DE TAI VE BAI TAP DO THI HAM SO

ĐỀ TÀI DÀNH CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN

phần I

Đặt vấn đề

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiềulĩnh vực khác nhau Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việccải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài ngời ngày mộttốt đẹp hơn

Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoahọc phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triểncác phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống trithức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phầncải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc chomọi ngời

Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là

"Số" và "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chơng trình môn đại số ởphổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số Vớicác khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số

đợc phân lợng thời gian không nhiều Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật lànhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm

số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quảcủa học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của

đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng

túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng bài

tập về hàm số và đồ thị".

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa

ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với

đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,

tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác,

có nhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số còn đợc coi là công cụ giảiquyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơngtrình, sau đây là nội dung đề tài

Phần II

Nội dung đề tài

Chơng I: lý thuyết cơ bản

Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số

b Các loại ánh xạ:

* Đơn ánh

ánh xạ: f: X Y

x a y = f(x)

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho

t-ơng ứng mỗi giá trị x  X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)

Ngời ta viết: f: X Y

x a y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x

Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại l-ợng biến thiên và nhận các giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ

+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)

+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị

 là trục đối xứng

Chơng I: lý thuyết cơ bảnDạng i: tìm tập xác định của hàm số

- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x  R/ biểu thức trong căn 0}

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x

Giải

x x

x

x 6  7    6  7  =1  y 1Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x với x R là y R, y 1

* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 với x [2;3]

Giải:

Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1

Vậy với x [2;3] ta có y(2)  y(3)  3 y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2+ 2x + 3 với x [2;3] là [3;6]

*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4 x + 3

Giải:

TXĐ của hàm số là R

Xét phơng trình x2- 4 x +3 = y  ( x -2)2= y + 1

Phơng trình có nghiệm y + 1 0  y -1

3 øng dông:

* øng dông 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña y = 6x – x2 – 2

x

2 2

Gi¶ sö y lµ mét gi¸ trÞ cña hµm sè  ph¬ng tr×nh

2 x x

x

2 2

 (y -1)2- 4(y – 1)(2y - 6)  0

 (y - 1)(23 – 7y)  0

 1< y 

7 23

VËy gi¸ trÞ cña hµm sè lµ 1< y 

7 23

x

2 2

4

2





Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z  x + x + 2 nhận giá trị

Giải phơng trình

2 x x

x

2 2

x

2 2

* ứng dụng 2: Giải phơng trình f(x) = g(x) (1)

Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chungcủa chúng:

Nếu 





m x

g

m x

f

) ( ) (

với x  D thì f(x) = g(x)  





m x

g

m x

f

) ( ) (

(2)Nếu x0  D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phơng trình (1)

x x x

Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2:

Giải phơng trình – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x – x 2) = 0 (3)

7

x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =

4 9

Vậy phơng trình (3)  





 28 28 VT

4 9

Kết luận nghiệm của phơng trình là x =

4 9

a a

b b

a

8 2

2 2 2

Bài 3: Gọi x,y là nghiệm của hệ phơng trình 

2 2

2 y a x

a Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất: Đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và điểm B(x 2 ;y 2 )

1 1

ax

y b ax

y b

giải hệ phơng trình ta có a,b

Kết luận công thức hàm số.

* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua

điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)

b a b

b

Kết luận hàm số cần tìm là y =

2

3 2

Vì d song song với d' nên a = 2  b =

1 -

 b = y1+

1 a

1

x1

Kết luận hàm số cần tìm là y = x

1 a

1 -

+ y1 +

1 a 1

x1

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phơng trình hoành độ

giao điểm: ax + b = a'x2 + b'x + c' có nghiệm kép

 a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép

 =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2)

Giải hai hệ phơng trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm

A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol

d đi qua điểm A(-1;2) d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phơng trình hoành độ giao

2 a a a b

2

2

a a b

 





 2 0

a b

Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c

Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Pharabol (P) đi

qua 3 điểm phân biệt A(-1;0), B(0;3), C(1;0)

0

c b a c

c b a

c b

Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

đi qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1;2)

