www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1Chủ đề 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN
A/ BÀI TẬP MẪU:
1 Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:
2 2
= − ÷ + + ÷
Giải:
Cơng thức khai triển của biểu thức là:
( )
( )
11 3 14 3
1
k
n
n
−
−
Để số hạng chứa x5 vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x5 là 2 3
11 7 90
C +C =
2009 2009 2009 2009
Giải:
2009 2009 2009 2009
⇔ 2009 2008 2007 1005
2S C= +C +C + + C +C + + C = + 1 1
2008
2
⇒ =S
3 Khai triển và rút gọn biểu thức 1 −x+ 2 ( 1 −x) 2 + +n( 1 −x)n thu được đa thức
n
n x a x
a a
x
P( ) = 0 + 1 + + Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn
n C
1 7 1
3
2 + = .
Giải:
Ta cã
=
−
−
+
−
≥
⇔
=
+
n n nn nn
n n C
)2 )(1 (
!3.7 )1
( 2
3 1 7
1
3
2
§ã lµ 8 C88 + 9 C98 = 89
.9
0 36 5
3
=−
−
≥
n n n
Suy ra a8 lµ hƯ sè cđa x8 trong biĨu thøc 8 ( 1 −x) 8 + 9 ( 1 −x) 9
Trang 24 Tính tổng S C= 02009+2C12009+3C22009+ + 2010C20092009.
Giải:
* Mặt khác: f (x) (1 x)/ = + 2009+2009(1 x)+ 2008x (1 x)= + 2008(2010 x)+
⇒ f (1) 2011.2/ = 2008(b)
• Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.2 = 2008
•
5 Chứngminh ∀k,n Z thõa mãn ∈ + 3 k n ta luơn cĩ: ≤ ≤
k + k 1− + k 2− = k+ − k 3− − k 2−
Giải:
Ta cĩ: k + k 1− + k 2− = k+ − k 3− − k 2− ⇔ k + k 1− + k 2− + k 3− = k+
= k+ k 1+ k 1+ k 2 + k 2+ k 3 = k + k 1+ k 2 = k + k 1 + k 1+ k 2
= k+ + k 1−+ = k+
n 2 n 2 n 3
2 2
C C − C − C −
+
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử) Giải:
x N
≤ ≤
∈
100 100 100 100
Giải:
100 100 100 100
1+x =C +C x C x+ + + C x (1)
100 100 100 100 100
1−x =C −C x C x+ −C x + + C x (2)
Lấy (1)+(2) ta được:
( )100 ( )100 0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1+x + −1 x =2C +2C x +2C x + + 2C x
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
( )99 ( )99 2 4 3 100 99
100 1+x −100 1−x =4C x+8C x + + 200C x
Thay x=1 vào
100 100 100
Trang 38 Tìm hệ số x3 trong khai triển x x
2+2
3 2
1
n n
C
Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
Giải:
=
−
=
0
3 24 12
12
k
k k
C x
12 2
9 T×m hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x2 trong khai triĨn nhÞ thøc Niut¬n cđa
n
x x
4
2 1
biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d¬ng tháa m·n:
1
6560 1
2 3
2 2
2 2
1 2
3 1 2 0
+
= + + + +
n
C n C
C
n
n n
n
n
C lµ sè tỉ hỵp chËp k cđa n phÇn tư)
Giải:
∫
=
2 0
n n n 2
2 n
1 n
0 n 2
0
n dx C C x C x C x dx
)
x
1
(
2
0
1 n n n 3
2 n 2 1 n 0
1 n
1 x
C 3
1 x C 2
1 x
+ + + +
+
n
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
2 C
3
2 C 2
2 C
2
+ + + +
+
MỈt kh¸c
1 n
1 3 )
x 1 ( 1 n
1 I
1 n 2 0 1 n
+
−
= +
+
n
1 n 2
n
3 1 n
2 0
1 n
2 C
3
2 C 2
2 C 2
+ + + +
+
1 n
1
3 n 1
+
−
1 n
6560 1
n
1
3 n 1 n 1
=
⇒
=
⇔ +
= +
+
−
=
=
0
4 k 14 k 7 k
k 7
k 7 k 7 7
2
1 x
2
1 x
C x
2
1 x
4
k
14− = ⇔ =
VËy hƯ sè cÇn t×m lµ
4
21 C 2
7
2 =
10 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8 C C 1 49
n
2 n
3
Điều kiện n ≥ 4
Giải:
0 k
k n k k n n
x
Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n 2n−4
Ta cĩ: A3n−8C2n+C1n =49
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
Nên hệ số của x8 là C 4 2 3 280
7 =
Trang 4B- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
1 (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18 5
1
2
+
x
x , (x>0).
