CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ LỚP 11

Hệ thống lý thuyết, bài tập có lời giải chi tiết

Trang 1

GIẢI TICH 11

Cro ban tủ làn 2ð

Thay Huy — www.facebook.com/lacvieteducation - DT: 0968 64 65 87 Trang |

Trang 2

Học thêm toán Chuyên đề giới han lớp I1

A Tém Tat Giáo Khoa

1 Dãy số (uạ) có giới hạn là O nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số

dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở di

d) Dãy số không đổi (u,) voi u, = 0 có giới han 0

e) Nếu lql <I thi lim q°= 0

Dang toán : Tìm giới hạn ( của dãy sối

Cách 1 : Sử dụng các tiêu chuẫn a, b, c, ,đ ,e kết hợp với định lí

Trang 3

Chương 4 Gidi han

Chẳng hạn với ¢ = 0, 001 thi np >7 va no > = my =200 vậy lấy nạ = 201 ( hay một sô nguyên bất kì >

Trang 4

1 Định nghĩa : Dãy số (u,) có giới hạn là số thực L néu lim(u, —L) =0

imu, =L (hoac u,—> L) © lim(u, —L)=0

2 Dinh li 1 : Giả sử lim u„ = L., khi đó :

a) limlu,l=!L 1 va lim {U, =ŸI

b) Nếu uạ > 0 với Vn thì L > 0 và lim fu, =vL

Định lí 2 : Giả sử limu, = L., limv„ạ = M và c là một hang s6 Khi dé :

a)* lim(u, + v,)=L+M * lim(u, = v„ạ)= L.=M

Dạng 1 : Tìm giới han bằng định nghĩa J

limu, = L & lim(u, —L)=0

Trang 5

Dang 2 : Tim gidi han cua eu

Q(n) trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức theo ĩ

Dạng 3: Dạng sử dụng công thức : lim q°” = 0 nếu | qÌ < i|

Trang 6

Chuyên đề giới han lớp I1

( Chia tử và mẫu cho 3° )

Ta có :

— 0- 0+25 125 0+0++2

Trang 7

4 15 Tìm giới hạn các dãy số sau :

Thay Huy — www.facebook.com/lacvieteducation - DT: 0968 64 65 87 Trang 7

Trang 8

4.17 Trong mặt phăng Oxy , một ốc sén bd ti g6c O theo phương Ox I m, rồi quẹo trái theo phương Oy

rồi lại quẹo trái theo phương Ox và cứ thế , khoảng cách bò lần sau bằng nữ a khoảng cách trước đó Hỏi

bò mãi thì ốc sên sẽ đến vị trí nào ?

4.18 Biểu diễn các số thập phân tuần hòan sau đây dưới dạng phân số, ví dụ : a I,151515 là số

thập phân tuần hòan có chu ki la 15

a) O, 123123123 b) 1, 272721:::

4.19 Cho một góc xOy = 30” Từ điểm A trên Ox voi OA = L, đựng AA; vuông góc Oy Tiếp theo dựng

AiA› vuông góc Ox, rồi A›A; vuông góc Oy và cứ thế mãi mãi

Tình độ dài đường gap khtic AA; A>

4.20 Cho hình vuông ABCD có độ đài là 1 Ta nội tiếp trong hình vuông này một hình vuông thứ hai , có

đỉnh là trung điểm cua các cạnh của nó Và cứ thế Tính tổng

chu vi cua các hình vuông

* 4.21 Tìm giới hạn các dãy số sau :

Trang 9

4 14 a) limu, = x (Chia tf va mau cho n° )

b) limu„ = 0 ( Chia tử và mẫu cho n”)

Trang 10

Suy ra tung độ của ốc sẽ tiến đền vị trí la ~ —T "5

2 +2 :

(4+ 2)

Vậy ốc sên sẽ bò đến điểm Ls: 3)

4 18 Ta viết số thập phân dưới dạng một tổng vô hạn :

Các tam gidc OAA,; , OA\A2 là các tam giác nữ a đều, cho ta : TA —— te a6 vế , SUY ra các

đoạn AA¡, A¡A¿, A3A: lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu AA; = Fon = x , công bội —

