Về đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp riêmann hai chiều

Lời nói đầu Đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann đã được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình vi phân, chẳng hạn [1], [2],[3].. Trong kh

Lời nói đầu

Đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann đã được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo về hình vi phân, chẳng hạn [1], [2],[3] Nó có nhiều ứng dụng trong việc xây dựng các độ đo các hình hình học trên đa tạp Riemann và trong việc khảo sát các tính chất hình học nội tại trên đa tạp

Trong khoá luận này ,chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và chứng minh chi tiết các tính chất của đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc cung trên đa tạp Riemann 2 chiều

Luận văn được chia làm 2 chương

Chương I: Đường trắc địa trên mặt trong E 3

Trong chương này ,chúng tôi đã trình bày khái niệm đường trắc địa trên mặt trong E 3

chứng minh một số tính chất cơ bản của nó Bằng việc sử dụng khái niệm độ cong trắc địa và

độ cong pháp dạng chúng tôi trình bày cách xây dựng được trường mục tiêu Đarbounx dọc  Đặc biệt trong chương này chúng tôi đã trình bày chi tiết việc tìm các đường trắc địa trên các mặt quen thuộc trong E 3

Chương II: Phép chuyển dời song song và đường trắc địa trên đa tạp Riemann 2 chiều

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đạo hàm của vectơ dọc cung tham

số và chứng minh các tính chất cơ bản Và trình bày khái niệm phép chuyển dời song song dọc cung và đường trắc địa trên đa tạp Riemann Chúng tôi đã chứng minh tính chất trực giao của phép chuyển dời song song Đặc biệt chúng tôi đã thiết lập được phương trình của phép dời song song dọc cung kín, cách tính được góc hôlônômi dọc các vĩ tuyến của mặt tròn xoay Đồng thời, chúng tôi cũng đã chứng minh phép chuyển dời song song và đường trắc địa bất biến qua vi phôi đẳng cự

Khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Quang Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn BCN Khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ bộ môn hình học cùng các thầy cô, bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khoá luận

Vinh tháng 4 năm 2003

Tác giả:

Đào Nguyên Sử Mục Lục

Trang

Chương I: Đường trắc địa trên mặt trong E 3

 1 -Trường mục tiêu Đarboux dọc  3

 3 - Đường trắc địa trên một số mặt quen thuộc 12

Chương II: Đường trắc địa và phép chuyển dời song song dọc

cung trên đa tạp Riêmann hai chiều

 1 - Đạo hàm của trường vectơ dọc một cung tham số 18

 2 - Phép chuyển dời song song dọc cung tham số 23

 3 - Đường trắc địa trên đa tạp Riêmann hai chiều 35

CHƯƠNG I: ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN MẶT TRONG E 3

Trong khoá luận này, chúng tôi xét mặt S trong E3, trong đó S là một đa tạp hai chiều được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n

1 TRƯỜNG MỤC TIÊU DARBOUX DỌC CUNG CHÍNH QUY

I Độ cong trắc địa

1.1 Định nghĩa: Giả sử  là cung chính quy định hướng trên mặt S trong

E3,  được cho bởi tham số : J S : t  (t) là một tham số hoá của  Khi

đó hàm số kg: J R

)('

)())

()

('(

t

t n t t







được gọi là độ cong trắc địa của

Để định nghĩa trên là hợp lý ta cần chứng minh kg không phụ thuộc tham số

đẫ chọn Thật vậy, ta xét tham số hoá tương đương r: s r(s)

với r=  (trong đó ’>0) Khi đó:

)

(.)()()

()(r

;

)()

) 3 ( ).

( ).

( ) ( ) ( 3

) (

) ( ).

) ( ) ( (

s

n s S

s

s r

s r n s r s r

s n

3)(

)(.))

()()(

(

3



1.2 Ví dụ:

Giả sử mặt đinh ốc đứng S trong E3

được cho bởi tham số r: IR2E3 (u,v)  (v cosu,v sinu,bu)

Từ: r’u =(-vsinu, v cosu,b) và r’v = (cosu,sinu,0) ta có:

22

),cos,sin()

,(

v b

v v b v b v

r u r v

r u

r v u r

Ta có: (u)(vsinu,vcosu,b) ; (u)(vcosu,vsinu,0)

Từ đó suy ra: độ cong trắc địa của (v)

22

3)(

)())

()

(()

v u

u n u u

i) Khi  đổi hướng thì độ cung trắc địa đổi dấu

ii) Tại những điểm không song chính quy của , độ cong trắc địa triệt tiêu iii) Khi  là cung phẳng thì kg trùng với độ cong đại số của cung phẳng 

n s

n g

3 3

).

