Cơ học môi trường liên tục dương văn thứ

CÁC TÁC GI... trình, máy móc và các quá trình... không gian và th i gian... chúng khác không... không gian hai chi u.

D ng V n Th (ch biên) Nguy n Ng c Oanh

C H C

NHÀ XU T B N T I N BÁCH KHOA

HÀ N I – 2007

M C L C

M C L C 2

M C L C 3

L I NÓI U 6

CH NG I 8

NH NG KHÁI NI M BAN U 8

1.1 NHI M V VÀ I T NG NGHIÊN C U C A MÔN CHMTLT 8

1.2 M T S KHÁI NI M C B N 8

1.2.1 Môi tr ng liên t c và ph n t v t ch t 8

1.2.2 M t ơ kh i l ng (ρ) 8

1.2.3 Tác d ng ngoài 8

1.2.4 N i l c, ng su t, ph ng pháp m t c t 9

1.2.5 Bi n d ng và chuy n v , v n t c, gia t c c a chuy n ơ ng và bi n d ng 10

1.2.6 Các gi thi t và ký hi u 11

1.3 VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH VÉC T 13

1.3.1 Véc t và các thành ph n c a véc t 13

1.3.2 S bi n ơ i c a các thành ph n véc t khi xoay h tr c to ơ - 14

1.3.3 M t s phép tính c b n v véc t 15

1.3.4 Tr ng vô h ng và tr ng véc t 15

1.4 VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH TEN X 16

1.4.1 Khái ni m v tenx 16

1.4.2 Các phép tính c b n v tenx 16

1.4.3 Ten x h ng hai ơ i x ng Giá tr chính, ph ng chính và các b t bi n 17

CH NG II LÝ THUY T V BI N D NG VÀ CHUY N V 19

2.1 H TO VÀ CÁCH MÔ T CHUY N NG 19

2.1.1 Mô t chuy n ơ ng theo Lagrange 19

2.1.2 Mô t chuy n ơ ng theo Euler 20

2.1.3 o hàm v t ch t 21

2.1.4 V n t c và gia t c c a chuy n ơ ng theo bi n Lagrange và bi n Euler 22

2.1.5 Qu ơ o và ơ ng dòng 26

2.2 TR NG THÁI BI N D NG T I M T I M - TEN X BI N D NG TRONG H TO DESCARTES VUÔNG GÓC 27

2.2.1 Tr ng thái bi n d ng t i m t ơi m 27

2.2.2 Tenx bi n d ng trong mô t Lagrange - ten x bi n d ng h u h n Green- 27

2.2.3 Ten x bi n d ng trong mô t Euler - ten x bi n d ng h u h n Almansi- 28

2.2.4 M i quan h gi a ten x bi n d ng h u h n và véc t chuy n v 30

2.3 TR NG H P BI N D NG BÉ 31

2.3.1 Ten x bi n d ng bé – ph ng trình hình h c Cauchy 31

2.3.2 Ý ngh a v t lý c a các thành ph n trong ten x bi n d ng 32

2.3.3 Bi n d ng chính, ph ng chính và các b t bi n c a tr ng thái bi n d ng t i m t ơi m 35

2.3.4 Ten x c u và ten x l ch bi n d ng 38

2.3.5 Ten x quay tuy n tính 38

2.3.6 i u ki n t ng thích v bi n d ng – Ph ng trình liên t c Saint Venant 41

2.4 TEN X T C BI N D NG – TEN X V N T C XOÁY 42

BÀI T P CH NG 2 44

CH NG III LÝ THUY T V NG SU T 45

3.1 TR NG THÁI NG SU T T I M T I M – TEN X NG SU T 45

3.1.1 Ký hi u ng su t và qui c d u 45

3.1.2 Tr ng thái ng su t t i m t ơi m - Ten x ng su t 46

3.1.3 ng su t trên m t nghiêng 47

3.1.4 ng su t chính, ph ng chính và các b t bi n c a tr ng thái ng su t t i m t ơi m 49

