Phương trình cấu trúc và góc hôlônômi của đa tạp riemann hai chiều

Về sau nhà toán học Risi và học trò của ông là Lêvi- sivita đã sử dụng tínhchất tuyệt đối của liên thông để ứng dụng trong việc biến đổi các dạng toán ph- ơng và nghiên cứu liên thông tu

trờng đại học vinh

Môc lôc

Tran g

1.1 Liªn th«ng tuyÕn tÝnh trªn mét ®a t¹p kh¶ vi 31.2 Liªn th«ng Lªvi - sivita trªn ®a t¹p Riemann 7Ch¬ng 2: D¹ng liªn th«ng vµ ph¬ng tr×nh cÊu tróc 14

2.2 Ph¬ng tr×nh cÊu tróc cña ®a t¹p Riemann M 16

3.2 Gãc H«l«n«mi cña mét sè mÆt trong kh«ng gian Oxyz 30

Lời nói đầu

Sự phát minh ra hình học phi ơclit là một trong những thành tựu lớncủa toán học đợc bắt đầu vào những năm 40 của thế kỷ XIX do Lobasevsky(1973 - 1956) trình bày năm 1826 tại Đại học Kazan - Nga, Gianôi - Bôia(1802 - 1866) trình bày năm 1830 tại Hungary, Riemann (1826 - 1866) trìnhbày năm 1851 tại Đại học Ghentinghen - Đức

Về sau nhà toán học Risi và học trò của ông là Lêvi- sivita đã sử dụng tínhchất tuyệt đối của liên thông để ứng dụng trong việc biến đổi các dạng toán ph-

ơng và nghiên cứu liên thông tuyến tính trong trờng hợp đặc biệt Liên thôngtuyên tính và đăc biệt là liên thông Lêvi- sivita là một cấu trúc trên đa tạp khả vi

mà nhờ đó chúng ta có thể nghiên cứu các tính chất của hình học nội tại Chẳnghạn liên thông Lêvi-sivita đã đợc dùng để nghiên cứu phép chuyển dịch songsong và các phơng trình cấu trúc

Phép chuyển dịch song song là một đẳng cấu trực giao giữa các khônggian tiếp xúc của đa tạp Phép chuyển dịch song song đã đợc trình bày hầu hếttrong các sách chuyên khảo về hình học vi phân, chẳng hạn nh: Hình học viphân của Đoàn Quỳnh, Đa tạp Riemann trong toàn cục của Kligenber…

Trong luận văn này chúng tôi đã tính các góc Hôlônômicủa một số mặtthờng gặp trong không gian Oxyz Để thuận lợi hơn, chúng tôi đã trình bàymột cách hệ thống các khái niệm cơ bản về liên thông Lêvi- sivita, phépchuyển dịch song song, các phơng trình cấu trúc ,và chúng tôi đã bổ sung một

số tính chất của chúng

Luận văn đợc chia làm 3 chơng

Chơng 1: Liên thông

1.1 Liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi

1.2 Liên thông Lêvi- sivita trên một đa tạp Riemann

Chơng 2: Dạng liên thông và phơng trình cấu trúc

2.1 Dạng liên thông

2.2.Phơng trình cấu trúc của đa tạp Riemann M

Chơng 3 Các góc Hôlônômi

3.1 Phép chuyển dịch song song

3.2 Góc Hôlônômi của một số mặt trong không gian Oxyz

Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin chân thành gửi lời cảm ơntới thầy giáo hớng dẫn PGS - TS Nguyễn Hữu Quang đã đặt bài toán và hớngdẫn chúng tôi nghiên cứu Cảm ơn các cô giáo trong bộ môn hình học đãgiảng dạy và chỉ bảo những vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu Chúngtôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo làm việc tại khoa Toán, khoasau đại học và Ban giám hiệu trờng Đại học Vinh, trờng THPT Nguyễn CôngTrứ, các đồng nghiệp và bạn bè, gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúngtôi trong quá trình học tập nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, ngày … tháng … năm 2005 tháng … tháng … năm 2005 năm 2005

Tác giả

Chơng 1

Liên thông

Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản ,chứng minh chi tiết một số tính chất về liên thông tuyến tính để phục vụ cho việc trình bày liên thông Lêvi-sivita trên một đa tạp khả vi

