CHUYEN DE TO HOP NHI THUC NEWTON

www.facebook.com/hocthemtoan

QUY TẮC ĐẾM 1) Quy tắc cộng :

Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là : m + n cách

– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276)

– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ :

1300, 2512)

– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5

– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3

– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ :

1 ) (

1 (

r n

n r

n n

Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là :

Pn = n(n – 1)(n – 2)… × 1 = n!

CHỈNH HỢP

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1  k  n), sắp vào k chỗ khác nhau Mỗi cách

chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn, , chỗ thứ k có [n – (k – 1)] cách chọn Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là:

n



Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

k n

n



TỔ HỢP

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0  k  n) không để ý đến thứ tự chọn Mỗi

cách chọn như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Ta thấy mỗi tổ hợp chập k của n phần

tử tạo ra được Pk = k! chỉnh hợp chập k của n phần tử Do đó, nếu ký hiệu

k n

A C

k n k n

k

C  

k n

k n

k

C  11 1

n n n n

n na k

k n k n n

n n

n n n

n

b b

a b

a b

a b

a a

(i) Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1

(ii) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)n là n

(iii) Số hạng thứ (k + 1) là Cn kankbk

(iv) Số hạng bất kỳ trong khai triển (a + b)n là Cn kankbk

2/ Tam giác Pascal

Các hệ số Cn k của lũy thừa (a + b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, được sắp thành từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal:

Các tính chất của tam giác Pascal

(i) Cn0  Cn n  1 các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1

(ii) Cn k  Cn nk (0  k  n) Các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau

(iii) Cn k  Cn k1  Cn k11 (0  k  n – 1): Tổng hai số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng số hạng ở giữa hai số hạng đó ở hàng dưới

(iv) Cn0  Cn1  Cn n  ( 1  1 )n  2n

Chú ý:

n n n n

n n

n n

x C x

C x C x C C

n n

n n

n n

x C x

C x C x C C

2 ) 1

2 ) 1

2/ Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 

II- BIẾN CỐ

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập  được gọi là biến cố không thể Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn

III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

Tập  \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B

Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B

Nếu A B= thì ta nói A và B xung khắc

Chú ý

AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra

AB xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra Biến cố AB còn được kí hiệu A.B

A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nao cùng xảy ra

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Định nghĩa

Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số

) ( n

) A ( n

 là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)

Vậy

) ( n

) A ( n

n(  ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử

II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

1/ Định lí

a/ P() =0, P(  )=1

b/ 0 P(A)1, với mọi biến cố A

c/ Nếu A và B xung khắc thì P( A  B ) = P(A)+P(B)

Hệ quả

Với mọi biến cố A, ta có P   A  1  P   A

III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

Phần 1 BÀI TOÁN ĐẾM

1 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2

2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123

2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong

đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?

3 (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6

ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau

2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

4 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập được bao nhiêu

số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:

1 n là số chẵn

2 Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1

5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi

vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến

5 cạnh nhau

1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4,

1, 3, 5)?

7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,

sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng

1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn

chữ số còn là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:

1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

2 Các chữ số được xếp tuỳ ý

9 (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc

ghế dài sao cho:

1 Bạn C ngồi chính giữa

2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

10 (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1

11 (ĐHQG HN khối B 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số

khác nhau và không chia hết cho 5

12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5

cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn

1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn

và Nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học

sinh được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:

1) phải có ít nhất là 2 nữ

2) chọn tuỳ ý

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta

có thể lập được:

1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một

15 (ĐH Y HN 2000) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập một đoàn

công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách?

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ

số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một Hỏi

1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi

số là một số lẻ

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi

một khác nhau

1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3,

4, 5 Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1,

2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các

chữ số của mỗi số là một số chẵn

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong

mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước

25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày, cần cử 3 người

làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công?

26 (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách

cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán

bộ lớp

27 (HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào

một dãy 7 ô trống Hỏi:

1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

30 (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9

em nam, 6 em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3

em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

32 (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số

có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác

có mạt đúng 1 lần

33 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau

34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam

1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có

số nữ như nhau

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu

số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

36 (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào

lặp lại đúng 3 lần?

37 (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5

em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có

bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?

2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được

bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng

dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới)

43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số

1 Có bao nhiêu tập hợp con của A?

2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?

47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5

2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các

số đó nhỏ hơn số 345

48 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 học sinh để

đi làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:

1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

2 Một học sinh nữ và một học sinh nam

49 (ĐH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba

chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?