Vậy độ dài đoạn gấp khúc là : zr are “SIG

Trang 11

Chương +4, Giới hạn

4 20 Các cạnh hình vuông này bằng x cạnh hình vuông

trước nó Do đó các chu vi hình vuông lập thành một cấp số

nhân số hạng đâu là 4 ( chu vi hình vuông ABCD), công bội

đ) uạ = T(-ï+5~Vš+VÃ~ Vĩ +ne1)< 2e limu, = |

#4,22.a) Ta rút gọn u„ theo cách của câu (c) trên đây bằng nhận xét :

l

] (k+IWk+kVk+l fikck+D.(vk+1+Vk)

Aes ME Seat

SE ROE ITT Tati

Suy ra: uy, =

Trang 12

Chương 4 Giới hạn

Kí hiệu : limu, = + % hoặc u, —> + %

e_ (u,ạ) có giới hạn là - z nêu mọi số hạng đều nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một

số hạng nào đó trở di

Kí hiệu : limu, =- © hodcu, > - ©

CHÚ Ý : (1) lim n`=+ & , lim jn` = + ,k,m: số nguyên dương

(2) Nêu lim u„= ÔÖ và u„ #0, Yn thì lim — = +

u, (3) Nếu lim uạ =+ % ( hoặc - % ) thì on : =0

Trang 14

Trang 15

Nhưững giá trị cua t„ và vụ tương ứng với các giá trị rất lớn cian trong bang dưới đây cho thấy điều đó :

+ se ye > > 7 A ~* + ` 2 tar “* A “* ‘*

$o sánh với lim NT +n+28-— ý n> —4n+5 ở VDI _câu a), ta thấy cả w„ và v„ đều tiến tới vô cực với giá trị ngang bằng nhau nên lùn(H„ — vụ) = 2, Š

Ghỉ chú : Ở đây tử và mẫu đều là hiệu của hai dãy số * đồng tài ngang sức *, có nghĩa là giới hạn của

hiệu của chúng là một số hữu hạn, cho nên ta phải dùng lượng liên hiệp để tìm giá trị hữu hạn ấy Còn dôi

với dãy số trong đó tử hay mâu là liệu hai dãy số không “ đồng tài ngang sức *“, ví dụ : Gas caer ;

n+5—2n +l

, ‘ee ` z 2 ` A ` =o hd

trong đó giới hạn cua tử và mâu đêu là vô hạn thì ta giải như dạng Ì Cụ thể như sau :

Trang 16

3 2+—~ [trẻ

a) Chi (1) b) Chỉ (H) c) Ca (1) và (HH) đ) Không dãy số nào

4.25 Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dan dén 0?

Trang 17

e) A/4n? + lŸn` +7—2n? +I

iin sien che 1 1 ene se xi

*4.33 Cho dãy số u,= 1+ stata hifng minh limu, = + *

Trang 18

V8n* =2n

limu, = lim( ((V4n° +n —2n)+(2n—¥8n' +3n° |

/ /

Trang 19

Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất có 2Ì phân số , trong dấu ngoặc thứ hai có 2” phân số , trong dấu

ngoặc cuối cùng có 2” phân số

Cộng, ta được: tu „ >l 5: Theo định nghĩa , ta suy ra : limu, = + %

B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC

$4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm :

a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f xác dinh trén (a ; b) \ {xp } và xạ € (a :b), ta nói :

lim f(x) =L.( f có giới hạn là L tai điểm xạ) & W(x, ), limx, = Xo => lim f(x.) =L

A-?A,

Trang 20

c) Néu f(x) > 0, Vx¥x,thiL > Ova lim \f(x =úL

Ghi chú : a) lim (X”) = xu” b) lim 4x = ux,

Dang 1 : Tim lim f(x) biết hàm sé f(x) la ham sé lập bởi các phép tóan như cộng , trừ , nhân

chỉa các hàm số đa thức và xác định tại xa

Trang 21

~()? (5+0) 40 : Š

Trang 22

x»?—X" +4x—4

ay+ = b)— «x c)0 djy6

xv2x`+2+xŸ 4.41 Chọn câu đúng : lin —————————= =

Trang 23

c) lim A ERAS COE) d) lim(sinx=Wx' =x+3)

core (2 +sinx +cosx)(x° +x+1) -»re

Ð Hướng Đẫn - Đáp Số

4.34.(c) Vì hàm số f(x) xác định khi x = l nên lim f(x)=f(l)= ft =2

4.35 (a) jim [(x)= lim —=————ˆ——— “pin

Trang 24

) Chia tử và mẫu cho x^X = xÌ, giới hạn là ý2 0 _ |2

e i fa mau cho x =X ,gi ( =,/—

A Tém Tat Gido Khoa

1 Cho f(x) xác định trên khỏang (xo ; b) :

lim f(x) =l.® VXq € (Xo; b), limx, = Xp => limf(x, ) = L

( (x) có giới hạn phải là L khi x—> xụ )