(

~

ii) Giả sử t0 là điểm không song chính quy của    (t ),   (t ) phụ

0 )

(

) ( ) ( ) ( )

t g

Vì vậy :

  ( ( ) ( ) ( )

)()

()

()

(.)())(()(

3 2 2

t y t x

t x t y t y t x t

t n t

II Trường mục tiêu Đarbounx dọc 

1.4 Định nghĩa: Giả sử  là cung chính quy định hướng trên mặt S với tham số hoá tự nhiên : JS ;t(t)cña Ta kí hiệu T =  ; Y=

T

n , n Z Khi đó

(T,Y,Z) được gọi là trường mục tiêu Đarboux dọc 

1.5 Mệnh đề: Ta gọi k là độ cong của  thì kg= k.N.Y

Chứng minh: Giả sử : J S ;t(t) là tham số hoá tự nhiên của , theo định nghĩa ta có:

))()

()(()())

()

(()

(

)())

()

(()

t

t n t t

1.7 Định nghĩa: Giả sử  là một vectơ khác 0 của TpS, nếu đặt

)(

)(

m  Đại lượng

)

(

~ 

k được gọi là độ cong pháp dạng theo phương  của S

Để định nghĩa trên là hợp lí ta cần chứng minh k~()= k~(m) với

m n

.0)

.ds

DT 0)

ds

n D T n

)

T I

T II

1.9 Định nghĩa: Đại lượng g h(T).Y được gọi là độ xoắn trắc địa của cung 

IV Công thức Đarboux dọc : Giả sử (T,Y,Z) là đường mục tiêu Đarboux

)2(

)1(

Y T

k DZ

Z T

k DY

Z k Y k DT

g n

g g

n g





Trong đó: k n k~(T)

Chứng minh: Do T.T = 1 nên DT.T = 0 ta suy ra: DT = .Y+.Z

Vậy ta có: Y.DT =  + .Y.Z =  (vì Y.Z=0)

Và  = DT.Y = k.N.Y = Kg

Mặt khác : Z.DT = .Z.Y +   = DT.Z = k.N.Z = k~(T)K n

Vậy DT = kgY + knZ

Chứng minh tương tự ta được: DY=k g.T g.Z ; DZ k n T g.Y

2 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN MẶT TRONG E3

2.1 Định nghĩa: Giả sử mặt 3

E

S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n

Cung chính quy  trên S được gọi là đường trắc địa của S nếu độ cong trắc địa triệt tiêu

Cung tham số : JS ;t(t)S được gọi là cung trắc địa của S nếu

)

(t

 vàn(t) cùng phương với t

2.2 Ví dụ: Giả sử S là mặt cong ốc đứng trong ví dụ(1-2)

Ta xét vĩ tuyến ~(v)r(u0,v)(vcosu0,vsinv0,bu0)

Ta có: ~(v)(cosv0,sinv0,0);(v)(0,0,0)K g(v)0:v;(v)cùng

phương n(v):v

Vậy: Đường vĩ tuyến là đường trắc địa trên S

Cung tham sốv  r(v0,v) là cung trắc địa trên S

2.3 Mệnh đề

i) Giả sử  là cung song chính quy trên S Khi đó :  là đường trắc địa trên

S khi và chỉ khi trường vectơ pháp tuyến N thẳng góc với S dọc 

ii) Giả sử hai mặt S và S~ tiếp xúc nhau dọc  thì  là đường trắc địa trên S khi và chỉ khi  là đường trắc địa trên S~

iii) Nếu :t(t) là cung trắc địa trên S thì (t) là hàm hằng

iv) Ảnh của cung trắc địa trên S là đường trắc địa trên S

v) Giả sử  là đường trắc địa thì mọi tham số hoá vận tốc hằng của  đều là cung trắc địa

)())

((

t

t n t t

)(

~)()