50 (ĐH khối D dự bị 1 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7

học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn

51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà

mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số

đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị

53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em

trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

54 (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

55 (CĐ Sư phạm khối A 2002)

1 Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt

b) 6 đường tròn phân biệt

2 Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên

56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường

59 (ĐH khối B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,

10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và

số câu hỏi dễ không ít hơn 2

60 (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có

bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ

61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8

62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao

nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ

63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,

mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5

64 (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5

học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

65 (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học

sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối

C Tính số cách chọn

66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ

số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?

67 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó

68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau Trên đường thẳng

d1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho

Phần II BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

7 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình: 1 22x 2x  6 3x 

3 15

x x x , hãy tìm số hạng không phụ

thuộc vào x, biết rằng Cnn Cn 1n  Cn 2n  79

9 (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng

1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó

1xx

13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có:

23 (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)

1 Tính tích phân: I =  

1

6 0

3 3 thành đa thức:

a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak  R)

hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10)

29 (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số nguyên dương cố định Chứng minh rằng Ckn lớn

nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá n 1 

34 (ĐH khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

C0n  2C1n 4Cn2 2 C = 243  n nn

35 (ĐH dự bị 2 2002) Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3 2Cn 2n ≤ 9n

36 (ĐH dự bị 4 2002) Giả sử n là số nguyên dương và:

(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho ak 1 ak ak 1

3

1

x

x , biết rằng:Cn 1n 4 Cnn 3 7(n 3) (n nguyên dương, x > 0)

39 (ĐH khối B 2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng:

49 (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003

Khai triển đa thức đó dưới dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003

Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003

50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: An3 2C2n  16n

52 (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)

Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n là số nguyên dương Từ đó chứng minh rằng: 1C12n 3C32n (2n 1)C   2n 12n  2C22n 4C42n 2nC  2n2n

53 (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 – x)]8

54 (ĐH khối D 2004) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:

4

1 x

Tìm k  {0; 1; 2; …; 2005} sao cho Ck2005 đạt giá trị lớn nhất

59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6An2P An n2 = 12

60 (ĐH khối A 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

61 (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A

bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k{1,2,…, n} sao cho số tập con gồm k phần

3

1 x

x , biết rằng: C1n  C3n  13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0)

72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số của x29y8 trong khai triển của (x3 – xy)15

73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa thức có dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71

Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}

Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64

Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2

2 Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A

* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi

123

* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài

Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n

 Tính m: Lập một số chẵn a a a a a5 4 3 2 1 gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2, a3, a4, a5  A, có nghĩa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8}  có 4 cách

Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A  có A47 = 7.6.5.4 = 840 cách

Do đó: m = 4.840 = 3360

 Tính n: Lập một số chẵn 123a a2 1 bắt đầu bởi 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2

Lấy a1 từ {4,6,8}  có 3 cách

Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1}  có 4 cách

Do đó: n = 3.4 = 12

Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348

2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)

Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách

Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Nhóm sách Toán: 2! cách

Nhóm sách Văn: 4! cách

Nhóm sách Anh: 6! cách

Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách

3 (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)

1 Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:

A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ

Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ

Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách

2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B

Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…

Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách

4 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)

1 Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e  {0,2,4,6}, vì là số chẵn Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A47 = 840

Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức

Ta loại những số có dạng 0bcde Có 3 cách chọn e, và A36 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có

3.A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde

Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài

2 n = abcde

* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0) Có 3 cách chọn vị trí cho 1 Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có A47 cách

Như thế: có 3.A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài

* Xem các số hình thức 0bcde Có 2 cách chọn vị trí cho 1 Chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A36

Như thế: có 2.A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde

Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số

5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C154 = 1365

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C C C2 14 5 61 = 180

* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có C C C14 2 15 6 = 240

* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có C C C14 15 62 = 300

Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645

6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

1 * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách

* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

2 * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách

Vậy có 2.6 = 12 cách

* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái

Vậy: có 12 + 12 = 24 cách

7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0

1 Vì số tạo thành là số lẻ nên f  {1, 3, 5}

Do đó: f có 3 cách chọn

a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)

b có 4 cách chọn (trừ a và f)

c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)

d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)

e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)

Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số

2 Vì số tạo thành là số chẵn nên f  {0, 2, 4}

* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số

* Khi f  {2, 4} thì:

f có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn

e có 1 cách chọn

Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số

Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn

8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

1 Gọi 11111 là số a Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5 Do đó số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số

2 Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ

ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần)

Vậy: có tất cả 499!