2, Cho f{x) xác định trên khỏang (a ; Xo ) :

lim f(x)=L © Vx, € (a; Xo), limx, = Xo => limf(x, )=L

Xu

Trang 26

Vx +x

4.48 Cho ham sé: f(x) = j VX +X

v¥x+1-2 x-l a) Tìm giới hạn phải cua f(x) taix =- |

với x >0

: với =l<x<0

b) Tìm giới hạn phãi và trái cua f(x) tại x =0 Hầm số có giới hạn tại x =0 hay không ?

Vi-x+x-1 vx? =x?

vì khi x ->Ï" thì x > l nên (x = l)(x+l)(x =2) <0

4.48 a) lim f(x)=f(-l)= l

xe

Vx(l+x) b) lim f(x) = lim ——>———- = 1

Trang 27

Chitong 4 Gidi han

$6 Gidi han v6 cule §7 Cac dang vé dinh

A Giải Toán

f(x) Dang 1 ( Dang >) : Tim ng trong đó (xo) = g(Xo) =0

Giải a) Ta có : limf(x) = lim =li = =

xác định

Trang 28

Giải Vì xÌ— I =(x — l)(x + l) —> 0kh x —> L, đo đó để f(x) có giới hạn hữu hạn thì điều kiện cần là x” +

ax—b —> 0khi x -> l( vì nêu lim(xÌ kax=b)#0 thì lim f(x) = x

Suy ra: P t+a-b=0@b=ael

Dang 2 (dang = : Tim giới hạn của SỐ trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức tiến tới vô

Trang 29

Chitong 4 Gidi han

e Cần chú ý trường hợp lim f(x)=+ % và lim g(x) =- % ( hay ngược lại ) thì gidi han cua [ f(x) -

g(x) | la + + ( hay - ), không phải là dạng vô định

Ghi chi : Da hai biéu thite u(x) = 2x” =x—L và v(x)=43x) +x +5 đầu tiến đến + œ nhưng v(x) tiến

nhanh hơn nhiều ( Xem bảng giá trị sau )

Trang 30

Học thêm toán

Chuong 4 Gidi han

Ghi chi + Ở đây cả u(x) va v(x) déu tién đên + % mét cach * ngang ngita “ nên ta phải sử dụng

chiêu

lượng liên hiệp” để phá vở dấu căn thức , cho hai biểu thức bên trong dấu căn thực dụng độ trực tiếp

nhau,

2x+l}' -(4x”+4x- c) lim f(x)= lim Gently — (x +4x—0)

b) lim f(x) = lim | aes |

Trang 31

à 45—x`+x

b) lim —===————

`^>*2J3x?+x—l+x

Trang 31

Trang 32

Học thêm toán

Tim a để hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = |

Tìm a và b để hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = l

x-»=# l 1

SN hon

x x 4.53 (b) lim f(x)= lim ——

Thay Huy - www.facebook.com/lacvieteducation - DT: 0968 64 65 87

Trang 32

Trang 33

x-lIvx'+x+l —⁄3

⁄-x(I-x-xŸ) onal Vix -2) x7 +2x +4 iia

xore May? ~x-14+2yx? +X 4

Thay Huy - www.facebook.com/lacvieteducation - DT: 0968 64 65 87

(x`—x) +xŸx`—x+x

Trang 33

Trang 34

Trang 35

lim f(x) = fim — —

v-»3+ v2" (x —2)x +2)

‘ ae ate yey, | PE MEuU(2)>O 2 So

e Neu u(2)=a #Othi lim f(x) ¬ K6Ð9<0 thì f(x) không giới hạn tại x = 2

1 Cho ham s6 f(x) xác định trên (a ; b) và xạ e (a ;b):

o f(x) lién tuc tại điểm x» @ lim f(x) = f(x¿)