(2)

2 4

4 2

4a

4 1 2

2

2

a ac b

b

c b a

4

0 2

c b

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

nhận D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = 2x – 2

Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên  1

2a

b -

4a -

4 1

2

0 ) 2 (

4 )

b

c ac b

4 0 2

0 4 4

8 4

2 2

a ac

b

b a

b a

ac b

4

0 4

12

0 2

2 ac a

b

b a

b a

c b

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2

3 Bài tập:

Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = -2x – 1

a Viết phơng trình đờng thẳng song song vớ d và đi qua gốc toạ độ

b Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và đi qua điểm N(-1;5)

Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O(0;0) và có

a Xác định a,b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đờng thẳng d: y = 2x + 1

b Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol(P) và đờng thẳng d trên cùng một mặt phẳng toạ độ

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1 - t

1

)2 – 1  f(t) = 2

1) - (t

t) - t(2

Vì tơng ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = 0

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết f(x) + 2f(

1 f x 1 x 1

1 2f x

1 f

1 ) ( 2 1

1 2 )

(

x x f x

f

x x f x

2 1

2 4

1 2 ) (

x x

f x f

x x f x f

4

3

2 ) (

x

x x

f  

2 =

) 4 (



 x x

2 5x - 4 - 10x

và f(2) = -1Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết

x g x x f

x x

g x

f

1 2

2 1 2 2 ) 1 2 (

g x x

f

x x

g x

f

2

2 2 3 2 1

3 1 6 ) 1 3 (

b

4

; 2

+ Trục đối xứng: x =

2a

b



+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dới khi a < 0

Chẳng hạn: y = x =



 0 x với x -

0 x với x

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

của góc vuông I và II (hình1d)

0 x

-1 0 1 2 3 4 X -1

y

2 1

-1 0 1 2 3 4 x -1

3 2 1

e Đồ thị phần nguyên: y = x trong đó x là ký hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá x

+ Đồ thị hàm số y = x với –1 x < 3 có dạng bậc thang nh (hình e1)

2

v ới 2

2 x

1

v ới 1

1 x

0

vớ i 0

0 x

1 -

vớ i 1

-f Nhận xét:

* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

*Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0

+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* y =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số

mà chỉ cần vẽ đờng biểu diễn mói quan hệ

0 x với x

+ Bảng giá trị:

y

0 x nếu 2 2x x

-2 2

Nhận xét: Đồ thị hàm số y = x2 +2 x +2 nhận trục tung làm trục đối xứng

3 ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ

nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị

*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1  x 2

( 3 2x

-2) x

(1 1

2) ( x

3 2x

Đồ thị hàm số gồm các phần đờng thẳng y = 2x – 3 (x > 2)

y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1 x 2)Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = x2 +2 x+2 với x  0 và

y = -x2 +2 x+2 với x < 0Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1

*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = -x2 -2 x 1+1

-1) (x 3 2x - x -

2 2

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x2 -2 x+3 với x  1 và

y = -x2 +2 x+1 với x < 1 y

-1 0 1 3/2 2 x -1

-2 -9/4

+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào

số điểm chung của hai đồ thị

Giả sử M(xM;yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)

f(x) y

 Vậy vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào

số nghiệm của phơng trình 



 g(x) y

f(x) y

y

(1) f(x)

y

+ Phơng trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)

+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số

y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2)

Hai đồ thị cắt nhau  phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt

Hai đồ thị tiếp xúc  phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau  phơng trình (3) vô nghiệm

* Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của

ph-ơng trình (3)

* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3) tìm hoành độ x = x0, dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tơng ứng y = y0

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d1: y = (2m – 3)x + 2

a Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Giải:

+ d//d1  



 2 2m

3 - 2m m

 



 1 m

3 m

 m = 3+ d cắt d1  m 2m – 3  m  3

+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc Xác định toạ độ

điểm chung cho từng trờng hợp

Giải:

+ d vuông góc với d1  m(2m – 3) = -1

 2m2 – 3m + 1 = 0  m = 1 hoặc m =

2 1

+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d1: y = -x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ 

