơngưtrìnhưnàyưchứaưthêmư2ưẩnưhàmưnữaưlàưentropiưsưvàưnhiệtư

độưtuyệtưđốiưT.ưư

2 Đặt bài toán biên của cơ học môi tr ờng liên tục

ư Giảưsửưtaưcầnưnghiênưcứuưmộtưmôiưtrư ờngưliênưtụcưđư ợcưgiớiưhạnưbởiưcácư mặtưbiênưS1,ưS2… Cần ưSnư=ưUSiư.ưCầnưphảiưtìmưcácưđạiưlư ợngưnhiệtưđộngư-ưđộngưlựcưcủaư môiưtrư ờngưđóư(14ưẩnưhàmưđãưnêuưởưtrên).ưư

B ớc 1: Xây dựng hệ kín ph ơng trình

ư Vớiưbàiưtoánưnàyưtaưphảiư dựaưvàoưcácưtínhưchấtưvậtưlýư củaưmôiưtrư ờngưcụư thểư(taưđangưnghiênưcứu)ưđểưxâyưdựngưthêmưcácưphư ơngưtrình:ưưư

ư +ư 6ư phư ơngư trìnhư đặcư trư ngư choư tínhư chấtư vậtư lýư củaư môiư trư ờngư gọiư làư phư ơngưtrìnhưxácưđịnh.ư

ư +ư3ưphư ơngưtrìnhưchoưbởiưđiềuưkiệnưtruyềnưnhiệt:ưVíưdụ:ưc  kư grad ư T ư

ư +ư2ưphư ơngưtrìnhưkhácưlàưcácưphư ơngưtrìnhưtrạngưtháiưnhiệtưđộngưhọc.ưư

ư Làmưnhư ưvậy,ưtaưthuưđư ợcưmộtưhệưphư ơngưtrìnhưviưphânưđạoưhàmưriêngưcóư sốưphư ơngưtrìnhưbằngưsốưẩn.ưMộtưhệưphư ơngưtrìnhưnhư ưthếưđư ợcưgọiưlàưmộtưhệưkínư cácưphư ơngưtrìnhưcủaưbàiưtoánưđãưcho.ưư

B ớc 2:

ư Đểưcácưphư ơngưtrìnhưtrênưchoưnghiệmưcụưthểưcủaưbàiưtoánư(vìưnghiệmưcủaư hệưphư ơngưtrìnhưviưphânưđạoưhàmưriêngưphụưthuộcưvàoưcácưhàmưsốưtuỳưý),ưtaưphảiư thêmưvàoưcácưđiềuưkiệnưxácưđịnhưtrạngưtháiưcủaưhệ,ưgiáưtrịưcácưthôngưsốưtrênưbiênư củaưmôiưtrư ờng.ưCácưđiềuưkiệnưnàyưđư ợcưgọiưlàưcácưđiềuưkiệnưbiên.ưư

ư Như ưvậy,ưmộtưbàiưtoánưcơưhọcưđãưchoưtrư ớcưmôưhìnhưbằngưbàiưtoánưtoánư học,ưgiảiưhệưphư ơngưtrìnhưviưphânưđạoưhàmưriêngưvớiưcácưđiềuưkiệnưbiênưđãưbiết.ưư

ư Việcư xâyư dựngưmôưhìnhưtoánưhọcư nàyưgọiư làưphépưđặtư cácư bàiưtoánưbiênư củaưcơưhọcưmôiưtrư ờngưliênưtục.ưư