1.1 Liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi

1.1.1 Định nghĩa M là đa tạp khả vi, B(M) là tập các trờng khả vi trên M

Thật vậy, ta sẽ chỉ ra D thoả mãn 4 tiên đề của định nghĩa

2 Giả sử M là đa tạp khả song Xét ánh xạ

Khi đó  là liên thông tuyến tính trên M

Thật vậy, ta sẽ chỉ ra  thoả mãn 4 tiên đề của định nghĩa

3 Giả sử X, Y  B(M),  là liên thông tuyến tính trên M, và



 

 

 Vậy : Xp  XpY là ánh xạ tuyến tính

1.2 Liên thông Lêvi - sivita trên một đa tạp Riemann

Nh ta đã biết , ánhxạ g: B(M) x B(M)  F(M)

(X, Y)  g(X, Y)

đợc gọi là metric Riemann trên M nếu có việc đặt tơng ứng với mỗi p  Mmột tích vô hớng < , > p trên TpM ,sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào pmột cách khả vi, tức là X, Y  B(M) thì hàm số p  <Xp, Yp> là mộthàm số khả vi

Mỗi đa tạp khả vi M cùng với một metric Riemann đã cho trên nó đợcgọi là đa tạp Riemann

Ví dụ 1 M = Rn, với X, Y  B(Rn) ta đặt g(X, Y) = X Y

Khi đó g là metric Riemann Thật vậy

i) Hiển nhiên g(X, Y) là tích vô hớng

ii) g(X, Y) khả vi

Ta gọi {E1,… , En} là trờng mục tiêu trực chuẩn trong Rn với X, Y  B(Rn) ,ta có

sự biểu diễn X =

n i,j 1 XiEi, Y =

n i,j 1 YiEi

Khi đó ta có X Y =

n i,j 1 XiYi hay g(X, Y) =

n i,j 1 XiYi

Vậy, g là mtric Riemann trên M

2.Ta xét nửa phẳng Poincare H = {(x, y)  R2y > 0}

với g(X, Y) = 12

y X Y

Rõ ràng g là metric Riemann trên H Vậy, (H, g) là đa tạp Riemann 2 chiều

3 M là đa tạp khả vi n chiều có trờng mục tiêu {E1,… ,En} Hệ {E1,

1.2.1 Định nghĩa Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann,và  là liên thông tuyến

tính trên M.Khi đó  đợc gọi là liên thông Lêvi - sivita nếu  thoả mãn haitính chất

(T5) Trờng tenxơ xoắn T = 0

T(X, Y)= XY - YX - [X, Y] = 0 (T6) Z [X, Y] = (ZX)Y - (ZY)X ,với mọi X, Y, Z  B(M)

2 Liên thông tuyến tính chính tắc trong Rn là một liên thông Lêvi - sivita

1.2.3 Định nghĩa Giả sử (M , g), (N, g') là hai đa tạp Riemann, f: M  N

Từ trên ta đợc một hệ gồm n phơng trình ẩn j

Vì g không suy biến nên với mọi p  U ta có: det (gij)p  0

Do đó, ta xác định đợc duy nhất j và chúng đợc biểu thị qua các hàm khả vi

(Ei) và gij Nên j cũng khả vi

Nh vậy, trờng vectơ A đợc xác định duy nhất thoả mãn điều kiện trên 

1.2.5 Định lý Đa tạp Riemann M luôn tồn tại duy nhất một liên thông Lêvi

-sivita trên nó

Chứng minh i) Tính duy nhất của 

Với mọi X, Y, Z  B(M) và từ (T5), (T6) ta có : Z[X Y] = (ZX ) Y + (ZY)X (1) X[Y Z ] = (XY ) Z + (XZ)Y (2) Y[Z X ] = (Y Z )X + (YX)Z (3)

Y[Z, X ] = (ZX ) Y - (XZ)Y (5) X[Y, Z ] = (YZ )X - (ZY)X (6)

Ta lấy (2) cộng (3) cộng (4) cộng (5) trừ (1) trừ (6) ta có:

(XY)Z = 1

2 (X[Y Z]) + Y[Z X] - Z [X Y] + + Z [X, Y] + Y [Z, X] - X[Y, Z]) (7)

Giả sử  là một liên thông tuyến tính khác cũng thoả mãn (T5) và (T6).Khi đó, từ (7) ta có:

