Về phép chuyển dời song song trên đa tạp rieman hai chiều

Phép chuyển dời song song đã đ-ợc trình bày trong hầu hết các sách chuyên khảo về hình học vi phân, chẳng hạn xem [1],[2],[3]… Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết v

lời nói đầu

Phép chuyển dời song song là một đẳng cấu trực giao đặc biệt giữa các không gian tiếp xúc của đa tạp Do vậy, có nhiều ứng dụng khi khảo sát các tính chất hình học Phép chuyển dời song song đã đ-ợc trình bày trong hầu hết các sách chuyên khảo về hình học vi phân, chẳng hạn xem [1],[2],[3]…

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết và hệ thống về các khái niệm và tính chất của phép chuyển dời song song trên đa tạp Rieman hai chiều trong không gian Eclid En Đồng thời bổ sung một số tính chất của chúng Và khảo sát phép chuyển dời song song trên một số mặt th-ờng gặp trong E3

Luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng:

Ch-ơng I Dạng liên kết của đa tạp Rieman hai chiều Đạo hàm của tr-ờng vectơ dọc cung tham số trên đa tạp Rieman hai chiều

Đ1 Dạng liên kết của đa tạp Rieman hai chiều

Trong mục này, chúng tôi trình bày dạng liên kết của đa tạp Rieman hai chiều trong đó trình bày định nghĩa, các tính chất của đa tạp Rieman hai chiều

và liên thông Lêvi-civita và đ-a ra chứng minh một số tính chất của nó với mục đích tạo thuận lợi cho việc khảo sát các mục tiếp theo

Đ2 Đạo hàm của tr-ờng vectơ dọc cung tham số trên đa tạp Rieman hai chiều

Trong mục này, chúng tôi trình bày đạo hàm của tr-ờng vectơ dọc một cung tham số và chứng minh tính bất biến của nó qua vi phôi đẳng cự

Ch-ơng II Phép chuyển dời song song trên đa tạp Rieman hai chiều

Đ1 Phép chuyển dời song song dọc một cung tham số trên đa tạp Rieman hai chiều

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm phép chuyển dời song song dọc một cung tham số bất kỳ và chuyển dời song song dọc một cung trắc

địa trên đa tạp Rieman hai chiều Từ đó chứng minh một số tính chất của nó

Luận văn đ-ợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2002 tại tr-ờng ĐH Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của thầy giáo TS.Nguyễn Hữu Quang Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy đã tận tình h-ớng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình đã có những ý kiến góp ý cho luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH Tr-ờng ĐH Vinh, BCN Khoa ĐT Sau

đại học, BCN Khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ bộ môn hình học và các thầy cô bạn bè đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 11 năm 2002

Tác giả

Vũ Thị Nh- Trang

Môc lôc

Trang

Ch-¬ng I D¹ng liªn kÕt cña ®a t¹p Rieman hai chiÒu

§¹o hµm cña tr-êng vect¬ däc cung tham sè

§1 D¹ng liªn kÕt cña ®a t¹p Rieman hai chiÒu 3

§2 §¹o hµm cña tr-êng vect¬ däc cung tham sè trªn ®a t¹p Rieman hai chiÒu 14

Ch-¬ng II PhÐp chuyÓn dêi song song

trªn ®a t¹p Rieman hai chiÒu

§1 PhÐp chuyÓn dêi song song däc cung tham sè

trªn ®a t¹p Rieman hai chiÒu 20

Ch-ơng I Dạng liên kết của đa tạp Riemann hai chiều Đạo hàm của tr-ờng vectơ dọc cung tham số

Đ1 Dạng liên kết của đa tạp Riemann hai chiều

1.1 Đa tạp Riemann hai chiều

1.1.1 Định nghĩa Cho M là một đa tạp hai chiều Một (cấu trúc) metric

Riemann trên M là việc đặt t-ơng ứng mỗi p M với một tích vô h-ớng <,>

trên T p M sao cho tích vô h-ớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với

hai tr-ờng vectơ (tiếp xúc) khả vi X,Y trên M thì hàm số p | <X (p) ,Y (p))> là

hàm số khả vi, M cùng với tích vô h-ớng <,> đ-ợc gọi là một đa tạp Riemann hai chiều, kí hiệu (M,<,>)