2 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2 1 2048
2
3 2
1
n n
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
3 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của
x(1−2x)5+x2(1+3x)10
4 (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức ( 1)!
4 1
+
+
n
A A
, biết rằng
149 2
4
2 3
2 2
2
n
A là số chỉnh hợp chập k của n
phần tử và k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
5 (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7 4
x
6 (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n− 3 là hệ số của x 3n− 3 trong khai triển
thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n Tìm n để a 3n− 3=26n.
7 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 + 2 1 + 4 2 + + 2 n = 2048
n
n n
n
8 (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k
n
k n
k
C n
2
1
1 1 1
=
+ +
+
+ + +
(n, k là các số nguyên dương, k≤n, k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
9 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của
(2+x) n, biết:
3nCn−3n− 1C n +3n− 2C n−3n− 3C n + … +(−1)n C n =2048 (n là số nguyên dương, k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
10.(ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng
n n
n n
n
n C
C C
1
1 2 3
1 2 2
1
2
3 1
2
0
+
− + +
− +
−
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
11 (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 1
2
2 1 2 2
5 2
3 2
1 2
1 2
1 2 2
1 6
1 4
1 2
1
n
n n
n n
n
n
C n C
C C
+
−
= +
+ +
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
12 (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
+ 7 4
1
,
1 2
2 1 2
1 1
n n
n
C là số tổ hợp chập k của n
phần tử)
13 (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho
(2 1) 2 2005 2
4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
n n
n n
n
C là số tổ hợp chập
k của n phần tử).
Trang 514 (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của x
3
1
,
+
n
n
n
C là số tổ hợp chập k của n phần
tử)
15 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức
n x n n x x
n x
n x n
n x n
n
x
x
C C
C
C + + + +
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3 1
3 2 1 1 3
1 2 1 1 2
1 0 3
2
1
2 2
2 2
2 2
2
(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đĩ C n3 = 5C1n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n
và x.
18 (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa x7trong khai triển đa thức: ( )2
2 3− x nbiết
2 1 2 1 2 1 2n1 1024
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử )
19 (ĐH A–DB1-2006) Aùp dụng công thức Newtơn (x2+x)100 Chứng minh rằng:
20 (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7 3
4
1
x
x
21 (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8trong khai triển nhị thức Newton của:
5 3
x x
1
4 3 7( 3)
C ++ −C + = n+ ( n là số nguyên dương, x > 0 )
22 (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3là hệ số của x3n− 3trong khai triển thành
đa thức của (x2+1)n(x+2 )n Tìm n để a3n−3 =26 n
23 (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Newton của:
7
4
x
x
+
2 1 2 1 2 1 2n 1 2 1
C + +C + +C + + +C + = − ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
25 (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8 C C 1 49
n
2 n
3
26 (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luơn cĩ
nC (n 1)C ( )1 C ( )1 C n 1 0
n 1 n 2
n n 2 n 1
n
0
n − − + + − − − + − − − =
27 (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n
biết rằng A n3 + 2A n2 = 100 (n là số nguyên dương)
) 2 )(
1 (
3 3
≥
=
−
−
+
n n
n
C
Tính tổng
n n
n n
n
C
S = 2 2 2 − 3 2 3 + 4 2 4 − + ( − 1 ) 2
Trang 632 (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1 1
−
−
−
dương ) Biết rằng trong khai triển đó C n3 =5C1nvà số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
33 (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:
( )
2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 2 1 2 n 2n1 2005
35 (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 2 1 4 2 2n n 243
C + C + C + + C =