3.1.5 Ten x c u và ten x l ch ng su t 50

3.1.6 ng su t ti p chính 50

3.1.7 Bi u di n tr ng thái ng su t t i m t ơi m b ng vòng tròn Mohr 52

3.2 I U KI N CÂN B NG C A MÔI TR NG LIÊN T C - PH NG TRÌNH CHUY N NG 57

3.2.1 Xét cân b ng c a phân t hình h p – Ph ng trình vi phân cân b ng Navier - Stokes 57

3.2.2 Xét cân b ng c a phân t t di n trên biên – Ph ng trình ơi u ki n biên v l c 60

BÀI T P CH NG 3 60

CH NG IV CÁC NH LU T C B N C A C H C MÔI TR NG LIÊN T C VÀ CÁC MÔ HÌNH MÔI TR NG LIÊN T C 62

4.1 NH LU T B O TOÀN KH I L NG VÀ PH NG TRÌNH LIÊN T C C A KH I L NG 62

4.2 NH LÝ BI N THIÊN NG L NG 63

4.3 NH LÝ BI N THIÊN MÔ MEN NG L NG 63

4.4 NH LU T B O TOÀN N NG L NG - PH NG TRÌNH N NG L NG 64

4.4.1 nh lu t b o toàn n ng l ng c h c 64

4.4.2 nh lu t b o toàn n ng l ng c - nhi t 66

4.4.3 nh lu t nhi t ơ ng l c h c th hai B t ơ ng th c Clausius – Hàm hao tán 69

4.5 H CÁC PH NG TRÌNH C B N C A C H C MÔI TR NG LIÊN T C 71

4.6 MÔI TR NG CH T L NG 73

4.6.1 Ch t l ng lý t ng 74

4.6.2 Ch t l ng nh t tuy n tính Newton 75

4.6.3 Khái ni m v dòng ch y d ng, dòng ch y không xoáy và dòng ch y có th 76

4.7 MÔI TR NG CH T R N 77

4.7.1 Lý thuy t ơàn h i 78

4.7.2 Lý thuy t d o - ơi u ki n d o – ph ng trình v t li u 78

CH NG V LÝ THUY T ÀN H I TUY N TÍNH 81

5.1TH N NG BI N D NG ÀN H I RIÊNG VÀ TH N NG BI N D NG ÀN H I BÙ RIÊNG 81

5.1.1 Th n ng bi n d ng ơàn h i riêng trong tr ng h p t ng quát – Công th c Green 81

5.1.2 Th n ng bi n d ng ơàn h i bù riêng trong tr ng h p t ng quát – Công th c Castigliano 81

5.1.3 Tr ng h p v t li u ơàn h i tuy n tính 82

5.2 M I QUAN H GI A TEN X NG SU T VÀ TEN X BI N D NG BÉ – NH LU T HOOKE 83 5.2.1 V t th d h ng 83

5.2.2 V t th tr c h ng 84

5.2.3 V t th ơàn h i tuy n tính, ơ ng nh t, ơ ng h ng 86

5.3 CÁC PH NG TRÌNH C B N C A BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH NG H NG BI N D NG BÉ 89

5.4 CÁC CÁCH GI I BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH 89

5.4.1 Cách gi i theo chuy n v - Ph ng trình Lamé 90

5.4.2 Cách gi i theo ng su t – Ph ng trình Beltrami - Michell 91

5.5 I U KI N BIÊN – NGUYÊN LÝ SAINT-VENANT - I U KI N U 92

5.5.1 i u ki n biên 92

5.5.2 Nguyên lý Saint – Venant 92

5.5.3 i u ki n ơ u 93

5.6 M T S PH NG PHÁP GI I H PH NG TRÌNH VI PHÂN C B N C A BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH NG H NG 93