1.2 Tr-ờng mục tiêu

1.2.1 Định nghĩa Tr-ờng mục tiêu (khả vi) trên tập mở UM 2 là hệ hai

tr-ờng vectơ khả vi {U 1 ,U 2 } trên U sao cho với mỗi pU, {U 1 (p),U 2 (p)} là một cơ sở của T p U

Kí hiệu B(U) là tập các tr-ờng vectơ khả vi trên U Với XB(U) viết

đ-ợc một cách duy nhất d-ới dạng:

1

i i i U

 với i



 2

1

i

i i i U



 ; X=

 2

1

i i i U

 …

Nếu với mọi pU, U i (p).U j (p) = ij (tức U i (p) là một cơ sở trực chuẩn của

T p U), còn viết U i U j = ij thì tr-ờng mục tiêu {U i} gọi là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn

1.2.2 Ví dụ H={(x,y)| (x,y)R 2 ,y>0} với X,YB(H)

g(X,Y)| (x,y)= 12

y X.Y (với “.” là tích vô hướng thông thường trong R 2)

H là một đa tạp Riemann hai chiều Tr-ờng mục tiêu trực chuẩn trong H là

{U 1 ,U 2 } với U 1 =yE 1 , U 2 =yE 2 Trong đó {E 1 ,E 2} là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn

j i

, 1

, 0

1.2.3 Định nghĩa Tr-ờng vectơ dọc cung tham số  : JM, t | (t) là

ánh xạ X : J  TM mà với mọi tJ thì X(t)  T(t) M

1.2.4 Định nghĩa Tr-ờng mục tiêu dọc cung tham số  : JM, t |(t) là

hệ hai tr-ờng vectơ {U 1 ,U 2} dọc  sao cho với mọi tJ, {U 1 (t),U 2 (t)} là một cơ sở của T(t) M Khi đó mọi tr-ờng vectơ X dọc  viết đ-ợc một cách duy nhất

d-ới dạng: X = 

 2

1

i i i

gọi là liên thông tuyến tính trên đa tạp M nếu nó thỏa mãn các tính chất:

1) Nó là F(M)-tuyến tính với biến X, tức là:

Y Y

(với mọi X 1 ,X 2 ,X,YB(M), mọi F(M))

2) Đối với biến Y thì nó là R-cộng tính, tức:

X(Y 1 +Y 2)=XY 1+XY 2

X(Y)=X[]Y+X Y

(với mọi Y 1 ,Y 2 ,X,YB(M), mọi  F (M))

XY gọi là đạo hàm thuận biến của tr-ờng vectơ Y dọc (theo) tr-ờng vectơ X



lan s

-Một cấu trúc đa tạp Rieman trên đa tạp M là một tr-ờng Tenxơ g kiểu (2,0): B(M) x B(M)  F(M), sao cho với mỗi p M Tenxơ g xác định một

tích vô h-ớng (tức là dạng song tuyến tính đối xứng, xác định d-ơng) trên

T p M

-Giả sử trên đa tạp M đã có liên thông tuyến tính  Khi đó các tr-ờng

Tenxơ T kiểu (2,1) và R kiểu (3,1) đ-ợc gọi là các tr-ờng Tenxơ xoắn và

tr-ờng Tenxơ cong của :

T(X,Y)=XY- YX-[X,Y]; X,YB(M);

R(X,Y,Z)=XY Z-YXZ-[X,Y]Z; X,Y,Z B(M)

1.3.3 Mệnh đề Trên đa tạp Rieman (M,g) có một và chỉ một liên thông

tuyến tính  thoả mãn các điều kiện:

T 5 :Tr-ờng Tenxơ xoắn T = 0; T(X,Y) = 0; X,YB(M)

T 6 : Với mọi tr-ờng vectơ X,Y,Z trên M thì

Z[<X,Y>]=<Z X,Y> + <X,Z Y>

Tức là, Z B(M) ta có Z g = 0 (trong đó kí hiệu <X,Y> = g(X,Y)) Khi đó  đ-ợc gọi là liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Rieman(M,g)