Hình I : f(x) liên tục tai Xo Hình 2 : f(x) gián đoạn tại Xo

( đồ thị liên lạc tại điểm (xo ; f(xo)) ( đồ thị “ đứt đoạn tại điểm (xo ; (xo)

Hình 3: I(x) gián đoạn tại xX» Hình 4: f(x) gián đoạn tại Xo

vì lim f(x)= L# lim f(x) = f(x¿) vì lim f(x) = L # f(x)

và lim f(x) =M#f(x¿)

2.a) [{x) liên tục trên khoảng (a ; b) $ f(x) liên tục tại V x» € (a; b)

Trang 36

Chitong 4 Gidt han

SỐ - [(x) liên tục trên (a ; b)

b) f(x) liên tục trên đoạn [a ; bị ® im f(x)=f(a): lim f(x)=f(b)

Ý nghĩa hình học : Néu ƒ liên tục trên [a, b] thì đồ thị là một đường liền nét từ điểm dâu (a : fta)) đến điểm

cuối (b ; ftb))

3 Hàm số đa thức , lượng giác cũng như tổng, hiệu, tích , thương , căn cua các hàm số ấy liên tục trên tập xác định cua chúng

4 Tính chat cua hàm số liên tục :

Định lí : ( Định lí về giá trị trung gian )

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; bị Nêu f(a) 4 f(b) thi V M nằm giữa f(a) và f(b), tổn tại ít nhất một điểm c € (a: b) sao cho f(c) =M

Hệ quả : Nêu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tổn tại ít nhất một điểm e e (a ; b) sao

e Phat biéu khac :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b] la) Ƒ

e lim f(x) = lim( a )= lin nT) Le inflates =O => lim f(x) =f(l)

Vậy lim f(x)= lim f(x)= f() => f(x) liên tục tai diém xo = |

Trang 37

Chương 4 Gidi han

Dang 2: Chứng minh hàm số liên tục trên mét khéang , doan |

Sử dụng định nghĩa và nhớ mọi hàm số đa thức , hữu tỉ, vô tỉ, lượng giác

Trang 38

2x'=ax-l_ 2xÌ-ax-l

xX'+x-2 (x-l)\(x+2)

e Xétx>I1: fx)= xác định nên f(x) liên tục khi x > l

e Xétx<1: f(x) =bx’ —3x 44 xde dinh nén f(x) liên tục khi x < l

Dạng 3 : Chứng mình phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a ; b)

Gồm 2 bước :

e Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên (a ; b)

e Chifng minh f(a).f(b) < 0

Giải : a) Xét hàm số f(x) = x” - 3xÌ + 2x — I liên tục trên R

Lại có : f(0)=- <0, f(3) =3 — 3 3Ì +2 3— I=3>0, f( - l)=(-1)*— 3.(- 1)Ì+2(- I)— 1 =1

ì f(0).f(3) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 3)

Vì f{0) f(-1) < 0 nên phương trình f{(x) = O có ít nhất một nghiệm thuộc (- l; 0)

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm

a) m(x — 1)' (x? = 4) + x? = 3 =0 có ít nhất 2 nghiệm với mọi mì,

b) x° - 2(m* +2) x° + mx +m* +m + 1 =0c6 ding 3 nghiém voi moi mt

Giải : a) Xét hàm số : f(x) = m(x — 1)* (xÌ— 4) + x” — 3 liên tục trên R,

Ta có : f(1)=m.0+ 1-3=-2; f2)=f(-2)= m,0+2”~ 3 = 13

Vì f(- 2).f(1) < 0 và f(1).f(2) < 0 nên phương trình có ít nhất 2 nghiệm thỏa : -À2ˆẲx;:cl<x:y<2:

Ghi chi : Ta uu tién chon các giá trị của x làm mất tham số m là x = 1, x= + 2

b) Xét ham s6 f(x) = xỶ - 2(m” + 2)x” +mx +m + m + I liên tục trên R

Ta có : f(0)= m”+ m+ >0, với mọi m

Í(1)= I-2(mÌ+2) +m +m +m +l =- m” + 2m - 2 <0, với mọi m

Suy ra : f(0).(1)<0, V m Do đó phương trình : f(x) =0 có ít nhất I nghiệm e (0; 1)

Tiêu đề	Chuyên đề Giới hạn Hàm số Lớp 11
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Chuyên đề

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	5,2 MB