5.6.1 Ph ng pháp gi i thu n 93

5.6.2 Ph ng pháp gi i ng c 93

5.6.3 Ph ng pháp gi i n a ng c Saint – Venant 94

5.6.4 Các ph ng pháp gi i b ng s 94

5.7 NH LÝ KIRCHHOFF V S DUY NH T NGHI M C A BÀI TOÁN ÀN H I 94

5.8 CÁC NGUYÊN LÝ V CÔNG VÀ N NG L NG 95

5.8.1 Công kh d và công bù kh d 95

5.8.2 Nguyên lý chuy n v kh d 95

5.8.3 Nguyên lý l c kh d 96

5.8.4 Các nguyên lý c c tr c a v t th ơàn h i tuy n tính 96

BÀI T P CH NG 5 97

CH NG VI BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH PH NG TRONG H T A DESCARTES 99

6.1 KHÁI NI M V BÀI TOÁN PH NG VÀ PHÂN LO I 99

6.1.1 Bài toán ng su t ph ng 99

6.1.2 Bài toán bi n d ng ph ng 99

6.2 CÁC PH NG TRÌNH C B N 100

6 3 GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T – HÀM NG SU T AIRY( 1862) 103

6 4 HÀM NG SU T D I D NG A TH C 106

6.4.1 Bài toán d m công son ch u l c t p trung ơ u t do 106

6.4.2 Bài toán ơ p( hay t ng ch n) m t c t tam giác ch u áp l c th y t nh - L i gi i Le’vy 1898) 110

6.4.2 Bài toán ơ p (hay t ng ch n) m t c t ch nh t ch u áp l c th y t nh 112

6.5 HÀM NG SU T D I D NG CHU I L NG GIÁC 116

CH NG VII BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH PH NG TRONG H TO C C 121

7.1 H TO C C VÀ KÝ HI U 121

7.2 CÁC PH NG TRÌNH C B N 123

7.2.1 Ph ng trình vi phân cân b ng 123

7.2.2 Ph ng trình hình h c 124

7.2.3 Ph ng trình v t li u (v t lý) - ơ nh lu t Hooke 126

7.3 GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T TRONG H TO C C 126

7.4 BÀI TOÁN KHÔNG PH THU C GÓC C C 128

7.4.1 L i gi i t ng quát bài toán ng su t không ph thu c góc c c 128

7.3.2 Bài toán ơ i x ng tr c (Lamé 1852) 130

7.4.3 Bài toán thanh cong ch u u n thu n tuý (Golovin 1881) 136

7.5 NG SU T C C B QUANH L KHOÉT TRÒN NH ( K IRSCH 1898) 137

7.6 NÊM PH NG C A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN 141

7.7 LÁT PH NG N A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN 144

BÀI T P CH NG 7 148

TÀI LI U THAM KH O 150

L I NÓI U

đ ng th i cho cách nhìn t ng quát và nh t quán v m i quan h ch t ch gi a các môn h c nêu trên, c ng nh tránh trùng l p ki n th c trong đào t o

liên t c

khí v v nên ph n ng d ng ch y u đ c p t i các bài toán liên quan t i v t r n đàn h i Cu i

đ c trình bày trong sách

PGS.TS D ng V n Th - ch biên và vi t các ch ng 1, 2, 3, 4, 5, 7

đ ng nghi p c ng nh nh ng ng i quan tâm t i môn h c này, nh m giúp chúng tôi hoàn thi n

h n cho các l n xu t b n sau

giúp chúng tôi hoàn thành b n th o này C m n đ ng nghi p tr Lê Thu Mai đã giúp đ trong quá trình ch b n cu n sách

CÁC TÁC GI

CH NG I

1.1 NHI M V VÀ I T NG NGHIÊN C U C A MÔN CHMTLT

đ nh tr ng thái bên trong c a môi tr ng v chuy n đ ng, v s t ng tác gi a các ph n t môi

k t qu nghiên c u c a C h c lý thuy t, song nó c ng có các h tiên đ riêng

trình, máy móc và các quá trình ây là môn khoa h c r ng và nhi u phân nhánh nh : Lý thuy t đàn h i, đàn nh t, nhi t đàn h i, th y-khí đàn h i, d o, đàn-d o, t bi n, th y khí đ ng l c, đ ng

l c h c các môi tr ng v i các quá trình không cân b ng, thay đ i c u trúc, hay là phá h y v v