Thật vậy, X,Y,Z B(M), từ T(X,Y) = 0 ta suy ra

XY-YX = [X,Y]XY = YX + [X,Y]

T-ơng tự ta có XY=ZY+[Y,Z] và ZX=XY+[Z,X]

Từ đó ta thu đ-ợc <XY,Z> = <YX+[X,Y],Z> = <YX,Z>+<[X,Y],Z>

Mặt khác từ Z[<X,Y>] = <Z X,Y> + <X,ZY>

Suy ra <ZY,X> = Z[<X,Y>] - <ZX,Y>

Nên <XY,Z>

= - <YZ,X> + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

=- <[Y,Z] + ZY,X> + Y[Z,X] + <[X,Y],Z>

=- <[Y,Z],X> - <ZY,X> + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

=- <[Y,Z],X> - Z[<X,Y>] + <ZX,Y> + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

=- <[Y,Z],X> - Z[<X,Y>] + <[Z,X]+ZX,Y> + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

=- <[Y,Z],X> - <X,Y>] + <[Z,X],Y> + <ZX,Y> + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

=- <[Y,Z],X> - Z[<X,Y>]+<[Z,X],Y>+X[<Y,Z>]+

- <XY,Z> + Y[<Z,X>] + <[X,Y],Z>

Từ đó ta suy ra:

(<Z,[X,Y]> + <Y,[Z,X>] - <X,[Y,Z]>) (*)

Do vế phải của đẳng thức cuối cùng không phụ thuộc , nên tính duy nhất của  đ-ợc chứng minh

Cuối cùng, ta chứng minh sự tồn tại của 

Thật vậy, với mỗi cặp (X,Y) cố định, đặt XY=K thoả mãn <K,Z> = VP(*)

(<Z,[X,Y]> + <X,[Y,Z]> - <Y,[Z,X>])

- <[X,Y],Z> = <Z,[X,Y]> - <[X,Y],Z> = 0

+) Z[<X,Y>] = <ZX,Y> + <X,ZY>

(<X,[Y,Z]>+<Y,[Z,X>]-<Z,[X,Y]>)

Cộng vế theo vế ta có:

<ZX,Y> + <X,ZY> = Z[<X,Y>] (Vì [X,Y] = - [Y,X])

Nh- vậy trên đa tạp Rieman (M,<,>) luôn tồn tại duy nhất liên thông

Lêvi-Civita trên nó

1.3.4 Ví dụ M=R 2 , D : B(M) x B(M) B(M), (X,Y) | D X Y

D là một liên thông Levi-Civita

Thật vậy, theo ví dụ ở mục 1.3.1.1 ta có D là một liên thông tuyến tính, bây

giờ ta chỉ cần kiểm tra thêm 2 tiên đề:

+) Ta có: D X Y-D Y X = [X,Y] luôn đúng X,YB(M) nên T = 0

+) Z[<X,Y>] = X.D Z Y + D Z X.Y

(Suy ra từ tính chất đạo hàm của tr-ờng vectơ dọc các tr-ờng vectơ)

1.4 Dạng liên kết của đa tạp Riemann hai chiều

1.4.1 Định nghĩa Nếu {Ui} là tr-ờng mục tiêu trục chuẩn trên tập mở V,

 là liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Rieman hai chiều M; X B(M) Ta có:

XUi=

 2

i X U

 ; i = 1,2

Dễ thấy i k

là các 1- dạng vi phân, và ta gọi i k

là dạng liên kết của  đối

với tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {Ui} trên đa tạp Riemann M

 ~ lần l-ợt là các dạng liên kết của  đối với {U 1 ;U 2 } và  1 2

i

 ~ ) ; c = (c i j ) với c i j là

các hàm khả vi trên M xác định bởi U~i =

 2

1

j j j

i U

c Chứng minh Ta có

XU~i=

 2

1

~ ) (

~

j

j j

~

k k j j

i X c U

 2

1 ,

) (

~

j k

k k j j

i X c U

Hơn nữa XU~i=X(

 2

1

j j j

j

i X j i j j

1

] [

j

j j

i U c

1

) (

j

k k

k j j

 2

1

] [

k

k k

i U c

 2

1 ,

).