A5! = 6.7.8.9 = 3024 số

9 (ĐH Hàng hải 1999)

1 Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách

Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu

2 Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách

Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách

Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu

* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:

Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)

Có A34 khả năng chọn 3 chữ số cuối

 Có 4.A34 = 4.4! = 96 số

* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:

Nếu chữ số tận cùng là 0: có A34 = 24 số

Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có A23 = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số

Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5

12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000)

1 Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự

Vậy số cách tặng là A69 = 60480

2 Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách

Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: A126 = 665280

Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: A 756 = 5040

Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: A A46 28 = 20160

Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: A A36 39 = 60480

Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600

13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

1 Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:

* 2 nữ, 4 nam  có C C152 430 cách

hoặc * 3 nữ, 3 nam  có C C153 330 cách

hoặc * 4 nữ, 2 nam  có C C154 230 cách

hoặc * 5 nữ, 1 nam  có C C155 130 cách

hoặc * 6 nữ  có C cách 156

Vậy: có C C152 430 + C C153 330 + C C415 230 + C C155 130 + C615 cách

2 Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: C645

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

1 Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:

abc0 hoặc abc2 hoặc abc4

* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c

 Có 5.4.3 = 60 số

* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c

 Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4

Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn

2 Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5

* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b

 Có 5.4 = 20 số

* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b

 Có 4.4 = 16 số

Vậy có: 20 + 16 số cần tìm

3 Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}

* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540

 có 4 số

* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử  có 3! = 6 số

Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm

15 (ĐH Y HN 2000)

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: C C C15 13 14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: C C13 24 = 18

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: C C23 14 = 12

Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Xét số năm chữ số a a a a a1 2 3 4 5

1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp

Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có A54 = 120 cách

Vậy có 5.120 = 600 số

2 Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có A52 cách

Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có A34 = 24 cách

Vậy có A25.A34 = 480 số

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

1 Chọn 2 nam và 3 nữ: có C C102 103 = 5400 cách

2 Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:

* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách

* 3 nam và 2 nữ: có C C103 102 = 5400 cách

* 4 nam và 1 nữ: có C C104 110 = 2100 cách

Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách

18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số Trong các số có 5 chữ số này, xét các

số không có mặt các chữ số 2, 3, 4 Loại này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn

7 cách chọn chữ số hàng nghìn

7 cách chọn chữ số hàng trăm

7 cách chọn chữ số hàng chục

7 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số

Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có mặt đủ các chữ số 2, 3, 4

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a a a a1 2 3 4 Có hai khả năng:

1 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5  {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số có 5 chữ số

1 2 3 4 5

a a a a a với tổng các chữ số là một số lẻ

2 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5  {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5 chữ số

1 2 3 4 5

a a a a a với tổng các chữ số là một số lẻ

Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

1 Có: C25 cách chọn ra 2 viện bi đỏ

C413 cách chọn ra 4 viên bi còn lại

Vậy có: C25.C134 = 7150 cách chọn

2 Có các trường hợp xảy ra:

* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng  có C C39 35 cách

* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng  có C C C92 25 24 cách

* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng  có C C C19 15 44 cách

Vậy có tất cả: C C39 35 + C C C29 25 24 + C C C19 15 44 = 3045 cách

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có 2 khả năng:

1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn  có 5!5! cách

2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ  có 5!5! cách

Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số

5 Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6 Vậy có tất cả có: 8.7.6.5.C24.1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Số các số có 6 chữ số a a a a a a1 2 3 4 5 6 là 9.105 số

Với mỗi số có 6 chữ số a a a a a a1 2 3 4 5 6 ta lập được 5 số có 7 chữ số a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 mà tổng các chữ số là một số chẵn

Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước

Vậy số các số cần tìm là: 59  9!

C5!4! = 126

25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000)

Có tất cả: C C39 26 C C49 25 C C29 47 = 1260 cách

26 (ĐH GTVT 2000)

Có 2 khả năng:

* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có C C12 182

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có C C22 118

Vậy số chọn là: C C12 182 + C C22 118 = 324 cách

Vậy số cách xếp khác nhau là: A37.C34 = 840 cách

2 Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp

Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với nhau Số các hoán vị là 3! Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:

Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:

x = a a a a a a1 2 3 4 5 6

Từ giả thiết  a1  {5,6,7,8,9}, a6  {1,3,5,7,9}

Có 2 khả năng:

1 a1 lẻ:

* a1 có 6 cách chọn

* a6 có 4 cách chọn

* sau khi chọn a1, a6, cần chọn a a a a2 3 4 5, mỗi cách chọn ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử

Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.A48 = 40320 số

2 a1 chẵn:

* a1 có 2 cách chọn

* a6 có 5 cách chọn

* a a a a2 3 4 5 có A48 cách chọn

Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.A48 = 16800 số

Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm

30 (CĐSP Nha Trang 2000)

Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5.A35 = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là: A45 = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chọn 3 em nam: có C39 cách

Chọn 2 em nữ: có C62 cách

Vậy có: C39.C26 = 1260 cách

32 (ĐH An ninh khối D 2001)

Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:

Thế thì:

* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)

* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn C36 = 20 cách chọn vị trí cho 3 chữ số 4

* Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách chọn cho 3 chữ số còn lại Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số