(()(

~

t

t n t t

Trong đó :t(t) là một tham số hoá của  trên S và trênS~ vì S và

S~ tiếp xúc nhau dọc  nên T t)ST t)S~:t suy ra n(t)n~(t)

Do đó k g(t)0k~g(t)0 

iii),iv) Hiển nhiên

v) Cho  là đường trắc địa trên S: Giả sử : J S ; t(t) là một tham

số hoá vận tốc hằng của 

Theo giả thiết  là đường trắc địa nên:

t t

n t t

t t

v u r r

r r v u r n

2.5 Mệnh đề: Giả sử : I S là một cung trắc địa trên S; r =   : J

S là cung tham số tương đương với  trên S Khi đó r là cung trắc địa khi và chỉ khi vi phôi đổi tham số  có dạng: : J I , s(s)asb

; :

)

,()

0

.2

1

0

.2

1

2 2

2 2

v u G r r u G v G v

v u E r r v E u E u

u v uu v

v u vv u

Ta giả sử F r ur v  F vr uv r vr vr vvr vvr vr uv r v G v

2

1

.0

2

12

1

0

2

12

1

2 2

2 2

v u G u E G

v G v

v u E v G E

u E u

u v

v

v u

0

2

12

1

v

v G E

u E

u

u

u u

0

.Eu2E

0)(

0

u 2

2

c Gv

v G u v

G

v G u E u

0)(

G

v G E

v G v u G v v v G v

u G E

u u

0)

.(2 2

.u

.u

v G u

)1(

1 2 2

c v G

c v G u E

)(t c



 , từ tính chất (v) của mệnh đề (2-3) ta coi C1=1 (tức  là tham số hoá tự nhiên)

G

c c

v G

v G v

1

2 2 2

)1( c

G

-EGdt

2 2

2

dt G

c dv

dv

cdt Gdv G

c G v

E

c-G

EG t

)

1

ta tìm được v = v(t), như vậy cung trắc địa : (t)r(u(t),v(t)) được xác định

3 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN CÁC MẶT QUEN THUỘC

3.1 Mệnh đề: Cung tham số trên mặt phẳng là cung trắc địa khi và chỉ khi

nó là tham số hoá của đường thẳng hoặc một phần đường thẳng

Chứng minh: Ta xét cung tham số : JE2;   2

y(t),0(x(t),(t)

Ta có: (t)x(t),y(t),0 ; (t)x(t),y(t),0 Vì vậy là cung trắc địa  (t)//n(t) t

batx(t) 0

)(

0)(

t y

t x

Khi đó: (t)(atb),ct d),0t.(a,c,0)

Vậy  là tham số hoá của đường thẳng(hoặc một phần đường thẳng)

Hệ quả: Cung chính quy  trên mặt phẳng là đường trắc địa khi và chỉ khi 

là đường thẳng hoặc một phần đường thẳng

Nhận xét: Cho 2 điểm A,B phân biệt thuộc mặt phẳng (P)khi đó đường

thẳng AB là đường trắc địa trên (P) đi qua A và B

3.2 Đường trắc địa trên mặt cầu:

Ta xét mặt cầu S2

tâm 0 bán kính R: x2 + y2 + z2 = R2, S2 được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến hướng ra ngoài

3.2.1 Mệnh đề: Cung chính quy  trên S2 là đường trắc địa khi và chỉ khi 

là đường tròn lớn (hoặc một phần đường tròn lớn) trên S2

Chứng minh: Ta xét tham số tự nhiên của ::JS2 s(s) là tham số hoá tự nhiên của 

Từ (1) (s)0:s do đó  là cung song chính quy trên S2

Theo tính chất (1) của mệnh đề 2- 3 ta có:  là đường trắc địa 

.:)()

s n

n D T

3.2.2 Hệ quả:

i) Cung tham số : JS2 ; 2

)(t S

t   là cung trắc địa khi và chỉ khi 

là tham số hoá vận tốc hằng của đường tròn lớn hay một phần đường tròn lớn ii) Giả sử A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) là 2 điểm thuộc mặt cầu S2 Khi đó tồn tại đường trắc địa trên S2

đi qua A,B được xác định như sau:

Ta có: 0A(x1,y1,z1) ; 0B(x2,y2,z2)

Nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (0AB) n0A0B

),

,(y1z2  y2z1 x2z1 x1z2 x1y2 x2y1

(0AB):

x(y1z1+y2z1) + y(x2z1-x1z2) + z(x1y2-x2y2) = 0

Vậy phương trình đường trắc địa trên S2

đi qua A,B là:

2 1 2 1 2

1 1 2 2

2 2

(

R z y

x

y x y x z z x z x y z y z

Ta xét tham số hoá tự nhiên :t(t)ru(t),v(t) của  Theo kết quả mệnh đề 2.3 và mệnh đề 2.6:  là đường trắc địa   là cung trắc địa 

batu(t)

cv

0u

Vậy:t (t)(Rcos(atb),Rsin(atb),ct d)

Nếu c = 0, a0thì ta có : :t(t)(Rcos(atb),Rsin(atb),d)

R y

suy ra ảnh của~ là cung đinh ốc tròn trên G

Vậy cung chính quy  trên G là đường trắc địa   là đường tròn hoặc là đường thẳng hoặc là cung đinh ốc tròn

3.3.2 Hệ quả 1 : cung tham số:t(t)trên S là cung trắc địa khi và chỉ khi nó là tham số hoá vận tốc hằng của một trong 3 loại đường kể trên ( mệnh đề 3.3.1)

3.3.3 Hệ quả 2: Giả sử A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) là 2 điểm phân biệt thuộc mặt trụ G Khi đó tồn tại đường trắc địa thuộc một trong 3 loại đường trắc địa ( mệnh đề 3.3.1) đi qua A và B

Chứng minh : Thật vậy ta xét các trường hợp sau

+) Nếu z1 = z2=  thì A,B thuộc đường tròn (Ú)

Ta xét tham số hoá 1:t(t)(Rcost,Rsint,) của (Ú)

Ta có : 1(t)(Rsint,Rcost,0) 1(t) Rconst

Vậy (Ú) là đường trắc địa ( tương ứng1 là cung trắc địa ) đi qua A và B +) Nếu A B(x2 x1,y2  y1,z2 z1)cộng tuyến với véc tơk(0,0,1) thì đường thẳng AB là đường trắc địa trên G đi qua AvàB

Ta xét tham số hoá :2 :t At.kthì2 cung trắc địa đi qua A,B

+) Nếu z1 z2và (AB,K(0,0,1))không cộng tuyến: ta xét cung đinh ốc tròn trên G với tham số hoá

),

sin,cos(

;:

2 2 2

2

1 1

1 1 1

1

;sin

;cos

;sin

;cos

z b at y t R x t R

z b at y t R x t R

Giải hệ trên ta tìm được : t1,t2,a,btìm được 3,ảnh của 3là đường trắc địa đi qua A,B

3.4 Đường trắc địa trên mặt nón :

Ta xét mặt nón S trong 3

E có phương trình ẩn x2  y2  z2(z0)

Ta có :r:(0,)RE3,(u,v)(ucosv,usinv,u)

là một tham số hoá của S, hơn nữa :

r u(cosv,sinv,1);r v(usinv,ucosv,0)

;0

;

E    như vậy r là tham số hoá clerô của S Cũng từ đó ta có trường véc tơ pháp tuyến đơn vị :

1,2

sin,2

cos()2

,sin,cos(

),

u

u v u v u r

r

r r v u

r

n

v u

i) Đường toạ độ u=u0 không phải là đường trắc địa trên S

ii) Đường toạ đọ v=v0 là đường trắc địa trên S

Chứng minh :

i) Đường toạ độ u=u0 có tham số hoá (v)r(u0,v)(u0cosv,u0sinv,u0)

Ta có :(v)(u0sinv,u0cosv,0); (v) u0 const

Do đó theo tính chất 5 của mệnh đề ( 2-3 ) : Đường toạ độ u=u0 là đường trắc địa  là cung trắc địa

v v

v v

n v

u v u

sin,2

cos()(//

)0,sin,

cos(

v u u c

v

G

v G u

E

1

21

2

2 2 2 2

1 2

)

(2

2 2

u

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

22

)

2

(

)2( 2

)1(

c u

u du

dt u

c u dt

du

u

c u u

u

c v

(2

2 2 2

u c

2

2

c t

( t 

t

u và v0vv0 (hằng số)

2)