2 x y

x + 1 và d1: y = -2x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6

; 5 2

Biện luận theo m vị trí tơng đối của đồ thị các hàm số y = x - 4x + m (P) và

y = 2x + 1 (d) Trong trờng hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc

2x

y

(1) m 4x - x

y 2

Phơng trình toạ độ x2 - 4x + m = 2x + 1  x2 - 6x + m – 1 = 0 (3)+ (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt  phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt  = 9 – m + 1 > 0  m < 10

+ (P) tiếp xúc với (d)  phơng trình (3) có nghiệm kép

 = 9 – m + 1 = 0  m = 10

Với m = 10 phơng trình (3) trở thành x2 - 6x + 9 = 0  x = 3 thay vào (2) ta

có y = 7

Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)

+ (P) không giao nhau với (d)  phơng trình (3) vô nghiệm

y

(1) 8

4x - x

y

2 2

+ Phơng trình hoành độ x2 – 4x – 8 = mx2 + (m + 2)x + 8

 (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0 (3)+ (P) và (P') có không quá một điểm chung  phơng trình (3) có không quá một nghiệm

- Xét m = 1, phơng trình (3) có dạng 7x + 16 = 0  x = -

7

16

là nghiệm duy nhất

Vậy với m = 1 (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm

- Xét m  1 (P) và (P' ) có không quá một điểm chung    0

 (m+6)2 – 64(m – 1)  0

 m2 – 52m + 100  0

 26 – 576 m  26 + 576 m 1Vậy (P) và (P' ) có không quá một điểm chung  26 - 576 m  26 +

* Cách giải bài toán:

+ Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp đồ thị

+ Theo đồ thị ta có:

m<1 phơng trình (1) vô nghiệm

m=1 phơng trình (1) cs vô số nghiệm: 1 x 2

m>1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiệm duy nhất a

x 

2 +1= x 3 (1)

2 2

a x a x

a x a x

3

x x x a x

+ Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất  hai đồ thị có một điểm

chung duy nhất:

4 2

b a

x 2  x-k =  

2

1 -

x

-(1) 2k 1

4x x

-2 2

-2 -1 0 1 2 3 4 -1

y 5

y=2k là đờng thẳng song song với trục 0x

Khi đó phơng trình (x-1)2=2 x  k có 4 nghiệm phân biệt  (d) cắt (P1) và

(P2) tại 4 điểm phân biệt  





 2 2

3 2

1

k k

3 2

1

k k

4 Bài tập:

Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau Tìm

toạ độ tiếp điểm

a.(P): y=x2 và (D): y=4x-4b.(C): y=x2-2x-3 và (C'): y=2x2+2x+1

Bài 2: Chứng minh (P): y=mx2-2mx+(m-1) tiếp xúc với mọi đờng thẳng cố định với mọi m  0

0 a

0

b 1 a





1 - b

0 a

Vậy đờng thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1) m 0

Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5 Gọi (d) là đờng thẳng đi qua A(3;2) và

+ Biến đổi (1) về phơng trình chính tắc ẩn m (coi x0;y0 là tham số) có

nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phơng trình bằng 0 (2)

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0;y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

0 0 0

y x

0 0

y x

Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(

2

7

; 2

3

0 2

0 0

0 0

0 0

y x

y x

y x

 





 1 1

0 0

y x

 Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(-1; 1) với m

3 2

0 2

0 4

0 0

2

0 2

2

y x

x

x x

x

 



 15 2

0 0

y x

Bài tậpBài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đờng thẳng đi qua với mọi giá trị của tham số

1 Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải:

+ Biểu diễn toạ độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m, biểu diễn yM= f(xM)

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x)

* Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra

điều kiện của x để giới hạn quỹ tích

2 Ví dụ:

Ví dụ 1:

Tìm tập hợp giao điểm nếu có của hai đờng thẳng

(d1): (m-1)x + 2y = 3(d2): mx + y = -4

mx

y x

2

3 2 ) 1 (

y mx

y x m

1 (

mx y

x m

1 11