(

k j

k k

j j

c 

=

 2

1

] [ (

k

k i

c

 2

j j

c 

Nên ta suy ra 

 2

1

) (

~

j

j i k

c  =X[c i k]+

 2

1

) (

j

j i k

j X c



hay (c j k)( ~

i j

1.4.3 Mệnh đề Giả sử{U 1 ;U 2 } là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn trên đa tạp Rieman hai chiều (M,<,>) Khi đó ta có: 11 =22 =0 và 1 2 =-2 1

(với i j là dạng liên kết của  đối với tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 ;U 2 }) Chứng minh

Nhân cả hai vế của (1) với U 1 ta suy ra: 1 1 (X) = 0, X1 1 =0

Nhân cả hai vế của (2) với U 2 ta suy ra: 2 2

(X) = 0, X2 2

= 0 Vậy 1 1

= 2 2

= 0 và 1 2

= -2 1

Chú ý a) Tr-ờng vectơ U i của tr-ờng mục tiêu {U i } trên tập mở U trên đa

tạp Rieman hai chiều gọi là tr-ờng vectơ song song nếu XU i = 0, XB(M)

b) Nếu mọi tr-ờng vectơ U i của tr-ờng mục tiêu {U i} là song song thì

ta nói tr-ờng mục tiêu đó là một tr-ờng mục tiêu song song

1.4.4 Mệnh đề Giả sử {E 1 ;E 2 } là tr-ờng mục tiêu song song, {U i } là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn trên tập mở V của đa tạp Rieman hai chiều (M,<.>) thì:

i k =  



 2

1

1

j

j k k

1

j j j

i E

 2

1

j

j j

i E c

 2

1

) (

k

k k

(

k

j j

j k k

 2

1 ,

).

(

k j

j j k k

i X c E



Từ đó ta suy ra X[c i j]=

 2

i X c



hay i k

(X) =     



 2

1

1

j

k j j

i c c X

hay i k

=   



 2

1

1

j

j i k

j dc c

Hệ quả {U i } là tr-ờng mục tiêu song song  = 0

Vì U i song song  c i j = const  X[c i j] = 0  =0

1.4.5 Định lý Cho (M,g) là một đa tạp Rieman hai chiều thì với mọi

tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 ;U 2 } trên tập mở V của M, gọi { 1

; 2 } là

(U j ) = ij với (i,j=1,2) Giả sử 1 2 là dạng liên kết của M trong tr-ờng mục tiêu đã chọn, ta có:

d1 = - 2 12

; d2 = - 1 21

1

j

X[c i j ].E j =

 2

1

k

i k (X).U k =

 2

1

, j k

i k (X).c k j E j

Từ đó ta có: dc i j =

 2

1

, j i

(c -1)i k dc j i

 2

1

, j l

(c -1)l j dx l = 

 2

1 ,

1 ,

, l j

d(c -1)i k c j i(c -1)l j dx l=-

 2

1

,l i

d(c -1)i k l idx l=

=-

 2

1

j

d(c -1)j kdx j = - d k

(vì l i

1.6 Định nghĩa Giả sử M,M’ là các đa tạp Riemann hai chiều, ánh xạ khả

vi f : MM’ gọi là ánh xạ đẳng cự nếu p  M, <f *,f *>(f(p)) = <,>(p) với

,  là hai tr-ờng vectơ trên M

1.7 Mệnh đề Giả sử M, M~ là các đa tạp Riemann hai chiều và {U 1 ;U 2 } là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn trên M, f:MM~ là vi phôi đẳng cự, thì f biến tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 ;U 2 } thành tr-ờng mục tiêu trực chuẩn { U~1 =f * U 1 , U~2 =f * U 2 } và f*~1

=1 ,f*~2

=2 , f* ~

2 1

=2 1 , Trong đó { 1 ;2 } và 2 1 ; {~1 ;~2 } và 2 1 lần l-ợt là tr-ờng đối mục tiêu và dạng liên kết với tr-ờng mục tiêu {U 1 ;U 2 };{ U~1 , U~2 }