2(XY)Z = X[Y Z] + Y[Z X] - Z[X Y] + Z[X, Y] +

1.2.6 Bổ đề Nếu ánh xạ : N  R khả vi thì ta có: f*p (p) () = p (f)

Chứng minh Ta có thể xem p = '(t0) với : J  U là một cung tham số Khi

đó:

1.2.7 Mệnh đề Nếu ánh xạ f: M  N là một vi phôi đẳng cự thì f bảo tồn

liên thông Lêvi - sivita Nghĩa là f*(XY) =  f * X f*Y

= [(f*(XY)) (f*Z) f] f-1

= (f*(XY)) (f*Z) VËy lµ f*(XY) (f*Z) = (

=

                2.1.2 Chú ý 1 {Ui} là trờng mục tiêu trên song song trên tập mở U  En với  = D nếu và chỉ nếu mọi dạng vi phân ij = 0 Thật vậy, {Ui} là một trờng mục tiêu song song trên tập mở U  En Khi đóxUi = 0 nên  = ( ij) là ma trận (0) Ngợc lại, nếu  = ( ij) = (0) là ma trận của dạng liên thông của En trong một trờng mục tiêu {Ui} trên một tập mở liên thông cung U  En Do DUi= 0, mỗi trờng vectơ Ui là trờng vectơ song song Vậy, {Ui} là trờng mục tiêu song song 2 Giả sử mặt trụ T trong E3 đợc xác định bởi tham số hoá r: (u, v)  (cosu, sinu, v) với u, v  R Ta xét  = D T Ta có U1 = r = (- sinu, cosu, 0) u' U2 =r = (0, 0, 1)v' Khi đó{U1, U1} trực chuẩn trên trụ xU1 = DxU 2 1 U = 1  X[U1, U1] = 0  2 (x U1)U1 = 0  x U1  U1 (1) Mặt khác xU1  U2 (2)

Từ (1) và (2)  xU1T = 0

Hơn nữa xU2T = 0

Vậy ij = 0

3 Ta xét (U, ) trên M,với {Ui} =

i

x

  

  

Ta có: xUi =

j

ij

x J

(X) 





 , là thành phần liên thông của  trên M ij

Hay  = (ij) là một ma trận phản đối xứng

2.2 Phơng trình cấu trúc của đa tạp Riemann M

Giả thiết M là một đa tạp Riemann khả song với trờng mục tiêu {x1, … , xm},liên thông Lêvi - sivita  và {1, … ., m} là cơ sở đối ngẫu của {Ei}

2 

ii) sk 1 kijs

R2

ij k k

C X

           

ii) Tõ c«ng thøc d =   + 

Ta cã: dd = d(-   + 

 0 = - d(  ) + d

 dd   -   d

= (-    +   -   (-   + 

= -     +     -   

=   -   

Chơng 3

các góc hôlônômi của một số mặt

trong không gian oxyz

Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và các tínhchất của phép chuyển dịch song song, tính góc Hôlônômi của một số mặt th-ờng gặp trong E 3 ,ta xét (M,g) là đa tạp Riemann n chiều khả song với  làliên thông Lêvi - sivita trên M , Ui i 1n là trờng mục tiêu trực chuẩn trên M

Và đờng cong khả vi  trong M đợc cho bởi tham số hoá

 = J  M với J = (a, b)  R

t  (t)

3.1 phép chuyển dịch song song

Nh ta đã biết một trờng vectơ dọc  là việc đặt tơng ứng một t  J vớimột vectơ tiếp xúc X(t)  T(t)M, X đợc gọi là khả vi nếu và chỉ nếu X(t) []khả vi theo t, với mọi hàm khả vi dọc 

Với mỗi trờng X dọc  ta luôn có sự biểu diễn X(t) = X1(t) U1(t)++ X2(t)U2(t) + … + Xn(t) Un(t), t  J0 Khi đó X khả vi dọc  khi và chỉ khi

 = 3t2E1 + 2tE2 + (4t3 + 2) E3 +

3 i

Từ đó ta có:

0

0

n '

n '

j U i i,j 1

n ' k

i,j, k n k

i,j, k

( U )(U )U( ')U

g(X, Y)dt

3 Nếu X, Y là các trờng vectơ song song dọc  Khi đó:

i) X+Ysong song dọc .Thật vậy,vì X,Y là các trờng véc tơ song song

ii) X + Y song song dọc  với ,  là các hằng số thuộc R

Thật vậy, vì X, Y là các trờng vectơ song song dọc  nên ta có t  J:

X(t) aY(t) b

Vậy X + Y cũng là trờng vectơ song song dọc  với , R

Do đó, các trờng vectơ song song dọc  lập thành một không gian con của R không gian vectơ  (là không gian các trờng vectơ khả vi dọc 

3.1.7 Định lý Giả sử p   và a  TpM Khi đó, tồn tại duy nhất một trờng vectơ X song song dọc  sao cho Xp = a

Chứng minh Giả sử X(Xi) là trờng vectơ song song dọc  cần tìm Khi đó ta có: 0 = [U*] ([X'] + ') [X] )

đợc gọi là phép chuyển dịch song song dọc  từ A đến B

3.1.9 Định lý Giả sử  là phép chuyển dịch song song từ A đến B thì  là

phép đẳng cấu tuyến tính trực giao

Chứng minh i)  tuyến tính, thật vậy:

( k  + l )     (k )  (l )

     k ( ) l ( )

,với k, l  R, ,   TAMii)  song ánh

iii)  bảo tồn môđun Thật vậy, Giả sử X là trờng vectơ song song dọc  ta có

Chứng minh Gọi {Y1, Y2,… ,Yn} là trờng mục tiêu song song





n ' i

3.1.11 Định lý Phép chuyển dịch song song bất biến qua vi phôi đẳng cự

Chứng minh Giả sử :[a, b]  M là cung tham số trên đa tạp Riemann M

t  (t) f: M  M là vi phôi đẳng cự từ M lên đa tạp Riemann M

Giả sử X là trờng vectơ song song dọc  Tức là X t 0

i * i

i 1 n

i i

i 1

(f U )(f ) (t)(f U )(f )(t)(U )(f )(t)

Với phép chuyển dịch song song dọc  thì  = X(a)   = X(b)

Trong đó   Ta M,   T(b) M qua vi phôi đẳng cự ta có phép chuyểndịch song song dọc fmà  = X (a)   = X (b)

Trong đó   T f(a) M ,   Tf(b)M Vậy, phép chuyển dịch song songbất biến qua vi phôi đẳng cự 

3.2 Góc Hôlônômi của một số mặt trong không gian o xyz

Mục này chúng ta xét phép chuyển dời song song dọc đờng cong  cho bởi

: [a, b]  M , với (a) = (b)

t  (t) Theo giả thiết trên thì  là đờng phép kín trên đa tạp Riemann hai chiều M.Khi đó, phép chuyển dời song song dọc  là một biến đổi tuyến tính trực giaocủa T(a)M

ở đây ta luôn giả thiết phép chuyển dời trong T(a)M bảo toàn hớng (tức là,

định thức ma trận của  tại p dơng, mọi p  )

3.2.1 Định nghĩa Giả sử : T(a)M  T(b)M

   ('(u)) du

Trong đó 1

2

 là dạng liên kết của M đối với trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2}

Chứng minh Vì X song song dọc  nên:

X(t) = C(cos(t)U1 (t) + sin(t) U2 (t)) là trờng vectơ song song

dọc  với (t) = (a) +

t 1 2 a

Vì {U1, U2} là trờng mục tiêu trực chuẩn nên

g(X(a), X(b)) = C2(cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b))

  = (b) - (a)

Vậy (t) = (a) +

t 1 2 a



 (b) = (a) +

b 1 2 a



 ('(u) du

 (b) - (a) =

b 1 2 a



Từ (3) và (4) ta có  =

b 1 2 a

T(a) M  T(a 1 ) M  …  T(b)M

3.2.5 Chú ý Góc Hôlônômi của đờng cong kín  trên đa tạp Riemann hai

chiều M thờng viết  = 12

3.2.6 Ví dụ Xét phép chuyển dịch song song dọc đờng cong  với tham số

(t) là một đờng tròn trong E2

Giả sử   T(a)E2, tồn tại trờng vectơ song song dọc , X(t) = const

Khi (a) = (b),  = X(a), X(b) và X(a) = a, X(b) = a với a chotrớc thì góc Hôlônômi của đờng cong  = 0

thì góc Hôlônômi của  bằng 0

Nếu S1 và S2 là hai mặt trong E3 tiếp xúc với nhau dọc đờng cong kín thì góc Hôlônômi của đờng cong kín đó trên S1 và trên S2 bằng nhau