33 (ĐH Cần Thơ 2001)

Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4! Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách

Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách

34 (HV Chính trị quốc gia 2001)

1 Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam  số cách chia là: C C36 24 = 120

2 * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: C56 = 6

* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:

C C46 14 = 60

Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:

6 + 60 = 66

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Giả sử số cần tìm có dạng: A = a a a a a a1 2 3 4 5 6

+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 Vậy có A57 =

2520 số

+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1 Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6 Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn A46 số khác nhau Vậy trường hợp này có 6.5.A64 = 10800 số

Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số

36 (ĐH Huế khối ABV 2001)

 Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số

 Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:

+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a  {1,2,3, ,9}  có 9 số

+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:

* a111 với a  {2,3,4, …,9}  có 8 số

* 1b11 với b  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* 11c1 với c  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* 111d với d  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: C513 = 1287

* Số cách chọn 5 em toàn nam là: C57 = 21

* Số cách chọn 5 em toàn nữ là: C56 = 6

Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260

38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001)

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai

 Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

* Có C25 = 10 cách chọn 2 học sinh khá

* Có C58 = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình

 Có: 3.10.56 = 1680 cách

 Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

* Có C35 = 10 cách chọn 3 học sinh khá

* Có C48 = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình

 Có: 3.10.70 = 2100 cách

Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

 Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: A35

 Số các số thu được là: 4.4.A35 = 960 số

 Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:

Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5

Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: A45

 Số các số thu được là: 5.A45 = 600 số

Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số

2  Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0 Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: A47 = 840

 Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0

* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)

* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn

* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại

 Số các số tạo thành: 3.6.A36 = 2160

Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720

Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

số các số có chứa 61 là 5! = 120

Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số

42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9

Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ đứng cách nhau

một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9)

Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ

Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3! Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí còn lại là 6!

Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách

43 (HV Quan hệ quốc tế 2001)

Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9

Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!

Vậy tất cả có: 8! = 40320 số

44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1 Số được xét có dạng: a a a a a a1 2 3 4 5 6 Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a2 đến a6: có 5 cách xếp Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này: có A58 cách

Vậy tất cả có: 5.A58 = 33600 cách

2 Số được xét có dạng: a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7

Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có C27 cách

Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C35 cách

Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2!C28 cách

Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

C72.C35.2!C28 = 11760 số

Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0

Đối với các số 0a a a a a a2 3 4 5 6 7:

* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có C62 cách

* Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C34 cách

* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách

Như vậy loại này có: C26.C34.7 = 420 số

Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số

45 (ĐHSP HN II 2001)

Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3,

4, 5, 7, 8

Xét x = a a a a a1 2 3 4 5  X

Nếu chọn a5 = 1 thì a a a a1 2 3 4 ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4, 5, 7, 8  có A45

số có chứ hàng đơn vị là 1

Tương tự có A45 số có chứ hàng đơn vị là 3; …

 Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x  X là:

(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).A54 = 3360

Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x  X là: 3360.10; …

Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:

S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000

= 3360.11111 = 3732960

46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)

1 Số tập con của A là: C020C120C220 C 2020 = 220

2 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:

T = C220C420 C 2020

Ta có: 0 = (1 – 1)20 = C020C120C220 C 2020

 C020C220C420 C 2020 = C120C320 C 1920

 C020C120C220 C 2020 = 2C020C220C420 C 2020

 T = C220C420 C 2020 = 

20 0 20

2C

19 – 1

47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

1 Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c  {1;2;3;4;5} = E

Vì x chẵn nên c  {2;4}  có 2 cách chọn c

Với mỗi cách chọn c, có A24 cách chọn bc

Vậy tất cả có: 2.A24 = 24 số chẵn

2 Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}

Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số

Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số

48 (ĐH Văn Lang 2001)

1 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp:

* 2 nam và 3 nữ: có C C102 103 cách

* 3 nam và 2 nữ: có C C103 102 cách

Vậy tất cả có: 2.C C102 310 = 10800 cách

2 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:

* 1 nam và 4 nữ: có C C110 104 cách

* 2 nam và 3 nữ: có C C102 103 cách

* 3 nam và 2 nữ: có C C103 102 cách

* 4 nam và 1 nữ: có C C104 110 cách

Vậy tất cả có: 2.C C110 410 + 2.C C102 310 = 15000 cách

49 (ĐH Y HN 2001)

Ta xét các trường hợp sau:

1 Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6  có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục  Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số

b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục

 Số các số thu được là: 3.6 = 18 số

2 Chữ số hàng đơn vị là 8:

a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục

 Số các số thu được là: 6.7 = 42 số

b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục

 Số các số thu được là: 6 số

Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số

50 (ĐH khối D dự bị 1 2002)

Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là: C188 = 43758

Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:

Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chọn (số cách phải tìm)