Chứng minh

+) {U~1=f * U 1,U~2=f * U 2 } là tr-ờng mục tiêu trực chuẩn trên M đ-ợc suy ra từ

f là vi phôi đẳng cự

+) Ta biết rằng với mỗi tr-ờng mục tiêu trực chuẩn có duy nhất một tr-ờng

đối mục tiêu Vậy để chứng minh f*~i =i, ta xét tác động nh- sau:

là dạng liên kết ứng với tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 ;U 2} nên

Đ2.Đạo hàm của tr-ờng vectơ dọc cung tham số

trên đa tạp Riemann hai chiều

2.1 Xét cung tham số trên đa tạp Riemann hai chiều M tức ánh xạ (khả vi):

: IM, t |(t) I là khoảng mở trong R

Tr-ờng vectơ X dọc  là việc đặt t-ơng ứng mỗi tI, vectơ tiếp xúc X(t)T(t) M Nói X khả vi tại t 0I nếu có khoảng mở J chứa t 0 , J I để với mọi

hàm số khả vi trên một tập mở chứa (J), hàm số t | X(t)[] khả vi tại t 0 Nói

X khả vi nếu nó khả vi tại mỗi t 0 I

Rõ ràng nếu {U 1 ;U 2} là một tr-ờng mục tiêu khả vi trên một tập mở chứa

(I) của M và viết X(t) = 1 (t)U 1((t)) + 2 (t)U 2((t)) thì X khả vi khi và chỉ

khi 1

;2

khả vi Từ nay nói chung ta chỉ xét các tr-ờng vectơ khả vi dọc cung

tham số khả vi Ví dụ t |’(t) là một tr-ờng vectơ khả vi dọc 

2.2 Định nghĩa Cho cung tham số  trên đa tạp Riemann hai chiều

(M,<.>) thì với mỗi tr-ờng vectơ X dọc  quy tắc sau đây xác định một tr-ờng



) và ta gọi nó là đạo hàm của X dọc 

Với mỗi t 0 I lấy một tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 ;U 2} trong một lân cận của (t 0 ), viết X(t) = 1 (t)U 1((t)) + 2 (t)U 2((t)) trong lân cận đó của t 0

và đặt:

dt X

Ta cần thử định nghĩa đó không phụ thuộc tr-ờng mục tiêu đã chọn Để đơn giản, ta dùng ký hiệu ma trận hình thức:

1 2

Khi đổi từ tr-ờng mục tiêu {U i} sang tr-ờng mục tiêu U~i, U~=UC thì

X=( U~o) ~ nên  ~=(C o)-1. (C là ma trận trực giao cấp hai)

Ta có thể viết gọn lại nh- sau: U~=U~o;  ~=C -1. ; U~=UC;  = (’);

Do đó định nghĩa không phụ thuộc tr-ờng mục tiêu {U i} đã chọn

2.3 Ví dụ Xét nửa phẳng Poincare (H,<,>) trong đó H = {(x,y)R 2 | y>0} với tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 = yE 1 ;U 2 = yE 2 } ({E 1 ;E 2} là tr-ờng mục

tiêu song song chính tắc trong R 2 ) Đối với cung tham số t | (t) trong H,

(t)=(x 0 ;y 0 + t) hãy biểu diễn

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

2.5 Mệnh đề X là một tr-ờng mục tiêu dọc :IM, t|(t);  là phép biến đổi tham số, :JI, s|(s) thì X o là tr-ờng vectơ dọc o và



o) Chứng minh Với X=(Uo)., ta có:

Nhận xét 1) Z là một tr-ờng vectơ trên tập mở trong M chứa điểm p, Xét

pT p M, viết nó dạng p =’(t),  là một cung tham số có ảnh trong tập mở đó

thì Z o là một tr-ờng vectơ dọc  và dễ thấy

dt



(Z o)(t) không phụ thuộc  đã chọn; nó đ-ợc ký hiệu là p Z, và gọi là đạo hàm của tr-ờng vectơ Z theo

vectơ p

2) Cho ánh xạ r: UM, (u,v)|r(u,v) từ một tập mở U  R vào

đa tạp Riemann M Một tr-ờng vectơ X dọc r là việc đặt t-ơng ứng mỗi (u,v)U với mỗi vectơ X(u,v)T r(u,v) M Từ đó khi cho X, việc lấy đạo hàm của

nó dọc các cung u|r(u,v) cho tr-ờng vectơ dọc r là

v U i+    

 2

1 ,

'.