1.2 M T S KHÁI NI M C B N

1.2.1 Môi tr ng liên t c và ph n t v t ch t

đó, và chuy n đ ng so v i nhau khi có các tác đ ng bên ngoài đ n gi n trong trình bày, ta

đ ng nh t khái ni m ph n t v t ch t và đi m v t ch t, là s l ng v t ch t trong m t phân t

1.2.2 M t đ kh i l ng (ρ)

đ m đ c c a v t ch t trong môi tr ng, là s đo l ng v t ch t có trong m t đ n v th tích c a

dmdV

1.2.3 Tác d ng ngoài

l c: ta g i là ngo i l c, và các tác d ng không ph i l c nh : tác d ng nhi t, đi n t …

L c kh i là l c tác d ng bên trong môi tr ng nh ; tr ng l c, l c quán tính… và đ c đ c

ur

, là giá tr l c tác d ng trong m t đ n v th tích

su t v v… L c m t đ c đ c tr ng b ng c ng đ l c m t, ký hi u là quurn, là giá tr l c tác d ng

r

(H.1-1) L c m t có th nguyên là[L c]/[Chi u dài]2

Hình.1-1

1.2.4 N i l c, ng su t, ph ng pháp m t c t

ph n t g i là n i l c

dPpdF

=

uuruur

(1-2)

P

n n

Trong đó: dPuurnlà h p n i l c tác d ng trên vi phân di n tích dF bao quanh đi m M

M thì véc t mômen chính b ng không)

n

p

uur

là đ i l ng véc t và có th nguyên là [L c]/[Chi u dài]2

1.2.5 Bi n d ng và chuy n v , v n t c, gia t c c a chuy n đ ng và bi n d ng

đi m t nào đó đ c coi là xác đ nh, n u ta ch ra đ c s t ng ng gi a các ph n t c a th tích

tr ng

ta đi xác đ nh nh ng thay đ i c a m t s y u t hình h c nh là: chi u dài, góc, th tích t i đi m

đó

thay đ i v trí c a các ph n t v t ch t g i là chuy n v và đ c đ c tr ng b ng véc t chuy n v ,

là véc t n i v trí c a ph n t th i đi m ban đ u t o so v i v trí c a nó th i đi m t đang xét.

đ ng th i MN vuông góc v i MP Khi bi n

N1, P1 (Hình.1-3)

Nh v y, véc t ur =MMuuuuur1là véc t

c ng ch a bi t, nên khi tính toán, ta phân tích

P, v v…

v t ch t MN, g i là bi n d ng dài t đ i theo ph ng MN, ký hi u là εn

MN 1 1 n

V ý ngh a, bi n d ng dài t đ i theo ph ng nào đó t i đi m xét, là l ng thay đ i chi u

Các bi n d ng ε và γ là các vô h ng, không có th nguyên

không gian và th i gian

1.2.6 Các gi thi t và ký hi u

ch trình bày nh ng n i dung c b n nh t - có tính ch t ng d ng - c a môn CHMTLT

chi u

có ch s “chân” Ví d ai, aij, aijk v v…Các ch s i, j, k… này đ c qui c nh n ba giá tr 1,

2, 3 trong không gian ba chi u

H th ng có m t ch s : ai, bj, v v…(i,j = 1, 2, 3) g i là h th ng h ng nh t, t t nhiên h

th ng này có 31 = 3 ph n t , đó là a1, a2, a3 hay b1, b2, b3 Ví d , h to đ Descartes vuông góc

ba chi u v n quen ký hi u là (xyz), thì theo h th ng m i s là (x1, x2, x3) vi t g n là xi (i=1, 2,

H th ng h ng hai ph n đ i x ng, n u aij= - aji, t t nhiên lúc này a11= a22= a33=0

đ 3 chi u có th ký hi u là xi ho c xj ho c xkđ u nh nhau vì đ u cùng ch 3 tr c x1, x2, x3

(i=1, 2, 3)