Thật vậy, vì chuyển dịch song song dọc  trên S1 và trên S2 trùngnhaunên góc Hôlônômi của  trên S1 và trên S2 trùng nhau

định bởi tham số hoá địa phơng

U  R3

(u, v)  r(u, v) = (vcosu, vsinu, u + v)

thì góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u, v0) = (u) là  =

0 2 0

Chứng minh Xét trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} tiếp xúc theo thứ tự với

vĩ tuyến và kinh tuyến của mặt đinh ốc

v2(v 1)

Vậy  =

2

1 2 0

3.2.9 Mệnh đề Giả sử S là mặt tròn xoay trong E3, ta xem S là đa tạp

Riemann hai chiều với cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tham số hoá

địa phơng nh sau U  R3

(u, v)  r(u, v) = ((v) cosu, (v) sinu, au + (v))

thì góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u, v0 ) = (u) trên mặt tròn xoay trong E3 là

'(v ) (v )

.2(v ) a ' (v ) ' (v )

(u, v)  r(u, v) = ((v) cosu, (v) sinu, (v))

thì góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u, v0) = (u) trên mặt tròn xoay trong E3 là

'(v )

.2' (v ) ' (v )

(u, v)  r(u, v) = (Rcosv cosu, Rcosvsinu, Rsinv)

thì góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u, v0) = (u) trên mặt cầu trong E3 là  = - 2 sinv0

(u, v)  r(u, v) = (acosu, asinu, v)

thì góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u, v0) = (u) trên mặt trụ trong E3 là  = 0

(u, v)  r(u, v) = (vcosu, vsinu, u + v)

Khi đó góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u, v0) = (u) là  = 20

0

v

.22(v 1)



Vì (v) = v  '(v) = 1

3.2.11 Mệnh đề Mặt xuyến trong E3 với cấu trúc Riemann chính tắc xác

định bởi tham số hoá địa phơng

U  R3

(u, v)  r(u, v) = ((a + cosu)cosv, (a + sinu)cosv, sinv) (v  [ - ;

2 2

 ]) Thì góc Hôlônômi của vĩ tuyến r(u,v0) = (u) là

R r (u, v)  (a cos u) sin v (a sin u) sin v cos v   

= 2a(a cos u sin u)sin v 1  2 

 r*1(E1) = cosv du E1  r*1 = cosv du

r*2(E2) = 2a(a cos u sin u)sin v 1  2  dv E2

 r*2 = 2a(a cos u sin u)sin v 1  2  dv

 r*d1 = d(r*1) = d(cosvdu) = d(cosv) du = - sinv dv  du

r*d2 = d(r*2) = d ( 2a(a cos u sin u)sin v 1  2  ) dv

=

2 2

a( sin u cos u)sin v2a(a cos u sin u)sin v 1

2

0

sin v( '(u))du

2a(a cos u sin u)sin v 1

2 Chứng minh đợc phép chuyển dịch song song bất biến qua vi phôi

Tµi liÖu tham kh¶o

1 Khu Quèc Anh - NguyÔn Do·n TuÊn (2005), Lý thuyÕt liªn th«ng vµ h×nh häc Rieman , NXB §HSP

2 TrÇn ViÖt Dòng (1995), Bµi gi¶ng ®a t¹p Riemann , §HSP Vinh

3 NguyÔn H÷u Quang(2005) , §a t¹p kh¶ vi , §H Vinh

4 NguyÔn H÷u Quang (2005), Më ®Çu h×nh häc Riemann , §H Vinh

5 §oµn Quúnh (2001), H×nh häc vi ph©n , NXB Gi¸o dôc

6 D.Gromoll, W.Klingenberg, W.Meyer (1971), H×nh häc Riemann toµn côc, (B¶n dÞch tiÕng ViÖt - Th viÖn §H Vinh)

7 Spivak(1985), Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p (B¶n dÞch TiÕng ViÖt),

NXB §H vµ THCN Hµ Néi