j

j i v i u

i

i

v u

.

j

j i

j i

v

r u

1

'

i

i v r

u U i+    

 2

1 ,

'.

j

j i u i v

r  .U j=

  

 2

1 2

i

i

v u

.

j

j i

j i

u

r v

M, ký hiệu X~ là tr-ờng vectơ dọc cung tham số f o trong M~ xác định bởi:

Ch-ơng II Phép chuyển dời song song

trên đa tạp Riemann hai chiều

Đ1 Phép chuyển dời song song dọc cung tham số

trên đa tạp Riemann hai chiều 1.1 Định nghĩa Giả sử :JM; t |(t) là một cung tham số khả vi trên

đa tạp Riemann hai chiều (M,<.>) Một tr-ờng vectơ X dọc  đ-ợc gọi là song

song dọc  nếu và chỉ nếu  0

dt X

1.2 Nhận xét

1) Giả sử X là tr-ờng vectơ song song dọc , X(t)0, t; F(M) Khi đó

.X song song dọc  khi và chỉ khi  = const

Thật vậy,

) ( ).

( ' ) ( ).

( ' ) ( ) ( ) ( ) (

t X t t

X t t dt

X t t dt

2) X,Y là các tr-ờng vectơ song song dọc  thì:

i) X+Y song song dọc 

ii) X+Y song song dọc  với ,  là các hằng số thuộc R

Vậy các tr-ờng vectơ song song dọc  lập thành một không gian con của

R-không gian vectơ B (B là không gian các tr-ờng vectơ khả vi dọc )

1.3 Mệnh đề  : [a;b] M; t | (t) là một cung tham số khả vi trên đa tạp Riemann hai chiều (M,<,>) thì với mỗi  T (a) M, có một và chỉ một tr-ờng vectơ khả vi X song song dọc  mà X(a)=

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử (J) nằm trong tập mở

VM, và trên V có tr-ờng mục tiêu trực chuẩn {U1;U2}

Vì X là một tr-ờng vectơ song song dọc  nên hàm số t | <X(t), X(t)> là

hàm hằng (do  ,   2  ,   0

dt

X X X

X dt

d

vì   0

dt X

)

của định nghĩa 2.2 Đ2 ch-ơng I, ta có:

( ' ( ) ( cos ) ( '

0 ) ( sin )).

( ' ( ) ( sin ) ( '

2 1

1 2

t c

t t

t c

t c

t t

t c

0 )) ( ' ( ) ( ' ) ( sin

2 1

1 2

t t

t c

t t

t c

a

du u du

u) ( ' ( )) (

' 12 

a

du u))

( ' ( 1

( ' ( 1

( ' ( 1

2 

 xác định một tr-ờng vectơ duy

nhất X(t) = c(cos(t).U1((t)) + sin(t).U2((t))) song song dọc , thoả mãn:

X(a) = (cos(a).U1((a)) + sin(a).U2((a))) = 

1.4 Định nghĩa Giả sử :[a;b]M, t | (t) là cung tham số trên đa tạp Riemann hai chiều (M,<.>) Với mỗi  T(a) M, có tr-ờng vectơ X song song

dọc  thoả mãn X(a)= ánh xạ f:T(a) M T(b) M;  | đ-ợc gọi là phép chuyển dời song song dọc , trong đó X(b)=

1.5 Ví dụ Xét nửa phẳng Poincare (H,<,>) với tr-ờng mục tiêu trực chuẩn

{U1;U2} trong đó U1=yE1;U2=yE2 với {E1;E2} là tr-ờng mục tiêu song song

chính tắc trong R2 Ta xét sự chuyển dời song song dọc cung đoạn tham số

0 ) ' (

1 2 1 2

2 1 2 1

dt d dt d

Do đó X=C 1 U1o+C 2 U2o với X(a) =  = C 1 U1o(a) + C 2 U2o(a)

Ta có phép chuyển dời dong song dọc f: T(a) M  T(b) M;  | trong đó  = X(b) = C 1 U1o(b) + C2.U2o (b)

