CHUONG 4 cơ môi trường liên tục

Điểm vật chất M có tọa độ Xi được xác định bởi vectơ bán kính R , Xi là tọa độ điểm vật chất ban đầu, không phụ thuộc thời gian t Tại thời điểm t điểm vật chất M di chuyển tới vị trí M1

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

4.1 HỆ TỌA ĐỘ VÀ CÁCH MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG.

Sử dụng hệ trục toạ độ vuông góc Descrates

Để biểu diễn ngắn gọn ký hiệu tên các trục

bằng chữ cái với các chỉ số

Ví dụ x, y, z sẽ được thay thế bởi x1 , x 2 , x 3 hoặc

x i , X,Y,Z sẽ được thay thế bởi X 1 , X 2 , X 3 hoặc X i ,

với i=1, 2, 3

Ở thời điểm ban đầu (t=0) chọn hệ toạ độ Descrates X 1 X 2 X 3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi là hệ trục toạ độ đồng hành Điểm vật chất M có tọa độ Xi được xác định bởi vectơ bán kính R , Xi là tọa độ điểm vật chất ban đầu, không phụ thuộc thời gian t

Tại thời điểm t điểm vật chất M di chuyển tới vị trí M1 có tọa độ x i trong hệ tọa độ nào đó

gọi là hệ tọa độ quy chiếu được xác định bởi bán kinh r

Khi nghiên cứu chuyển động của môi trường liên tục, tồn tại hệ qui chiếu của người quan sát và hệ toạ độ đồng hành gắn với môi trường liên tục

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Khi chịu các tác động, các phần tử vật chất sẽ chuyển động, chuyển động này được đặc trực bởi véc tơ chuyển vị u nối vị trí của phần tử ở thời điểm ban đầu t=0 và thời điểm t đang

xét

Véc tơ chuyển vị của điểm M

Để đơn giản ta chọn các hệ trục xi và X i cùng gốc, cùng phương và cùng chiều ( x i

≡ X i ) Véc tơ chuyển vị khi đó có dạng

Trên ba trục tọa độ các thành phần chuyển vị : ui = x i - X i

Có mấy cách mô tả chuyển động ?

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Có hai cách mô tả chuyển động trong môi trường liên tục: mô tả Lagrange và mô tả

trong đó: x i - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét

X i - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 (các biến số này được gọi là tọa

độ hay biến số Lagrange hoặc toạ độ vật chất)

-Vec tơ chuyển vị u sẽ là hàm của tọa độ và thời gian u = u (Xi , t )

Nếu cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vật chất M (quĩ đạo

(áp lực, vật tốc dòng chảy, tại các điểm khác nhau của thành ống)

mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Mô tả Euler và Lagrange là hai cách mô tả khác nhau về chuyển động của môi trường, các biến số là tương đương nhau và có thể qui đổi lẫn nhau Điều kiện cần và

đủ để tồn tại hàm ngược của chúng là Jacobien khác 0

Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange.

Biểu diễn chuyển vị theo Lagrange và Euler

(4.3)

Theo Lagrange:

u i là hàm phụ thuộc biến X i

Theo Euler:

(4.4) (4.5)

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

i j

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

i

u X , t du

Cố định t cho hình ảnh sự phân bố vận tốc của các phần tử vật chất trong toàn thể

môi trường, nếu cố định tọa độ X i cho biết sự thay đổi vận tốc phần tử theo thời gian

du v

du v

du v

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Gia tốc chuyển động là đạo hàm theo thời gian của véc tơ vận tốc

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Bài làm:

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Nhận xét: - Khi tính trong tọa độ Euler phải giải hệ phương trình (cả hai vế đều chứa ẩn vi cần tìm)

- Sau khi tính được trong hệ tọa độ Lagrange có thể dùng phương pháp thay biến để tìm trong hệ tọa độ Euler hoặc ngược lại.

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

4.3 QUAN HỆ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG BÉ.

4.3.1 Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho

Trong vật thể liên tục, xét hai điểm vật chất M,

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Khai triển các vi phân du1 ,du2, du3 theo Taylor

và bỏ qua các vô cùng bé bậc cao nhận được

4.3.2 Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé.

Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(x i ) Phân tố hình hộp có

các cạnh dx1, dx2, dx3 và các mặt song song với các mặt phẳng toạ độ

Quan sát biến dạng của hình chiếu phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox 1 x 2, giả sử phân tố chỉ bị biến dạng thuần túy (không có chuyển động quay quanh các trục)

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Điểm M(x 1, x 2 ) có các thành phần chuyển vị u1 (x 1 ,x 2 ), u 2 (x 1 ,x 2 )

Điểm N(x1 +dx 1 ,x 2 ) lân cận M có các thành phần chuyển vị u u dx ; u u dx ;

4.3.2 Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé.