1 1,2

dùng nhi u trong tài li u này Ví d :

i

i, j ij j

∂

∂

x x x

h ng c a nó nh : chuy n v , v n t c, gia t c, l c, ng su t, gradien nhi t đ v v

1.3.1 Véc t và các thành ph n c a véc t

gán cho véc t m t h t a đ vuông góc xi có các véc t c s euri (i=1,2,3) (Hình.1- 4)

và eurj ây là ma tr n c a phép bi n đ i

tr c giao nên

2 21 1 22 2 23 3 '

1 11 1 12 2 13 3 '

2 21 1 22 2 23 3 '

tr ng véc t , trong h to đ vuông góc xi nh sau:

a) Toán t vi phân véc t Nabla ( ký hi u là ∇ur ) là m t véc t :

c) Véc t gradien c a m t hàm đi m vô h ng

N u a(xi) là m t hàm đi m vô h ng, thì∇ur .a(xi) là m t véc t vuông góc v i m t ph ng có

a(xi) b ng h ng s , g i là véc t gradien c a a(xi), ký hi u là grad a(xi)

Hàm đi m véc t ar(xi) thu c tr ng véc t có th tích là V, m t gi i h n S; nr là véc t pháp tuy n đ n v t i vi phân di n tích b m t ds, thì ta có:

nó bi n đ i theo qui lu t (1-12) khi xoay h tr c to đ

b) Phép nhân: (ký hi u phép nhân ten x là vi t hai ten x li n nhau) Phép nhân hai ten x

có th th c hi n v i hai ten x có h ng b t k Ten x tích có h ng b ng t ng h ng c a hai ten

x thành ph n M i thành ph n c a ten x tích b ng tích c a thành ph n ten x th nh t v i thành ph n c a ten x th hai l y theo đúng th t ch s

Ví d : Tích c a hai ten x h ng m t (hai véc t ) ar vàbr :

nó b t bi n Nh v y, khi h tr c to đ thay đ i, các thành ph n c a ten x aij thay đ i theo qui

lu t(1-23), nh ng các h s c a ph ng trình (1-25) là D1, D2, D3 không đ c thay đ i D1, D2,

D3 tính theo (1-26) g i là các b t bi n c a ten x đ i x ng h ng hai aij

đ c tr ng (1-25) luôn luôn th c, và ba ph ng chính luôn vuông góc v i nhau.

CH NG II LÝ THUY T V BI N D NG VÀ CHUY N V

ten x bi n d ng, ten x ng su t v…v…

2.1.1 Mô t chuy n đ ng theo Lagrange

b ng bán kính véc t Rur trong h to đ vuông góc Xi:

i 1 1 2 2 3 3 i i

Rur =R(X )ur =X eur +X euur+X eur =X eur (2-1)

Vì Xi là to đ đi m v t ch t M t i th i đi m ban đ u to, và Xi không ph thu c th i gian

Do xi là to đ đi m v t ch t M1 t i th i đi m (t) đang xét, do đó xi ph thu c c th i gian

c s (Hình.2-1)

Hình.2-1 Chuy n đ ng c a ph n t v t ch t M coi nh bi t, n u ta bi t quan h gi a rr và Rur t i th i

1

M

Các hàm trong (2-3), (2-3)’ kh vi và liên t c, và có s t ng ng m t-m t, nên Jacobien

r

-R

ur

(2-5) hay các thành ph n c a nó:

bi u di n qua véc t to đ đi m, (2-6) là bi u di n qua véc t chuy n v

tr ng và th i gian (t) g i là bi n Lagrange, (còn g i là to đ Lagrange, hay to đ v t ch t)

ch t xác đ nh, t c là cho ta qu đ o chuy n đ ng c a ph n t đang xét N u Xi thay đ i, còn t c

đ nh, thì (2-3) cho ta s phân b c a các ph n t v t ch t môi tr ng t i th i đi m xét N u c Xi

xét

2.1.2 Mô t chuy n đ ng theo Euler

đi m t; t c là c n xác đ nh xem ph n t v t ch t nào th i đi m ban đ u (đi m M), sau th i