(ra

 t 

t Suy (cosv0 ,sinv0,1) đổi tham số hoá ta đƣợc :

t

c

t d c

t

cdt v

2

21)2(

)2(.22

)(

2

2 2

2

2(

t c



đổi tham số hoá ta được :

1

Hệ quả : trên mặt nón S chỉ có 2 loại đường trắc địa là ảnh của 2 loại cung trắc địa kẻ trên

CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA VÀ PHÉP CHUYỂN DỜI SONG

SONG DỌC CUNG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 2 CHIỀU

Như ta đã biết (xem [1] ): Giả sử M là một đa tạp 2 chiều, trên M ta trang bị một metric Riemann tức là đặt ứng với mỗi p M một tích vô hướng <,>p trên

TpM sao cho tích vô hướng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi Khi đó M cùng với metric Riemann đó được gọi là một đa tạp Riemann 2 chiều

Giả sử {U1,U2} là trường mục tiêu trực chuẩn trên một tập mở V của M ta gọi 1,2 là trường đối mục tiêu của nó Khi đó tồn tại duy nhất 1- dạng vi phân 1

2

 trên V thỏa mãn:

1 1

2

1 1 2 2

2 2 1 1

1 ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ DỌC MỘT CUNG THAM SỐ Bây giờ ta xét cung tham số trên (M,<,>)  : I M,t(t) trong đó I là một khoảng con của R

(t).U(t))

((t)U

X(t)1 1  2 2 2 trong đó:

RJ:, 2

 X được gọi là khả vi tại t nếu 1,2 khả vi tại t X được gọi là khả vi trên I nếu X khả vi tại tI

Chú ý: Từ nay ta chỉ xét các trường vectơ khả vi dọc cung tham số

1.1 Định nghĩa: Giả sử X là trường vectơ dọc cung tham số  : I M ,

t   (t), ta xác định trường vectơ X

như sau: Với mỗi t I ta lấy trường

mục tiêu trực chuẩn{U1,U2} trong một lân cận của (t0), ta viết

X(t)= 1(t)U1((t))2(t).U2((t))

Ta đặt:

))(())

()

(()(()(())

())

(()((

)

(t0 1 t0 2' t0 2 t0 U1 t0 2' t0 t0 1 t0 U2 t0dt



1 1

được gọi là đạo hàm của trường vectơ X dọc 

Ta chứng minh định nghĩa trên không phụ thuộc vào trường mục tiêu đã chọn Thật vậy để chứng minh đơn giản ta dùng kí hiệu ma trận hình thức:

;

;

; ),

1

1 2 2

2

1 2

1 U U

U

Từ đó ta viết: X (U) và  (U )(().

dt X

Ta xét trường mục tiêu trực chuẩn U~(U~1,U~2) ; U~ U.C với C là ma trận trực giao cấp 2

Ta có: X (U ) (U~).~  (U) (U).(C).~

Suy ra:   1

)(

~ C 

Do C CC C

).(

)(

)).(

(.)(

).(

)(

)

(.)(

~)

).(

)(

)(.)(

.)(

.)(

)).(

(

1 1

1 1

C

C C

C C

)(

)(

)(

)(

Vậy định nghĩa trên không phụ thuộc trường mục tiêu đã chọn

2.2 Mệnh đề: Giả sử X,Y là 2 trường vectơ dọc cung tham số : I  M, )

X Y

X dt

dt

X X

dt

d dt

dt

X Y

X dt

d

,,

Chứng minh: với mỗi t0I , ta chọn cơ sở trực chuẩn {U1,U2} trong lân cận của (t0), trong lân cận t0 ta viết:

))(()())

(()()

(

))(()())(()()

(

2 2 1

1

2 2 1

1

t U t t

U t t

Y

t U t t

U t t

))(((

))(

(()()(

)()(

0 2 0 1 1 0 2 1 0 2 2

0 1 ) 0 2 2 0 1 2 0

1 1 0

t U t t

t

t U t t

t t

dt

Y X

))(()())(()

())

(()())(()

(

0 0

1 0 2 1 0 2 0

1 0 2 0 1 2 0 1

0 2 0 1 0 2 1 0 2 0

1 0 2 0 1 2 0

1

U t t

t t

U t t

t

t U t t

t t

U t t

dt

Y t

X dt