1.6 Mệnh đề Phép chuyển dời song song f: T(a) M  T(b) M dọc cung tham số : [a;b]M; t | (t) trên đa tạp Rieamn hai chiều (M,<,>) là một

ánh xạ tuyến tính trực giao

Chứng minh Giả sử f: T(a) M  T(b) M là phép chuyển dời song song dọc

cung tham số : [a;b]M; t | (t) trên đa tạp Riemann hai chiều (M,<.>)

Giả sử , ’  T(a) M có t-ơng ứng X,Y là các tr-ờng vectơ song dọc dọc  sao cho

X(a) =  ; Y(a) = ’

Theo mệnh đề 2.4 ch-ơng I ta có:

Y dt

X dt Y X

X dt

X dt

d X

X dt Y

X

dt

d

, ,

, (3)

dt

X dt Y X dt

tr-ờng vectơ song song dọc 

Bây giờ giả sử T(a) M  T(b) M

 |  ’ | ’

Với X(a) =  ; Y(a) = ’ ; X(b) =  ; Y(b) = ’

X dt Y

X dt

d

, ,

(vì X,Y song song dọc  nên   0 ;  0

dt

Y dt

X

)

Vậy ta suy ra <X,Y> là hàm hằng dọc , do đó <X(a),Y(a)> = <X(b),Y(b)>

hay <,’> = <f(),f(’)> = <,’> (***)

Từ (*);(**) và (***) ta suy ra f là một ánh xạ tuyến tính trực giao

Hệ quả Giả sử (M,<.>) là đa tạp Riemann hai chiều,  là đ-ờng cong trên

M, Y 0 là vectơ tiếp xúc của M tại điểm 0 của  Khi đó với mỗi Y 0 có duy nhất tr-ờng vectơ song song Y(t) dọc  Hơn nữa, nếu Y 0 và Z 0 là vectơ tiếp xúc của

M tại 0 , nếu <Y 0 ,Z 0 > = k, thì <Y(t),Z(t)> = k, với mọi giá trị của t

Bây giờ ta xét phép chuyển dời song song f: T(a) M T(b) M dọc cung tham

số : [a;b]M; t |(t) trên đa tạp Riemann hai chiều (M,<,>) Với

(a)=(b), (tức ảnh của  là một đ-ờng khép kín tại (a)), thì phép chuyển dời

song song dọc  là một biến đổi tuyến tính trực giao của T(a) M

1.7 Mệnh đề Giả sử f bảo tồn h-ớng thì f

là phép quay tâm (a), góc  = góc(,)

Chứng minh X song song dọc   0

dt X

nên  ,  2  ,X  0

dt

X X

với =X(a);  =X(b) và ||X(a)|| = ||X(b)|| Từ đó ta có đpcm

Chú ý Từ mệnh đề trên ta dễ dàng suy ra  = const

1.8 Mệnh đề Phép chuyển dời song song dọc cung tham số trên đa tạp

Riemann hai chiều không thay đổi khi đổi tham số hoá của cung

Thật vậy, giả sử : [a;b]M; t |(t);  :[c;d][a;b], s |(s)

d Xo ds

Vì T(a) M  To(  1(a))M; T(b) M  To(  1(b))M do đó phép chuyển dời song

song dọc  và phép chuyển dời song song dọc o là trùng nhau vì:

f: T(a) M T(b) M ;  | trong đó =X(b) = Xo(-1 (b))

1.9 Ví dụ 1) Phép chuyển dời song song trong (E2;can) chính là phép tịnh

tiến trong E2

Chứng minh Giả sử :[a;b]E2, t |(t) là cung tham số trong (E2;can)

Xét phép chuyển dời song song dọc  Với mỗi   T(a) E 2, tồn tại duy nhất

tr-ờng vectơ X song song dọc  mà X(a)= Vì trong E2 ,

dt X

Do đó X const hay X(t) a const t

Nên phép chuyển dời song song f: T(a) E2T(b) E2 ;  | mà  a;  a

chính là phép tịnh tiến trong E2

Chú ý Rõ ràng phép chuyển dời song song trong (E2;can) không phụ thuộc cung đoạn  nối  (a) với  (b) (hình 2)

H×nh 2