Rur theo rr

Rur =R(r, t)ur r =R(ur x x x, , , t)=R( , t)ur x (2-7)

Mô t chuy n đ ng theo (2-7) ho c (2-8) là mô t theo Euler Các bi n xi và th i gian t g i

t to đ đi m, còn mô t theo (2-8) là mô t qua véc t chuy n v

N u c đ nh xi, t c là c đ nh M1, thì (2-7) s xác đ nh dòng các ph n t v t ch t có to đ

th i đi m ban đ u Xi c a môi tr ng l n l t đi qua đi m không gian M1 t i các th i đi m khác nhau

chúng khác không

C ng c n chú ý r ng, hai h to đ Xi và xi, tuy có cùng h véc t c s , nh ng chúng hoàn

gian xi ph thu c th i gian

2.1.3 o hàm v t ch t

đ i Gi s xét đ i l ng nào đó, ký hi u là A T c đ thay đ i theo th i gian c a A g i là đ o

i i i

k k

duvdt

M t khác, theo (2-5) u

r = r

j j

dvdt

dvwdt

a) Trong mô t Lagrange

Vì ur =u(X , t)r i nên theo (2-12) và chú ý t i (2-9)’:

du(X , t) u(X , t)v

u (X , t)v

b) Trong mô t Euler

Vì ur =u( , t)r xi , mà to đ không gian xi ph thu c th i gian, nên theo (2-12) và chú ý t i (2-11) có:

k k

b) Theo bi n Euler, gia t c tính theo (2-18) v i v (j xi, t) l y theo (e) ta có:

theo bi n Lagrange và Euler

Bài gi i

Thay (a) vào (2-13)’, ta có:

cho ta ph ng trình vi phân c p hai đ i v i x1 nh sau:

2

1 2

1 2

trình (e) (Jacobien c a (e) khác không)

X1 = x1coskt + x2sinkt

X3 = x3

2- Xác đ nh các thành ph n c a véc t chuy n v

Theo bi n Lagrange, các thành ph n véc t chuy n v có đ c b ng cách thay (e) vào (2-5)’ có:

u (X , t) X (X coskt-X sin kt) X X (coskt-1)-X sin kt;

u (X , t) X (X sin kt+X coskt) X X sin kt X (coskt-1);

u ( , t) X [ coskt+ sin kt] (1 coskt)- sin kt;

u ( , t) X ( sin kt+ coskt) sin kt (1 coskt);

chính là (a)

hay bi n Euler nh đã bi t trong ví d tr c

2.1.5 Qu đ o và đ ng dòng

đi m c a nó trùng v i h ng c a v n t c t i đi m đó

2.2 TR NG THÁI BI N D NG T I M T I M - TEN X BI N D NG

2.2.1 Tr ng thái bi n d ng t i m t đi m

tr ng thái ban đ u, M và N đ c đ t trong h to đ v t ch t Xi có véc t MNuuur =dRur, đ

đ c đ t trong h to đ không gian xi, có véc t M Nuuuuur1 1 =drr, và đ dài M1N1=ds1 đ n gi n,

(ds −ds ), hay nói cách khác, hi u s (ds12 −ds )2 cho ta đ đo bi n d ng t i lân c n đi m xét

c a môi tr ng, c ng t c là nó đ c tr ng cho tr ng thái bi n d ng t i đi m xét

2.2.2 Tenx bi n d ng trong mô t Lagrange - ten x bi n d ng h u h n Green-

Trong mô t Lagrange, vì xj = xj (Xi) nên

3

e

X 2

3

1

X

X

2.2.3 Ten x bi n d ng trong mô t Euler - ten x bi n d ng h u h n Almansi-

Trong mô t Euler, vì Xj = Xj (xi) nên t ng t nh trên:

không gian hai chi u

t 2 22

21

21

21

21

2.2.4 M i quan h gi a ten x bi n d ng h u h n và véc t chuy n v

a) Ten x bi n d ng h u h n Green (theo to đ v t ch t Lagrange)

Thay (a) vào (2-23) và đ ý t i (b) ta có:

(2-29) chính là ten x bi n d ng h u h n Green (2-23) bi u di n qua các thành ph n c a véc

t chuy n v theo to đ Lagrange Xi

b) Ten x bi n d ng h u h n Almansi (theo to đ không gian Euler)

u

∂

gradien không gian c a chuy n v Các ten x bi n d ng Gij và °G ch t n t i khi MTLT có bi n ij

d ng, ngh a là, đ i v i v t r n tuy t đ i, các ten x này đ u b ng không

Nhìn vào các quan h (2-29) hay (2-31), ta th y các thành ph n c a ten x bi n d ng h u

h n có quan h phi tuy n v i chuy n v Tuy v y, có th tách chúng thành hai ph n: m t ph n tuy n tính, và m t ph n phi tuy n

bi n d ng và chuy n v là tuy n tính, nên vi c gi i toán đ n gi n đ c r t nhi u

2.3.1 Ten x bi n d ng bé – ph ng trình hình h c Cauchy

thu c, ng i ta còn g i là ten x bi n d ng tuy n tính (đã b ph n phi tuy n)

Theo bi n Lagrange:

j i

j i

uu

j i

uu

g n đúng hai ten x bi n d ng bé εij và ε%ij trùng nhau Trong th c t tính toán, ng i ta hay dùng

1 2 22

2 3 33

13 31

3 1 3 2

uu12

uu12

i i

dXnds

Thay (2-22)’ vào (2-22) và chú ý t i (a) ta có:

ij i j 2

Tr ng h p bi n d ng bé: Ta b qua s h ng bé b c hai (ε ) so v i 2ε2n n trong (b), nh n

i ii i i

ph ng to đ xixj và có ph ng song song v i các tr c to đ , đ dài ban đ u là dxi và dxj

(Hình.2-3)

Hình.2-3

Khi b bi n d ng, đi m M d ch chuy n t i M1 có các thành ph n chuy n v là ui, uj; do tính

u +

j i

ij

j i

i j

uu

ii jj

i j

2Garcosin

và đ ng nhiên, lúc này, t (2-41) c ng có th suy ra (2-40)

d ng: (ε11, ε22, ε33) chính là bi n d ng dài t đ i theo ph ng các tr c to đ t i đi m xét, các

2.3.3 Bi n d ng chính, ph ng chính và các b t bi n c a tr ng thái bi n d ng

t i m t đi m

giá tr chính c a ten x này, ký hi u là ε1, ε2, ε3 (hay εk) theo qui c ε1 ≥ ε2 ≥ ε3, g i là các bi n

luôn luôn tho mãn đi u ki n

là các vi phân chi u dài d1, d2, d3 Phân t này g i là phân t chính c a tr ng thái bi n d ng

Phân t chính ch có bi n d ng dài c a các c nh mà không có bi n d ng góc, ngh a là sau bi n

M 3 2

uu

13 31

3 1 3 2

(3 3) 0;

uu

2.3.4 Ten x c u và ten x l ch bi n d ng

là εoij và ten x l ch bi n d ng, ký hi u là eij

tb 0

2.3.5 Ten x quay tuy n tính

Nh đã bi t, do tính liên t c c a môi tr ng, n u t i đi m M có chuy n v là uuurM thì t i N

l n c n M có chuy n v là:

N

u

uur = uM

uur + du

r

(2-53) Trong h to đ vuông góc xi thì ur=u( i)

phân tích ý ngh a v t lý c a các thành ph n trong ten x quay tuy n tính, ta th tính góc

α

- ij2

j i

uu12

V y là, ba thành ph n đ c l p c a ten x quay tuy n tính chính là ba góc quay c a ba đ ng

bi n d ng thu n tuý εijdxj và ph n chuy n v ch thu n tuý gây quay (nh c th ) ωij.dxj Nh

n u bi t chuy n v , ten x bi n d ng tuy n tính εij, và ten x quay tuy n tính ωij t i đi m M cùng th i đi m

1

1 2

2 3 33

x x

P

3 1

3 2

1 2(0 1)( 1) ( 2) 2

2u