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

 



2 22

Biến đổi tương tự với các thành phần biến dạng và chuyển vị trong mặt phẳng x 1 x 2

và x2 x 3 ta nhận được hệ phương trình hình học Cauchy-Navier:

(4.15)

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

u

; x

 



1 11

1

u

; x

 



2 22

2

u

; x

 



3 33

j i

u u

1 Biến dạng dài theo phương bất kỳ

du i - vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u i

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

4.3.3 Ten xơ biến dạng bé

Khảo sát một vi phân chiểu dài ds=MK theo phương

v bất kỳ có các cosin chỉ phương

i

i

dx l

ds

Tại trạng thái ban đầu

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

i

i

dx l

j i

u u

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Nhận xét: Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại một

điểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ

2 Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng

Do có sự giống nhau giữa biểu thức biến dạng theo phương ν bất kỳ và biểu thức ứng suất theo phương ν => ten-xơ biến dạng bé có 9 thành phần và ký hiệu chung

là εij Chín thành phần biến dạng này lập thành một ten-xơ hạng hai

Ten-xơ biến dạng cũng có thể phân tích thành ten-xơ lệch biến dạng Dε và ten-xơ cầu biến dạng Tε0 tương tự như ten-xơ ứng suất.

Trạng thái biến dạng ứng với ten-xơ lệch biến dạng Dε chỉ gây biến đổi hình dáng, không gây biến đổi thể tích; trong khi trạng thái biến dạng ứng với ten-xơ cầu biến dạngTε0 chỉ gây biến đổi thể tích, không gây biến đổi hình dáng vì các biến dạng góc bằng không

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

4.4 BIẾN DẠNG CHÍNH - PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH

Tương tự như trạng thái ứng suất, tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, mặt phăng vuông góc với ba phương đó biến dạng trượt bằng không - gọi

là phương biến dạng chính Các biến dạng tương ứng theo các phương này gọi là biến dạng chính, ký hiệu là ε 11 , ε 22 , ε 33 Các biến dạng chính được xác định từ phương trình tương tự như các ứng suất chính

Các bất biến của biến dạng

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Phương của các biến dạng chính được

xác định tương tư như xác định

phương của các ứng suất chính

Khi các hệ trục tọa độ là các trục biến dạng chính

i

  2 1  2 2  2  3 2  3  1 2

3

4.6 TENXƠ QUAY

Ngoài biến dạng dài và biến dạng

góc, phân tố còn bị quay Sự quay

này được đặc trưng bởi góc quay

của đường chéo phân tố Xét góc

quay của đường chéo MQ của hình

chiếu phân tố hình lập phương trên

mặt Ox 1 x 2 quay quanh trục x 3, ta ký

hiệu là ω 12 Phân tích ω 12 thành hai

thành phần:

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

-Góc quay α/2 khi cạnh MN quay một góc nhỏ α

- Góc quay β/2 khi cạnh MP quay một góc nhỏ β

Nếu qui ước góc quay là dương, khi đường chéo quay

ngược chiều kim đồng hồ

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Biểu thức biến dạng góc có thể biểu diễn dưới dạng

4.8 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA CÁC BIẾN DẠNG.

Các phương trình cho phép tính biến dạng từ các hàm chuyển vị Các hàm chuyển

vị liên tục và đơn trị do đó các hàm chuyển vị cũng liên tục và đơn trị Để giải bài toán ngược 3 hàm chuyển vị xác định từ 6 phương trình vi phân Để xác định ba ẩn

số là hàm liên tục và đơn trị sáu phương trình không được độc lập mà phải phụ thuộc ràng buộc, tức là các thành phần biến dạng phải có quan hệ Các quan hệ này gọi là các điều kiện tương thích hoặc các điều kiện liên tục của biến dạng – điều kiện Saint-Venant

Ý nghĩa hình học: các phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở vì vật thể là liên tục Khi vật thể biến dạng thì các phân tố cũng biến dạng, nếu sự biến dạng này là tùy ý thì giữa chúng có khe hở

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

u

; x

 



1 11

1

u

; x

 



2 22

2

u

; x

 



3 33

4.9 QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG LỚN

4.9.1 Theo toạ độ vật chất Lagrange

Trong mục (4.3) khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé trong biểu thức

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Dạng khai triển của tenxơ biến dạng Green:

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

12212212212

4.9.2 Theo toạ độ không gian Euler

Dạng khai triển Dạng khai triển của tenxơ biến

dạng Almansi

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Tenxơ biến dạng lớn theo tọa độ không

gian Euler - Tenxơ biến dạng Almansi

2

12212212212

Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất các thành phần chuyển vị.

Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và Almansi có thể bỏ qua Lúc đó tenxơ biến dạng bé theo hai cách mô tả

là như nhau

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong đó a=const Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).

Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng:

010

104



T

1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính 2- Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ biến dạng.

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong đó a=const Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).

Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng:

010

104



T

1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính 2- Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ biến dạng.

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong đó a=const Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).

Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng:

010

104



T

1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính 2- Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ biến dạng.

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường là

xy

x y

y

xy y

x T

2 /

2 /

2

2 2

2 2



1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không? 2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)

y z

f ez ax xz

v

c bz ay yz

HẾT CHƯƠNG IV